Программа вступительных экзаменов по математике и теории и методике обучения математике в аспирантуру по специальности: 13. 00. 02 теория и методика обучения и воспитания (математика)
вступительных экзаменов по математике и теории и методике обучения математике в аспирантуру по специальности: 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика)
МАТЕМАТИКА
Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и разбиение на классы.
Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы.
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца.
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. Упорядоченное поле. Система действительных чисел.
Поле комплексных чисел Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств.
Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместимости системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Связь аксиом Вейля с аксиомами школьного курса геометрии.
Многоугольники. Площадь многоугольника, теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функций на отрезке.
Последовательность. Предел числовой последовательности. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Теорема о пределе монотонной последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости последовательности.
Определение и свойства степени. Степенная функция.
Показательная функция; ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
Логарифмическая функция; ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
Тригонометрические функции; их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд.
Дифференцируемые функции одной переменной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.
Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям.
Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Площадь плоской фигуры и длина дуги. Приложения определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины дуги, площади поверхности вращения.
Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и интегральный. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Формула и ряд Тейлора.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
^ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Цели обучения математике в общеобразовательной школе. Анализ программы по математике для I-IV; V-VI; VII-IX; X-XI классов.
Дидактические принципы в обучении математике.
Методы обучения математике.
Задачи в обучении математике.
Методика обучения учащихся доказательству теорем.
Методика формирования у учащихся математических понятий.
Методика формирования пространственных представлений у учащихся при обучении геометрии.
Уровневая и профильная дифференциация в обучении математике.
Углубленное изучение математики: содержание, приемы и формы организации обучения.
Обязательные результаты обучения математике и методика организации учебного процесса с целью их достижения учащимися.
Методика преподавания числовых систем в школьном курсе математики.
Методика формирования тождественных преобразований у учащихся.
Методика преподавания уравнений, неравенств и их систем.
Методика преподавания функций в школьном курсе математики.
Методика обучения учащихся приближенным вычислениям.
Методика преподавания производной и ее приложений в школьном курсе математики.
Методика преподавания интеграла и его приложений в школьном курсе математики.
Методика преподавания геометрических преобразований в школьном курсе геометрии.
Методика преподавания многогранников и их площадей.
Методика преподавания первых разделов стереометрии (перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей).
Методика преподавания многогранников и их объемов.
Методика преподавания тел вращения и их объемов.
Методика преподавания векторов и координатного метода (на плоскости и в пространстве).
