Урок по алгебре и началам математического анализа «Иррациональные уравнения»
| скачать МОУ «Томаровская СОШ №2 Яковлевского района Белгородской области» Открытый урок по алгебре и началам математического анализа «Иррациональные уравнения» в 11 классе Учитель: Афонина Р.В. Томаровка, 2010 Тема урока: Иррациональные уравнения Цель урока: Обобщить знания по теме: “Иррациональные уравнения” Задачи: Обучающие:
Развивающие:
Воспитательные:
Ход урока 1. Организационный момент. На уроке используется презентация, показанная с помощью проектора. 1 слайд. Иррациональные уравнения. “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. ^ Эйнштейн Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые учителя, приглашаю Вас на урок алгебры в 11 классе “Иррациональные уравнения”. Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”. Как Вы знаете, прославился он именно уравнением, названным “уравнение Эйнштейна”. Вот и мы займемся уравнениями. Обобщим знания по теме: “Иррациональные уравнения”. Повторим методы решения уравнений, алгоритмы решения этими методами, познакомимся с новым методом мажорант. Запишите в тетради число, тему урока. На ваших партах лежат рабочие карты, подпишите их. Рабочая карта ученика 11 класса __________________________________
^ “!” – владею свободно “+” - могу решать, иногда ошибаюсь “-” - надо еще поработать 2. Повторение и обобщение изученного материала. 2.1. Основные вопросы теории открытия иррациональности История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Назовем некоторых из них, отвечая на вопросы теории, которая является фундаментом для решения иррациональных уравнений. ^ Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? (проверка) ^ Как называется знак корня?( радикал) Сколько решений имеет уравнение х2 = а, если а < 0? (ноль) Как называются уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная? (иррациональное) Как называется корень второй степени? (квадратный) Получилось имя Евклид. Евклид – это великий ученый, он жил в 3 веке до нашей эры в Древней Греции. Известно, что он был приглашен в Александрию царем Птолемеем I Сотером для организации математической школы. Он был человеком мягкого характера, очень скромного, но независимого. Он сказал, что познание мира ведет к совершенствованию души. Предлагаю эти слова взять эпиграфом нашего урока. Понятие иррациональности ассоциируется с изображением корня. Греческие математики вместо слов “извлечь корень” говорили “найти сторону квадрата по его заданной величине (площади)”. Знак корня впервые появился в 1525 году. За это время его изображение менялось. Кто ввел это изображение? Об этом мы узнаем, ответив на следующие вопросы: ^ Сколько решений имеет уравнение х2=0. (одно) Корень какой степени существует из любого числа? (нечетной ) Как называется корень третей степени? (кубический) ^ 2=а, если а >0 ? (два) Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? (постороннний) ^ И так впервые изображение корня ввёл Декарт, французский ученый. Им положено начало исследования важных свойств алгебраических уравнений. ^ Кто же ввел современное изображение корня? Ответим на вопросы . Как называется равенство двух алгебраических выражений? (уравнение) Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство (корень) ^ Какой должен быть взгляд на уравнения, что бы не вычисляя сказать ответ? (пристальный) ^ Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное арифметическое действие? (сопряженное) Это Ньютон – английский физик, открывший основные законы природы, законы Ньютона. Он ввёл современное изображение корня. Мы повторили теорию решения иррациональных уравнений, которая является фундаментом для познания мира. 2.2. Основные методы решения иррациональных уравнений. Иррациональные уравнения можно решать различными методами. 1. Какими основными методами решаются иррациональные уравнения? 5 слайд: Название основных методов решения иррациональных уравнений. (Метод возведения в степень, равную показателю корня, метод пристального взгляда, метод введения новой переменной) 2. Расскажите алгоритм решения методом возведения в степень, равную показателю корня. ^ Решим полученное уравнение. Выполним проверку. 3. Расскажите алгоритм решения методом введения новой переменной. Введём новую переменную. Решим полученное уравнение. Найдем значение искомой переменной. Выполним проверку. 4. Какой этап содержат все эти методы? (Проверку) 5. Какой метод используется при решении иррациональных уравнений другими методами? (Метод возведение в степень, равную степени корня) 6.Какой метод предполагает устное решение? (Метод “пристального взгляда”?) 7. На каких свойствах иррациональных выражений основан этот метод? (Значение арифметического корня четной степени есть величина неотрицательная, а значит сумма, произведение и частное таких выражений будет величина неотрицательная) 2.3. Решение заданий методом пристального взгляда. Решите в группах методом “пристального взгляда” данные уравнения. Один учащийся от группы рассказывает у доски решение уравнений методом “пристального взгляда”.
2.4. Тест. Решение иррациональных уравнений различными способами. Необходимость введения иррациональных чисел была описана в работе Евклида, по которой потом занимались все творцы современной математики: Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и Понтрягин. Как называлась эта древняя книга, которая оказала наибольшее влияние на развитие европейской цивилизации? Для ответа на этот вопрос выполним тест, в котором решите уравнения. Решите уравнения в тетради, выпишите буквы, под которыми правильные ответы. Тест Решите уравнения и запишите буквы, под которыми находятся интервалы, содержащие корни уравнений 1.  В) [6;10]. Б) [20; 27]. Н) [11;18]. М) [30;+∞). 2.   е) [20;25]; и) [1;6]; у) [10;16]; а) [17;18] 3.  ч) [-5; -3]; ф) (3; 4); р) [-2; 0]; с) (2; 3) 4.  а) [2; 4]; е) (-5; 2) и) (4; 16) ю)(- ∞; - 4) 5.  к) (3; 5); м) [- 5; - 2]; п) (-2; 2]; л) (10; 70) 6.  а) [0; 2]; о) (3; 81); у) (-5; -2); е) (-2; 0). 6 слайд: НАЧАЛА Именно в этом труде Евклид впервые заявил о необходимости введения новых неизведанных чисел. ^ Звучит музыка. Вы, конечно, узнали, что прозвучал музыкальный фрагмент к песне “День Победы” Давида Тухманова на слова Николая Харитонова. Эта песня посвящена Дню Победы в ВОВ нашего народа. Прозвучавшая музыка носит торжественный, жизнеутверждающий, “мажорный” характер. В математике есть метод решения иррациональных уравнений, который называется метод мажорант. (словарь) 7 слайд: Мажоранта и миноранта – (от франц.), две функции, значение первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции. ^ Метод мажорант – метод оценки левой и правой части уравнения. Метод мажорант используется для решения уравнений повышенной сложности, которые соответствуют 3 части ЕГЭ. Ведем запись в тетради. Пример решения иррационального уравнения методом мажорант. 8 слайд: М – мажоранта. Если f(х) = g(х) и f(х) ≤ М и g(х) ≥ М, то М = f(х) и М = g(х). Пример: (объяснение у доски) Решить уравнение:  =х2 – 6х + 11.Решение: О Д З: х – 2 ≥ 0 и 4 – х ≥ 0, т.е. х ≥ 2 и х ≤ 4. Значит 2 ≤ х ≤ 4. Рассмотрим правую часть уравнения. Введём функцию у = х2 – 6х + 11. Графиком функции является парабола с вершиной А(3;2).Наименьшее значение функции у(3) = 2. Рассмотрим левую часть уравнения. Введём функцию g = . С помощью производной найдём max функции, которая дифференцируема на (2;4).g' = .  g' = 0, если = 0, 2х = 6, х = 3. g g’ + - (3) = 2  Имеем g = ≤2.В результате у (3) ≥2, g (3) ≤ 2, отсюда у (3) = 2 и g (3) = 2. Из этих условий составим систему уравнений:  Решение этой системы х = 3. Это подтверждает проверка. И так, по какому алгоритму решаются уравнения методом мажорант? 9 Слайд : Метод мажорант - Оценим левую часть - Оценим правую часть - Составим систему уравнений - Сделаем вывод - Проверка Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна. Иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:
А так же иррациональные уравнения использует статистика. 2.6. Рефлексия Подведите итоги своей работы на уроке в своей рабочей карте, заполнив вторую и третью строки. 11 слайд: “Да, мир познания не гладок. И знаем мы со школьных лет Загадок больше, чем разгадок И поискам предела нет!” 2.7. Домашнее задание 1.  2. 
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плохо
2хорошо
2отлично
2 