Программа по дисциплине Избранные главы алгебры и теории чисел для специальности 511200 Математика. Прикладная математика (магистратура) дневной формы обучения icon

Программа по дисциплине Избранные главы алгебры и теории чисел для специальности 511200 Математика. Прикладная математика (магистратура) дневной формы обучения


Смотрите также:
Программа по дисциплине современная алгебра для специальности 511200 Математика...
Программа по дисциплине «Вычислительные задачи геометрии» для специальности: 511200 Математика...
Программа по дисциплине Линейные топологические пространства для специальности 511200 Математика...
Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования направление...
Программа дисциплины «Избранные модели теории полезности» для направления 010400...
Программа дисциплины дс...
Программа дисциплины фтд. 00 «избранные главы алгебры» Специальность 032100...
Программа учебной дисциплины избранные вопросы теории и методики обучения физике Для...
Рабочая программа по дисциплине «теория сложности алгоритмов и вычислений» для специальности...
Учебное пособие Омск 2008 Федеральное агентство по образованию...
Программа государственного экзамена «Вычислительная математика» для студентов проходящих...
Рабочая учебная программа по дисциплине «Алгебра» для ооп по направлению «050100 Педагогическое...



Загрузка...
скачать


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ




Математический факультет


Кафедра алгебры и топологии


РАБОЧАЯ

ПРОГРАММА


по дисциплине


Избранные главы алгебры и теории чисел


для специальности 511200 Математика. Прикладная математика

(магистратура)


дневной формы обучения


Курс ……………………………………………..1

Семестр …………………………………………1,2

Всего часов ..…………………………….……...123

Всего аудиторных часов ……………….……...70

Лекции, час …………………………………….35

Практические, час ……………………………..35

Д/з (семестр).……………………………………1

Самостоятельная работа, час ………………….53

Зачет (семестр) …………………….……………1

Экзамен (семестр) ………………………… …..2


Ижевск 2006

Рабочая программа составлена на основании ____________________________________________________

(название документа, дата утверждения)

Составители рабочей программы

_^ Доцент, к.ф.- м.н.__________ ______________ Мерзляков А.С.

(должность, ученое звание, степень) (подпись) (Ф.И.О.)


__________________________________ ______________ ___________________________

(должность, ученое звание, степень) (подпись) (Ф.И.О.)


Рабочая программа утверждена на заседании кафедры алгебры и топологии

«____» _______________________________ 200__ года


Заведующий кафедрой ________________ __^ Грызлов А.А.___________

(подпись) (Ф.И.О.)

«____» _______________200__года


Решение методической комиссии математического факультета

«____» _______________200__года


Председатель методической комиссии ________________ ____________________________

(подпись) (Ф.И.О.)


Согласовано с библиотекой УдГУ «___» ________________ 200__ года


Директор библиотеки УдГУ _____________ ________________________

(подпись) (Ф.И.О.)



  1. ^ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Дисциплина Избранные вопросы алгебры и теории чисел» знакомит магистрантов с некоторыми методами современной алгебры, которые используются в теории чисел. Она непосредственно связана с дисциплиной «Теория чисел», «Алгебра и геометрия», «Математический анализ» и служит для расширения компетенций магистрантов в области лучшего понимания и изучения фундаментальных дисциплин, с которыми связано их основное направление исследований в магистратуре.

В процессе обучения студенты должны познакомиться с некоторыми приемами и методами теории чисел, должны научиться понимать методы и хорошо усвоить алгебраический язык, который связывает алгебру и другие фундаментальные предметы, которые изучаются ими в магистратуре. приобрести навыки исследования и решения различных задач алгебры.

Кроме этого, в силу того, что они должны получить дополнительную квалификацию «Преподаватель высшей школы», требуется усвоение ими некоторых методических приемов, которые будут использоваться ими в своей последующей работе.


^ II. ОБЪЕМ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ ЗАНЯТИЙ

Наименование разделов и тем

Всего

Лекции

Практические

Лабораторные

Самостоятельная работа



2

3

4

5

6

7



Основные алгебраические

Структуры

6

2

2

-

2



Идеалы колец, их виды.

8

2

2

-

4



Фактор-кольца и их свойства

8

2

2

-

4



Теория делимости на языке идеалов

8

2

2

-

4



Неприводимый многочлен и его свойства. Минимальный аннулятор и его свойства.

6

2

2




2



Расширения полей.

12

4

4

-

4



Алгебраическое и трансцендентное расширение поля

8

2

2




4



Алгебраически замкнутое поле

6

2

2




2



Поля разложения многочлена

8

2

2




4



Нормальное расширение поля

9

2

3




4



Простые поля. Сепарабельность многочлена.

10

4

2




3



Сепарабельные расширения

14

4

4




2



Группы автоморфизмов полей. Группы Галуа. Расширение Галуа.

8

4

2




2



Разрешимость алгебраического уравнения в радикалах

6

2

2




2

Итого:

123

35

35




53
^
III. Контроль знаний

В течение семестра предполагается выполнение домашнего задания в виде контрольной работы. В конце 1 семестра осуществляется контроль знаний в виде зачета, в конце 2 семестра – экзамена.


IV. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
^

ТЕМЫ ЛЕКЦИЙ И ИХ КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ





  1. Основные алгебраические структуры: полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле, векторные пространства и модули. Отображения на алгебраических структурах и их свойства: гомоморфизмы, мономорфизмы, эпиморфизмы и изоморфизмы и их свойства. Ядро и образ морфизмов. Примеры и разбор задач.

2. Кольца и подкольца. Области целостности. Типы колец: коммутативные кольца, булевы кольца, кольцо формальных степенных рядов, кольцо формальных степенных рядов Лоренца. Единицы колец и делители нуля. Нильпотенты колец. Критерий подколец. Правые и левые идеалы колец. Идеалы колец. Операции над идеалами. Простые и максимальные идеалы колец и их свойства. Примеры и разбор задач.

  1. Отношение эквивалентности и его свойства. Отношение сравнимости в кольце по модулю идеала. Фактор-группа и фактор-кольцо по идеалу в коммутативных кольцах. Теоремы об изоморфизме образа группы и кольца. Примеры и разбор задач.

  2. Образующие кольца. Главные идеалы кольца. Кольцо главных идеалов. Евклилово кольцо. Ассоциированные, простые и неприводимые элементы кольца. Доказательство того, что в кольце главных идеалов простота и неприводимость элементов равносильны. Доказательство обрыва возрастающей цепочки идеалов в кольце главных идеалов. Представление каждого не единичного элемента в виде произведения неприводимых и его однозначность. Примеры и разбор задач.

  3. Неприводимый многочлен над полем и его свойства. Теорема о кратности корней неприводимого многочлена. Минимальный аннулятор элемента, его степень и свойства этого многочлена.

  4. Расширение полей. Степень расширения. Закон башни. Гомоморфизм полей и его продолжение. Теорема Кронекера о корнях многочлена. Конечнопорожденное расширение поля. Простое расширение поля, примеры и его свойства.

  5. Алгебраический и трансцендентный элементы поля. Алгебраическое и трансцендентное расширение поля. Теорема об алгебраичности конечного расширения поля. Теорема о простом алгебраическом расширении поля. F-гомоморфизмы полей и их свойства. Теорема об эндоморфизме поля.

  6. Теорема о связи алгебраичности расширения и корня минимального аннулятора. Понятие алгебраически замкнутого поля. Алгебраическое замыкание поля. Теорема о существовании алгебраического замыкания поля. Лемма о продолжении гомоморфизма поля в алгебраически замкнутое поле. Теорема о существовании продолжении гомоморфизма с поля F в алгебраически замкнутое поле на его алгебраическое расширение K.

  7. Поле разложения многочленов и его существование. Теорема о единственности поля разложения.

  8. Нормальное расширение поля. Теорема о трех эквивалентных определениях нормальности расширения поля. Теорема о том, что всякое нормальное расширение поля есть поле разложения какого-то многочлена.

  9. Простые поля. Характеристика кольца и поля. Сепарабельные и несепарабельные многочлены. Теорема о необходимом и достаточном условии несепарабельности многочлена. Примеры сепарабельных и неспарабельных многочленов.

  1. Сепарабельные расширения полей. Теорема о том, что любое конечное сепарабельное расширение является простым. Теорема о сохранении сепарабельности при конечных расширениях. Теорема о количестве продолжений гомоморфизмов. Совершенные поля. Необходимое и достаточное условие совершенности полей конечной характеристики.

  2. Группы автоморфизмов полей. Группа Галуа поля. Траектория элементов поля. Теорема о траекториях. Расширение Галуа. Необходимое и достаточное условие расширения Галуа. Основная теорема теории Галуа. Группа Галуа многочлена.

  3. Применение теории Галуа для решения задачи о разрешимости в радикалах алгебраического уравнения произвольной степени. Простые радикальные расширения. Циклическое расширение. Радикальное расширение поля. Разрешимые группы. Теорема о разрешимости некоторых алгебраических уравнений в радикалах.
^

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.



1. Конструкции основных алгебраических структур на различных множествах.

  1. Кольца и подкольца. Идеалы колец их нахождение и конструкции.

Кольцевые гомоморфизмы и их свойства. Типы колец и их свойства.

  1. Свойства отношений на множествах. Фактор-множества и фактор-

структуры. Их взаимосвязь и различие. Фактор-группы и фактор-кольца.

  1. Делимость в кольце целых чисел. Свойства делимости на языке идеалов.

  2. Неприводимые многочлены над полем и их свойства. Нахождение минимальных аннуляторов чисел.

  3. Расширения полей и их свойства. Конструкции расширений и нахождение нужных расширений.

  4. Алгебраические и трансцендентные числа и расширения.

  5. Алгебраические поля и замыкания полей. Конструкция таких расширений над различными полями.

  6. Поля разложения многочленов, их нахождение и конструкция.

  7. Нормальное расширения полей. Изучение их свойств.

  8. Простые расширения. Сепарабельность многочленов и расширений.

Свойства, нахождение и конструкция таких многочленов и расширений.

  1. Конструкция группы Галуа многочленов.

  2. Разрешимые и простые группы. Изучение их свойств.

  3. Разрешимость некоторых алгебраических уравнений в радикалах.



^ ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

  1. В множестве К, состоящем из 8 элементов: 1, -l, i, j, k, -i,-j,-k, задано действие при помощи таблицы умножения:




1

-1

-i

i

-j

J

-k

K

1

1

-1

-i

i

-j

J

-k

K

-1

-1

1

i

-i

j

-j

k

-k

i

I

-i

1

-1

-k

K

j

-j

-i

-i

i

-1

1

k

-k

-j

J

j

j

-j

k

-k

1

-1

-i

i

-j

-j

j

-k

k

-1

1

i

-i

k

k

-k

-j

j

i

-i

1

-1

-k

-k

k

j

-j

-i

I

-1

1

а) Доказать, что это множество является группой. Эта группа носит название группы кватернионов.

б) Доказать, что она изоморфна Q8.

в) Определить порядки всех элементов этой группы.

г) Найти все подгруппы этой группы.


2. Шесть функций: x->x; x->1/(1-x); x->(x-1)/x; 1/x; x/(x-1); x->1-x.

из множества М всех вещественных чисел, отличных от 0 и 1 образуют группу относительно операции композиции функций fg(x)=g(f(x)). Доказать, что она изоморфна S3 (группа перестановок порядка 3).


3. Доказать, что конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля – циклическая.


4. Описать подгруппу квадратов в поле из 2n.


5. Пусть F поле из q элементов и n- некоторое натуральное число. Показать, что в F[x] существуют неприводимые многочлены степени deg=n.

^

ЗАДАНИЯ НА ЗАЧЕТ


1 семестр

ВАРИАНТ 1

  1. Доказать, что если (u,v)=1, то (u+v,u-v)=1 либо (u+v,u-v)=2.

  2. Доказать, что число иррациональное, если m не является n-ой степенью натурального числа.

  3. Доказать, что 2 делится на (1+i)2 в Z[i].

  4. Для из определим . Показать, что является единицей, тогда и только тогда, когда .

  5. Определим Zкак множество комплексных чисел вида a+b, где a,b- целые числа. Показать, что Z- евклидово кольцо.



^

ВОПРОСЫ НА ЭКЗАМЕН


(2 семестр)


  1. Алгебраическое и трансцендентное расширение поля и его свойства. Теорема об алгебраичности конечного расширения. Теорема о простом алгебраическом расширении.

  2. F-гомоморфизмы полей и их свойства. Теорема об эндоморфизме поля.

  3. Алгебраически замкнутое поля и алгебраическое замыкание поля. Теоремы о свойства алгебраического замыкания поля.

  4. Поле разложения многочленов и его существование. Теорема о единственности поля разложения.

  5. Нормальное расширение поля и свойства нормального расширения.

  6. Простые поля. Характеристика кольца и поля.

  7. Сепарабельные и несепарабельные многочлены. Теорема о необходимом и достаточном условии несепарабельности многочлена.

  8. Сепарабельные расширения полей и результаты, связанные с сепарабельностью расширения.

  9. Совершенные поля. Необходимое и достаточное условие совершенности полей конечной характеристики.

  10. Группы автоморфизмов полей. Группа Галуа поля. Траектория элементов поля. Теорема о траекториях.

  11. Расширение Галуа. Необходимое и достаточное условие расширения Галуа.

  12. Основная теорема теории Галуа.

  13. Группа Галуа многочлена.

  14. Простые радикальные расширения. Циклическое расширение.

  15. Радикальное расширение поля. Разрешимые группы.

  16. Теорема о представлении в радикалах корней многочленов, которые не имеют кратных корней.


V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА
^

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА





  1. АЙЕРЛЕНД К., РОУЗЕН М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.Мир.1987г. 416с.

  2. АТЬЯ М.,И.МАКДОНАЛЬД Введение в коммутативную алгебру. Издательство.М.Факториал.2003.

  3. ВИНОГРАДОВ И.М. Основы теории чисел. С.П.2006.

4. КОСТРИКИН А.И. Введение в алгебру (основы алгебры) М. Наука 1994г. или 1977г. 318с.;М.Физматлит.2004.

5. КОСТРИКИН А.И. Сборник задач по алгебре М. Наука 1987г.352с.

6. ЛЯПИН Е.С., АЙЗЕНШТАТ А.Я.,ЛЕСОХИН М.М. Упражнения по теории групп. М.Наука.1967г.264с.

7. ПОСТНИКОВ М.М. Теория Галуа. М.Наука.1963.220с; М.Факториал. 2003.

  1. ПРАСОЛОВ В.В. Многочлены. (Серия: Классические направления в математике. Изд.3-е.М.МЦНМО.2003.336с.

  2. ФАДДЕЕВ Д.К. Лекции по алгебре М. Наука 1984г. 416с.; С.-П.,Лань, 2005.

10. ФАДДЕЕВ Д.К.,СОМИНСКИЙ И.С. Сборник задач по высшей алгебре М. Наука 1984г. 416с.

11. ЧЕБОТАРЕВ Н.В. Основы теории Галуа.М.УРСС.2004.

12. ШНЕПЕРМАН Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в упражнениях и задачах и упражнениях. (в 2-х кн.) Минск. Вышэйшая школа.1987.


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. БУРБАКИ Н. Коммутативная алгебра. М.Мир.1971.708с.

  2. ГОЛОВИЗИН В.В. Избранные вопросы современной алгебры. Элементы теории колец. (Каф.алг.и топологии) (Метод.пособие) Ижевск.1989г. 48с.

  3. ШАФАРЕВИЧ И.Р. Основные понятия в алгебре М.ВИНИТИ. 1986. 292с.






Скачать 154,62 Kb.
оставить комментарий
Дата27.09.2011
Размер154,62 Kb.
ТипПрограмма, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх