Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной дей icon

Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной дей


Смотрите также:
Задачи физического воспитания детей в семье...
В. В. Лапаева отмечает...
Ding an sich; things in itself; chose en soi; cosa in se), философский термин, означающий вещи...
На уроках математики...
Поиски философского камня...
Инструкция по заполнению Application...
Современного Естествознания «алхимия»...
Современного Естествознания «алхимия»...
Решением дифференциального уравнения является некоторая функция...
Доклад на тему «Что такое логика и как её преподавать?»...
На уроках географии...
Конкурсы



Загрузка...
скачать
Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Умение решать уравнения различных видов – одно из основных требований, предъявляемых к выпускникам средней школы. Иррациональные уравнения встречаются достаточно часто и в вступительных работах в ВУЗы, и в текстах заданий ЕГЭ. Как показывает мой многолетний опыт работы в профильных классах в Белгородском лицее-интернате №25, для успешного выполнения заданий группы С недостаточно знать стандартные (предлагаемые в современных школьных учебниках) способы решения задач с радикалами. Поэтому в конце изучения темы «Иррациональные уравнения и неравенства», я провожу урок-семинар «Традиционные, нетрадиционные и оригинальные методы решения иррациональных уравнений и их систем». При подготовке к этому уроку учащимся предлагается дифференцированный (по трем уровням развития познавательной активности) набор задач:

1 группа

Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решить систему уравнений

5. {.

2 группа

Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решить систему уравнений

5. {.

3 группа

Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

На самом уроке мы с учащимися рассматриваем различные методы решения поставленных задач.


1метод. Метод подстановки.


№1. Решить уравнение:

.

Решение.

Введем новые переменные , , тогда ,. Почленно сложим обе части уравнения: . Получим системы уравнений:

{ { {

Так как , то и .

{ { {

Возвращаемся к замене: {

Ответ:


^ 2 метод. Метод использования области определения уравнения.


№2. Решить уравнение: .

Решение.

Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:

{ ; { .

Система решений не имеет, поэтому и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.


3 метод. Метод использования монотонности функции.


№3. Решить уравнение: .

Решение.

Рассмотрим функцию . . Эта функция монотонно возрастает, как сумма возрастающих функций. Найдем подбором корень, . В силу теоремы о корне, имеем, что он единственный.

Ответ: .


^ 4 метод. Метод мажорант.

№4. Решить уравнение: .

Решение.

Так как левая часть уравнения неотрицательна, как сумма двух неотрицательных значений, то и правая часть неотрицательна.

; .

Оценим левую часть уравнения: , , а значит,

. Оценим правую часть: . Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части равны одновременно 3. Правая часть уравнения равна 3 только при . Подставив это значение в левую часть, убеждаемся, что это и есть корень уравнения.

Ответ: .


5 метод. Метод применения неравенства Коши.


Неравенство Коши. Пусть . Тогда имеет место

,

где . Причем равенство в неравенстве Коши достигается лишь в том случае, когда .

№5. Решить уравнение:

.

Решение.

Сделаем несколько оценок с помощью неравенства Коши:

; ; ;

тогда

.

А значит равенство возможно только при ; отсюда .

Ответ: .


6 метод. Геометрический метод.


№6. Решить систему уравнений:

{.

Решение.

Нетрудно убедиться, что x и y – положительны. Поскольку ,

то и - являются длинами соответственно катетов и гипотенузы некоторого прямоугольного треугольника. Тогда из первого уравнения системы следует, что площадь этого треугольника , а периметр его из второго уравнения равен . Тогда радиус вписанной в этот треугольник окружности равен . С другой стороны, радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен . Отсюда получаем . Вычитая из второго уравнения системы полученное равенство, имеем . Подставив полученное значение, например, во второе уравнение системы и решив стандартное иррациональное уравнение, находим , .

Ответ: (10;6); (10;8).

№7. Решить систему уравнений:

{.

Решение.

Рассмотрим слагаемые второго уравнения.

.

Пусть это расстояние между точками М(x;y) и А(2;-1).

.

Пусть это расстояние между точками М(x;y) и В(10;5). Найдем расстояние между точками А и В.


АВ=,

то есть второе уравнение системы – это АМ + ВМ = АВ, , т.е. и . Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А и В.

. { {.

Имеем: или . Получим новую систему:

{ {

Ответ: (6;2).


На мой взгляд, предлагаемая система упражнений будет полезна учителю, работающему в профильных классах физико-математического направления.


Литература.

  1. Генкин Г.З. Геометрические решения алгебраических задач. «Математика в школе», № 7-2001, с. 61.

  2. Мигина А. Решение уравнений с применением оригинальных приемов. - Газета «Математика», № 37-2001, с. 26.

  3. Кушнир И.А. Уравнения. Задачи и решения. – Киев: Астапта, 1996.

  4. Кравцев С. Ю., Макаров Ю. И., Максимов М. И. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. – М.: Экзамен, 2001.

  5. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф, 2001. (Домашний репетитор.)




Скачать 47,87 Kb.
оставить комментарий
Дата26.09.2011
Размер47,87 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх