Задачи и их решение Стандартные и нестандартные задачи Задачи «на работу» Задачи «на проценты»
| скачать Муниципальная общеобразовательная средняя школа № 38 Доклад Методы решения текстовых задач Выполнила: Миленченко А. Проверил: Галак Р. Г. Содержание
Ведение Мы выбрали для изучения тему «Методы решения текстовых задач» для того, чтобы научиться анализировать их решения. В докладе рассматриваются общие методы анализа и поиска решения, а также методы решения некоторых видов нестандартных задач. Теория и приведённые в примерах задачи взяты из книг таких авторов, как Соловейчик И., Фридман Л. М., Турецкий Е. Н., Потапом М. К. и др. ^ Для начала узнаем, что такое задача:
Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: 1-й этап: анализ; 2-й этап: схематическая запись; 3-й этап: поиск способа решения; 4-й этап: осуществление решения: 5-й этап: проверка решения; 6-й этап: исследование задачи; 7-й этап: формулировка ответа; 8-й этап: анализ решения. Но чтобы решить задачу, нужно определить её вид и тип. По отношению к теории существует два вида задач: стандартные и нестандартные. По типам задачи делятся: «на пропорциональность», «на сравнение величин», «на работу», «на части и проценты» и т. д. Подробнее рассмотрим стандартные и нестандартные виды задач. ^ Как уже было сказано, по отношению к теории задачи делятся на стандартные и нестандартные. Сначала рассмотрим стандартный вид. Это задачи, для которых имеются общие правила и положения, определяющие точную программу их решения. Сам процесс решения имеет следующие особенности:
Но всё-таки, чтобы правильно решать такие задачи, в первую очередь надо определить её вид. Теперь рассмотрим нестандартные задачи. Исходя из определения стандартных задач, для них не имеется общих правил и положений. Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:
Подробнее рассмотрим три класса нестандартных задач: «на работу», «на проценты», «на смеси и сплавы». ^ Задачи «на работу» делятся на два вида: на производительность труда и на производительность различных механизмов (труб, насосов и т. д.). Такие задачи часто вычисляются по формуле: А=Pt где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени; t – время, необходимое для выполнения всей работы. Пусть Pt=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:   Решим задачу на производительность труда. Задача 1. Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время? Решение. Решим эту задачу путём составления системы уравнений. Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи (рис. 2а)  Надо найти  , то есть  Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим (рис. 2а):  Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим (рис. 2б): y=0,5z Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z (рис. 2в). В итоге получим 6. Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов. Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений и решая их методом Гаусса. Задачи «на работу сложны тем», что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна. Задача 2. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза., а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта? Решение. Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно,  - производительность первого насоса до ремонта, а  - производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение (рис.3а). - производительность первого насоса до ремонта, а  - производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнении (рис. 3б).Решив оба уравнения можно составить систему:  Умножим (1) на 0,9 и вычтем из него (2) (рис. 3в). В итоге получим y=24, x=12. Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:  По формуле  найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта:  ч.Ответ: 10 ч. Вывод: в результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле (А=Pt) и в большинстве случаев решаются путём составления систем уравнений. ^ Задачи «на проценты» - в большинстве случаев являются экономическими задачами, в которых идёт речь о вкладах в банк с тем или иным процентом. При их решении надо помнить, что процент есть сотая доля числа. Задача 1. Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е. Было подсчитано, что если бы первоначально исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у.е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет. Решение. Обозначим через x первоначальную сумму денег. Тогда через а обозначим процент, на который возрастает сумма за год в первом банке, а через b – во втором банке. К концу первого года сумму вклада в I банке стала равной  , во II банке  , а к концу второго года  и  . По условию задачи сумма вкладов в конце первого года составляет 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е., поэтому можно составить два уравнения:  Если во второй банк положить  у.е., а в первый –  у.е, то сумма вкладов к концу года составила бы: ,что равнялось бы 710 у.е. Поэтому получим третье уравнение:  Для нахождения известного х составим систему уравнений из (1) и (3) и решим её (4а). Подставляя  вместо  и  вместо  в уравнение (2), приходим к уравнению (рис. 4б), имеющему один корень: x=660, но тогда: Если исходное количество денег положить на два года, то к концу второго года величина вклада составит 726 у.е. Ответ 726 у.е. Задача 2. Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 руб. По истечении одного года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 5000 руб., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет сбербанк, если рабочий получил 1232 руб. процентных денег, оставив вклад в 10 000 руб. на новый срок? Решение. Пусть x% в год начисляет сбербанк, а y% - процент за 2 года. x+x+y - весь начисленный процент. По условию задачи 2x+y=1232 (руб.) За I и II начисленный процент равен 50000,01x=50x, а процент за оба года равен 0,01x(5000+50x). Составим уравнение: 50x+50x+0,01x(5000+50x)=1232 Решив это уравнение (рис. 5а), найдём два значения для х: х1=-308 – не удовлетворяет условию задачи, х2=8. Значит, сбербанк начисляет в год 8%. Ответ: 8% Таким образом, учитывая то, что процент – это сотая доля числа, задачи «на проценты» можно разделить на три типа (см.рис. 5б). ^ Сначала рассмотрим задачи «на смеси». Задачи «на смеси» Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты. Задача 1. Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? Решение. Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится  литров кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате получили уравнение (рис. 5в.): Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды. При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве). Задача 2. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-1 кислоты? Решение. Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г - масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение (рис. 6а): 0,5x+0,7y=0,65(x+y) Получаем соотношение 1:3. Ответ: 1:3. Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом. 2 способ Нарисуем схему (рис. 6б), по которой видно, что для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5:15=1:3. Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси». Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить с%-й раствор. Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора,  г – масса чистой кислоты в первом растворе, а  г – масса чистой кислоты во втором растворе,  г – масса чистой кислоты в смеси. ,при упрощении которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a). Такой же вывод даёт схема (рис. 7б). Но всё-таки при решении таких задач следует учитывать, что никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит. ^ В задачах «на сплавы» как и в задачах «на смеси» идёт речь о соединении различных веществ, но отличие состоит в том, что эти вещества – металлы. Решим две такие задачи. Задача 1. Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве. Решение. Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит  кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно можно составить уравнение (рис. 8): Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет  кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет  кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем: х-60+75+65=250, откуда х=170 кг Ответ: 170 кг. Задача 2. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде? Решение. Сначала составим таблицу (рис.9), в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию () руде? нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до и после удаления примесей. Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна  .Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна  .По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение (рис. 10), по которому найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде. Найдём остаток железа в руде после удаления примесей: 212,5-25=187,5 (кг) Ответ: 187,5 кг. Мы решили вторую задачу путём составления таблицы, помогающей зрительно воспринимать задачу. Вывод: задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений. Заключение В результате изученной темы было выяснено, что существует множество различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы научились правильно анализировать задачи и решать их разными методами (путём составления уравнений и систем уравнений, путём составления таблиц и т. д.) и разными способами: алгебраическим и арифметическим (старинным). Арифметические способы решения текстовых задач имеют больший развивающий потенциал, чем универсальный алгебраический способ решения. В наше время предпочтение отдаётся алгебраическому способу. Рис 1. ^ анализ ЗАДАЧИ поиск способа РЕШЕНИЯ план РЕШЕНИЯ осуществление ПЛАНА РЕШЕНИЯ ПРОВЕРКА ОТВЕТ ^ анализ РЕШЕНИЯ исследование ЗАДАЧИ           Рис 2а. Рис 2б.        Рис 2в.  Рис 3б.  , т.е.  Рис 3а.  , т.е.       Рис 4а.      Рис. 4б.      Рис 5а. 50x+50x+0,01x(5000+50x)=1232 100x+50x+0,5x2-1232=0 0,5x2+150x-1232=0 D=b2-4ac=1502-40,5(-1232)=24964, D>0, два корня.  x1=-308 – не удовлетворяет условию задачи x2=8 Рис. 5в.  D=b2-4ac=(-108)2-41620=1584, D>0, два корня.  x1=90 - не удовлетворяет условию задачи x2=18 Рис. 5б. Три типа задач «на проценты»   p% от числа а или 0,01р от а есть 0,01ра p% от числа а есть такое число b, что а=b:0,01p a составляет  Рис 6а.  Р 50 5 ис 6б.     65  70 15  Рис. 7а  Рис. 7б a b-c     c  b c-a Рис. 8  Рис. 9
Рис. 10.  Список литературы
|
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 