Выполнили: Клюстер Екатерина 11 класс Бойко Татьяна 11 класс учитель математики Василькова Надежда Максимовна icon

Выполнили: Клюстер Екатерина 11 класс Бойко Татьяна 11 класс учитель математики Василькова Надежда Максимовна



Смотрите также:
Выполнили: Клюстер Екатерина 11 класс Бойко Татьяна 11 класс учитель математики Василькова...
Название конкурса...
-
«Графики элементарных функций»...
Программа по элективному курсу «Избранные вопросы математики» 11 класс...
Конспект бинарного урока по изобразительному искусству и информатике (5 класс)...
Внеклассное мероприятие для младших школьников Тема мероприятия...
Шихарева А. И., учитель математики, лицей №15 г. Химки...
План: I. Введение. Актуальность проблемы футлярности в современной жизни. II...
Элективный курс Химия в задачах (10 класс)...
«Формирование универсальных учебных действий на уроках математики» Классен С. В....
Урок русского языка ( 2 класс ) Тема: правописание непроверяемых...



скачать


Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Нижнеиртышская средняя общеобразовательная школа»

Саргатского муниципального района

Омской области


История развития общества,становление науки.

Франсуа Виет


Выполнили: Клюстер Екатерина 11 класс

Бойко Татьяна 11 класс


Руководитель: учитель математики

Василькова Надежда Максимовна


С.Нижнеиртышское 2007

Вашему вниманию предлагается проект, который позволил создать новые, субъективно значимые знания. Основная задача этого проекта – осуществление меж предметных связей. Как известно, большинство учебных пособий, используемых для обучения предмету математики, содержат информацию, которую можно классифицировать как краткие исторические экскурсы. Этого явно недостаточно для формирования целостного представления о хронологии развития науки во взаимосвязи с историческими событиями, о роли научного вклада ученых – авторов изучаемого в школе материала. В ходе работы над проектом были интегрированы знания из различных школьных дисциплин: истории и математики. Изучение исторической эпохи средневековья, жестокости ее нравов на рубеже формирования нового научного мировоззрения в обществе позволили не просто познакомиться с содержанием теоремы Виета, изложенной в учебнике математики. Ученики имели возможность соприкоснуться с тем, как трагично складывалась судьба ученых и как значимы и триумфальны были их открытия. Воспитательное значение данной разработки в том, что учащиеся смогли увидеть, почувствовать неистребимость пытливости познания человека, границы познания бесконечны. Поэтому, если говорить о доле математики, содержащейся в проекте, то здесь значительно расширены рамки школьного учебника. Прагматическая составляющая данного направления работы в том, что учащиеся освоили методы решения задач высокого уровня сложности с применением теоремы Виета. В ходе работы над проектом учащиеся продолжили знакомство с ИКТ. На уровне данных о биографии ученых частично использовался поиск в системе Интернет, во время изготовления электронных версий проекта совершенствовались навыки в овладении редактором формул, графической интерпретацией материала. На базе данного материала, полную версию которого мы предлагаем для участия в фестивале, мы осуществим презентацию работы для участия с нею в научно практической конференции. Это позволит охарактеризовать направления данной работы в рамках отведенного времени. Естественно используем при этом слайды, тезисы, возможности проекционной аппаратуры, а значит дальнейшее освоение компьютерной техники.

Основная цель организации данной работы служит формированию творческой деятельности учащихся, развитию их интеллектуальных, волевых качеств, способствует получению качественного образования в условиях сельской школы.


Руководитель работы – Василькова Надежда Максимовна.





Содержание.



  1. Характеристика эпохи, во время которой жил и работал Ф. Виет:

  • Формирование научного мировоззрения, жизнедеятельность основоположников нового взгляда на строение солнечной системы.

  • Политическая остановка в Европе, тридцатилетняя война Франции и Испании.

  • Биография Виета.

  • Франсуа Виет – участник политической жизни общества.




  1. Научный вклад Виета в развитие астрономии, математики.

  • Решение квадратных уравнений до открытия и описания формул для нахождения корней квадратного уравнения.

  • Обобщение теоремы Виета для уравнений более высокой степени.




  1. Применение теоремы Виета в решении задач повышенного уровня сложности:

  • Моделирование решения квадратного уравнения, содержащего параметр.

  • Применение теоремы Виета для решения полиномиальных уравнений.

  • Корректность постановки задания, в котором требуется найти сумму или произведение корней уравнения.




  1. Задания для самостоятельного решения.




  1. Характеристика эпохи, во время которой жил Франсуа Виет.


Рассмотрим историю Франции XVI, чтобы понять, в какое время жил и работал французский математик Франсуа Виет. В это время огромную власть в Европе имела католическая церковь, эта власть была над душами и мыслями людей. Чтобы не допустить свободомыслия, была создана специальная организация – инквизиция. На её счету сотни тысяч сгоревших на костре, миллионы томившихся в тюрьмах, искалеченных, отверженных, лишенных имущества и доброго имени людей. Среди её жертв – участники народных еретических движений, руководители восстаний, герои патриотической борьбы, философы и естествоиспытатели, гуманисты и просветители, противники папства и феодальных порядков. Католическая церковь не терпела инакомыслия. На протяжении столетий в феодальном мире костры инквизиции пылали там, где пробивались ростки нового, передового, где торжествовал разум. Имена Жанны д,Арк и Джордано Бруно стали символами верности патриотическому долгу и научным убеждениям.

Начало деятельности инквизиции было положено папой Иннокентием ІІІ (1198-1216); она действовала почти во всех католических странах с XIII-XIX век.

Верховным главой инквизиций являлся папа римский, инквизиционный суд не подлежал контролю, следствие велось тайно, произвольно, с применением жестоких изощрённых пыток. Широко использовались доносы, лжесвидетельства, эти услуги щедро вознаграждались верующим из конфискованного имущества обвиняемого. Имена свидетелей, а это мог быть ребёнок или близкий родственник, оставались в тайне.

От суда инквизиций не спасало социальное положение, пол, возраст и даже смерть. Осуждение распространялось на родственников и потомков трёх поколений. В качестве наказаний применяли: отлучение от церкви, паломничество в святые места, публичное покаяние, бичевание, ношение порочащих знаков, тюрьма (чаще всего пожизненное заключение).

Наиболее жестокая инквизиция в течение трёх с половиной столетий свирепствовала в Испании. Торквемада (организатор и теоретик инквизиторского террора возглавлял 18 лет). «10220 жертв сжёг живыми, 9732 подвёрг позору и увольнению со службы, общий итог – 114400 навсегда погибших семейств».

Людей сжигали, колесовали, четвертовали, живьём закапывали в землю, с 1550-1600 год только в Испании было сожжено 78 учёных вместе с их трудами. Научную мысль душили изощрённо и беспощадно, но развитие науки и свободную мысль остановить нельзя. Это доказывает жизнь и судьба учёных того времени: Николая Коперника, Джордано Бруно и Галилео Галилея.


Николай Коперник (1473-1543 гг.) - великий польский астроном. Именно он совершил переворот в науке, отказавшись от принятого в течение тысячелетий учения о неподвижности Земли. Коперник получил прекрасное образование, учился в Краковском университете и университетах Италии. Изучал живопись, математику, философию, астрономию, юридические науки и т.д. Эти годы и превратили его в исследователя, стремящегося познать законы развития Вселенной.В 24 года, вернувшись на родину, он стал канонником. Теперь у него были средства к жизни и время. 30 лет наблюдал он небесными светилами с помощью простых приспособлений, сложные вычисления помогли ему сделать вывод: Земля вращается вокруг Солнца и вокруг своей оси.

Он решил оставить свои знания людям, в 1543 году книга «О вращении небесных тел» напечатана. Коперник был при смерти, когда 23 мая 1543 года друзья привезли книгу, он был без сознания. Сегодня никто не знает, где могила Николая Коперника, но его книга осталась, его учение нашло своих последователей.

Джордано Бруно (1548-1600 гг.) родился в маленьком итальянском городе Нола, в 17 лет стал послушником в монастыре доминиканцев. В монастыре была великолепная библиотека, в ней он много читал, чем больше узнавал Бруно, тем больше сомнений возникало у него в истинности религиозного учения. Особенно сильное влияние оказала на него книга Коперника. Развивая его учение, Джордано пришел к выводу, что «вселенная не имеет края, но безмерна и бесконечна». Она не имеет центра – ни Земля, ни Солнце не являются центрами мира. Вселенная – это бесчисленное множество звезд, и вокруг каждой движутся свои планеты. Вселенная существует вечно, и исчезнуть не может. В Женеве кальвинисты посадили Бруно в тюрьму, и чуть было не сожгли на костре. В Париже он был в чести и даже давал уроки королю, но и во дворце ученый отстаивал свои взгляды. Снова дорога: Англия, опять Франция, затем Германия… и всюду гонения, всюду толпы разъяренных людей. У него в голове звучала одна мысль: «вера не совместима с разумом», но он признавал необходимость религии для невежественного народа. Тоска по родине одолевает его – он возвращается в Италию. По ложному доносу его арестовывает инквизиция. В тюрьме он продолжает споры о вере и Боге, поступает новый донос – от соседей по камере. Восемь лет сидел в тюрьме великий мыслитель, и церковь мечтала склонить его к отречению, но он не отказывался от своего учения. Когда инквизиторы объявили приговор, он воскликнул: «Вы с большим страхом объявляете мне приговор, чем я выслушиваю его!»

В 1600 году на рассвете в Риме на площади цветов по приказу «отцов церкви» его сожгли на костре. Впоследствии на месте казни ему был поставлен памятник, на памятнике – слова: «Он поднял свой голос за свободу мысли для всех народов, и за эту свободу пошел на смерть».


Галилео Галилей (1564-1642 гг.) - великий ученый астроном, физик, поэт, автор комедий. Первый ученый, наблюдавший небо в телескоп. Галилео Галилей выходец из знатной, но небогатой семьи. Он учился в университетах Флоренции и Пизы. Будучи молодым, его имя стало известным. Первые наблюдения небесных светил в телескоп помогают открыть новые звезды-спутники Юпитера (первоначальное название «Звезды Медичи»). А затем он наблюдает горы на Луне, пятна на солнце и др. Все открытия, сделанные с помощью телескопа подтвердили учение Коперника и означали переворот в представлении людей о строении Вселенной. Галилей открыл не только новые миры – он сформулировал законы падения тел, движение маятника и другие законы физики. Свои наблюдения в области астрономии ученый изложил в «Звездном вестнике». Инквизиция осудила его работу. В 1616 году учения Коперника запретили официально. «Диалоги о двух системах мира» - учение о Святом писании и природе, - эта книга стала главной в его жизни. Ватикан пришел в ярость. Папа вызвал Галилео в Рим – 70-летний ученый должен предстать перед судом святой инквизиции. Допросы продолжались 5 месяцев – они склоняли его к отречению от своих взглядов. 22 июня 1633 года в одежде кающегося грешника, в церкви монастыря Святой Минервы, Галилей, опустившись на колени, прочитал отречение. 10 лет после отречения, он находился под надзором инквизиции, ему запрещено было писать книги. Позже люди сложили легенду, что после слов отречения, встав с колен, ученый воскликнул: «А все-таки она вертится!». Хотелось верить, что задушить науку нельзя.


Современником этих ученых был математик Франсуа Виет. Он жил во Франции. В это время во Франции не было сильной королевской власти. В 1562 году во Франции начинаются религиозные войны между католиками и гугенотами, которые длились более 30 лет. На стороне католиков был король, многие простолюдины не доверяли гугенотам, так как среди последних было много дворян. С 1560 по 1674 год во Франции правил король из династии Валуа – Карл IX. Он не был умен, но государственные дела его не слишком интересовали, его мать – Екатерина Медичи – властная хитрая интриганка, правила страной, когда он бал маленьким. Религиозные войны толкнули страну на путь беды. Разгорелось дикое насилие. Католики создавали братства, убивали гугенотов, не щадили никого. Имущество гугенотов сжигалось. Руководителями гугенотов были адмирал Колиньи и короли Наваррский Генрих Бурбон. Карл IX для примирения воюющих сторон решил выдать замуж за Генриха свою сестру Маргариту. Свадьбу назначили на август 1572 года. По этому случаю в Париж съехались все вожди гугенотов со своими свитами. Руководители католиков и Екатерина Медичи не хотели допустить усиления влияния гугенотов и Генриха Наваррского. Они решили уничтожить всех вождей гугенотов. Сначала было совершенно покушение на одного из вождей гугенотов адмирала Колиньи, его ранили, но он остался жив. Екатерина Медичи испугалась мести и решила нанести удар, тем более что парижское население было не ее стороне. Слабохарактерного Карла IX быстро убедили в этой необходимости. В ночь перед праздником Святого Варфоломея (24 августа) шайки убийц, сформированные парижским купеческим старшиной, организовали избиение гугенотов. Дома, где находились гугеноты пометили крестами. В аббатстве СЕН – Жермен ударил колокол – это был призыв к расправе.

Началась ночь Святого Варфоломея. Толпы «добрых» католиков направляемые герцогом Генрихом Гизом, врывались в дома гугенотов, грабили, убивали, не щадили ни детей, ни женщин. Карла IX стоя у королевского окна, стрелял в людей из аркебузы. Резня продолжалась 3 дня, бойня постепенно перешла и в провинцию. Число убитых доходит до 30000 человек. Генрих Бурбон принял католическую веру и этим сохранил жизнь. После этих событий протестантизм во Франции был запрещен.После смерти Карла IX корона перешла к младшему из братьев – Генриху. Генрих III правил страной 15 лет (1574-1589гг), но счастливым это время не назовешь. Генрих был легкомысленным, мелочным себялюбцем, склонным к излишней роскоши. В стране шла гражданская война. К этому времени гугеноты решили расколоть страну и создали армию. Их руководитель – вернувшийся в протестантство Генрих Наваррский. В тоже время лидер католиков Генрих Гиз создал Католическую лигу – массовое движение с военной дисциплиной. Власть Генриха Гиза была больше, чем власть Генриха III. Не напрасно Генриха Гиза называли «некоронованным королем Парижа». Католиков беспокоил вопрос о престолонаследии – ни один из братьев Валуа не оставил наследника мальчика, в случае смерти Генриха III трон переходил к Генриху Наваррскому. У особо фанатичных католиков созрел заговор: короля похитить и насильно постричь в монахи, а корону – Генриху Гизу. Генрих III бежал из Парижа и вызвал к себе Генриха Гиза. В декабре 1588 года Генрих Гиз неосторожно выполнив приказ короля, был убит. Приказ убийце отдал Генрих III.

Такого парижане простить Генриху III не могли. Летом 1589 года монах Жак Клеман смертельно ранил короля, после удара ножом Генрих III прожил несколько часов, но успел благословить на правление Францией Генриха Наваррского, сказав при этом, что парижане не примут гугенота. «Париж строит мессы» - сказал Генрих Наваррский. Став королем Генрихом IV (1553-1610 гг), он вторично перешел в католическую веру. 27 февраля 1594 года Генриха короновали в Шатртском соборе, 22 марта Париж открыл королю ворота. Все свои вилы Генрих IV бросил для достижения компромисса между католиками и гугенотами. Чтобы прекратить религиозные войны и добиться единства страны, король в1598 году издал Нантский эдикт – документ, регулирующий политические и религиозные права гугенотов. Генрих IV остался в памяти французов, как добрый, славный король. При нем закончилась война с Испанией, он снизил налог с крестьян, он покровительствовал развитию промышленности и торговли. Народ стал жить лучше. Во время правления Генриха IV было совершено более 20 покушений на его жизнь. В 1610году король был убит кинжалом фанатика – католика Франсуа Равальяка. После смерти Генриха IV его слава возросла, о нем слагали легенды, его прославляли и католики и гугеноты. Абсолютизм победил, король стал гарантом внутреннего мира.


Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета бал прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году, когда ему было 20 лет он начал свою карьеру в родном городе, спустя 3 года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его 12-ти летней дочери Екатерины. Именно преподавание пробудило интерес к математике. Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с семьей, и переехал с ней в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку. В 1517 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III, после его смерти и Генриха IV. В 1580 году Генрих III назначает Виета на пост рекетмейстера, это дает право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов. В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «…14 февраля 1603 года, господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер… В Париже, ему было более 60-ти лет».

Преподавая частным образом астрономию, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системе. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений. Раньше почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или выражения. Поэтому надо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получить числа того же рода, значит их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это сделал, он первый придумал обозначения для известных чисел, так называемые параметры.

Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении корней квадратного уравнения через его коэффициенты. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов квадратных дуг через sin(x) и cos(x). Эти значения тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических выражений, так и в геометрии. Через 40 лет после смерти Франсуа Виета его произведения были изданы Ф.Ван Схотеном под общим названием «Опера математика».


Будучи приближенным, к королевскому двору, Виет оказался участником исторических событий. Громкую славу он получил при Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта перепись оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. 2 недели Виет, дни и ночи просиживал за работой и все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов не секрет, его виновник расшифровки – Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, объявили Виета в заговоре с нечистыми силами, которые якобы помогали ему. Заочно Виет бал приговорен к сожжению на костре. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти ученого, вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.


  1. ^ Обобщенная теорема Виета.


На примере квадратного уравнения задолго до деятельности Виета была подмечена связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

В школе мы научились решать уравнения вида: ах2+вх+с=0 с помощью формул.

Но с чего все начиналось?

В Древнем Вавилоне грамотные люди умели решать довольно сложные уравнения, в том числе и уравнения второй степени.

Мы попробуем разобрать метод, который был изобретен ранее Виета.

Это метод геометрической алгебры, который продемонстрировал среднеазиатский математик Мохаммад ал-Хорезми.

Задача: квадрат и десять его корней равны 39. найти квадрат.

Решение: это задача приводит к уравнению: х2+10х=39

1.Строим квадраты с неизвестной стороной х и стороной 5, а на его сторонах строим прямоугольники со сторонами х и 5.

5 х









х2



25








Sкв.=25+10х+х2

10х+х2=39 → из условия, а следовательно площадь большого квадрата равна 64, значит сторона этого квадрата равна 8, а х=3 (8-5=3).

Но видим, что этот метод не годится, так как второго корня мы не можем найти, ведь сторона не может отрицательной, а, следовательно, этот метод не эффективный.

Заслуга Виета в том, что он, введя буквенные обозначения неизвестных величин, составил формулы для решения квадратных уравнений. Он же впервые описал связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.


^ Итак, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря:

х2+рх+g=0


Самым желанным было научиться решать уравнения 3 степени: ведь третья степень, куб – это объемы, их надо учиться вычислять. Решение самого простого кубического уравнения ах3 трудностей не составляет.

Попытка решить кубические уравнения путем выделения куба двучлена оказалась очень громоздкой. Она позволила решить лишь отдельные виды кубических уравнений.

И для этого использовались формулы Кордано:

х3+рх+g=0

х=

Громоздкость формулы очевидна и поэтому математики искали иные пути для решения уравнений.

Есть очень хорошее житейское правило, относящееся и к математике: если что-то не получается – остановись, подумай, вернись к началу. Этим правилом и пользовался Виет. Он продолжил наблюдение за связью корней уравнения Рn(x)=0, с его коэффициентами.

Нам не удалось получить общей формулы для нахождения корней, но, зная корни уравнения, можем записать его в таком виде:

(х-х1)·(х-х2)=0 – это для квадратного уравнения.

Быть может полезно попытаться взять отсюда что-то и для уравнения кубического х3+рх2+gx+z=0 ? Если x1;x2; x3 - корни уравнения, то уравнение запишем так:

(х-х1)·(х-х2)·(х-х3)=0, преобразуя его, мы теперь можем записать систему уравнений:



Итак: а если четвертая степень, то имеем уравнение x4+px3+gx2+s=0 Аналогично имеем:



Аналогичные наблюдения можно выполнить и для уравнения более высокой степени. Полезным для решения практических задач часто может оказаться свойство:



Если - корни данного уравнения.

Итак, теорему Виета для общего случая мы можем записать так:

Pn(x) =0, где n>2



Записано лишь условие для суммы и произведения корней, этого чаще всего бывает достаточно для решения задач.

IV^ . Практическое применение теории в решении алгебраических зада.


Естественно, что любой школьник, более менее владеющий предметом не будет решать уравнение х2-5х+6=0 по формулам. Используя теорему обратную теореме Виета, он подберет корни из условия

Но это простейший пример на использование теоремы Виета. В дальнейшей работе рассмотрим при решении, каких более сложных алгебраических задач нам может быть полезной эта теорема.

Пример1: при каких значениях т корни уравнения заключены в промежутке (-1;2)?

Решение:

  1. Пусть и - корни данного уравнения.

По условию: -1<<2 и -1<<2

  1. Введем вспомогательную функцию:

Графиком этой функции будет парабола, расположенная ветвями вверх, а так как уравнение имеет корни, значит, парабола либо пересекает ось Ох в 2 точках (рис.1) или в 1, то есть касание будет (рис.2), на чертеже это будет выглядеть так:





рис.1 рис 2.


Из чертежа видно, что Относительно параметра имеем:







Но возможен и такой случай!


Рис.3

При таком расположении параболы а - не удовлетворяют условию.

В решении могла произойти ошибка, так как мы не учитывали принадлежность вершины параболы заданному отрезку, а значит, корни могли и не попасть в этот промежуток.

Мы решили уравнения, не обращая внимания на дискриминант.

А ведь дискриминант мог не существовать, а значит, уравнение не имеет действительных корней.

Итак, дополним систему требований подмеченными наблюдениями.

(из пред. решения)

т €

Ответ остался таким же, он верный при условии, хотя не все требования, сопровождающие ход решения, учтены. Это случайное, благоприятное совпадение ответа, однако это не всегда верно. Часто это приводит к ошибкам в ответе.

На этом примере становится понятно, что наблюдение за значениями квадратичной функции на концах заданного промежутка недостаточно, необходимо еще использовать условие существования корней, принадлежности вершины данному промежутку. Эта задача была иллюстративной для того, чтобы перейти к решению квадратных уравнений с параметром, когда наложено условие на корни уравнения и применение указанного метода вместе с теоремой Виета сделает решение достаточно лаконичным и удобным.

Итак: первым этапом решения следует считать составление модели решения, в которой будут учтены все необходимые условия.

Пример2: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

  1. Существование различных корней, значит Д>0.

  2. Корни отрицательные: (очень уместно использовать теорему Виета).

, итак

Относительно параметра система неравенств выглядит так:



(1)



(а-1)2+8>0 верно при любом а


(2) 2а+4<0

а<-2


(3) -5-2а>0

а<-2,5





рис.4

Ответ: при а € (-∞; -2,5) уравнение имеет два различных отрицательных корня.

Внимание: так как используем теорему Виета исходное уравнение должно быть приведенным. В данном примере это было. В случае, когда старший коэффициент ≠ 1 или выражен через параметр, то прежде, чем составлять систему требований, следует потребовать выполнения условия, чтобы старший коэффициент не равнялся нулю и поделить не него. Случай, когда старший коэффициент выражен через параметр и равен 1, смотреть отдельно.


Рассмотрим иные ситуации, где целесообразно применение теорему Виета.


Пример3: при каких значениях параметра а корни уравнения х3+ах2+56х-64=0 составляют геометрическую прогрессию?

Решение: из условия, что корни составляют геометрическую прогрессию, зададим их так: х1; х1g; x1g2

  1. Так как уравнение кубическое, то воспользуемся обобщенной теоремой Виета, а еще учтем, что здесь геометрическая прогрессия и получаем систему требований:



(2)



x1g=4


(3) xg•(x+gx+g2x)=56



Отсюда следует, что а=-14.


Пример4: указать произведение корней уравнения х4-5х3+2х2-5х+1=0.


В данном случае целых и рациональных корней уравнение не имеет, поэтому корнями являются иррациональные или комплексные числа, но нахождение этих корней в данном случае затруднительно.

Следовало бы в постановке задания четко указать, что речь идет о произведении всех корней, в том числе и комплексных, так как теорема Виета именно так формулирует условие о произведении корней. В таком случае ответ очевиден: произведение корней равно единице.

Рассмотрим следующий пример.

Пример5: найдите произведение корней уравнения 2-5х+6)•(х2-9х+20)=8.

Решение:

  1. (х-3)•(х-2)•(х-4)•(х-5)=8

((х-3)•(х-4))•((х-2)•(х-5))=8

2-7х+12)•(х2-7х+10)=8


  1. Введем замену: х2-7х+11=t, тогда

(t+1)•(t-1)=8

t2-1=8

t=





В уравнении (2) Д<0, значит нет действительных корней.


    1. х1•х2=8

Ответ: 8

Здесь так же уместно поговорить о корректности постановки задания.

Такую постановку задания можно понимать по-разному:

  1. найти произведение всех корней, тогда достаточно отследить произведение свободного члена. В приведенном примере оно равно 120-8=112

  2. найти произведение только действительных корней, тогда будет верным приведенный ход решения этого уравнения и в ответе следует взять число 8.

Итак, замечаем, что при такой постановке задания однозначного ответа нет, а значит нужно рассматривать все случаи решения этого уравнения, либо более четко формулировать в задании, произведение каких корней следует указать.

^ Задания для самостоятельного решения:


Пример1: при каких значениях параметра а неравенство (х-2а-1)•(х-а)<0 выполняется на отрезке [1;2]?


Пример2: найти наибольшее целое отрицательное значение а, при котором неравенство а2+2а-2а•cosx>2+sin2x выполняется для любого значения х.


Пример3: сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения

равна:

а)10 б)8 в)14 г)12


Литература.


  1. Л. Ф. Пичурин. «За страницами учебника алгебры»

  2. Курош. «Курс высшей математики».

  3. К. А. Рыбников. «Возникновение и развитие математической науки».

  4. Журналы «Математика в школе».

  • № 8 за 2000 год

  • № 6 за 2000 год.

  • №2 за 2000 год.






Скачать 200,6 Kb.
оставить комментарий
Дата26.09.2011
Размер200,6 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх