Сборник задач по математике для поступающих во втузы icon

Сборник задач по математике для поступающих во втузы


12 чел. помогло.
Смотрите также:
Сборник задач по математике для поступающих во втузы : Кн для ученика и учителя / Егерев Виктор...
Литература по предметам Математика...
Программа вступительных экзаменов по математике...
Литература Математика для поступающих в вузы Ч. 1 /Рхту им. Д. И. Менделеева. М.,2005...
Сборник для поступающих в лицей Москва 20 10 Сборник практических заданий по русскому языку и...
Решение задач повышенной сложности по теме «механика»...
Сборник задач по высшей математике: Сконтрольными работами/К. Н. Лунгу,Д. Т. Письменный С. Н...
Программа элективного курса по физике в 10 классах решение задач повышенной сложности...
За курс общего среднего образования в 9 классе...
Программа вступительных испытаний по математике для поступающих в магистратуру по направлению...
Решение нестандартных задач по математике...
Пособие для поступающих Минск, 2004. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И...



страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
вернуться в начало
В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой касаются
конус и шар, равен г. Найти объем конуса, если угол между высотой
и образующей конуса равен а.

  • Найти угол в осевом сечении конуса, если сфера с центром
    в вершине конуса, касающаяся его основания, делит объем конуса
    пополам.

  • Около шара описан усеченный конус, у которого площадь
    одного основания в 4 раза больше площади другого основания. Найти
    угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

  • Объем шара равен ^ V. Найти объем его сектора, у которого
    центральный угол в осевом сечении равен а.

    Группа Б

    1. В остроугольном треугольнике ABC высота AD — a, высота
      СЕ=Ь, острый угол между AD и СЕ равен а. Найти АС.

    2. Тангенс угла при основании равнобедренного треугольника
      равен 3/4. Найти тангенс угла между медианой и биссектрисой, прове­
      денными к боковой стороне.

    3. Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее
      диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти высоту
      трапеции.

    4. Найти синус угла при вершине равнобедренного треуголь­
      ника, если известно, что медиана, проведенная к боковой стороне,
      составляет с основанием угол, синус которого равен 3/5.

    5. В равносторонний треугольник ^ ABC вписан равносторонний
      треугольник АХВХСХ\ точка Ах лежит на стороне ВС, точка Вг —на
      стороне АС и точка С, — на стороне АВ. Угол Я^С] равен а. Найти
      отношение АВ к AiBl.

    6. В треугольнике даны сторона а. противолежащий ей угол
      а и высота Л, проведенная к данной стороне. Найти сумму двух других
      сторон.

    7. В треугольнике известны площадь S, сторона а и проти­
      волежащий ей угол а. Найти сумму двух других сторон.

    8. В треугольнике ABC даны острые углы а. и у (л>у) при
      основании АС. Из вершины В проведены высота BD и медиана BE.
      Найти площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC
      равна S.

    9. В трапеции меньшее основание равно 2, прилежащие уг­
      лы — по 135°. Угол между диагоналями, обращенный к основанию,
      равен 150°. Найти площадь трапеции.

    10. Основания равнобедренной трапеции равны а и b (a>b), угол
      при большем основании равен а. Найти радиус окружности ,описанной
      около трапеции.

    11. Большее основание вписанной в круг трапеции равно диамет­
      ру круга, а угол при этом основании равен а. В каком отношении точка
      пересечения диагоналей трапеции делит ее высоту?

    12. Боковые стороны трапеции равны р и q (pбольшее ос­
      нование равно а. Углы при большем основании относятся как 2:1.
      Найти меньшее основание.

    13. Внутри данного угла а расположена точка на расстоянии а от
      вершины и на расстоянии Ь от одной из сторон. Найти расстояние этой
      точки от другой стороны.

    69

    1. В треугольнике ABC угол А равен а и сторона ВС=а. Найти
      длину биссектрисы AD, если угол между биссектрисой AD и высотой АЕ
      равен р.

    2. Основание треугольника равно а, а прилежащие к нему углы
      содержат 45 и 15°. Из вершины, противоположной основанию, проведе­
      на окружность радиусом, равным высоте, опущенной на это основание.
      Найти площадь части соответствующего круга, заключенную внутри
      треугольника.

    3. Острый угол прямоугольного треугольника равен а. Найти
      отношение радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу
      описанной окружности. При каком значении а это отношение является
      наибольшим?

    4. Через вершину угла а при основании равнобедренного тре­
      угольника проведена прямая, пересекающая противоположную боковую
      сторону и составляющая с основанием угол р. В каком отношении эта
      прямая делит площадь треугольника?

    5. В треугольнике ABC даны острые углы а и у (а > у), прилежа­
      щие к стороне АС. Из вершины В проведены медиана BD и биссектриса
      BE. Найти отношение площади треугольника BDE к площади треуголь­
      ника ABC.

    6. В треугольнике ABC проведена высота ВМ и на ней как на
      диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке К,
      а сторону ВС — в точке L. Найти отношение площади треугольника
      KLM к площади треугольника ABC, если /_А = а и LC=p.

    7. В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса
      AD острого угла А, равного а. Найти отношение радиусов окружностей,
      вписанных в треугольники
      ABD и ADC.

    8. В прямоугольном треугольнике ABC острый угол при вер­
      шине
      А равен а. Через середину D гипотенузы АВ проведена прямая,
      пересекающая катет АС в точке Е. В каком отношении эта прямая делит
      площадь треугольника ABC, если LDEA = p, АЕ>0,5АС1

    9. Равнобедренный треугольник с углом а при вершине пересе­
      чен прямой, проходящей через вершину угла при основании и состав­
      ляющей с основанием угол р. В каком отношении эта прямая делит
      площадь треугольника?

    10. В каком отношении делит высоту равнобедренного треуголь­
      ника ABC точка О, из которой все три стороны видны под одним и тем
      же углом (LAOB= LBOC= LCOA), если угол при основании треуголь­
      ника равен а (а> я/6)?

    11. В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины кото­
      рого делят окружность на три части в отношении 2: 5:17. Найти пло­
      щадь треугольника.

    12. Через вершины равностороннего треугольника ABC проведе­
      ны параллельные прямые AD, BE и CF. Прямая BE лежит между
      прямыми AD и CF и делит расстояние между ними в отношении т: п,
      считая от прямой AD. Найти угол BCF.

    . 3.156. Медиана BD треугольника ABC пересекается с биссектрисой СЕ в точке К. Найти СК.КЕ, если LA = a. и LB=p.

    1. Стороны параллелограмма относятся как p:q, а диагона­
      ли — как т: п. Найти углы параллелограмма.

    2. Отношение периметра ромба к сумме его диагоналей равно к.
      Найти углы ромба и допустимые значения А:.

    3. Высота треугольника делит угол треугольника в отношении
      2:1, а основание — на отрезки, отношение которых (большего к мень-

    70


    шему) равно к. Найти синус меньшего угла при основании и допустимые значения к.

    1. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой ка­
      сания вписанного круга на отрезки, отношение которых равно к. Найти
      углы треугольника.

    2. Найти косинус острого угла ромба, если прямая, проведенная
      через его вершину, делит угол в отношении 1:3, а противолежащую
      сторону — в отношении 3:5.

    3. В остроугольном равнобедренном треугольнике радиус впи­
      санной окружности в 4 раза меньше радиуса описанной окружности.
      Найти углы треугольника.

    4. Площадь равнобедренного тупоугольного треугольника рав­
      на 8, а медиана, проведенная к его боковой стороне, равна у 37. Найти
      косинус угла при вершине.

    5. Луч, проведенный из вершины равностороннего треугольни­
      ка, делит его основание в отношении т:п. Найти тупой угол между
      лучом и основанием.

    6. Через вершину равностороннего треугольника проведена пря­
      мая, делящая основание в отношении 2:1. Под какими углами она
      наклонена к боковым сторонам треугольника?

    7. Найти косинусы углов равнобедренного треугольника, у кото­
      рого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную
      к основанию.

    8. Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника,
      зная, что произведение тангенсов половин этих углов равно 1/6.

    9. Показать, что если в треугольнике отношение суммы синусов
      двух углов к сумме их косинусов равно синусу третьего угла, то тре­
      угольник прямоугольный.

    10. Сторона треугольника равна 15, сумма двух других сторон
      равна 27. Найти косинус угла, противолежащего данной стороне, если
      радиус вписанной в треугольник окружности равен 4.

    11. Основание треугольника равно 4, а его медиана равна

    уб—-у/2. Один из углов при основании равен 15°. Показать, что острый угол между основанием треугольника и его медианой равен 45°.

    1. Угол при вершине А трапеции ABCD равен а. Боковая сторо­
      на АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найти угол ВАС.

    2. В квадрат ABCD вписан равнобедренный треугольник AEF;
      точка Е лежит на стороне ВС, точка F— на стороне CD и AE—EF.
      Тангенс угла AEF равен 2. Найти тангенс угла FEC.

    3. Отношение площади прямоугольника ^ ABCD (BC\\AD) к квад­
      рату его диагонали равно к. Найти угол EAF, где Е uF — соответствен­
      но середины сторон ВС и CD.

    4. Отношение боковых сторон трапеции равно отношению ее
      периметра к длине вписанной окружности и равно к. Найти углы трапе­
      ции и допустимые значения к.

    5. В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой
      и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного а.

    6. Тангенс острого угла между медианами прямоугольного тре­
      угольника, проведенными к его катетам, равен А:. Найти углы треуголь­
      ника и допустимые значения к,

    7. Найти синус угла ромба, если из середины его стороны проти­
      воположная сторона видна под углом а.

    8. Сторона треугольника равна а, разность углов, прилежащих

    71

    L

    к данной стороне, равна я/2. Найти углы треугольника, если его пло­щадь равна S.

    1. Найти синус угла при вершине равнобедренного треуголь­
      ника, зная, что периметр любого вписанного в него прямоугольника, две
      вершины которого лежат на основании, имеет постоянную величину.

    2. Даны две стороны а и Ъ треугольника и биссектриса / угла
      между ними. Найти этот угол.

    3. Доказать, что если биссектриса одного из углов треугольника
      равна произведению заключающих его сторон, деленному на их сумму,
      то этот угол равен 120°.

    4. В сектор радиуса R вписана окружность радиуса г. Найти
      периметр сектора.

    5. Основание треугольника равно а, а углы при основании равны
      а и Р радианам. Из противоположной вершины треугольника радиусом,
      равным его высоте, проведена окружность. Найти длину дуги этой
      окружности, заключенной внутри треугольника.

    6. Найти отношение площади сектора с данным центральным
      углом а радианов к площади вписанного в него круга.

    7. Меньшая дуга окружности, стягиваемая хордой АВ, содержит
      а°. Через середину С хорды АВ проведена хорда DE так, что
      DC: СЕ= 1:3. Найти острый угол ACD и допустимые значения а.

    8. Периметр сектора равен /. Найти расстояние от вершины
      центрального угла сектора до центра окружности, вписанной в этот
      сектор, если радиус дуги сектора равен R.

    9. Дуга АВ сектора АОВ содержит а радианов. Через точку
      В и середину С радиуса О А проведена прямая. В каком отношении она
      делит площадь сектора?

    10. Радиус дуги сектора равен R, центральный угол АОВ равен
      а. Через середину С радиуса ОА проведена прямая, параллельная
      радиусу ОВ и пересекающая дугу АВ в точке D. Найти площадь
      треугольника OCD.

    11. Радиус дуги сектора АОВ равен R, центральный угол АОВ
      равен а. В этот сектор вписан правильный треугольник так, что одна его
      вершина совпадает с серединой дуги ^ АВ, а две другие вершины лежат
      соответственно на радиусах О А и ОВ. Найти стороны треугольника.

    12. В ромб вписана окружность. В образовавшийся криволиней­
      ный треугольник (с острым углом) снова вписана окружность. Найти ее
      радиус, если высота ромба равна Л, а острый угол равен а.

    13. Высота равнобедренного треугольника равна h и составляет
      с боковой стороной угол <х(а<7г/6). Найти расстояние между центрами
      вписанной в треугольник и описанной около него окружностей.

    14. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.
      Высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного круга на
      т. Найти радиус описаннного круга.

    15. Около круга радиуса г описана равнобедренная трапеция.
      Боковая сторона трапеции составляет с меньшим основанием угол а.
      Найти радиус круга, описанного около трапеции.

    16. В круг вписана трапеция. Большее основание трапеции«остав-
      ляет с боковой стороной угол а, а с диагональю — угол /J. Найти
      отношение площади круга к площади трапеции.

    17. В равнобедренный треугольник с основанием а и углом а при
      основании вписана окружность. Найти радиус окружности, касающейся
      вписанной окружности и боковых сторон треугольника.

    18. ^ В равнобедренном остроугольном треугольнике угол при ос-

    72 ■'

    ыовании равен а, а площадь равна S. Найти площадь треугольника, вершинами которого служат основания высот данного треугольника.

    1. Пусть а, Ь, с — длины сторон остроугольного треугольника;
      А, В, С — углы, противолежащие сторонам; Ра, Рь, Рс — расстояния
      от центра описанной окружности до соответствующих сторон. В пред­
      положении, что А<В<С, расположить Ра, Рь, Рс в возрастающем
      порядке.


    2. Известно, что в треугольнике ABC AB~a, LC-a. Найти
      радиус окружности, проведенной через вершины
      А, В а центр окружно­
      сти,
      вписанной в треугольник ABC.

    3. Пусть О А — неподвижный радиус окружности с центром
      в точке О; В середина радиуса О А; М — произвольная точка окру­
      жности. Найти наибольшее значение угла
      ОМВ.

    4. Найти боковую поверхность и объем прямого параллелепипе­
      да, если его высота равна Л, диагонали составляют с основанием углы
      а и /?, а основанием служит ромб.

    5. Найти объем правильной четырехугольной призмы, если угол
      между диагональю призмы и боковой гранью равен а, а сторона основа­
      ния равна а.

    6. Одна из сторон основания прямой треугольной призмы равна
      а, а прилежащие к ней углы равны а и р. Найти боковую поверхность
      призмы, если ее объем равен ^ V.

    7. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре­
      угольник, основание которого равно а, а угол при основании равен а.
      Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме площа­
      дей оснований.

    8. В основании прямой призмы лежит равнобедренный тре­
      угольник с боковой стороной а и углом а между боковыми сторонами.
      Диагональ боковой грани, противолежащей данному углу, составляет со
      смежной боковой гранью угол
      <р. Найти объем призмы.

    9. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна / и состав­
      ляет с двумя смежными гранями углы аи/?. Найти объем парал­
      лелепипеда.

    10. Основанием призмы служит правильный треугольник со сто­
      роной а. Боковое ребро равно Ъ и составляет с пересекающими его
      сторонами основания углы, каждый из которых равен а. Найти объем
      призмы и допустимые значения а.

    11. В правильной треугольной призме сторона основания равна а,
      угол между непересекающимися диагоналями двух боковых граней ра­
      вен а. Найти высоту призмы.


    12. В основании прямой призмы лежит треугольник. Два его угла
      равны а и Р, а площадь равна S. Прямая, проходящая через вершину
      верхнего основания и центр круга, описанного около нижнего основания,
      составляет с плоскостью основания угол <р. Найти объем призмы.

    13. В основании прямой призмы АВСАХВ^СХ (Х4,||2Ю,||СС,) ле­
      жит равнобедренный треугольник ABC с углом а между равными сторо­
      нами АВ и АС. Отрезок прямой, соединяющий вершину Л, верхнего
      основания с центром круга, описанного около нижнего основания, равен
      / и составляет с плоскостью основания угол /?. Найти объем призмы.

    14. В основании прямой призмы АВСА1В1С1 (АА^ВВ^СС^ ле­
      жит равнобедренный треугольник,
      у которого АВ=ВС=а и LABC=a.
      Высота призмы равна Н. Найти расстояние от точки А до плоскости,
      проведенной через точки В, С и. А1.

    15. Основанием прямой призмы ABCAlBlCl (ЛЛ1||2?.В,||СС,) слу-

    73

    жит равнобедренный треугольник ABC (AB=*AC), у которого периметр
    равен
    2р, а угол при вершине А равен а. Через сторону ВС и вершину А,
    проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол р.
    Найти объем призмы. • ,, .

    1. Основанием наклонной призмы служит равнобедренная тра­
      пеция, у которой боковая сторона и меньшее основание равны а, а ост­
      рый угол равен /?. Одна из вершин верхнего основания призмы равноуда­
      лена от всех вершин нижнего основания. Найти объем призмы, если
      боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а.

    2. Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 (АА1\[ВВ1 \\ССг)
      служит равнобедренный треугольник, у которого АВ=АС=а и L САВ=
      = а. Вершина В1 верхнего основания равноудалена от всех сторон ниж­
      него основания, а ребро BtB составляет с плоскостью основания угол /?.
      Найти объем призмы.

    3. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со
      сторонами а и А. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью
      основания углы а и р. Найти объем призмы, если боковое ребро равно с. •

    3.215^ Основанием прямой призмы служит треугольник со стороной а и прилежащими к ней углами аир. Через эту сторону основания под углом к нему проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро. Найти объем полученной треугольной пирамиды.

    1. Площадь боковой грани правильной двенадцатиугольной пи­
      рамиды равна S. Плоский угол при вершине равен а. Найти объем
      пирамиды.

    2. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция,
      у которой боковая сторона равна а, а острый угол равен а. Все боковые
      грани образуют с основанием пирамиды один и тот же угол р. Найти
      полную поверхность пирамиды.

    3. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция,
      у которой острый угол равен а, а площадь равна S. Все боковые грани
      составляют с плоскостью основания один и тот же угол р. Найти объем
      пирамиды.

    4. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Каждое из
      боковых ребер равно / и составляет с прилежащими сторонами основа­
      ния углы а и р. Найти объем пирамиды.

    5. В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный
      треугольник, у которого площадь равна S и угол при вершине равен ос.
      Найти объем пирамиды, если угол между каждым боковым ребром
      и высотой пирамиды равен р.

    6. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
      равна а. Угол между смежными боковыми гранями равен а. Найти
      боковую поверхность пирамиды.

    7. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
      у которого радиус вписанной окружности равен г, а острый угол равен а.
      Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания один
      и тот же угол р. Найти объем пирамиды.

    8. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
      у которого гипотенуза равна с, а меньший из острых углов равен а.
      Наибольшее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол р.
      Найти объем пирамиды, если ее высота проходит через точку пересече­
      ния медиан основания.

    9. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на
      боковое ребро опущен перпендикуляр, равный р. Найти объем пирами­
      ды, если двугранный угол между ее боковыми гранями равен а.

    10. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на





    оставить комментарий
    страница7/13
    Дата25.09.2011
    Размер2,59 Mb.
    ТипСборник задач, Образовательные материалы
  • Добавить документ в свой блог или на сайт

    страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
    плохо
      30
    не очень плохо
      4
    средне
      4
    отлично
      12
    Ваша оценка:
    Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
    rudocs.exdat.com

    База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
    При копировании материала укажите ссылку
    обратиться к администрации
    Анализ
    Справочники
    Сценарии
    Рефераты
    Курсовые работы
    Авторефераты
    Программы
    Методички
    Документы
    Понятия

    опубликовать
    Документы

    Рейтинг@Mail.ru
    наверх