Сборник задач по математике для поступающих во втузы icon

Сборник задач по математике для поступающих во втузы


12 чел. помогло.
Смотрите также:
Сборник задач по математике для поступающих во втузы : Кн для ученика и учителя / Егерев Виктор...
Литература по предметам Математика...
Программа вступительных экзаменов по математике...
Литература Математика для поступающих в вузы Ч. 1 /Рхту им. Д. И. Менделеева. М.,2005...
Сборник для поступающих в лицей Москва 20 10 Сборник практических заданий по русскому языку и...
Сборник задач по высшей математике: Сконтрольными работами/К. Н. Лунгу,Д. Т. Письменный С. Н...
Решение задач повышенной сложности по теме «механика»...
За курс общего среднего образования в 9 классе...
Программа элективного курса по физике в 10 классах решение задач повышенной сложности...
Программа вступительных испытаний по математике для поступающих в магистратуру по направлению...
Пособие для поступающих Минск, 2004. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И...
Решение нестандартных задач по математике...



страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
вернуться в начало

46 .,--

г

2.105. Ромб вращается вокруг своей большей диагонали, а затем
вокруг меньшей диагонали. Доказать, что отношение объемов получен­
ных фигур вращения равно отношению площадей их поверхностей.

Группа Б

  1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
    а, а высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей
    боковую грань, равна Ь. Определить объем пирамиды. '

  2. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды
    в 3 раза больше площади основания. Площадь круга, вписанного в ос­
    нование, численно равна радиусу этого круга. Найти объем пирамиды.

  3. Площадь того сечения правильного тетраэдра, которое имеет
    форму квадрата, равна тг. Найти поверхность тетраэдра.

  4. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник
    со стороной, равной а. Одна из боковых граней — также равносторон­
    ний треугольник и перпендикулярна плоскости основания. Определить
    полную поверхность пирамиды.

  5. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой
    плоский угол при вершине равен 90°, а расстояние между боковым
    ребром и противоположной стороной основания равно d.

  6. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью,
    перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания попо­
    лам. Определить объем отсеченной пирамиды, если сторона основания
    первоначальной пирамиды равна а, а двугранный угол при основании
    содержит 45°.

  7. Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью,
    проходящей через вершину основания и середины двух боковых ребер.
    Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания,
    если известно, что секущая плоскость перпендикулярна одной из боко­
    вых граней (указать, какой именно).

  8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
    а. Через одну из сторон основания проведена плоскость, перпендикуляр­
    ная противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отноше­
    нии т:п, считая от вершины основания. Определить полную поверх­
    ность пирамиды.

  9. Через вершину основания и середины двух боковых ребер
    правильной треугольной пирамиды проведена плоскость. Найти отно­
    шение боковой поверхности пирамиды к площади ее основания, если
    известно, что секущая плоскость перпендикулярна боковой грани.

  10. Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опу­
    щены перпендикуляры на боковое ребро и боковую грань. Длины этих
    перпендикуляров равны соответственно а и Ь. Найти объем пирамиды.
    При всяких ли а и А задача имеет решение?

  11. Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами
    нового тетраэдра. Найти отношение их поверхностей и отношение их
    объемов.

  12. В треугольной пирамиде, каждое из боковых ребер которой
    равно а, один плоский угол при вершине — прямой, а каждый из оста­
    льных равен 60°. Вычислить объем пирамиды.


  13. В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно перпен­
    дикулярны. Площади этих граней равны Р и Q, а длина их общего ребра
    равна а. Определить объем пирамиды.

L

  1. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендику­
    лярны, а площади их равны а , Ь1 и с1. Определить объем пирамиды.

  2. В треугольной пирамиде все четыре грани — равные равнобе­
    дренные треугольники с основанием
    а и боковой стороной Ь. Вычислить
    объем пирамиды. При всяких ли аи b задача имеет решение?

  3. Найти отношение объемов правильных тетраэдра и октаэдра,
    у которых полные поверхности равны.

  4. Вычислить поверхность шара, вписанного в треугольную пи­
    рамиду, все ребра которой равны а.

  5. Найти площадь поверхности шара, вписанного в пирамиду,
    в основании которой лежит треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см,
    если вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на 5 см.

  6. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со сто­
    роной основания, равной а, и плоскими углами при вершине, равными
    углам наклона боковых ребер к основанию.

  7. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол
    при боковом ребре равен 120°. Найти боковую поверхность пирамиды,
    если площадь ее диагонального сечения равна ^ S.

  8. В основании четырехугольной пирамиды лежит прямоуголь­
    ник, площадь которого равна S, боковые ребра пирамиды равны и об­
    разуют с плоскостью основания угол 45°. Угол между диагоналями
    основания равен 60°. Найти объем пирамиды.

  9. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь ко­
    торого равна 5. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основа­
    ния, а две другие наклонены к ней под углами 30 и 60°. Найти объем
    пирамиды.

  10. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями dx и d2.
    Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Пло­
    щадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ,
    равна ^ Q. Вычислить объем пирамиды при условии, что di>d2.

  11. Основанием пирамиды служит параллелограмм, смежные
    стороны которого 9 и 10 см, а одна из диагоналей 11 см. Противополож­
    ные боковые ребра равны, а длина каждого из больших ребер составляет
    10,5 см. Вычислить объем пирамиды.

  12. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого
    стороны равны 10 и 8 м, а одна из диагоналей равна 6 м. Высота
    пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и ра­
    вна 4 м. Определить полную поверхность пирамиды.

  13. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого
    стороны равны 10 и 18 см, а площадь равна 90 см2. Высота пирамиды
    проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6 см.
    Определить боковую поверхность пирамиды.

  14. Основанием пирамиды служит параллелограмм ^ ABCD, име­
    ющий площадь т2 и такой, что BD1AD; двугранные углы при ребрах
    AD и ВС равны 45°, а при ребрах АВ и CD равны 60°. Найти боковую
    поверхность и объем пирамиды.

  15. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пира­
    мида. Определить объем этой пирамиды, если радиус окружности, опи­
    санной около ее основания, равен г.

  16. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды ра­
    вна а. Вычислить объем пирамиды, если известно, что ее боковая
    поверхность в 10 раз больше площади основания.

  17. Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник со
    стороной, равной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости

48

основания и равно стороне основания. Определить полную поверхность пирамиды.

  1. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды ра­
    вна а. Все ее диагональные сечения равновелики. Найти объем и боко­
    вую поверхность пирамиды.


  2. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10 м, сторо­
    ны одного основания — 27, 29 и 52 м, а периметр другого основания
    равен 72 м. Определить объем усеченной пирамиды.


  3. Определить объем правильной треугольной усеченной пира­
    миды,
    у которой стороны оснований равны 3 и 2 м, а боковая поверх­
    ность
    равновелика сумме площадей оснований.

  4. ^ В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего
    основания проведена плоскость параллельно противоположному боко­
    вому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды,
    если соответственные стороны оснований относятся как 1:2?

  5. Определить объем правильной четырехугольной усеченной
    пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона меньшего
    основания равна Ь, а острый угол боковой грани равен 60°.

  6. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
    оснований равны а и Ь, а боковая поверхность равна половине полной
    поверхности. Найти объем пирамиды.

  7. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
    пирамиды равны 2 и 1 см, а высота 3 см. Через точку пересечения
    диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена
    плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

  8. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды ра­
    вна 3 см, объем ее 38 см3, а площади оснований относятся как 4:9.
    Определить боковую поверхность пирамиды.

  9. Основаниями усеченной пирамиды служат два правильных
    восьмиугольника. Сторона нижнего основания равна 0,4 м, а верхнего
    0,3 м; высота усеченной пирамиды равна 0,5 м. Усеченная пирамида
    достроена до полной. Определить объем полной пирамиды.

  10. Площади оснований усеченной пирамиды равны 5, и S2
    (Sj <52), а ее объем равен V. Определить объем полной пирамиды.

  11. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная
    пирамида, у которой стороны оснований относятся как т: п. Определить
    отношение объемов пирамиды и шара.

  12. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная усечен­
    ная пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через
    центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол
    60°. Определить объем пирамиды.

  13. На ребре двугранного угла 120° взят отрезок длиной с и из его
    концов проведены перпендикуляры к нему, лежащие в различных гранях
    данного двугранного угла и имеющие длины аи Ь. Найти длину отрезка
    прямой, соединяющего концы этих перпендикуляров.

  14. Найти расстояние между серединами двух скрещивающихся
    ребер куба, полная поверхность которого равна 36 см2.

  15. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а. Через
    диагональ АС его грани ABCD проведена плоскость, параллельная
    прямой BOlt где О, — центр грани A1BlC1D1. Найти площадь получен­
    ного сечения.

  16. Площадь сечения куба, представляющего собой правильный
    шестиугольник, равна Q. Найти полную поверхность куба.

  17. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что

49

четыре его вершины находятся на апофемах пирамиды и четыре — в плоскости основания. Все ребра пирамиды равны, каждое из них имеет длину а. Вычислить полную поверхность и объем куба.

  1. В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины
    находятся на ребрах октаэдра. Во сколько раз поверхность октаэдра
    больше поверхности куба?

  2. Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоскостями
    так, что от каждой грани остался правильный шестиугольник. Опреде­
    лить объем полученного многогранника.

  3. В полушар радиуса R вписан куб так, что четыре его вершины
    лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены
    на его сферической поверхности. Вычислить объем куба.

  4. Через вершины А, С и D^ прямоугольного параллелепипеда
    ABCDA-^B^C^D^ проведена плоскость, образующая с плоскостью ос­
    нования двугранный угол 60°. Стороны основания равны 4 и 3 см. Найти
    объем параллелепипеда.

  5. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны а,
    бис. Определить его полную поверхность.

  6. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелог­
    рамм, один из углов которого равен 30°. Площадь основания равна
    4 дм . Площади боковых граней параллелепипеда равны 6 и 12 дм2.
    Найти объем параллелепипеда.

  7. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелог­
    рамм с углом 120° и сторонами 3 и 4 см. Меньшая диагональ парал­
    лелепипеда равна большей диагонали основания. Найти объем парал­
    лелепипеда.

  8. Длины ребер параллелепипеда равны а, Ь и с. Ребра, длины
    которых равны а ш Ь, взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с об­
    разует с каждым из них угол 60°. Определить объем параллелепипеда.

  9. В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на
    плоскость основания равна 5 дм, а высота равна 12 дм. Сечение,
    перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью 24 дм2 и диа­
    гональю, равной 8 дм. Найти боковую поверхность и объем парал­
    лелепипеда.

  10. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD
    со стороной, равной а, и острым углом 60°. Ребро ААХ также равно
    п и образует с ребрами АВ и AD углы 45°. Определить объем парал­
    лелепипеда.

  11. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб со
    стороной а и острым углом 30°. Диагональ одной боковой грани перпен­
    дикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоско­
    стью основания угол 60°. Найти полную поверхность и объем парал­
    лелепипеда.

2Л64. Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диа­гонали основания равны а и Ь. Определить полную поверхность парал­лелепипеда.

  1. В правильной треугольной призме через сторону нижнего
    основания и противоположную вершину верхнего основания проведена
    плоскость, составляющая с плоскостью нижнего основания угол 45°.
    Площадь сечения равна S. Найти объем призмы.

  2. В правильный тетраэдр помещена правильная треугольная
    призма так, что вершины одного ее основания находятся на боковых
    ребрах тетраэдра, а другого — в плоскости его основания. Ребро тетра­
    эдра равно а. Определить объем призмы, если все ее ребра равны.

50

  1. Основанием призмы АВСАХВХСХ служит правильный тре­
    угольник ЛВС со стороной а. Вершина 4, проецируется в центр нижнего
    основания, а ребро ААХ наклонено к плоскости основания под углом 60°.
    Определить боковую поверхность призмы.

  2. Сторона основания правильной треугольной призмы меньше
    бокового ребра и равна о- Через сторону верхнего основания проведена
    плоскость, которая составляет с плоскостью основания угол 45° и делит
    призму на две части. Определить объем и полную поверхность верхней
    части призмы.

  3. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре­
    угольник, основание которого равно а, а угол при нем равен 45°.
    Определить объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме
    площадей оснований.

  4. Основанием прямой призмы служит прямоугольный тре­
    угольник с гипотенузой, равной с, и острым углом 30°. Через гипотенузу
    нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания прове­
    дена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Опреде­
    лить объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.

  5. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция
    ^ ABCD; AB=CD= 13 см, ВС= 11 см, AD = 2\ см. Площадь ее диагональ­
    ного сечения равна 180 см2. Вычислить полную поверхность призмы.

  6. Доказать, что объем прямой призмы, основанием которой
    служит трапеция, равен произведению среднего арифметического пло­
    щадей параллельных боковых граней на расстояние между ними.

  7. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2,
    площади боковых граней равны 9, 10 и 17 см2. Определить объем
    призмы.

  8. В основании наклонной призмы лежит правильный треуголь­
    ник со стороной, равной а. Одна из боковых граней призмы перпен­
    дикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, диагональ
    которого равна Ь. Найти объем призмы.

  9. Основанием наклонной призмы служит правильный треуголь­
    ник со стороной, равной а. Длина бокового ребра равна Ь, а одно из
    боковых ребер образует с прилежащими сторонами оснований углы 45°.
    Определить боковую поверхность призмы.

  10. В наклонной треугольной призме расстояния боковых ребер
    друг от друга равны а, Ь и с. Боковое ребро равно /, высота призмы Л.
    Определить полную поверхность призмы.

  11. Расстояние между любыми двумя боковыми ребрами наклон­
    ной треугольной призмы равно а. Боковое ребро равно / и наклонено
    к плоскости основания под углом 60°. Определить полную поверхность
    призмы.

  12. В основании призмы лежит трапеция. Выразить объем при­
    змы через площади S, и S2 параллельных боковых граней и расстояние
    Л между ними.

  13. Объем правильной восьмиугольной призмы равен 8 м3, а ее
    высота равна 2,2 м. Найти боковую поверхность призмы.

  14. Около шара описана правильная треугольная призма, а около
    нее описан шар. Найти отношение поверхностей этих шаров.

  15. Около шара радиуса R описана правильная шестиугольная
    призма. Определить ее полную поверхность.

  16. Конус образован вращением прямоугольного треугольника
    площадью S вокруг одного из катетов. Найти объем конуса, если длина

51

окружности, описанной при вращении этого треугольника точкой пересе­чения его медиан, равна ^ L.

  1. Треугольник со сторонами, равными a, b и с, вращается
    поочередно вокруг каждой из своих сторон. Найти отношение объемов
    полученных при этом фигур.

  2. Радиус основания конуса равен R, а боковая поверхность
    равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объем
    конуса.

  3. Радиус основания конуса равен R. Две взаимно перпендику­
    лярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса в от­
    ношении 1:2. Найти объем конуса.

  4. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает
    основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания.
    Определить отношение объемов полученных частей конуса.

  5. Полная поверхность конуса равна nS кв. ед. Развернутая на
    плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с уг­
    лом 60е. Определить объем конуса.

  6. Высота конуса равна Л. Разверткой боковой поверхности это­
    го конуса является сектор с центральным углом 120°. Вычислить объем
    конуса.

  7. Радиус основания конуса равен R, а угол развертки его боко­
    вой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.

  8. Основание пирамиды есть прямоугольный треугольник. Боко­
    вые ребра пирамиды равны, а боковые грани, проходящие через катеты,
    составляют с плоскостью основания углы 30 и 60°. Найти объем описан­
    ного около пирамиды конуса, если высота пирамиды равна Л.

  9. Угол между образующей конуса и плоскостью основания
    равен 30°. Боковая поверхность конуса равна Зя^/з кв. ед. Определить
    объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус.

  10. Определить боковую поверхность и объем усеченного конуса
    с образующей, равной /, описанного около шара радиуса г.

  11. Даны цилиндр и шар. Радиусы основания цилиндра и боль­
    шого круга шара равны. Полная поверхность цилиндра относится к по­
    верхности шара как т: п. Найти отношение их объемов.

  12. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого Л=4 см,
    помещен шар радиуса г= 3 см. В сосуд налита вода так, что ее свободная
    поверхность касается поверхности шара (шар при этом не всплывает).
    Определить толщину того слоя воды, который получится, если вынуть
    шар из сосуда.

  13. Параллелограмм, периметр которого равен ^ 2р, вращается
    вокруг оси, перпендикулярной диагонали длиной d и проходящей через
    ее конец. Найти поверхность фигуры вращения.

Группа В

  1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
    а, площадь ее сечения, имеющего форму квадрата, равна т2. Найти
    отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания.

  2. Высота правильной треугольной пирамиды равна Н. Найти ее
    полную поверхность, если плоскость, проведенная через вершину ос­
    нования пирамиды перпендикулярно апофеме противоположной боко­
    вой грани, составляет с плоскостью основания угол 30°.

  3. Через точку, делящую ребро правильного тетраэдра в от-

52

ношении 1:4, проведена плоскость, перпендикулярная этому ребру. Най­ти отношение объемов полученных частей тетраэдра.

2.199. Доказать, что если тетраэдр ортоцентрический, т. е. такой,
что прямые, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке, то:

а) каждые два его противоположных ребра взаимно перпендику­
лярны;

б) если один из плоских углов при какой-либо вершине тетраэд­
ра — прямой, то и другие два плоских угла — прямые;

в) любая его вершина проецируется в ортоцентр противоположной
грани (точку пересечения прямых, содержащих высоты грани);

г) суммы квадратов длин его противоположных ребер равны.

2.200. а) Длины ребер АВ, AC, AD и ВС ортоцентрического тетраэд­
ра равны соответственно 5, 7, 8 и 6 см. Найти длины остальных двух
ребер.

б) Является ли тетраэдр ABCD ортоцентрическим, если АВ=% см, Ж7=12см, Х)С=6см?

2.201. В ортоцентрическом тетраэдре ABCD угол ADC — прямой.

1 l l 1 Доказать, что — = — Ч—= 4—z, где А — длина высоты тетраэдра, прове-

/i2 a2 b <г денной из вершины D, a=DA, b=DB, c=DC.

2.202. В ортоцентрическом тетраэдре ABCD угол ABC — прямой;
Sx, S2, S3 — площади граней ВАС, BAD, BCD соответственно. Доказать,

1 * что объем тетраэдра равен - 1S2S3.

  1. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный пря­
    моугольный треугольник ABC, длина гипотенузы которого АВ=Щ2.
    Боковое ребро SC пирамиды перпендикулярно плоскости основания,
    а его длина равна 2. Найти величину угла и расстояние между прямыми,
    одна из которых проходит через точку S и середину ребра АС, г дру­
    гая — через точку С и середину ребра АВ.

  2. Вычислить объем треугольной пирамиды, у которой два про­
    тивоположных ребра 4 и 12 м, а каждое из остальных ребер равно 7 м.

  3. Найти объем треугольной пирамиды, стороны основания ко­
    торой равны а.Ьи с, если каждая из этих сторон равна боковому ребру,
    не пересекающемуся с ней.

  4. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую
    длину и равны а. Из трех плоских углов, образованных этими ребрами
    при вершине пирамиды, два содержат по 45°, а третий — 60°. Опреде­
    лить объем пирамиды.

  5. Длины боковых ребер треугольной пирамиды равны а, Ь и с,
    плоские углы, образованные этими ребрами,— прямые. Найти длину
    высоты, проведенной к основанию пирамиды.

  6. Через ребро правильного тетраэдра проведена плоскость, па­
    раллельная противоположному ребру. Найти отношение объема полу­
    ченного параллелепипеда к объему тетраэдра.

  7. Два правильных тетраэдра соединены двумя гранями так, что
    образуют двойную пирамиду. Центры шести боковых граней этой двой­
    ной пирамиды приняты за вершины прямой треугольной призмы. Вычи­
    слить объем этой призмы, если ребро тетраэдра равно а.

  8. Доказать, что объемы двух треугольных пирамид, имеющих
    по равному трехгранному углу, относятся как произведения длин трех
    ребер равных трехгранных углов.

  9. Основанием пирамиды ^ SABC служит треугольник ABC такой,

53

что АВ=АС= 10 м и ВС= 12 м. Грань SBC перпендикулярна основанию и SB=SC. Вычислить радиус шара, вписанного в пирамиду, если высота пирамиды равна 1,4 м.

  1. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды
    проведены перпендикуляр длиной а к боковому ребру и перпендикуляр
    длиной Ь к боковой грани. Найти объем пирамиды.

  2. Через сторону основания правильной четырехугольной пира­
    миды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани
    треугольник площадью 4 см2. Найти боковую поверхность пирамиды,
    которая отсечена этой плоскостью от данной пирамиды, если боковая
    поверхность данной пирамиды равна 25 см2.

  3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
    равна а, боковое ребро составляет со стороной угол 30е. Через вершину
    основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противо­
    лежащему боковому ребру. Эта плоскость разбивает пирамиду на две
    части. Определить объем части пирамиды, прилегающей к вершине.

  4. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пира­
    мида, основание которой делит перпендикулярный ему радиус пополам.
    Определить поверхность шара, вписанного в пирамиду.

  5. Найти объем правильной пирамиды, в основании которой
    лежит правильный пятиугольник, а боковыми гранями являются пра­
    вильные треугольники со стороной а.

  6. Два равных куба с ребром а имеют общий отрезок АВ,
    концами которого являются середины двух противоположных ребер, не
    принадлежащих одной грани. Один из кубов получен поворотом другого
    вокруг прямой АВ на 90°. Найти объем общей части этих кубов.

  7. Найти объем общей части двух кубов, если один из них
    получен поворотом на 90° другого куба вокруг оси, проходящей через
    среднюю линию одной из его граней. Ребро куба равно а.

  8. Два куба с ребром, равным а, имеют общий отрезок, соединя­
    ющий центры двух противоположных граней, но один куб повернут на
    45° по отношению к другому. Найти объем общей части этих кубов.

  9. Диагонали двух одинаковых кубов с ребром, равным а, лежат
    на одной и той же прямой. Вершина второго куба совпадает с центром
    первого и второй куб повернут вокруг диагонали на 60° по отношению
    к первому. Найти объем общей части этих кубов.

  10. Через концы трех ребер, выходящих из вершин В, D, At и С,
    куба ABCDAiBfC-Jii, ребро которого равно а, проведены плоскости.
    Доказать, что полученная фигура есть правильный тетраэдр, и вычис­
    лить его полную поверхность и объем.

  11. Через каждые три вершины куба, расположенные на концах
    каждой тройки ребер, сходящихся в одной вершине, проведена плос­
    кость. Найти объем тела, ограниченного этими плоскостями, если ребро
    куба равно а.

  12. Расстояние между непересекающимися диагоналями двух
    смежных боковых граней куба равно d. Определить полную поверхность
    куба.

  13. Ребро наклонного параллелепипеда равно /. К нему примы­
    кают две смежные грани, у которых площади равны т1 и л2, а их
    плоскости образуют угол 30°. Вычислить объем параллелепипеда.

  14. Гранями параллелепипеда служат ромбы, диагонали которых
    равны 3 и 4 см. В параллелепипеде имеются трехгранные углы, состав­
    ленные тремя острыми углами ромбов. Найти объем параллелепипеда.

  15. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами

54 .

6, 8 и 10 см. Некоторое плоское сечение этой призмы отсекает от боковых ребер, проходящих через вершины большего и среднего углов основания, отрезки, равные 12 см каждый, а от ребра, проходящего через вершину меньшего угла основания,— отрезок в 18 см. Найти объем и площадь полной поверхности фигуры, ограниченной плоскостью ос­нования призмы, плоскостями боковых граней и плоскостью сечения.

  1. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину
    а. Через ось цилиндра проведена другая цилиндрическая поверхность,
    делящая окружность основания на две дуги, длины которых относятся
    как 2:1. Эта цилиндрическая поверхность делит данный цилиндр на две
    части. Найти боковую поверхность и объем большей части цилиндра.

  2. В конус вписан шар. Доказать, что отношение полной поверх­
    ности конуса к поверхности шара равно отношению их объемов.

  3. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него
    шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких значениях
    q задача не имеет решения?

  4. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг
    своей неподвижной вершины. Высота конуса и его образующая равны
    Ли/. Вычислить площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

  5. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего ос­
    нования которого в а раз больше площади его верхнего основания. Во
    сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара?

  6. Доказать, что если в многогранник можно вписать сферу, то
    его объем равен 1/3 произведения полной поверхности многогранника на
    радиус вписанной сферы.

  7. Основание пирамиды ^ SABCD есть трапеция с параллельными
    сторонами АВ и CD. Доказать, что объем пирамиды равен 4/3 произ­
    ведения площади треугольника MSN, где MN — средняя линия трапе­
    ции, на расстояние ребра АВ от плоскости MSN.

  8. Многогранник имеет следующее строение: две его грани (ос­
    нования) представляют собой многоугольники, расположенные в парал­
    лельных плоскостях; остальные грани (боковые) — трапеции, паралле­
    лограммы или треугольники, у которых каждая вершина является одно­
    временно вершиной одного из оснований. Доказать, что объем такого

многогранника равен - H(S1 + S2 + 4S3), где Н—расстояние между

6

плоскостями оснований, S1nS2 — площади оснований, a S3 — площадь сечения, равноотстоящего от обоих оснований.

2.235. Фигура ограничена сверху и снизу двумя прямоугольниками
со сторонами, равными a, b и a,, blt a сбоку — трапециями. Стороны
прямоугольников параллельны, расстояние между параллельными плос­
костями прямоугольных оснований равно h. Найти объем фигуры.

ГЛАВА 3

^ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ

МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР

1°. Площадь параллелограмма ABCD (рис. 3.1) можно вычислить по следу-


(а) (б)
ющим формулам:

^ AC2-BD%
S tgA;


AB2-AD2

t$LAOD,

где О — точка пересечения диагоналей АС и BD.

□ Используя теорему косинусов (1.7), выразим АС2 из треугольника АСВ
и BD аз треугольника ABD, а затем вычтем из первого равенства второе. Тогда
^ AC2-BD2

получим AC3 —B£r=4ABAD cos А, откуда ABAD= . Наконец, при-

4 cos A

4 cos A меняя формулу (1.22), находим

AC2-BD2

= AB AD sin А = tgA.

4

Проведя аналогичные рассуждения по отношению к треугольникам AOD и АОВ, можно установить справедливость формулы (б). ■

2°. Пусть известны длины ^ Ь я с двух сторон треугольника ABC и угол А, образуемый ими (рис. 3.2). Тогда длина биссектрисы AD треугольника, проведен­ной из вершины этого угла, выражается формулой

D Имеем

L

2hccos(AI2)

.. Используя формулу (1.2), получаем








Рис. 3.1

Рис. 3.2

56

1 1

- lab sin(A/2) + - lac sin (A/2)

или

be sin (A/2) cos (A/2) =- la(b + c) sin (A/2).

A 2bc cos (A/2)

Так как sin — ^0, то /„= . ■

2 b+c

3°. Справедливы следующие соотношения между элементами шара и вписан­ного в него конуса:

/=2J?sina; (а)

I —LK-n, (О)

где R — радиус шара, / — длина образующей конуса, Н — его высота, х — угол между образующей и плоскостью основания.

Такие же соотношения справедливы и для вписанной в шар пирамиды, боковые ребра которой имеют длину / и составляют с плоскостью основания угол а.

□ а) Построив осевое сечение конуса, вписанного в шар (рис. 3.3), получим равнобедренный треугольник SAB, вписанный в окружность радиуса R. Центром окру­жности является точка О пересечения высоты SK и сере­динного перпендикуляра DO к стороне SB, причем SK— H, l_SOD= LSBK=a. Из ASDO находим SD = SO sina, т. е. /=2.Rsina.

б) Продолжим SK до пересечения с окружностью в точке Е и построим отрезок BE. Тогда получим прямо­угольный треугольник SBE, в котором катет SB=l есть среднее геометрическое между гипотенузой SE=^2R и про­екцией SK=H катета SB на гипотенузу SE, т. е.

Рис. 3.3

Ш

4°. Пусть А1В1 — боковое ребро пирамиды или призмы, А^О — его проек­ция на плоскость основания, л.В1Л1О«а, LOA1A2=f}, LB1AlA1=y (рис. 3.4). Тогда справедливо равенство cos у=cos a cos Д.

D Проведем высоту боковой грани — отрезок Д,С, тогда OClAtA3 (по



Ряс. 3.4

57

теореме о трех перпендикулярах) и из ^ АА^В^ получим cosy= . Так как

AB

АХ cos0 Ai

А1С"ОА1 cos/? (из Л ОСА j), то cosy= . Но =cos« (из АА^ОВ^;

AtBt A\Bi

значит, cos у=cos a cos р.Щ

5°. Пусть а — угол наклона бокового ребра правильной п-угольной пирами­ды к плоскости основания, д — угол наклона ее боковой грани к плоскости основания, — плоский угол при вершине пирамиды, ш — двугранный угол между смежными боковыми гранями (рис. 3.5). Тогда справедливы следующие соотношения:

sin(

cos st= ; (а)

sin (л/л)

. a cos (я/л)

sin—= ; (о)

2 cos(/2)

. tg(«p/2) to

coso= =cosa sin —. W

ЫФ) 2

□ а) Пусть О — центр правильного n-уголышка, служащего основанием

я(и-2)

пирамиды; А1 — угол при вершине этого л-уголышка. Тогда LAt= =

л
2я я п (п п\ п

=п , L.OAJC- . Далее имеем CM.=4,C:cos =^!C:sin-(H3

л 2 л \2 л/ л

й.ОСА%); SAi =ASC: sin - (из ДЗСЛд). Теперь из ДSOAt находим

ОАХ АХС АуС s

cosa=

:. SAt sin (я/л) sin(g>/2) sin (я/л)

б) Пусть Е — середина основания АгАп равнобедренного треугольника A2DAn. Она принадлежит также биссектрисе АХО угла при вершине А, основания пирамиды и биссектрисе DE угла A2DAn. Из прямоугольных треугольников АгЕО

со /я я\ я

и AtEA2 находим A2D=*A2E:sin — и A,A2=A2E:sin I -—- )=.4,£:cos -. Раз-

2 \2 л/ л

делив первое равенство на второе, получим A2D:A1Ai=cos(it/n):^n(co[2). Так как AAlAiD~ AAXSC, то A2D:AxA1=SC:AlS=co&(
откуда

<р cos (я/л) со cos (я/л)

cos - = или sin — = .

2 sin(
(я «\ я

-— =^jCctg- (из
2 л/ л

Д SC=AiC ctg- (из Д5С^1). Поэтому

^Cctgfr/n) tg(

cos й = = ,

H,Cctg(W2) tg(jt/n)

откуда, перемножив соотношения (а) и (б), получим

tg(^) _ ш

cose= =cosaan—.

tg(*/«) 2

58


D Рис. 3.6

Рис. 3.7

Пример 1. Угол при основании остроугольного равнобедренного треуголь­ника ABC (АВ=ВС) равен а. В каком отношении, считая от вершины А, высота BD делит высоту АЕ!

□ Согласно условию, дABC — остроугольный; значит, точка ЛГ пересечения высот лежит внутри треугольника (рис. 3.6). Пусть AD=a. Из ААЕС находим

а

АЕ=2а sin а; из t\AKD находим АК= (LAKD= LC, так как оба угла допол-

sina

а

няют угол KAD до 90°). Далее имеем КЕ=АЕ—АК=2а sina— =

sin a a(2sin2a— 1) a cos 2a

-. Окончательно получим

1

a cos 2a

cos 2a

sin a AK KE~

Пример 2. Из вершины С ромба ABCD, сторона которого равна а, проведены два отрезка СЕ и CF (рис. 3.7), делящие ромб на три равновеликие фигуры. Известно, что cos С= 1/4. Найти сумму CE+CF.

D Высоты треугольников CED и СЕВ, проведенные из вершины С, имеют равные длины и SAcED=^iicFB (по условию); поэтому DE=FB, а значит,

CE=CF и AE=AF. Проведем диагональ АС, которая делит AECF на два

1 равных треугольника. Следовательно, Saacf=~ Saecf- Так как SAecf=Sacfb

1 (по условию), то SbACF—~ S&CFB, причем треугольники AFC и FCB имеют

1 общую высоту, проведенную из вершины С. Отсюда вытекает, что AF=- FB,

2 1

т. е. FB=-а; кроме того, cos Я=cos (180°-С) = -cosC=—. Из AFCB по

3 4
теореме косинусов получим

/ 4? / 1\ 1а 4а

CF= Ia1+—-2e. I—). — =—.
V 9 \ 4/ 3 3

8a Итак, CE+CF=—. Ш

Пример 3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а один из острых углов равен а. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол /?. Найти объем пирамиды.

L_

59






О Так как все боковые ребра пирамиды ABCD (рис. 3.8) одинаково наклоне­ны к плоскости основания, то вершина D проецируется в центр окружности, описанной около треугольника ABC; для прямоугольного треугольника — в сере­дину Е гипотенузы АВ. Высота DE треугольника ADB является высотой пирами-

1 1 1

да. Далее имеем S^^bc~~ ЛС ВС=- sinacosс
sm2a, DE=BE tg/f=

2 2 4
с


=- tg/i. Окончательно получим

11 ее3

V---- с2 sin2a- tgfi=— ao2atgp. Щ
3 4 2 24

Пример 4. В конус, образующая которого наклонена к основанию под углом а, вписан шар. Радиус окружности касания сферической и конической поверх­ностей равен г. Найти длину образующей конуса.

D В осевом сечении конуса (рис. 3.9) получим равнобедренный треугольник ^ ABC, в который вписана окружность с центром О — точкой пересечения высоты BD треугольника и биссектрисы СО угла С. Из точки Б касания окружности с образующей 5С проведем KELBD. Очевидно, что КЕ=г, {_КОЕ=а{см. пример

а

ctg-
r а 2

1), OE=OD= . Из ДОХ)С находим DC=OD ctg-=r , а из ABDC нахо-

sin a 2 sin а

а

ctg-
DC 2

дамЛС= = 2г . ■

cos a sin 2л

Пример 5. Найти площадь боковой поверхности правильной четырехуголь­ной пирамиды, высота которой равна Н, а величина плоского угла при вершине

равна ц> (рис. 3.10).

D Введем вспомогательный угол Н

а= 1_&АгО. Тогда SA1= и площадь боковой

sin a

поверхности пирамиды выразится следующим образом:

1 Н2 гя^

Лбож4Ддя,м ,4^ 2 an2 a

Рис. 3.10

Используя связь между введенным углом а и известными углами q> и LOA2A3 = n/4 (см.

60

sin (
r-
формулу (а) п. 5°), получим cosa= =^/2sin(p/2). Следовательно,

sin (я/4)

sin2a=l —2sm2(fl>/2)=cos окончательно находим 56о1=2Я2 tg




оставить комментарий
страница5/13
Дата25.09.2011
Размер2.59 Mb.
ТипСборник задач, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
плохо
  30
не очень плохо
  4
средне
  4
отлично
  12
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх