Сборник задач по математике для поступающих во втузы icon

Сборник задач по математике для поступающих во втузы


12 чел. помогло.
Смотрите также:
Сборник задач по математике для поступающих во втузы : Кн для ученика и учителя / Егерев Виктор...
Литература по предметам Математика...
Программа вступительных экзаменов по математике...
Литература Математика для поступающих в вузы Ч. 1 /Рхту им. Д. И. Менделеева. М.,2005...
Сборник для поступающих в лицей Москва 20 10 Сборник практических заданий по русскому языку и...
Решение задач повышенной сложности по теме «механика»...
Сборник задач по высшей математике: Сконтрольными работами/К. Н. Лунгу,Д. Т. Письменный С. Н...
Программа элективного курса по физике в 10 классах решение задач повышенной сложности...
За курс общего среднего образования в 9 классе...
Программа вступительных испытаний по математике для поступающих в магистратуру по направлению...
Решение нестандартных задач по математике...
Пособие для поступающих Минск, 2004. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И...



страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
вернуться в начало
В правильный треугольник вписан квадрат, сторона которого
равна т. Найти сторону треугольника.

  • Найти площадь квадрата, вписанного в правильный треуголь­
    ник со стороной а.

  • Сторона правильного треугольника, вписанного в окру­
    жность, равна а. Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту же
    окружность.

  • На сторонах квадрата вне его построены правильные тре­
    угольники, и их вершины последовательно соединены. Определить от­
    ношение периметра полученного четырехугольника к периметру данного
    квадрата.

  • В квадрате, сторона которого а, середины двух смежных
    сторон соединены между собой и с противоположной вершиной квад­
    рата. Найти площадь полученного треугольника.

  • В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной
    площади, одна сторона которого лежит на основании треугольника.
    Найти площадь треугольника, если известно, что центры масс треуголь­
    ника и квадрата совпадают (центр масс треугольника лежит на пересече­
    нии его медиан).


  • Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади
    квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины
    боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см.
    Найти длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию.

  • Найти площадь правильного треугольника, вписанного в ква­
    драт со стороной а при условии, что одна из вершин треугольника
    совпадает с вершиной квадрата.

  • На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника
    с гипотенузой с вне этого треугольника построены квадраты. Центры

    ^ 16

    этих квадратов соединены между собой. Найти площадь полученного треугольника.

    1. В квадрате со стороной а середины двух смежных сторон
      соединены между собой и с противоположной вершиной квадрата. Опре­
      делить площадь внутреннего треугольника.

    2. ^ В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на
      сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата
      углы в 60°. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь
      вписанного?

    3. Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности
      радиуса ^ R, две другие — на касательной к этой окружности. Найти
      длину диагонали квадрата.

    4. Около квадрата со стороной а описана окружность. В один из
      образовавшихся сегментов вписан квадрат. Определить площадь этого
      квадрата.

    5. В сегмент, дуга которого равна 60°, вписан квадрат. Вычис­
      лить площадь квадрата, если радиус круга равен 2^3 + ^17.

    6. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сег­
      мент, площадь которого равна (2я—4) см2. Найти площадь квадрата.

    7. Площадь прямоугольника равна 9 см2, а величина одного из
      углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найти стороны прямо­
      угольника.

    8. В круг радиуса R вписан прямоугольник, площадь которого
      вдвое меньше площади круга. Определить стороны прямоугольника.

    9. В прямоугольнике проведены биссектрисы двух углов, приле­
      жащих к большей стороне. Определить, на какие части делится площадь
      прямоугольника этими биссектрисами, если стороны прямоугольника
      равны 2 и 4 м.

    10. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со
      стороной, равной 6 см, так, что угол в 60° у них общий и все вершины
      ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.

    11. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий,
      а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении
      2:3. Диагонали ромба равны тип. Найти стороны треугольника,
      содержащие стороны ромба.

    12. Сумма длин диагоналей ромба равна т, а его площадь равна
      S. Найти сторону ромба.

    13. В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого
      равна
      Q. Найти площадь ромба.

    14. Периметр ромба равен 2 м, длины его диагоналей относятся
      как 3:4. Найти площадь ромба.

    15. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна S,
      а длины диагоналей относятся как т: п.

    16. Периметр ромба равен 2р; длины диагоналей относятся как
      т: л. Вычислить площадь ромба.

    17. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15
      см. Найти площадь ромба.

    18. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит
      его сторону на отрезки длиной т и п (т считать от вершины острого
      угла). Определить диагонали ромба. ,

    19. Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали, равнове­
      лик кругу радиуса R. Определить сторону ромба. ,*<

    20. В ромб с острым углом 30° вписан круг, а в круг — квадрат.4"
      Найти отношение площади ромба к площади квадрата.

    17 ♦'"

    1. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями
      12 и б см. Найти радиус окружностей.

    2. В ромб, который делится своей диагональю на два равносто­
      ронних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найти сторону
      ромба.

    3. Доказать, что если в четырехугольнике диагонали лежат на
      биссектрисах его углов, то такой четырехугольник есть ромб.

    4. На сторонах ромба как на диаметрах описаны полуокруж­
      ности, обращенные внутрь ромба. Определить площадь полученной
      розетки, если диагонали ромба равны а и Ь.

    5. Периметр параллелограмма равен 90 см, а острый угол содер­
      жит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части
      в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.

    6. Величина одного из углов параллелограмма равна 60°,
      а меньшая диагональ 2л/3 1 см. Длина перпендикуляра, проведенного из
      точки пересечения диагоналей к большей стороне, равна \J15I2 см.
      Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.

    7. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма
      к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15 см.
      Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см. Найти длины сто­
      рон параллелограмма и его диагоналей.

    8. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагона­
      ли. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна
      8 см. Найти длины сторон параллелограмма.

    9. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины
      В тупого угла на сторону DA, делит ее в отношении 5:3, считая от
      вершины D. Найти отношение AC.BD, если AD:AB=2.

    1.1.40. Через точки R в Е, принадлежащие сторонам АВ и AD

    2 1

    параллелограмма ABCD и такие, что AR = - АВ, АЕ=- AD, проведена

    прямая. Найти отношение площади параллелограмма к площади полу­ченного треугольника.

    1. Доказать, что в параллелограмме ^ ABCD расстояния от любой
      точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны
      длинам этил сторон.

    2. Доказать, что если через вершины четырехугольника провести
      прямые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма,
      определяемого этими прямыми, в 2 раза больше площади данного
      четырехугольника.

    3. Две окружности радиуса R с центрами Ог и О2 касаются друг
      друга. Их пересекает прямая в точках A, B.CvlD так, что АВ=ВС- CD.
      Найти площадь четырехугольника ОхАВОг.

    4. В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см
      s-аеателыше к ним взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь фи-
      туры О1АВОг, где АВ — общая касательная к окружностям, а О,
      ж О2 — их центры.

    5. Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину
      ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами
      диагоналей трапеции равно 4 см.

    6. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие
      боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти
      длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна
      10 см, а одно из оснований 8 см.

    1.147. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны кото­рой содержат 16 и 44 см, а непараллельные — 17 и 25 см.

    1. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4 см,
      а длины непараллельных сторон — 20 и 13 см. Найти высоту трапеции.

    2. Основания трапеции равны аи Ь, углы при большем основа­
      нии равны я/6 и я/4. Найти площадь трапеции.

    3. Вычислить площадь трапеции ^ ABCD (AD\\BC), если длины ее
      оснований относятся как 5:3 и площадь треугольника ADM равна 50
      см2, где М — точка пересечения прямых АВ и CD.

    4. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной
      14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если
      известно, что в трапецию можно вписать окружность.

    5. В трапеции, площадь которой равна 594 м2, высота 22 м,
      а разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из
      параллельных сторон.

    6. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины
      одной из непараллельных сторон и длины перпендикуляра, проведен­
      ного через середину другой боковой стороны к первой.

    7. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Най­
      ти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторо­
      нам трапеции.

    8. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона
      равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 2 см,
      а боковая сторона
      4 см.

    9. Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый
      угол равен 60°, меньшее основание равно а, а большая боковая сторона
      равна Ъ.

    10. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной тра­
      пеции, пересекаются под прямым углом. Найти длины сторон трапеции,
      если ее площадь равна 12 см2, а длина высоты равна 2 см. ,

    11. Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если
      ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см2.

    12. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол
      пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42
      см. Найти площадь трапеции.

    13. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см,
      а другое 24 см. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее
      площадь.

    14. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5,
      а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

    15. Большее основание'трапеции в 2 раза больше ее меньшего
      основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, па­
      раллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полу­
      ченных трапеций к высоте трапеции.

    16. Основания равнобедренной трапеции aub, боковая сторона ее
      равна с, а диагональ равна d. Доказать, что dl = ab + c1.

    17. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапе­
      ции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной
      окружности лежит на большем основании трапеции.

    18. В равнобедренной трапеции даны основания а=21 см, Ь = 9 см
      и высота h = 9 см. Найти радиус описанного круга.

    19. В окружность радиуса ^ R вписана трапеция, у которой нижнее
      основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь
      трапеции. i

    i 19;

    1. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как
      5:12, а длина ее высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности,
      описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна
      высоте.

    2. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота
      равна Л, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под
      углом 60е.

    3. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедрен­
      ная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания
      трапеции.

    4. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
      равна S, а высота трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны.
      Определить радиус вписанного круга.

    5. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
      равна 32л/3 см2. Определить боковую сторону трапеции, если известно,
      что острый угол при основании равен я/3.

    6. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
      равна 8 см2. Определить стороны трапеции, если угол при основании
      содержит 30°.

    7. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
      равна S. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что
      острый угол при основании равен я/6.

    8. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
      равна S. Определить радиус круга, если угол при основании трапеции
      равен 30°.

    9. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R.
      Верхнее основание трапеции в 2 раза меньше ее высоты. Найти площадь
      трапеции.

    10. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапе­
      цию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании
      равен 120°.

    11. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых
      сторон делится точкой касания на отрезки длиной тип. Определить
      площадь трапеции.

    12. В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что от­
      ношение площади круга ж площади трапеции равно отношению длины
      окружности к периметру трапеции.

    13. Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух тра­
      пеций, имеющих общее основание CF. Известно, что АС= 13 см, АЕ= 10
      см. Найти площадь шестиугольника.

    14. Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого
      равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что
      центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

    15. Вычислить отношение площадей квадрата, правильного тре­
      угольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же
      окружность.

    16. Найти отношение площадей равностороннего треугольника,
      квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны.

    17. В правильный треугольник со стороной, равной а, вписана
      окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти пло­
      щадь шестиугольника.

    18. Около квадрата, сторона которого равна а, описана окру­
      жность, а около окружности — правильный шестиугольник. Определить
      площадь шестиугольника.

    20

    , 1.185. Из точки М, находящейся на расстоянии а от окружности, приведена к этой окружности касательная длиной 2а. Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

    1. В правильный треугольник вписана окружность, а в нее —
      правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника
      и шестиугольника.

    2. На сторонах равностороннего треугольника вне его постро­
      ены квадраты. Их вершины, лежащие вне треугольника, последователь­
      но соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если
      сторона данного треугольника равна а.

    3. В правильный шестиугольник, сторона которого равна а,
      вписана окружность, и около него же описана окружность. Определить
      площадь кругового кольца, заключенного между этими окружностями.

    4. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что
      образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого
      восьмиугольника.

    5. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой
      внутри правильного шестиугольника, до всех прямых, содержащих его
      стороны, есть величина постоянная.

    Группа Б

    1. Внутри прямого угла дана точка ^ М, расстояния от которой до
      сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М,
      отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти катеты
      треугольника.

    2. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь­
      ника, делит его на два треугольника с площадями Q и q. Найти катеты.

    3. Периметр прямоугольного треугольника ABC (Z.C=90°) ра­
      вен 72 см, а разность между длинами медианы СМ и высоты СК равна
      7 см. Найти длину гипотенузы.

    1Л94. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны -У52

    и s/73. Найти гипотенузу треугольника.

    1. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти
      его стороны, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см.

    2. Найти биссектрису прямого угла треугольника, у которого
      катеты равны аи Ь.

    3. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипо­
      тенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого
      катета до гипотенузы равно 4 см. Вычислить площадь треугольника.

    4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Проекция
      вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из
      которых меньший относится к большему как больший ко всей гипо­
      тенузе. Определить площадь треугольника.

    5. Определить стороны прямоугольного треугольника, у которо­
      го периметр равен ^ 2р, а площадь равна т2.

    6. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Определить площа­
      ди треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой
      и медианой, проведенными к большей по величине стороне.

    7. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Доказать, что
      треугольник прямо угольный^

    8. Числа hlt й2 и h3 выражают длины высот некоторого тре­
      угольника. Показать, что если выполняется равенство (hl/h1)1 +
      + (h1/h3)2= 1, то треугольник является прямоугольным.

    9. Медианы треугольника равны 5, y/S2 и -^73 см. Доказать, что
      треугольник прямоугольный.

    10. Числа т1, т2 и т3 выражают длины медиан некоторого
      треугольника. Показать, что если выполняется равенство т[+т\ = 5т%,
      то треугольник является прямоугольным.

    11. Площадь равностороннего треугольника, построенного на ги­
      потенузе, вдвое больше площади прямоугольного треугольника с ука­
      занной гипотенузой. Найти отношение катетов.

    12. Внутри равностороннего треугольника взята точка ^ М, отсто­
      ящая от его сторон на расстояния Ь, с, d. Найти высоту треугольника.

    13. Точка М лежит внутри равностороннего треугольника ABC.
      Вычислить площадь этого треугольника, если известно, что АМ—ВМ=2
      см, а СМ= 1 см.

    14. Показать, что сумма расстояний от любой точки, взятой на
      стороне правильного треугольника, до двух других его сторон есть
      величина постоянная.

    15. Основания двух правильных треугольников со сторонами
      а и лежат на одной и той же прямой. Треугольники расположены по
      разные стороны от прямой и не имеют общих точек, а расстояние между
      ближайшими концами их оснований равно ^ 2а. Найти расстояние между
      вершинами треугольников, не принадлежащими данной прямой.

    16. Точка С перемещается по отрезку АВ длиной /. На отрезках
      АС и СВ как на основаниях построены правильные треугольники по
      одну сторону от АВ. Где нужно взять точку С, чтобы расстояние между
      вершинами треугольников было наименьшим?

    17. В равнобедренном треугольнике угол при основании содер­
      жит 72°, а биссектриса этого угла имеет длину, равную т. Найти длины
      сторон треугольника.

    18. В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит
      36°, а биссектриса угла при основании равна л/20. Найти длины сторон
      треугольника.

    19. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной
      Ь, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между
      точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен т. Опре­
      делить основание треугольника.

    20. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см,
      а боковой стороны — 18 см. К боковым сторонам треугольника прове­
      дены высоты. Вычислить длину отрезка, концы которого совпадают
      с основаниями высот.

    21. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая
      сторона — 12. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения
      биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

    22. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) на стороне
      ВС взята точка D так, что BD: DC= 1:4. В каком отношении прямая AD
      делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины ВЧ

    23. Равнобедренный треугольник со сторонами 8, 5 и 5 разделен
      на три равновеликие части перпендикулярами, проведенными из некото­
      рой точки к его сторонам. Найти расстояние от этой точки до каждой
      стороны треугольника.

    24. Определить углы равнобедренного треугольника, если его
      площадь относится к площади квадрата, построенного на его основании,

    какл/3:12.

    1.219. Найти третью сторону остроугольного треугольника, если две

    22

    его стороны равны а и Ь, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом.

    1.220. Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, прове-
    ;: денные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти третью

    сторону треугольника.

    1. Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника
      равны соответственно 24, 20 и 56 см. Найти боковые стороны.

    2. Дан треугольник ABC, в котором 2hc=AB и LA = 75°. Найти

    величину угла С.

    1.223. Внутри угла в 60° расположена точка, отстоящая на расстоя­
    ния >/7 и 2^/7 см от сторон угла. Найти расстояние от этой точки до
    сторон угла.

    L224. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны л/13 и >/10 см. Найти длину третьей стороны, зная, что эта сторона равна проведенной к ней высоте.

    1. Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника ABC,
      до его сторон АС и ВС равны соответственно 2 и 4 см. Вычислить
      расстояние от точки М до прямой АВ, если АВ= 10 см, ВС= 17 см,
      АС=2\ см.

    2. Найти отношение суммы квадратов всех медиан треугольника
      к сумме квадратов всех его сторон.

    3. Найти площадь треугольника, если его высоты равны 12, 15
      и 20 см.

    4. В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная
      основанию АС. Площадь треугольника ABC равна 8 кв. ед., а площадь
      треугольника DEC равна 2 кв. ед. Найти отношение отрезка DE к длине
      основания треугольника ^ ABC.

    5. Длины сторон треугольника относятся как т:п:т. Найти
      отношение площади этого треугольника к площади треугольника, вер­
      шины которого находятся в точках пересечения биссектрис данного
      треугольника с его сторонами.

    6. В треугольнике ^ ABC проведены медианы BD и СЕ; М — точ­
      ка ах пересечения. Доказать, что треугольник ВСМ равновелик четырех­
      угольнику ADME.

    7. Отношение величин двух углов треугольника равно 2, а раз­
      ность длин противоположных им сторон равна 2 см; длина третьей
      стороны треугольника равна 5 см. Вычислить площадь треугольника.

    8. В треугольнике ABC известны: ВС= 15 см, АС— 14 см, АВ—13
      см. Вычислить площадь треугольника, заключенного между высотой
      и биссектрисой, проведенными из вершины В.

    9. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Определить
      площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник
      его медианами.

    10. Медианы одного треугольника равны сторонам другого тре­
      угольника. Найти отношение площадей этих треугольников.

    11. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найти площадь
      треугольника.

    12. Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сто­
      рон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника.

    13. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5 м. Найти площадь
      треугольника.

    14. Определить площадь треугольника, если две, его стороны
      равны 1 и \j\S см, а медиана третьей стороны равна 2 см.

    23

    1. Определить площадь треугольника, если две его стороны
      равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

    2. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC одинаково накло­
      нены к сторонам ВС и АС. Найти зависимость между углами А и В.

    3. На медиане ^ BD треугольника ABC, площадь которого равна

    S, построена точка Е так, что DE=- BD. Через точку Е проведена

    4

    прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Найти площадь тре­угольника AFC.

    1. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая меди­
      ану в отношении 1:3, считая от вершины. Во сколько раз площадь
      треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного
      треугольника?

    2. Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы
      относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6-^3.
      Определить периметр фигуры, образованной внешними касательными
      и внешними частями окружностей.

    3. Две окружности, радиусы которых 4 и 8, пересекаются под
      прямым углом. Определить длину их общей касательной.

    4. Две окружности разных радиусов касаются друг друга внеш­
      ним образом. Найти угол, определяемый хордами, соединяющими точку
      касания окружностей с точками касания их общей внешней касательной.

    5. К двум внешне касающимся окружностям радиусов Лиг по­
      строена секущая так, что окружности отсекают на ней три равных
      отрезка. Найти длины этих отрезков.

    6. Две окружности радиусов г и Ъг внешне касаются. Найти
      площадь фигуры, заключенной между окружностями и их общей вне­
      шней касательной.

    7. Две окружности радиусов Ri&r касаются друг друга внешним
      образом. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная,
      и в образовавшийся при этом треугольник вписан круг. Найти его
      площадь.

    8. В окружности с центром О проведена хорда АВ, пересека­
      ющая диаметр в точке М и составляющая с диаметром угол, равный 60°.
      Найти ОМ, если АМ= 10 см, а ВМ=4 см.

    9. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной
      9 и 17 см. Найти радиус окружности, если расстояние между серединами
      данных хорд равно 5 см.

    10. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 10
      и 12 см. Найти радиус окружности, если расстояние от середины мень­
      шей хорды до большей хорды равно 4 см.

    11. В окружности радиуса R проведены две пересекающиеся пер­
      пендикулярные хорды АВ и CD. Доказать, что AC1 + BD2=4Ri.

    12. Через точку А окружности радиуса 10 см проведены две
      взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Вычислить радиус окру­
      жности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если
      Л.В=16см.

    13. Через точку ^ Р диаметра данной окружности проведена хорда
      АВ, образующая с диаметром угол 60°. Вычислить радиус окружности,
      если АР=а и ВР=Ь.

    14. В круге радиуса R проведены по разные стороны от центра
      две параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в (Ю°, дру­
      гая — 120°. Найти площадь части круга, заключенной между хордами.

    24

    1. Периметр сектора равен 28 см, а его площадь равна 49 см1.
      Определить длину дуги сектора.

    2. Найти радиус круга, в сегмент которого, соответствующий
      хорде длиной 6 см, вписан квадрат со стороной 2 см.

    3. Определить площадь сегмента, если его периметр равен р,
      а дуга содержит 120°.

    4. Два круга концентричны, причем окружность меньшего круга
      делит большой круг на равновеликие части. Доказать, что часть кольца,
      заключенная между параллельными касательными к окружности мень­
      шего радиуса, равновелика квадрату, вписанному в меньший круг.

    5. В угол вписаны три окружности — малая, средняя и большая.
      Большая окружность проходит через центр средней, а средняя — через
      центр малой. Определить радиусы средней и большой окружностей, если
      радиус меньшей равен г и расстояние от ее центра до вершины угла
      равно а.

    6. В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что
      каждая последующая окружность (начиная со второй) касается пред­
      ыдущей. Во сколько раз сумма площадей всех пяти кругов больше
      площади меньшего круга?

    7. На отрезке ^ АС длиной 12 см построена точка В так, что АВ=А
      см. На отрезках АВ и АС как на диаметрах в одной полуплоскости
      с границей АС построены полуокружности. Вычислить радиус окружно­
      сти, касающейся построенных окружностей и АС.

    8. На отрезке АВ и на каждой его половине построены как на
      диаметрах полукруги (по одну сторону от ^ АВ). Считая радиус большого
      полукруга равным R, найти сумму площадей криволинейных треуголь­
      ников, образовавшихся при построении круга, касательного ко всем
      трем данным кругам.

    9. На отрезке ^ АВ взята точка С и на частях АС и СВ отрезка АВ
      как на диаметрах построены полуокружности. Доказать, что сумма длин
      этих полуокружностей на зависит от положения точки С на отрезке АВ.

    10. Криволинейный треугольник составлен тремя равными попа­
      рно касающимися дугами окружностей радиуса ^ R. Найти площадь этого
      треугольника.

    11. Круг с центром О разделен диаметром АВ на два полукруга.
      В одном из них построены два новых полукруга, опирающиеся на О А
      и ОВ как на диаметры. В криволинейную фигуру, ограниченную кон­
      турами этих трех полукругов, вписан круг. Во сколько раз его площадь
      меньше площади данного круга?

    12. Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая
      проходит через центр другой. Две другие окружности того же радиуса
      имеют центры в точках пересечения первых двух окружностей. Найти
      площадь, общую всем четырем кругам.

    13. Окружность радиуса R разделена на шесть равных дуг, и внут­
      ри круга, ограниченного этой окружностью, через каждые две соседние
      точки деления проведены равные дуги такого радиуса, что на данной
      окружности они взаимно касаются. Вычислить площадь внутренней
      части данного круга, заключенной между проведенными дугами.

    14. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипо­
      тенузе, равна А; радиус вписанной окружности равен г. Найти гипо­
      тенузу.

    15. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка
      касания делит гипотенузу в отношении 2:3. Найти стороны треуголь-

    25



    ника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого
    1 угла на расстояние >/8 см.

    I 1.271. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а гипо-

    тенуза равна 10 см. Найти радиус вписанной окружности.

    1. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны ра­
      диусы R и г описанного и вписанного в него кругов.

    2. Найти площадь круга, описанного около прямоугольного тре­
      угольника, длины катетов которого являются корнями уравнения




    1. Длины катетов некоторого прямоугольного треугольника яв­
      ляются корнями уравнения ax2 + bx + c—0. НаГнт- радиус окружности,
      вписанной в этот треугольник

    2. На большом катете прямоугольного треугольника как на
      диаметре построена окружность. Определить радиус jtoh окружности,
      если меньший катет треугольника равен 7,5 см, а длина хорды, соединя­
      ющей вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и окру­
      жности, равна 5 см. >,

    3. Центр полуокружности, вписанной в прямоугольный 'тре­
      угольник так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, делит гипотенузу на
      отрезки 30 и 40. Найти длину дуги полуокружности, заключенной между
      точками ее касания с катетами.

    4. Прямоугольный треугольник ^ ABC разделен высотой CD, про­
      веденной к гипотенузе, на два треугольника BCD и ACD. Радиусы
      окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, равны соответст­
      венно 4 и 3 см. Найти расстояние между их центрами.

    5. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Через
      середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность,
      касающаяся гипотенузы. Найти площадь круга, ограниченного этой
      окружностью.

    6. В прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 см
      вписана окружность. Через центр окружности проведены прямые, парал­
      лельные сторонам треугольника. Вычислить длины средних отрезков
      сторон треугольника, отсекаемых построенными прямыми.

    7. Показать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма
      полупериметра и радиуса вписанной окружности равна сумме катетов.

    8. Показать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма
      диаметров описанной и вписанной окружностей равна сумме его ка­
      тетов.

    9. Сторона правильного треугольника равна а. Определить пло­
      щадь части треугольника, лежащей вне круга радиуса а/3, центр которо­
      го совпадает с центром треугольника.

    10. В круг радиуса R вписан правильный треугольник, высоты
      которого продолжены до пересечения с окружностью. Эти точки пересе­
      чения соединены между собой, в результате чего получается новый
      треугольник. Вычислить ту часть площади круга, которая находится вне
      этих треугольников.

    11. В равносторонний треугольник ^ ABC со стороной а=2 см
      вписан круг; точка А является центром второго круга с радиусом 1 см.
      Найти площадь пересечения этих кругов.

    12. Внутри правильного треугольника со стороной а расположе­
      ны три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон
      треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части тре­
      угольника, расположенной вне этих окружностей.

    13. Центр равностороннего треугольника со стороной, равной

    26

    6 см, совпадает с центром окружности радиуса 2 см. Определить пло­щадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.

    1. Около круга радиуса R описаны квадрат и равносторонний
      треугольник, причем одна из сторон квадрата лежит на стороне тре­
      угольника. Вычислить площадь общей части треугольника и квадрата.

    2. Около круга радиуса 3 описан равнобедренный треугольник
      с острым углом 30° при основании. Определить стороны треугольника.

    3. Окружности радиусов R и г касаются друг друга внешним
      образом. Боковые стороны равнобедренного треугольника являются их
      общими касательными, а основание касается большей из окружностей.
      Найти основание треугольника.

    4. Какими целыми числами выражаются стороны равнобедрен­
      ного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3/2 см,
      а описанной 25/8 см?

    5. Один конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной
      угла при основании равнобедренного треугольника, а другой принад­
      лежит этому основанию. Найти радиус полуокружности, если она каса­
      ется одной боковой стороны и делит другую на отрезки длиной 5 и 4 см,
      считая от основания.

    6. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным а,
      и боковой стороной, равной Ь. Доказать, что центр вписанной окружно­
      сти делит биссектрису угла при основании в отношении +b): Ъ, считая
      от вершины угла.

    7. В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Вычислить
      длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой касания
      на отрезки длиной 4 и 3 см.

    8. Дан треугольник ABC такой, что АВ= 15 см, ВС=\2 см
      и АС=1% см. В каком отношении центр вписанной в треугольник
      окружности делит биссектрису угла С?

    9. Стороны треугольника относятся как 5:4:3. Найти отноше­
      ние отрезков сторон, на которые они делятся точкой касания вписанной
      окружности.

    10. Сторона треугольника равна 48 см, а высота, проведенная
      к этой стороне, равна 8,5 см. Найти расстояние от центра окружности,
      вписанной в треугольник, до вершины, противолежащей данной стороне,
      если радиус вписанной окружности равен 4 см.

    11. В треугольник вписан круг. Прямые, соединяющие центр кру­
      га с вершинами, делят площадь треугольника на части с площадями 4,
      13 и 15 см
      2. Найти стороны треугольника.

    12. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см.
      Точка касания этой окружности делит одну из сторон на отрезки длиной
      4 и 6 см. Определить вид треугольника и вычислить его площадь.

    13. Для треугольника со сторонами 26, 28 и 30 См найти произ­
      ведение радиусов вписанной и описанной окружностей.




    1. Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса
      2 см, если два угла треугольника равны я/3 и я/4.

    2. Пусть BD — высота треугольника ABC, точка Е — середина
      ВС. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника BDE, если
      АВ= 30 см, ВС =26 см и ЛС=28 см.

    3. Точка Сх — середина стороны АВ треугольника ABC; угол
      СОСи где О — центр окружности, описанной около треугольника, явля­
      ется прямым. Доказать, что \LB— LA\ = 90°.

    4. Доказать, что расстояние от ортоцентра (точки пересечения

    27

    If

    высот) до вершины треугольника больше расстояния от центра описан­ной окружности до стороны, противоположной этой вершине.

    1. В треугольнике ^ ABC проведены медианы AL и ВМ, пересека­
      ющиеся в точке К. Вершина С лежит на окружности, проходящей через
      точки К, L, М. Длина стороны АВ равна а. Найти длину медианы CN.

    2. Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие
      стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на
      большей стороне. Найти радиус окружности.




    1. На отрезке АВ взята точка М, а на отрезках AM и MB
      по одну сторону от прямой АВ построены квадраты, описанные окру­
      жности которых пересекаются в точке N. Доказать, что прямая AN
      проходит через вершину второго квадрата и что треугольник ANB
      прямоугольный.

    2. Дан квадрат, сторона которого равна а. Определить стороны
      равновеликого ему равнобедренного треугольника, у которого сумма
      длин основания и высоты, опущенной на основание, равна сумме длин
      двух боковых сторон.

    3. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит
      каждую из двух других его сторон на отрезки, равные 2 и 23 см. Найти
      радиус окружности.

    4. Окружность радиуса 13 см касается двух смежных сторон
      квадрата со стороной 18 см. На какие два отрезка делит окружность
      каждую из двух других сторон квадрата?

    5. Найти отношение площади квадрата, вписанного в сегмент
      с дугой 180°, к площади квадрата, вписанного в сегмент того же самого
      круга с дугой 90°.

    6. Через две смежные вершины квадрата проведена окружность
      так, что длина касательной к ней, проведенной из третьей вершины,
      в 3 раза больше стороны квадрата. Найти площадь круга, если сторона
      квадрата равна а.

    7. Внутри квадрата со стороной а на каждой его стороне как на
      диаметре построена полуокружность. Найти площадь розетки, ограни­
      ченной дугами полуокружностей.

    8. Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в одну
      и ту же окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.

    9. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вписан прямо­
      угольник с периметром 24 см так, что одна из его сторон лежит на
      большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника.

    1315. Вершина прямоугольника, вписанного в окружность, делит ее на четыре дуги. Найти расстояние от середины одной из больших дуг до вершин прямоугольника, если стороны его равны 24 и 7 см.

    1. В прямоугольнике со сторонами aab проведены биссектрисы
      всех углов до взаимного пересечения. Найти площадь четырехугольника,
      образованного биссектрисами.

    2. В треугольник вписан ромб со стороной т так, что один угол
      у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне
      треугольника и делит эту сторону на отрезки длиной р и д. Найти
      стороны треугольника.




    1. Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры
      к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта
      вершина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние
      между их основаниями 3^/3 см. Вычислить длины диагоналей ромба.

    2. Точки М, N, P, Q являются серединами сторон АВ, ВС, CD
      и DA ромба ABCD. Вычислить площадь фигуры, являющейся пересече-

    28

    нием четырехугольников ABCD, ANCQ и BPDM, если площадь ромба равна 100 см2.

    1. В ромб со стороной а и> острым углом 60° вписана окру­
      жность. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого
      являются точки касания окружности со сторонами ромба.


    2. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 3 и 4 см. Из
      вершины тупого угла В проведены высоты BE и BF. Вычислить площадь
      четырехугольника BFDE.

    3. Длины диагоналей ромба относятся как 3:4. Во сколько раз
      площадь ромба больше площади вписанного в него круга?

    4. В ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ром­
      ба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной
      окружности.

    5. Вычислить площадь общей части двух ромбов, длины диагс-
      налей первого из которых равны 4 и 6 см, а второй получен поворотом
      первого на 90° вокруг его центра.

    6. В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 см
      и диагональю, равной 6 см. Найти стороны треугольника, если известно,
      что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам тре­
      угольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.

    7. В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 см вписан
      параллелограмм так, что одна из его сторон длиной 6 см лежит на
      основании треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны
      боковым сторонам треугольника. Найти другую сторону параллелог­
      рамма и основание треугольника.

    8. Площадь четырехугольника равна S. Найти площадь парал­
      лелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четы­
      рехугольника.

    9. Параллелограмм ^ ABCD, у которого АВ= 153 см, AD= 180 см,
      ВЕ= 135 см (BE — высота) разделен на три равновеликие фигуры пря­
      мыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А нахо­
      дятся точки пересечения этих перпендикуляров с ^ AD1

    10. Длины сторон и диагоналей параллелограмма равны соответ­
      ственно а, Ь, с и/. Найти углы параллелограмма, если а*+А* = с2/2.

    11. Диагонали четырехугольника равны, а длины его средних
      линий равны р и q. Найти площадь четырехугольника.

    12. В окружность вписан четырехугольник с углами 120, 90, 60
      и 90°. Площадь четырехугольника равна 9уЗ см
      2. Найти радиус окру­
      жности, если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

    13. Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре
      треугольника; площади трех из них равны 10, 20 и 30 см2, и каждая
      меньше площади четвертого треугольника. Найти площадь данного
      четырехугольника.

    14. Вся дуга окружности радиуса R разделена на четыре большие
      и четыре малые части, которые чередуются одна за другой. Большая




      оставить комментарий
      страница3/13
      Дата25.09.2011
      Размер2.59 Mb.
      ТипСборник задач, Образовательные материалы
  • Добавить документ в свой блог или на сайт

    страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
    плохо
      30
    не очень плохо
      4
    средне
      4
    отлично
      12
    Ваша оценка:
    Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
    rudocs.exdat.com

    База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
    При копировании материала укажите ссылку
    обратиться к администрации
    Анализ
    Справочники
    Сценарии
    Рефераты
    Курсовые работы
    Авторефераты
    Программы
    Методички
    Документы
    Понятия

    опубликовать
    Документы

    Рейтинг@Mail.ru
    наверх