Сборник задач по математике для поступающих во втузы icon

Сборник задач по математике для поступающих во втузы


12 чел. помогло.
Смотрите также:
Сборник задач по математике для поступающих во втузы : Кн для ученика и учителя / Егерев Виктор...
Литература по предметам Математика...
Программа вступительных экзаменов по математике...
Литература Математика для поступающих в вузы Ч. 1 /Рхту им. Д. И. Менделеева. М.,2005...
Сборник для поступающих в лицей Москва 20 10 Сборник практических заданий по русскому языку и...
Решение задач повышенной сложности по теме «механика»...
Сборник задач по высшей математике: Сконтрольными работами/К. Н. Лунгу,Д. Т. Письменный С. Н...
Программа элективного курса по физике в 10 классах решение задач повышенной сложности...
За курс общего среднего образования в 9 классе...
Программа вступительных испытаний по математике для поступающих в магистратуру по направлению...
Решение нестандартных задач по математике...
Пособие для поступающих Минск, 2004. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И...



страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
вернуться в начало
в

Рис. 1.12

(r+m)(r+n)

лее, используя формулу (1-9), находим 5= или

2

2S=*r*+r(m+n)+mn=r(r+m + n) + mn = rp+mn. Так как в силу равенства (1.4) rp=S, то 2S=S+mn, откуда S=mn.

Пусть CMDK — вписанный прямоугольник. Поскольку DK\\BC, используя

т

гомотетию с центром в А и коэффициентом к— , найдем площадь £,

т + п треугольника ADK:

(т+п)2 (т+п)2' Аналогично для площади S2 треугольника BDM имеем

п2 тпъ

(т+п)2 (т+п)2 Искомая площадь

1тгпг

(т + п)1

Пример 5. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острою угла; отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпен­дикулярен катету. Найти углы треугольника.

□ Пусть BE — медиана, О — точка пересечения медиан, AD — биссектриса и ODLBC (рис. 1.12). Согласно свойству точки пересечения медиан, ЕО: ОВ=1:2. Так как ОЩЕС, то по теореме Фалеса ^ CD:DB = EO:OB=\ :2. Используя свойст­во биссектрисы треугольника, получаем CD:DB=AC:AB, т. е. АС:АВ=\ :2. Следовательно, sinB= 1/2, откуда /_В=30", LA=>60°.

Группа А

  1. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит
    гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника.

  2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного тре­
    угольника, равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти
    стороны треугольника.

  3. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют ариф­
    метическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы.

  4. Определить острые углы прямоугольного треугольника,
    если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол
    в отношении 1:2.

  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти
    расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересече­
    ния медиан.

  6. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треуголь­
    ника с катетами 24 и 18 см.

  7. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла де­
    лит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить
    площадь треугольника.

  8. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника
    с катетами 6 и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить
    площади образовавшихся треугольников.

  9. Площадь прямоугольного треугольника равна 2^/3 см2. Опре-

10

делить его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой угол в отношении 1:2.

  1. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной
    4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треуголь­
    ника, если медиана равна 3 см.

  2. Основание равнобедренного треугольника равно 4^2 см,
    а медиана боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон.

  3. Найти длины сторон равнобедренного треугольника ABC
    с основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны
    соответственно пит.

  4. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона
    равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании
    треугольника.

  5. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если дли­
    на высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина
    основания равна 15 см.

  6. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основа­
    ние его равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине
    отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.

  7. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треуголь­
    ника, равна ^ Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону.
    Найти площадь треугольника.

  8. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС= 8
    см, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4
    и 4 см.

  9. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см.
    Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных
    к данным сторонам, равна третьей высоте.

  10. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, парал­
    лельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину
    отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.

  11. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая меди­
    ану в отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь
    треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исход­
    ного треугольника?

  12. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на
    части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая
    от вершины, она делит боковые стороны?

  13. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26
    и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через
    точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить
    площадь полученной при этом трапеции.

  14. Из точки ^ А, не лежащей на окружности, проведены к ней
    касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16
    см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см.
    Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.

  15. Из внешней точки проведены к окружкости секущая длиной 12
    см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка
    секущей. Определить длину касательной.

  16. Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды
    проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, парал­
    лельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний
    отрезок секущей равен 12 см.

  17. Две окружности радиусов Л=3 см и г= 1 см касаются внеш-

11

ним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.

  1. Из одной точки проведены к окружности две касательные.
    Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания
    14,4 см. Определить радиус окружности.

  2. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне
    касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г. Найти
    радиус большей окружности.

  3. Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены
    касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной
    дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исход­
    ной дуги.

  4. В окружности проведены две хорды АВ=а и АС=Ь. Длина
    дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности.

  5. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
    центров под углами 90 и 60е. Найти радиусы окружностей, если расстоя­
    ние между их центрами равно уЗ +1.

  6. В сектор АОВ с радиусом R и углом 90° вписана окружность,
    касающаяся отрезков О А, О В и дуги АВ. Найти радиус окружности.

  7. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности
    радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы
    длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р1

  8. В окружности радиуса г проведена хорда, равная г/2. Через
    один конец хорды проведена касательная к окружности, а через дру­
    гой — секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между
    касательной и секущей.

  9. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда,
    равная 32 см и касающаяся меньшего круга. Определить длину радиуса
    каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.


  10. Круг радиуса R разделен двумя концентрическими с ним
    окружностями на три равновеликие фигуры. Найти радиусы этих окру­
    жностей.

  11. Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окру­
    жности равен длине меньшей окружности. Определить радиус по­
    следней.

  12. Определить площадь кругового кольца, заключенного между
    двумя концентрическими окружностями, длины которых равны С\ и С2
    (CCJ




  1. Хорда АВ постоянной длины скользит своими концами по
    окружности радиуса R. Точка О этой хорды, находящаяся на расстояни­
    ях а и Ь от концов А и В хорды, описывает при полном обороте
    окружность. Вычислить площадь кольца, заключенною между данной
    окружностью и окружностью, описанной точкой ^ С.

  2. Внутри круга радиуса IS см взята точка М на расстоянии 13
    см от центра. Через точку М проведена хорда длиной 18 см. Найти
    длины отрезков, на которые точка М делит хорду.

  3. В круговой сектор с центральным углом в 120° вписан круг.
    Найти радиус описанного круга, если радиус данного круга равен
    R.

  4. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг.
    Найти отношение площади этого круга к площади сектора.

  5. Круг радиуса R обложен четырьмя равными кругами, каса­
    ющимися данного так, что каждые два соседних из этих четырех кругов
    касаются друг друга. Вычислить площадь одного из этих кругов.

  6. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг

12

друга. Прямые, соединяющие их центры, образуют прямоугольный ; ^треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы большей "?и средней окружностей равны 6 и 4 см.

'. 1.045. Три равные окружности радиуса г попарно касаются одна 'другой. Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания.

  1. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60 и 120°.
    Найти отношение площадей этих кругов.

  2. Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две про­
    извольные части и на каждой из них построить как на диаметре полуок­
    ружность (внутри данного полукруга), то площадь, заключенная между
    тремя полуокружностями, равна площади круга, диаметр которого ра­
    вен длине перпендикуляра к диаметру полукруга, проведенного в точке
    деления до пересечения с окружностью.

  3. Определить площадь круга, вписанного в сектор круга ради­
    уса R с хордой 1а.

  4. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окру­
    жность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.

  5. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна а. Вычис­
    лить площадь отсекаемого ею сегмента.

  6. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне пра­
    вильного вписанного треугольника. Определить отношение площадей
    этих сегментов.

  7. Круг, радиус которого равен R, разделен на два сегмента
    хордой, равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь
    меньшего из этих сегментов.

  8. В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены
    две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного
    вписанного треугольника, а другая — стороне правильного вписанного
    шестиугольника. Определить площадь части круга, содержащейся между
    хордами.

  9. Три окружности радиусов Rt = 6 см, Л2 = 7 см, R3 = S см
    попарно касаются друг друга. Определить площадь треугольника, вер­
    шины которого совпадают с центрами этих окружностей.

  10. Каждая из трех равных окружностей радиуса г касается двух
    других. Найти площадь треугольника, образованного общими внеш­
    ними касательными к этим окружностям.

  11. В круг радиуса R вписаны два правильных треугольника так,
    что при их взаимном пересечении каждая из сторон разделилась на три
    равных отрезка. Найти площадь пересечения этих треугольников.

  12. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них
    стороной вписанного квадрата, а для другой — стороной правильного
    вписанного шестиугольника. Найти расстояние между центрами окру­
    жностей, если радиус меньшей из них равен г (рассмотреть два возмож­
    ных случая расположения окружностей).

  13. Общая хорда двух пересекающихся окружностей р? -ла
    а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного
    треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Опреде­
    лить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два воз­
    можных случая).

  14. Одна из двух параллельных прямых касается окружности
    радиуса R в точке А, а другая пересекает эту окружность в точках В и С.
    Выразить площадь треугольника ABC как функцию расстояния х между
    прямыми.

13

  1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной
    окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты
    треугольника.

  2. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоуголь­
    ного треугольника равны соответственно 3 и 5 см. Найти катеты тре­
    угольника.

  3. Радиус окружности, описанной около прямоугольного тре­
    угольника, равен 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен
    6 см. Найти стороны треугольника.

  4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
    а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти
    площадь треугольника.

  5. Радиус окружности, описанной около прямоугольного тре­
    угольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2.
    Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен а.

  6. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так,
    что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки
    длиной 15 и 20 см. Найти площадь треугольника и длину вписанной
    полуокружности.

  7. На большем катете треугольника как на диаметре построена
    полуокружность. Найти ее длину, если длина меньшего катета 30 см,
    а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения
    гипотенузы и полуокружности, равна 24 см.

  8. Окружность касается большего катета прямоугольного тре­
    угольника, проходит через вершину противолежащего острого угла
    и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности,
    если длины катетов равны 5 и 12?

  9. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного
    треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
    равен 3 см, а один из катетов равен 10 см.

  10. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
    а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус
    окружности, вписанной в треугольник.

  11. Периметр прямоугольного треугольника равен ^ 2р, а гипо­
    тенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник.

  12. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треуголь­
    ник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 м.

  13. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треуголь­
    ник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на отрез­
    ки длиной 25,6 и
    14,4 см.

1.073 Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его равна 24 см2. Найти площадь описанного круга.

  1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найти
    расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра
    описанной около него окружности.

  2. Окружность касается одного из катетов равнобедренного пря­
    моугольного треугольника и проходит через вершину противополож­
    ного острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на
    гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.

  3. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в равнобед­
    ренный прямоугольный треугольник, к высоте, проведенной к гипо­
    тенузе.

  4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см,
    основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены

14

' касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от дан­ного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сто­рон этих треугольников.

  1. Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного
    треугольника, равна 25 см, а радиус вписаннной окружности равен 8 см.
    Найти длину основания треугольника.

  2. В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине
    и боковой стороной а вписана окружность. Найти радиус этой окру­
    жности.

  3. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а бо­
    ковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.

  4. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°,
    если радиус вписанного круга равен ^/12 см.

  5. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а бо­
    ковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной
    окружностей и расстояние между их центрами.

  6. Найти площадь круга, описанного около равнобедренного
    треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая
    сторона 13 см.

  7. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с ос­
    нованием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная
    основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного меж­
    ду сторонами треугольника.

  8. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см,
    как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон тре­
    угольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенной
    к основанию треугольника, равна 3 см.

  9. Из точки ^ А проведены две прямые, касающиеся окружности
    радиуса R в точках В и С так, что треугольник ABC — равносторонний.
    Найти его площадь.

  10. Площадь равностороннего треугольника, вписанногов окру-
    жность, равна Q1. Доказать, что радиус окружности равен 2g\/3/3.

  11. В окружность, диаметр которой равен >/12, вписан правиль­
    ный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой пра­
    вильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти
    радиус этой окружности.

  12. В правильный треугольник вписана окружность и около него
    описана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если
    сторона треугольника равна а.

  13. Каждая сторона правильного треугольника разделена на три
    равные части, и соответственные точки деления, считая в одном направ­
    лении, соединены между собой. В полученный правильный треугольник
    вписана окружность радиуса г=6 см. Определить стороны треуголь­
    ников.

  14. Дан правильный треугольник ABC. Точка К делит сторону АС
    в отношении 2:1, а точка М— сторону АВ в отношении 1:2 (считая
    в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна
    радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

  15. S равносторонний треугольник вписана окружность. Этой
    окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности.
    Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г.

  16. На диаметре 2R полуокружности построен правильный тре­
    угольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен

15

по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.

  1. На диаметре 2R полукруга построен правильный треугольник,
    стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей
    треугольника, лежащих вне и внутри круга?

  2. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15°
    и 60". Найти площадь треугольника.

  3. Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение
    площадей описанного и вписанного в треугольник кругов.

  4. В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4. В него
    вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти
    отношение площади полукруга к площади треугольника.

  5. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена
    окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на
    большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит
    большую сторону треугольника.

  6. Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15
    см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, если пери­
    метр треугольника равен 200 см.

  7. Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из
    его сторон равно отношению высоты, проведенной на эту сторону,
    к радиусу вписанной окружности.

  8. В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квад­
    рат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр
    квадрата.





  9. оставить комментарий
    страница2/13
    Дата25.09.2011
    Размер2,59 Mb.
    ТипСборник задач, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
плохо
  30
не очень плохо
  4
средне
  4
отлично
  12
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх