Программа элективного курса учащихся 8, 9 классов Учитель: Щербинская Т. Б icon

Программа элективного курса учащихся 8, 9 классов Учитель: Щербинская Т. Б


Смотрите также:
Программа элективного курса для учащихся 10-11 класса Мисюрева Людмила Викторовна...
Программа элективного курса для учащихся 10-11 класса Срок реализации 5 лет...
Программа элективного курса для учащихся 11-х классов естественнонаучного профиля...
Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса по химии «Химия вокруг нас»...
Тематическое планирование элективного курса п...
Программа элективного курса по русскому языку и литературе 9 класс...
Программа элективного курса 11 класс 70 часов...
Программа элективного курса «Мифопоэтика» (для учащихся 10 11-х классов)...
Программа элективного курса по математике для учащихся 10-го класса...
Программа элективного курса по химии химия в промышленности...
Программа элективного курса для учащихся 9-х классов историко-гуманитарного профиля «Красноярск...
Программа элективного курса по биологии "Клетки и ткани"...



Загрузка...
скачать
Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3» г.Канаш Чувашской Республики


Рациональные

Уравнения




Программа элективного курса учащихся 8,9 классов




Учитель: Щербинская Т.Б.


Канаш 2006 г.


Рациональные уравнения

Программа элективного курса для учащихся 8-9 классов




Пояснительная записка


Цель курса: Создать целостное представление о классификации рациональных уравнений, расширить спектр задач, посильных для учащихся, необходимых в качестве подготовки к вступительным экзаменам в ВУЗ.

На изучение данной темы отводится 9 часов, из них 2 часа- на определение успешности усвоения материала.


^ Учебно-тематический план


№№ п/п

Наименование разделов и тем

Всего часов

1.

Понятие рационального уравнения

а).Уравнения первой степени,

уравнения, содержащие параметры

б). Уравнения второй степени,

уравнения, содержащие параметры

в).Трехчленные уравнения

3 часа

2.

Возвратные уравнения четвертой степени.

Решение уравнений высших степеней с помощью теоремы Безу

2 часа

3.



Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов

Решение уравнений методом сведения к системе.

1 час

2 часа

4.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

2 часа

5.

Проверка знаний учащихся

2 часа


^ Содержание программы


Тема 1. Понятие рационального уравнения, уравнения первой , второй степени.

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса, систематизируются знания учащихся о рациональных уравнениях, развивая их на примере решений уравнений с параметрами ,решению которых не отводится время в школьном курсе (учащиеся испытывают страх при виде их, не пытаясь их решить). Лучшему осмыслению учебного материала послужит составление справочной таблицы. Предлагается система вопросов и упражнений.


^ Тема 2.Определение возвратного уравнения.

Решение методом введения новой неизвестной.

Деление многочленов по схеме деления уголком.

Теорема Безу. Случаи, когда остаток равен нулю и не равен нулю.

Предлагается система вопросов и упражнений.


^ Тема 3. Решение уравнений высших степеней

а) методом неопределённых коэффициентов,

б) методом сведения и системе.

Показывается схема составления системы для определения новых коэффициентов уравнения

аx4+bx3+cx2+dx+e=(mx2+px+q) (nx2+ rx+s)=0,

а также уравнения, которые путем введения новых переменных сводятся к решению системы.

^ Тема 4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину.

Систематизация знаний учащихся, решение уравнений методом интервалов, графически.


Тема 5. Проверка знаний учащихся по темам 1,2,4 путем

-решения задач самостоятельно,

-построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.

Литература:

1.Гараев К.Г., Исханов Э.М. Пособие для поступающих в ВУЗы.

2.Сканави М.И. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗы.


Дидактические материалы к элективному курсу:

«Рациональные уравнения»


§1.Теоретическое содержание элективного курса.


П.1. Тема 1. Понятие рационального уравнения, уравнения первой, второй степени.


Определение 1.

Уравнение вида Pn(x) = 0, где Pn(x)=aoxn+a1 xn-1+ … +an-1 x+an ;

Qm(x)

Qm(x)=boxm+b1xm-1+ … +bm-1 x+bn


многочлены с действительными коэффициентами соответственно степени n и m называется рациональным.


Определение 2.

Уравнение вида aoxn+a1 xn-1+ … +an-1 x + an =0 (ao 0) называется алгебраическим уравнением n-ой степени.


Уравнения первой степени

Определение.

Уравнение вида А х=В,

где А,В-алгебраические выражения (могут зависеть от параметров),

х-неизвестное, называется линейным.


Решить уравнение –значит найти множество всех его корней или доказать, что оно их не имеет.


^ Схема исследования линейного уравнения.

1).Если А = 0, то имеем 0 * х = В, уравнение не имеет корней (х Ǿ)

Если В = 0, то уравнение имеет вид О * х =0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением будет

множество всех действительных чисел (х Є R)

2).Если А 0, то уравнение имеет единственное решение х =


П.2. Задачи и упражнения.

Пример 1.Для всех значений параметра К решить уравнение (К+4)* х=2К+1.

Решение:
1).Если К + 4 = 0, т.е. К = - 4, то уравнение имеет вид 0 * х = - 7, это уравнение не имеет решений, х Є Ǿ.

2. Если К + 4 ╪ 0. т.е. К ╪ - 4, то обе части можно делить на К + 4. Тогда х = .

Ответ: Если к = - 4, х Є Ǿ;

Если к ╪ - 4, х = .

Пример2.Для всех значений параметра a решить уравнение

* (а – 1) * х + 3а – 4 = 0

Решение: Запишем уравнение в стандартном виде

* (а – 1) * х = 4 - 3а

1).Если * (а – 1) = 0, т.е. а = , то 0 * х = 0.

Это равенство верно при любом х. Следовательно, х Є R.


2). Если а ╪ , то х = = - 4.

Ответ: если а = , то х ,



Если а ╪ , то х = - 4


Пример 3. Для всех значений параметра решить уравнение:

2- 1) * х = р3 + 1.

Решение:

  1. р2 – 1 = 0, т.е. р = ±1

если р = 1,то 0 * х = 2, х Є Ǿ

если р = -1, то 0 * х = 0, х Є R


2) р2-1╪ 0, р ╪ ±1,то х = = =

Ответ: если р =1, х Є Ǿ

если р = -1, х Є R

если р ╪ ± 1, х =
^

Пример 4. Для всех значений параметров а и в решить уравнение


(а - 2) * х= 4а + 3в.

Решение: 1) а = 2, то 0 * х = 8 + 3в

Если 8 + 3в ╪ 0, в - , то х Є Ǿ

если в = - , то 0 * х = 0, х Є R.

2) а - 2 ╪ 0, а ╪ 2, то х =

Ответ: при а= 2, в╪ - 8 , х Є Ǿ

3

при а=2, в= - 8 , х Є R

3

при а╪ 2, в-любое, х =

Пример 5.Для всех значений параметра а решить уравнение:

* х = а2 + а + 1.

Решение: если а = 1, то х Є Ǿ,

если а ╪ 1, то умножив уравнение на а –1, получим ах = а3-1.

Тогда: 1) если а = 0, то 0 * х = -1, х Є Ǿ,

2) а ╪ 0, то х =

Ответ: Если а = 0 или а = 1, то х Є Ǿ,

если а ╪ 0 и а ╪ 1, то х =

Пример 6. Для всех значений параметра а решить уравнение:

=

Решение: При а = -1 уравнение не имеет смысла, т.е. х Є Ǿ

При а ╪ -1 уравнение равносильно системе

, ,

1.Если а = , то уравнение в системе примет вид 0* х = - , х Є Ǿ

2.Если а = ,то х =

Если х = 2а, т .е. система не имеет решений, имеем:

= 2а .

Следовательно, при а = 0 или а = -1 исходное уравнение также, как и при а = , не имеет решения.

Ответ: Если а - 1; 0; , то х Є Ǿ

Если а - 1; 0; , то х = .

Пример 7. Для всех значений параметра а решить уравнение:

=

Решение: Уравнение равносильно системе.

,

  1. Если а = 2. то уравнение в системе имеет вид

0* х = -7, х Є Ǿ

2.Если а ╪ 2, то х = ,

Найдем значения параметра а, при которых х = 2а или ах = 1. Имеем:

,

а = ±

а = ± , таким образом, если а = ± , то исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: Если а Є , то х Є Ǿ


Если а , то х = .


Задачи для самостоятельного решения.


№1. (5р + 1) х = 25р2+ 10р +1 = 0

Ответ: если р = -, то х Є R

если р ╪ - то х = -5р -1.

№2. ах – а = х – 1

Ответ: если а = 1, то х Є R,

если а ╪ 1, то х = 1.

№3.(р2- 4) х = р2 + р – 2

Ответ: если р = 2, х Є Ǿ ;

если р = - 2, то х Є R,

если р ╪ ±2. то х = .

№4. (р2 –1) х – р2 + 2р – 1 = 0

Ответ: если р = 1, то х Є R;

если р = -1, х Є Ǿ ;

если р ╪ 1, то х = .

№5. (m - 3) х + m + 2р = 0

Ответ: если m = 3. р =, то х Є R;

если m = 3 и р ╪ - , то х Є Ǿ ;

если m ╪ 3, то х = .

№6. (а - 2в) х + а + в = 3

Ответ: если а = 2, в =1, то х Є R;

если а = 2в, в╪1, то х Є Ǿ ;

если а ╪ 2в, то х = .

№7. * х = а2 - 1

Ответ: если а = -1, то х Є R;

если а = - 2, то х Є Ǿ ;

если а ╪ - 2 и а ╪ -1, то х = а2 + а – 2.

№8. а + =

Ответ: если а = 1, то х (-∞; 10) (1; ∞);

если а = 0 или а = -1, то х Є Ǿ ;

если а ╪ 0, а ╪ 1, то х = .

№9. -= 0

Ответ: Если а Є {-2; -1; 0}, то х Є Ǿ ;

если а ¢ {-2; -1; 0}, то х = ;

№10. =

Ответ: если а = 0, в - любое или в = -а, х Є Ǿ;

Если а ╪ в, в ╪ -а, то х = - .


п.з. Квадратные уравнения , содержащие параметры.

Опр. Уравнение Ах2 + Вх + С = 0. где А,В,С- выражения, зависящие от параметров, А╪ 0,

а х- неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.

Схема исследования:

  1. Если А = 0, то имеем линейное уравнение Вх + С = 0.

  2. Если А╪ 0 и дискриминант Д = В2 – 4А <С <0, то уравнение не имеет действительных корней.(х Є Ǿ).

  3. Если А ╪ 0, Д = 0. то уравнение имеет единственное решение х = - или еще говорят.

Совпадающие корни х1 = х2 = -

4.Если А╪ 0, Д > 0, то уравнение имеет два различных корня

х1,2 = -

Пример 1. Найти все решения параметра а, для которых уравнение:

(а – 1) х2 + 2(2а + 1) х + 4а +3 = 0

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет один корень.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а – 1 ╪ 0,

а╪ 1.

Рассмотрим дискриминант уравнения: Д = 4 (2а+1)2 – 4 (а –1) (4а + 3) = 4 * (5а+4).

Согласно схеме исследования, имеем:

а) ,

б) a < - ,

в) а = -

Ответ: Если а > - , а = 1 уравнение имеет 2 корня

и если а = - , то один корень,

если а < - не имеет корней.


Пример2. При каких значениях параметра а уравнение:

( а + 6) х2 +2ах + 1= 0 имеет единственное решение.

Решение: 1) а + 6 = 0, а = - 6,то линейное уравнение –12х + 1 = 0 имеет

единственное решение.

2) если а ╪ - 6, а Д = 4а2- 4 (а + 6) = 4(а2 – а – 6) = 0,

т.е. а2 – а – 6 = 0 а1 = 3, а2 = -2 .

Ответ: а Є{ - 6; -2; 3 }.

Пример3. При каких значениях параметра а уравнения:

2- а – 2) х2 + (а + х) + 1= 0 не имеет решений.

Решение: 1) Если а2 – а – 2 = 0. т.е. а1= 2, а2 = -1уравнение является линейным 3х + 1= 0

имеет решение при а = 2 .

При а = -1 уравнение 0 * х2 + 0 * х +1 = 0 не имеет решений.

2) при а ╪ 2,а ╪ - 1 и

Д = (а + 1)2 - 4( а2 - а – 2) = -3а2 +6а + 9 = -3(а - 3) (а + 1)< 0, т.е. (а – 3) (а+1) >0

а Є( - ∞; -1) Ụ (3; ∞ ), не имеет решений

Ответ: при аЄ ( -∞; -1 Ụ (3; ∞ ).

Пример 4. При каких значениях а и в уравнение (а2+ а - 6) х2 + (а – в + 4) х+ а2 + 4а + 3 = 0

имеет не менее трех различных решений.

Решение: Если квадратное уравнение или линейное уравнение имеет более двух решений,

то оно имеет бесконечно много решений. Это возможно тогда и только тогда,

когда уравнение примет вид 0 * х2 + 0 * х + 0 = 0,

т.е. а2 + а – 6 = 0 а1= 2, а2 = - 3

а – в + 4 = 0 ⇔ в = а + 4 ⇔

а2 + 4а + 3 =0 а3 = - 1, а4 = - 3




а = - 3

⇔ в = 1

Ответ: при а = - 3; в = 1.

Пример 5. Для всех а решить уравнение:

(а – 1)*· х2 – 2а х + а + 2 = 0.

  1. Решение:1) а = 1, то -2х + 3 = 0 => х =

  2. а ╪ - 1, то Д = 4а2 – 4 ( а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.

а) а > 2, уравнение не имеет решений.


б) а = 2, то х = == 2

в) уравнение имеет два корня

х1,2 = =

Ответ: если а = 1. то х = ;

если а = 2, то х = 2


если а = 2, то х Є Ǿ

если а = 2, а ╪ 1, то х = .

Задачи для самостоятельного решения.


№1. (а – 1) х2 + 2 (2а + 1) х + 4а + 3 = 0

Ответ: если а<- , то х Є Ǿ;

если а = 1, то х = - ;

если а = - , то х = - ;

если а Є ( - ; 1) Ụ (1; ∞), то х =

№2. 3х2 – 5ах - 2а2 = 0

Ответ: х Є{2 а; - }для любого а.

№ 3. =

Ответ: Если а = -1,то х Є Ǿ

Если а = 3,то х = 6

Если а ╪ -1, а ╪ 3,то х Є{а - 3; а -1}

№4. (а + 3)х2 -(3а + 1)х + 4 = 0

Ответ: Если а = -3, х =

если а Є (1/5;1),х Є Ǿ

если а = 1,х = 1/2;

если а Є (-∞;-3)U(-3;1/5) U(1; ∞), то

х =

№ 5 - =

Ответ: Если а = 0,то х Є(-∞;0) U(0; ∞ )

Если а ╪ 0, то х Є Ǿ.


Пособие: В.Мочалов,В.Сильвестров “Уравнения и неравенства с параметреми”.


П.4. Трёхчленные уравнения.

Опр. Уравнения вида.

(1) ах2п +вхп +с = 0(а ╪ 0,п Є N)

при п = 2 получаем биквадратное уравнение.

Подстановкой хп = t уравнение (1)сводится к квадратному

аt2 +вt2 +c = 0


§2. п.1. Возвратные уравнения четвёртой степени.

Опр. Уравнения вида.

  1. ах4 + вх3 + сх2 + dх + е = 0 (а ╪ 0, е ╪ 0) называется возвратным,если имеет место равенство =


Схема решения:


Так как х ╪ 0, то разделив это уравнение на х2 и сгруппировав члены, равноудаленные от концов, получим эквивалентное уравнение:

а+ в + с = 0


Полагая t = х + , с учетом условия (2 ) получим

х2 + = х2 + = - 2 *

Относительно нового неизвестного после несложных преобразований получим квадратное уравнение: а2 + вt + c – 2а * = 0 (3)

значения х найдем из совокупности уравнений х + = t1, х += t2, где t1, t2 – корни уравнения (3)


Замечание.

Если d = в, то уравнение называется симметрическим, если же d = - в - кососимметрическим.

Пример. Решить уравнение:

4 – 21 х3 + 74 х2 – 105х + 50 = 0.

Решение: Здесь а = 2, в = - 21, с = 74, d = -105, е = 50.

Условие (2) имеет место, т.к. = =

Разделив обе части уравнения на х2 и сгруппировав члены, равноудаленные от концов, получим: 2 * (х2 + ) – 21 * (х + ) * 74 = 0

положим t = х + , тогда х2 + = t2 – 10.

Решая квадратное уравнение

2 (t2 – 10) – 21t +74 = 0, 2t2 – 21 t + 54 = 0, получаем t1 = 6, t2 = .

Корни исходного уравнения находятся из совокупности уравнений:



Ответ: х1= 1, х2 = 5, х3 = 2, х4= .


Задачи для самостоятельного решения.


№1. х4 + 2х3 – 18 х2 – 10 х +25 = 0


Ответ: х1 = - 5, х2 = 1, х3,4 = 1 ± .


№2. х4 – 2х3 – х2- 2х + 1 = 0.

Ответ: х1,2 = .

№3. 2х4+ 3х3 –13х2 –6х + 8 = 0

Ответ: х1= -1, х2 = 2, х3,4 =

№4. х4 –2х3 – х2 –2х + 1= 0

Ответ: х1,2 =

п.2. Деление многочленов.

Разделить многочлен

Р(х) =а0 * хп + а1 хп-1 + … +ап-1 * х + аn на многочлен

Q(х) = в0 * хm + в1* хm – 1 + …+ вm-1 • х + вm

с остатком означает: представить многочлен Р(х) в виде

  1. Р(х) = Q(х) М(х) +R(х), где М(х) (частное) и R ( х) (остаток) – многочлен, причем степень Р(х) меньше степени Q(х) или R (х) =0(деление без остатка).

Обычно деление многочленов удобно выполнять по схеме «деления уголком».

Примеры: 4 – х3 +3х2 –5х+6 │ х2+х+1

-4+2х3+2х2 │2х2 – 3х +4

-3х3 + х2 – 5х – 6

- 3 – 3 х2 – 3х

2 – 2х +6

- 4х +4х +4

-6х+2

Здесь М(х) = 2х2-3х + 4, Р(х) = - 6х + 2, имеет тождество

4 – х3 + 3х2 –5х + 6 = (х2 + х + 1) (2х2 – 3х + 4) + ( -6х + 2).

№2. х3+1 │ х+1

- х32 │х2 – х + 1

2+1

- 2 – х

х+1

- х+1

0 Здесь R(х) =0.


Задачи для самостоятельной работы.


Учебник: Алгебра- 9, Алимов.

Глава 1, §1.


П.3. Теорема Безу.

Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен значению многочлена при х = а, т.е. R = Р(а). Действительно, в случае деления Р(х) на двучлен х – а, равенство (1) примет вид Р(х) = (х – а) М(х) +R , где R- некоторое число. Рассматривая это тождество при х = а,

получим R = Р(а) ч.т.д.

Опр. Число а называется корнем многочлена Рп(х), если Рп(а) = 0.


Следствие. Если а – корень многочлена Р (х), то этот многочлен делится без остатка на двучлен х-а.

Действительно, если а – корень многочлена Р(х), то Р(а)=0 и, следовательно, согласно теореме Безу имеем R=Р(а)=0.

Для отыскания корней алгебраического уравнения п-ой степени с целыми коэффициентами: (*) а0хп + а1хп-1 +… + ап-1* х + ап = 0

может оказаться полезным следующее утверждение.

Теорема.

Для того, чтобы несократимая дробь , была корнем уравнения (*), необходимо, чтобы р было делителем свободного члена ап, а q – делителем старшего коэффициента а0.

Следствие. Целые корни могут быть только среди делителей свободного члена ап.


Примеры.

№1. х4+ х3 + х2+ 3х + 2 = 0

Решение: Здесь свободный член равен 2. Целые корни этого уравнения согласно следствию следует искать среди чисел ±1 ; ±2.Ясно, что числа +1 и +2 сразу отпадают; число – 2 также не удовлетворяет уравнению, но –1 является корнем уравнения, т.к.

(-1)4 + (-1)3 + (-1)2 +3 (-1) + 2 =0.

Для нахождения остальных корней воспользуемся следствием теоремы Безу.

х4+ х32 +3х +2 | х+1

- х43 3+х+2

х2+3х+2

- х2

- 2х+2

2х+2

0

Легко проверить, что многочлен х3 + х + 2 имеет своим корнем число –1. Тогда

х3+ х+2 | х+1

- х32 | х2 –х +2

2 + х

- 2 – х

2х+2

- 2х+2

0

Уравнение х2- х + 2 = 0 действительных корней не имеет.

Ответ: х1,2 = - 1

№2. 10х3 – 3х2 –2х = 0.

Решение: Делители свободного члена ±1.

Однако, проверка показывает, что они не являются корнями данного уравнения, следовательно, оно не имеет целых корней. Делая подстановку х = , после преобразований получим t3 –2t2 –3t +10 = 0.

Проверяя делители свободного члена ±1, ±2, ±5, ±10, убеждаемся, что корнем преобразованного уравнения является только число –2. Выполняя теперь деление левой части указанного уравнения на разность t +2, получим: t3 – 2t2 – 3t +10=(t+2) (t2 – 4t +5), т.к. Д < 0, то t = - 2.

Ответ: х= -1 .

2

Задачи для самостоятельного решения.


№1. 36 х4+ 12х3 – 11х2 –2х + 1 = 0.

Ответ: х1,2 = - ; х3,4 = .


Учебник: Алгебра-9, Алимов,

Глава 1, §1, п.2.


§3. Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов.

Пример: Решить уравнение: х4 + 3х3 – 6х2 – 11х +15 = 0.

Решение :Представим левую часть этого уравнения в виде

х4 + 3х3 – 6х2 –11х +15 =(х2 + рх + q)(х2 + rх + s),

где р,q,r,s – неопределенные пока коэффициенты, которые будем искать на множестве целых чисел, т.к. два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны х равны, то для определения p, q, r,s получаем систему:




3 = p + r

-6 = s + q + pr

-11 = ps + qr

15 = qs

т.к. решение системы отыскивается на множестве z, то из последнего уравнения следует, что для q возможны следующие значения: ±1, ±3, ±5, ±15.

Умножая первое уравнение на –q и складывая его с третьим, получим р(s-q) =- 3q –11, откуда, учитывая, что S = , для р получим формулу р= q * .

Схему вычисления целых корней системы можно представить в следующем виде:

  1. задаем значение q и вычисляем р;

  2. если р Є t, то r = 3 – р.

  3. S : S = 15.

q

  1. проверяем, удовлетворяют ли вычисленные значения р, q,r,s второму уравнению

(вычисляется правая часть этого уравнения).


Результаты расчетов сведены в таблицу:


q

1

-1

3


-3

5

-5

15

-15




P

-1

4

7

-10

1

13

2

4

17/7




S

15




5


-5

3

-3

1







r

4




13


2

-10

1

-1







S+q+pr

12




-128


-6

-128

-6

12








Из таблицы видно, что возможны два случая разложения:

  1. р = 1; q = - 3; r = 2; s = -5.

  2. Р = 2; q = - 5; r =1, s = -3.

Однако оба случая приводят к одной и той же совокупности квадратных уравнений:



х1,2 = ; х3,4=-1 ± .


Задачи для самостоятельного решения:


№1. х4 – 4х3 –10х2 +37х – 4 = 0

Ответ: х1,2 = ; х3,4 = - .

№2. х4 + х3 – 2х2 + 12х –16 = 0

х1,2 = -1 ± .

§4. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

П.1. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком абсолютной величины,

Решается путем сведения его к некоторой совокупности уравнений обычного типа,

т.е. не содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины

х, если х ≥ 0,

| х | =

- х, если х < 0.


Свойства абсолютной величины:

1 .| х | ≥ 0

2 .| х |2 = х2

3. | -х | = х

4. | х | < а ⇔ - а < х < а

5.| х | > а ⇔ х > а

х < - а


6.| х + у | ≤ | х | + |у| (неравенство треугольника)

7.|ху| = |х | * |у| ; = , (у ≠ 0)

|f(x)| = f(x), если f (х)≥ 0

-f (x), если f(x)< 0.

Пример: | х + 1| =|3 – 2х|.

х + 1, если х≥ - 1

1 способ: |х+1|= -х - 1, если х< -1



3 – 2х, если х 3

2

|3 – 2х| =

-(3 – 2х), если х > 3

2

Отметим на числовой прямой те точки, для которых каждое выражение под знаком модуля обращается в нуль. Эти точки разбивают числовую прямую на 3 промежутка:




__1___________2_____________3___ х

-1 3

2

1).Пусть х< -1, то | х + 1| = - (х +1), |3 – 2|= 3 – 2х.

Исходное уравнение запишется в виде – (х +1) = 3 – 2х => х = 4.

4 ¢ (-∞; -1), то уравнение не имеет решений.

2) -1≤ х ≤ ^ 3

2

Здесь │х + 1│= х + 1, │3 – 2х│= 3 – 2х.

Уравнение примет вид х + 1 = 3 – 2х => х=2

3

2 Є - 1; 3

3 2 .

  1. х >3 , |х + 1|= х +1, | 3 – 2х |= -3 + 2х

2

то х + 1 = -3 + 2х => х = 4, 4 > 3 верно

2

Ответ: х1 = 2; х2 = 4.

3


  1. способ (графический).


Построим графики функций: у= х+1, у2 = 3 – 2х и найдем от их точки пересечения:


у

| х1=2

3,

у=|х+1| -у=|3 – 2х|

| х2 = 4.

|

-

|

1

| |

2 1 3 2 4 х

-1 3 2


3 способ. Так как при всех х обе части исходного уравнения неотрицательны, то с

учетом Св.2 абсолютной величины, получим:

| х +1| =|3 – 2х| ⇔ (х +1)2 = (3 – 2х) 2

⇔ 3х2- 14х + 8 = 0, откуда х1 = -2 , х2 = 4.

3


Задачи для самостоятельного решения.


1. |3х -5|= |5 – 2х|

2. |х - 1| + |х - 3| = 3

3. |х - 2| =3 * |3 - х|

4. 2х2 – 5*| х | + 3 = 0

5. х2 + 4· |х - 3| - 7х +11 = 0

6. | |х - 1| +2 | = 1.


Пособие: Задачи по математике.

Уравнения и неравенства. Вавилов В., Мельников В.




Скачать 183,52 Kb.
оставить комментарий
Дата25.09.2011
Размер183,52 Kb.
ТипПрограмма, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх