Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные главы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс Автор: д ф. м н. В. А. Гордин icon

Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные главы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс Автор: д ф. м н. В. А. Гордин



Смотрите также:
Программа дисциплины Дифференциальные уравнения для направления 010500...
Программа дисциплины Дифференциальные уравнения для направления 010500...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500...
Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500...
Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501 (прикладная...
Программа дисциплины Теория принятия решений для направления 010500...
Программа государственного экзамена по направлению 010500...
Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная математика...
Программа дисциплины Теория управления и системный анализ для направления 010500...
Программа дисциплины Практикум на ЭВМ для направления 010500...
Программа дисциплины Анализ и разработка данных для направления 010500...



скачать


Министерство экономического развития и торговли

Российской Федерации

Национальный исследовательский университет -

Высшая школа экономики


Факультет экономики


Программа дисциплины


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ

для направления 010500.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс

Автор: д.ф.-м. н. В.А. Гордин


Рекомендована секцией Одобрена на заседании кафедры

"Математические и статистические высшей математики методы в экономике" факультета экономики

Председатель Зав. кафедрой


__________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________

«_____» _______________ 200 г. «____»_____________________ 200 г.


Утверждена УС факультета

экономики

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________200 г.


Москва

^ Тематический план учебной дисциплины






название темы


всего часов

аудиторные часы

самост. работа







лекции

семинары




Модуль 2

42

8

8

26

1

^ Подпространства линейных пространств: сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана. Трансверсальность подпространств. Метрические пространства (МП). Неравенства Коши-Буняковского, Минковского, Гёльдера. Непрерывные отображения в МП. Открытые и замкнутые множества в МП.

10

2

2

6

2

^ Нормированные пространства (НП). Клетки Вороного. Линейные операторы в НП. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Норма оператора. Алгебра операторов.

20

4

4

12

3

^ Обратный оператор в НП. Условия существования ограниченного обратного оператора. Непрерывность и дифференцируемость в НП. Решение операторных уравнений методом Ньютона.

12

2

2

8




Модуль 3

70

16

14

40

4

^ Топологические пространства. Метризуемые и неметризуемые пространства. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы.

4

1

1

2

5

^ Кривые и поверхности. Петли. Гомотопия. Фундаментальная группа топологического пространства.

10

2

2

6

6

Многообразия. Замены координат на многообразии. Непрерывные отображения многообразий. Гомеоморфизмы. Классификация в двумерном случае.

10

2

2

6

7

Общее положение и трансверсальность для многообразий. Лемма Сарда. ^ Критические точки отображений. Лемма Морса.

4

1

1

2

8

^ Интерполяция многочленами и сплайнами

12

3

2

7

9

^ Квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов

9

2

2

5

10

^ Компактные схемы для вычисления производных и решения краевых задач

12

3

2

7

11

^ Конечно-разностные уравнения и случайные блуждания

9

2

2

5




Модуль 4

50

10

10

30

12

^ Особые точки дифференциальных уравнений

17

3

4

10

13

^ Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений.

17

4

3

10

14

^ Дифференциальные формы. Замена переменных. Внешнее дифференцирование.

10

2

2

6

15

^ Лемма Стокса.

6

1

1

4




Итого

162

34

32

96


Формы контроля знаний студентов


Промежуточный контроль: домашние работы, контрольная работа.

Итоговый контроль: зачет (задача, решение которой подразумевает использование компьютера, время зачета неопределенное).

Итоговая оценка О по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма О=0,2*Д +0,3*K+0,5*Э с округлением до целого числа баллов. В формуле Д обозначает среднее от 10-балльных оценок за домашние работы, K   10-балльную оценку за контрольную работу, Э - 10-балльную оценку за зачет или экзамен.

Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:

• 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно,

• 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно,

• 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо,

• 8 ≤ O ≤10 -отлично.


^ Содержание программы


Тема 1. Подпространства линейных пространств. Метрические пространства.

Подпространства линейных пространств: сумма и пересечение линейных подпространств, теорема о размерности суммы подпространств (формула Грассмана). Трансверсальность подпространств. Общее положение прямых и плоскостей в пространстве. Метрические пространства: определение и примеры метрики, мотивация использования разных метрик, неравенства Коши-Буняковского, Минковского, Гёльдера. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.


Основная литература.

  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.  М.: Физматлит, 2008.

  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.


Тема 2. Нормированные пространства.

Нормированные пространства: определение и примеры нормы. Понятие эквивалентных норм. Эквивалентность норм в конечномерном нормированном пространстве. Сходимость по норме. Клетки Вороного. Выпуклые и симметричные множества в линейных пространствах. Линейные операторы в нормированных пространствах: определение и примеры. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Равносильность ограниченности и непрерывности линейного оператора в конечномерном случае. Норма оператора, примеры ограниченных и неограниченных операторов, вычисление норм. Норма матричного оператора в конечномерном евклидовом пространстве. Алгебра операторов. Нормированное пространство ограниченных операторов. Сходимость поточечная и по норме в пространстве операторов.


Основная литература.

  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.  М.: Физматлит, 2008.

  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.


Тема 3. Обратный оператор. Решение операторных уравнений.

Обратный оператор в нормированном пространстве (левый и правый обратные операторы). Некоторые достаточные условия существования ограниченного обратного оператора. Непрерывность и дифференцируемость в нормированных пространствах. Сильная производная (производная Фреше). Решение операторных уравнений методом Ньютона.


Основная литература.

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.


Тема 4. Топологические пространства.

Топологические пространства: аксиоматика и примеры. Метризуемые и неметризуемые пространства. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы.


Основная литература.

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.


Тема 5. Кривые и поверхности.

Кривые в пространстве, параметризуемые кривые. Касательная к кривой. Длина дуги кривой. Кривизна кривой. Кривые в . Поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Ориентируемые поверхности. Площадь поверхности. Кривизна поверхности. Петли. Гомотопия. Фундаментальная группа топологического пространства. Пример нестягиваемой петли, гомологичной нулю.


Основная литература.

  1. Тер-Крикоров А.Д., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: изд-во МФТИ, 2000.


Тема 6. Многообразия.

Многообразия: определения и примеры. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Замены координат на многообразии. Преобразования векторных полей. Непрерывные отображения многообразий. Гомеоморфизмы. Классификация в двумерном случае. Формулировка гипотезы Пуанкаре и теоремы Перельмана.


Основная литература.

  1. Тер-Крикоров А.Д., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: изд-во МФТИ, 2000.

  2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. – М.: Мир, 1968.

  3. Зорич В.А. Математический анализ: учебник. Т.2. – М.: Наука, 1984, 640с.



Тема 7. Критические точки отображений.

Общее положение и трансверсальность для многообразий. Лемма Сарда. Критические точки отображений. Простейшие примеры. Лемма Морса.


Основная литература.

  1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.   М.: Наука, 1982.

  2. Зорич В. А. Математический анализ. Т.2. – М.: Наука, 1984, 640с.


Тема 8. Интерполяция многочленами и сплайнами.

Формула Лагранжа. Интерполяция Эрмита. Аппроксимация Паде и двухточечная рациональная аппроксимация. Устойчивость интерполяции к шумам в исходных данных. Константа Лебега для пространства С. Устойчивость производной интерполянта к шумам. Сплайны, степень и дефект. Размерность пространства интерполяционных сплайнов на данной сетке. Граничные условия. Кубические сплайны дефекта 1. Метод построения. Метод прогонки. Теорема Биркгофа – де Бура (без док.).


Основная литература.

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.

2. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.

3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010.


Тема 9. Квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симпсона. Сплайны для интегрирования. Оценка порядка сходимости квадратурной формулы при уменьшении шага сетки. Оценка несобственных интегралов. Интегралы, зависящие о параметра и их оценка. Эллиптический интеграл. Примеры.


Основная литература.

1. Федоренко Р.П. Лекции по вычислительной физике. Долгопрудный. 1994, 2009.

2. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.


Тема 10. Компактные схемы для вычисления производных и решения краевых задач.

Составление соотношений для коэффициентов компактных схем, аппроксимирующих операторы первого и второго порядка на трехточечном шаблоне. Определение коэффициентов компактных схем. Определение символа соответствующего разностного оператора. Применение прогонки для решения краевых задач для уравнений второго порядка. Периодические условия и периодическая прогонка.

Примеры.


Основная литература.

1. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.

2. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010.


Тема 11. Конечно-разностные уравнения и случайные блуждания.

Блуждания на одномерной сетке и вероятность выигрыша в азартной игре. Многомерные блуждания. Оценка предельного положения для марковской цепи. Примеры.


Тема 12. ^ Особые точки дифференциальных уравнений.

Возможность обобщенных решений. Регулярные и иррегулярные особые точки линейных ОДУ. Уравнение Эйлера и его характеристическое уравнение. Метод Фробениуса.


^ Основная литература.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?.

2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.


Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.


Тема 13. Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отличие регулярных и сингулярных возмущений. Медленные и быстрые процессы. Фазовые портреты для систем с сингулярным возмущением. Медленные многообразия. Условия срыва траектории. Релаксационные колебания. Примеры.


Основная литература.

1. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.


Тема 14. Дифференциальные формы.

Дифференциальные формы: определения и примеры. Замена переменных. Внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Примеры.


Основная литература.

  1. Никольский С.М. Курс математического анализа, т.II: Учебник. – М.: Наука, 1983.

  2. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997.

  3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984.

  4. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — M.: КомКнига, 2006.


Тема 15. Лемма Стокса.

Лемма Стокса: общая формулировка и частные случаи.


Основная литература.

  1. Никольский С.М. Курс математического анализа, т.II: Учебник. – М.: Наука, 1983.

  2. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997.

  3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984.

  4. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — M.: КомКнига, 2006.



Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в тексте книг:

1. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.

2. Гордин В.А. Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

3. Гордин В.А. «Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики», М.: ФИЗМАТЛИТе. 2010, рукопись выложена в открытый доступ.


Технология процесса обучения


1. Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и дополняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией.

2. Домашние задачи требуют от студента понимания аналитического аппарата + владения техникой программирования + умения анализировать полученные численные результаты и графики. Выполнение домашних заданий - трудоемкий, но важный аспект обучения.

3. Занятия на 2-м курсе (4-й и 5-й модули) скоординированы с занятиями по базовому курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Они используют знания, полученные на курсах математического анализа, линейной алгебры и визуализации аналитических расчетов. Аналитические построения постоянно подкрепляются компьютерными вычислениями с получением таблиц и графиков. Некоторые задачи, не требующие компьютерного решения, разбираются со студентами в аудитории.

4. Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.


© В.А. Гордин





Скачать 133,88 Kb.
оставить комментарий
В.А. Гордин
Дата25.09.2011
Размер133,88 Kb.
ТипПрограмма дисциплины, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх