Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные главы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс Автор: д ф. м н. В. А. Гордин

скачать Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Национальный исследовательский университет - Высшая школа экономики Факультет экономики Программа дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ для направления 010500.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс Автор: д.ф.-м. н. В.А. Гордин Рекомендована секцией Одобрена на заседании кафедры "Математические и статистические высшей математики методы в экономике" факультета экономики Председатель Зав. кафедрой __________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________ «_____» _______________ 200 г. «____»_____________________ 200 г. Утверждена УС факультета экономики Ученый секретарь _________________________________ « ____» ___________________200 г. Москва ^ Тематический план учебной дисциплины № название темы всего часов аудиторные часы самост. работа лекции семинары Модуль 2 42 8 8 26 1 ^ Подпространства линейных пространств: сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана. Трансверсальность подпространств. Метрические пространства (МП). Неравенства Коши-Буняковского, Минковского, Гёльдера. Непрерывные отображения в МП. Открытые и замкнутые множества в МП. 10 2 2 6 2 ^ Нормированные пространства (НП). Клетки Вороного. Линейные операторы в НП. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Норма оператора. Алгебра операторов. 20 4 4 12 3 ^ Обратный оператор в НП. Условия существования ограниченного обратного оператора. Непрерывность и дифференцируемость в НП. Решение операторных уравнений методом Ньютона. 12 2 2 8 Модуль 3 70 16 14 40 4 ^ Топологические пространства. Метризуемые и неметризуемые пространства. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы. 4 1 1 2 5 ^ Кривые и поверхности. Петли. Гомотопия. Фундаментальная группа топологического пространства. 10 2 2 6 6 Многообразия. Замены координат на многообразии. Непрерывные отображения многообразий. Гомеоморфизмы. Классификация в двумерном случае. 10 2 2 6 7 Общее положение и трансверсальность для многообразий. Лемма Сарда. ^ Критические точки отображений. Лемма Морса. 4 1 1 2 8 ^ Интерполяция многочленами и сплайнами 12 3 2 7 9 ^ Квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов 9 2 2 5 10 ^ Компактные схемы для вычисления производных и решения краевых задач 12 3 2 7 11 ^ Конечно-разностные уравнения и случайные блуждания 9 2 2 5 Модуль 4 50 10 10 30 12 ^ Особые точки дифференциальных уравнений 17 3 4 10 13 ^ Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений. 17 4 3 10 14 ^ Дифференциальные формы. Замена переменных. Внешнее дифференцирование. 10 2 2 6 15 ^ Лемма Стокса. 6 1 1 4 Итого 162 34 32 96 Формы контроля знаний студентов Промежуточный контроль: домашние работы, контрольная работа. Итоговый контроль: зачет (задача, решение которой подразумевает использование компьютера, время зачета неопределенное). Итоговая оценка О по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма О=0,2*Д +0,3*K+0,5*Э с округлением до целого числа баллов. В формуле Д обозначает среднее от 10-балльных оценок за домашние работы, K   10-балльную оценку за контрольную работу, Э - 10-балльную оценку за зачет или экзамен. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу: • 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно, • 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно, • 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо, • 8 ≤ O ≤10 -отлично. ^ Содержание программы Тема 1. Подпространства линейных пространств. Метрические пространства. Подпространства линейных пространств: сумма и пересечение линейных подпространств, теорема о размерности суммы подпространств (формула Грассмана). Трансверсальность подпространств. Общее положение прямых и плоскостей в пространстве. Метрические пространства: определение и примеры метрики, мотивация использования разных метрик, неравенства Коши-Буняковского, Минковского, Гёльдера. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Основная литература. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.  М.: Физматлит, 2008. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982. Тема 2. Нормированные пространства. Нормированные пространства: определение и примеры нормы. Понятие эквивалентных норм. Эквивалентность норм в конечномерном нормированном пространстве. Сходимость по норме. Клетки Вороного. Выпуклые и симметричные множества в линейных пространствах. Линейные операторы в нормированных пространствах: определение и примеры. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Равносильность ограниченности и непрерывности линейного оператора в конечномерном случае. Норма оператора, примеры ограниченных и неограниченных операторов, вычисление норм. Норма матричного оператора в конечномерном евклидовом пространстве. Алгебра операторов. Нормированное пространство ограниченных операторов. Сходимость поточечная и по норме в пространстве операторов. Основная литература. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.  М.: Физматлит, 2008. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982. Тема 3. Обратный оператор. Решение операторных уравнений. Обратный оператор в нормированном пространстве (левый и правый обратные операторы). Некоторые достаточные условия существования ограниченного обратного оператора. Непрерывность и дифференцируемость в нормированных пространствах. Сильная производная (производная Фреше). Решение операторных уравнений методом Ньютона. Основная литература. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982. Тема 4. Топологические пространства. Топологические пространства: аксиоматика и примеры. Метризуемые и неметризуемые пространства. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы. Основная литература. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982. Тема 5. Кривые и поверхности. Кривые в пространстве, параметризуемые кривые. Касательная к кривой. Длина дуги кривой. Кривизна кривой. Кривые в . Поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Ориентируемые поверхности. Площадь поверхности. Кривизна поверхности. Петли. Гомотопия. Фундаментальная группа топологического пространства. Пример нестягиваемой петли, гомологичной нулю. Основная литература. Тер-Крикоров А.Д., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: изд-во МФТИ, 2000. Тема 6. Многообразия. Многообразия: определения и примеры. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Замены координат на многообразии. Преобразования векторных полей. Непрерывные отображения многообразий. Гомеоморфизмы. Классификация в двумерном случае. Формулировка гипотезы Пуанкаре и теоремы Перельмана. Основная литература. Тер-Крикоров А.Д., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: изд-во МФТИ, 2000. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. – М.: Мир, 1968. Зорич В.А. Математический анализ: учебник. Т.2. – М.: Наука, 1984, 640с. Тема 7. Критические точки отображений. Общее положение и трансверсальность для многообразий. Лемма Сарда. Критические точки отображений. Простейшие примеры. Лемма Морса. Основная литература. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.   М.: Наука, 1982. Зорич В. А. Математический анализ. Т.2. – М.: Наука, 1984, 640с. Тема 8. Интерполяция многочленами и сплайнами. Формула Лагранжа. Интерполяция Эрмита. Аппроксимация Паде и двухточечная рациональная аппроксимация. Устойчивость интерполяции к шумам в исходных данных. Константа Лебега для пространства С. Устойчивость производной интерполянта к шумам. Сплайны, степень и дефект. Размерность пространства интерполяционных сплайнов на данной сетке. Граничные условия. Кубические сплайны дефекта 1. Метод построения. Метод прогонки. Теорема Биркгофа – де Бура (без док.). Основная литература. 1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 2. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005. 3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010. Тема 9. Квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симпсона. Сплайны для интегрирования. Оценка порядка сходимости квадратурной формулы при уменьшении шага сетки. Оценка несобственных интегралов. Интегралы, зависящие о параметра и их оценка. Эллиптический интеграл. Примеры. Основная литература. 1. Федоренко Р.П. Лекции по вычислительной физике. Долгопрудный. 1994, 2009. 2. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005. Тема 10. Компактные схемы для вычисления производных и решения краевых задач. Составление соотношений для коэффициентов компактных схем, аппроксимирующих операторы первого и второго порядка на трехточечном шаблоне. Определение коэффициентов компактных схем. Определение символа соответствующего разностного оператора. Применение прогонки для решения краевых задач для уравнений второго порядка. Периодические условия и периодическая прогонка. Примеры. Основная литература. 1. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005. 2. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010. Тема 11. Конечно-разностные уравнения и случайные блуждания. Блуждания на одномерной сетке и вероятность выигрыша в азартной игре. Многомерные блуждания. Оценка предельного положения для марковской цепи. Примеры. Тема 12. ^ Особые точки дифференциальных уравнений. Возможность обобщенных решений. Регулярные и иррегулярные особые точки линейных ОДУ. Уравнение Эйлера и его характеристическое уравнение. Метод Фробениуса. ^ Основная литература. 1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?. 2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. Дополнительная литература 1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003. Тема 13. Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений. Отличие регулярных и сингулярных возмущений. Медленные и быстрые процессы. Фазовые портреты для систем с сингулярным возмущением. Медленные многообразия. Условия срыва траектории. Релаксационные колебания. Примеры. Основная литература. 1. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. Тема 14. Дифференциальные формы. Дифференциальные формы: определения и примеры. Замена переменных. Внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Примеры. Основная литература. Никольский С.М. Курс математического анализа, т.II: Учебник. – М.: Наука, 1983. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — M.: КомКнига, 2006. Тема 15. Лемма Стокса. Лемма Стокса: общая формулировка и частные случаи. Основная литература. Никольский С.М. Курс математического анализа, т.II: Учебник. – М.: Наука, 1983. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — M.: КомКнига, 2006. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в тексте книг: 1. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005. 2. Гордин В.А. Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ. 3. Гордин В.А. «Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики», М.: ФИЗМАТЛИТе. 2010, рукопись выложена в открытый доступ. Технология процесса обучения 1. Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и дополняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией. 2. Домашние задачи требуют от студента понимания аналитического аппарата + владения техникой программирования + умения анализировать полученные численные результаты и графики. Выполнение домашних заданий - трудоемкий, но важный аспект обучения. 3. Занятия на 2-м курсе (4-й и 5-й модули) скоординированы с занятиями по базовому курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Они используют знания, полученные на курсах математического анализа, линейной алгебры и визуализации аналитических расчетов. Аналитические построения постоянно подкрепляются компьютерными вычислениями с получением таблиц и графиков. Некоторые задачи, не требующие компьютерного решения, разбираются со студентами в аудитории. 4. Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте. © В.А. Гордин Скачать 133,88 Kb. оставить комментарий В.А. Гордин Дата 25.09.2011 Размер 133,88 Kb. Тип Программа дисциплины, Образовательные материалы