Программа государственного экзамена по математике для студентов по специальности 010501 Прикладная математика и информатика на 2010/2011 учебный год

Утверждена на Ученом Совете

механико-математического факультета СГУ

15.10.2011 г. (протокол № 2)

Декан механико-математического факультета, кандидат физико-математических наук, доцент- Захаров А.М.

Председатель научно-методической

комиссии, кандидат физико-математических наук – Тышкевич С.В.

Программа

государственного экзамена по математике для студентов

по специальности 010501 - Прикладная математика и информатика

на 2010/2011 учебный год

^ Математический анализ

	Предел и непрерывность функций. Свойства непрерывных функций.
	Дифференцируемость функций многих переменных, частные производные.
	Интеграл Римана и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
	Необходимое и достаточное условия экстремума функции многих переменных.
	Мера и интеграл Лебега.
	Криволинейные интегралы. Формула Грина.
	Поверхностные интегралы. Формула Стокса и Остроградского.
	Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.
	Функциональные ряды, свойства равномерно сходящихся рядов.
	Ряды Фурье по ортонормированным системам в евклидовом пространстве, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.
	Тригонометрические ряды Фурье.
	Аналитические функции. Теорема Коши и интегральная формула Коши.
	Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана.
	Конформные отображения. Отображения, осуществляемые основными элементарными функциями.

Литература:

	Архипов Г.И., Садовничий В.А. Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., Высшая школа, 2000.
	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981.
	Рудин У. Основы математического анализа. М., Мир, 1966.
	Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного. Изд-во МГТУ, Москва, 2000 г
	Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика. Т. 1-3.
	Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. М. Высшая школа. 1989 г.
	Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. 1-2.

.

Геометрия и алгебра

	Понятие определителя n-го порядка, его свойства.
	Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
	Критерий совместности и критерий определенности системы линейных уравнений.
	Кривые второго порядка, их классификация.
	Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
	Понятие самосопряженного оператора в Rⁿ, его свойства.

Литература:

	Курош А.Г. Курс высшей алгебры . М.: Наука, 1975 г
	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1968
	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974 г.
	Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977 г.
	Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука 1980 г.
	Пензов Ю.Е. Аналитическая геометрия. Саратов: Изд-во СГУ.
	Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976г.

^ Дифференциальные уравнения

	Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
	Определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Теорема о виде общего решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка.
	Простейшая краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка. Определение собственного значения (с.зн.) и собственной функции (с.ф.). Теорема об ортогональности собственных функций.
	Определение матричной экспоненты. Сходимость матричного ряда, определяющего экспоненту.
	Метод вариации произвольных постоянных для линейного дифференциального уравнения n- порядка (метод Лагранжа).

Литература:

	А.Н. Тихонов и др. «Дифференциальные уравнения»
	Н.М. Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений».

Функциональный анализ

	Теорема Банаха-Штейнгауза.
	Теорема о ряде Неймана.
	Теорема о проекции.

Литература:

Люстерник Л.А., Соболев В.И. «Элементы функционального анализа».

^ Теория вероятностей и математическая статистика

	Вероятностное пространство, свойства вероятностей, формула полной вероятности.
	Случайная величина, функция распределения и её свойства; плотность распределения.
	Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин и их свойства.
	Выборочные характеристики, их несмещенность и состоятельность; асимптотические свойства.
	Доверительные интервалы, построение их для параметров нормального распределения.

Литература:

	Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М. Наука, 1982.
	Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М., Наука, 1982.
	Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., Наука, 1979.

Исследование операций и теория игр

	Статистические игры. Байесовский подход. Байесовская стратегия и ее свойства.
	Антагонистические игры. Критерий существования седловой точки в антагонистической игре.
	Матричные игры. Свойства оптимальных стратегий игроков в матричной игре.

Литература

	Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. – М., Наука, 1971.
	Шолпо И.А. Исследование операций. Теория игр.- Саратов, изд-во СГУ, 1983.
	Оуэн Г. Теория игр. – М., Мир, 1971.
	Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. – М., Наука, 1976.
	Кузнецова И.А., Луньков А.Д., Харламов А.В. Теория игр. Учебно-методическое пособие. – Саратов, изд-во СГУ, 2002.
	Блекуэлл Д., Гиршик М. Теория игр и статистических решений. – М., ИЛ, 1958.

Уравнения математической физики

	Задача Коши для уравнения колебания струны. Метод бегущих волн.
	Решение смешанной задачи о колебаниях струны методом разделения переменных.
	Теорема о максимуме и минимуме для уравнения теплопроводности. Единственность решения смешанной задачи.
	Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона.
	Основная интегральная формула для гармонических функций.

Литература:

	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука,1972.
	Юрко В.А. Уравнения математической физики. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004.

^
Численные методы

	Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона.
	Приближение функций. Метод наименьших квадратов.
	Численное интегрирование. Формула Симпсона. Интерполяционные квадратурные формулы.
	Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
	Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона (алгоритм, выбор начального приближения, сходимость метода).
	Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (методы Рунге-Кутта и Адамса).

Литература:

	Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.– М.: Наука, 1989.
	Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука,1987.

Системное и программное обеспечение

	Жизненный цикл программного обеспечения. Планирование жизненного цикла и управление качеством программного обеспечения.
	Коммуникация процессов: синхронизация, взаимное исключение, блокировка. Критические секции. Семафоры.

Литература

	Боэм Б.У. Инженерное проектирование программного обеспечения: Пер. с англ.- М.: Радио и связь. 1985.- 512 с., ил.
	Липаев В.В. Системное проектирование сложных программных средств для информационных систем. Серия «Информатизация России на пороге XXI века».- M: СИНТЕГ,1999, 224 с.
	Сетевые операционные системы/ В.Г. Олифер, Н.А. Олифер. СПб.: Питер, 2001. 544 с., ил.
	Лорин Г., Дейтл Х.М. Операционные системы/ Пер. с англ.; М.: Финансы и статистика, 1984. 1984. 392 с.

Информатика

	Управляющие структуры процедурных языков программирования.
	Типы данных в языке Паскаль: массивовый, комбинированный, множественный, файловый.
	Абстрактные структуры данных и их реализация на языках высокого уровня: стеки и очереди.
	Абстрактные структуры данных и их реализация на языках высокого уровня: деревья и графы.

Литература:

	Н. Вирт. Алгоритмы + структуры данных = программы. М: «Мир», 1985.
	Д. Грис. Наука программирования. М: «Мир», 1984.

Языки программирования.

	Атрибутные транслирующие грамматики.
	Отложенные вычисления в языках программирования.

Литература:

	Ф. Льюис и др. Теоретические основы проектирования компиляторов. М.: «Мир», 1979.
	О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоиздат», 1988.

Методы оптимизации

	Теорема отделимости для двух непересекающихся выпуклых множеств.
	Теорема Куна-Такера для основной задачи выпуклого программирования.
	Алгоритм решения канонической задачи линейного программирования симплекс-методом.

Литература:

	Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М. – 1980.
	С.И. Дудов, А.П. Хромов. Методы оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Изд-во Сарат. ун-та. – 2002.
	Н.И. Кабанов. Элементарное введение в вариационное исчисление. Изд-во Сарат. ун-та. – 1978.

Дискретная математика

	Планарный и плоский графы. Формула Эйлера для плоских графов. Гомеоморфизм графов. Критерий планарности графов.
	Разложение функции алгебры логики по переменным. СДНФ, СКНФ. Полином Жегалкина.
	Проблема кодирования. Однозначность декодирования. Коды Хемминга.

Литература:

	Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. Наука. М., 1988 г.
	Матросов В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике. МПГУ, Москва, 1997.
	Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. Изд-во МАИ, Москва, 1992.
	Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Санкт-Петербург, 2000.

Базы данных и экспертные системы

	Реляционная алгебра. Выборка. Проекция. Переименование атрибутов. Объединение. Пересечение. Разность. Декартово произведение. Естественное соединение. Свойства операций.
	Целостность реляционных баз данных по состоянию. Ограничения уровней атрибута, кортежа, отношения, базы данных. Правила поддержания ссылочной целостности.
	Реляционный язык запросов SQL. Реализация операций реляционной алгебры.
	Нормальные формы реляционных баз данных (1НФ, 2НФ, 3НФ).
	Реализация иерархической рекурсии в реляционной модели данных.
	Реализация сетевой рекурсии в реляционной модели данных.
	Реализация ассоциации в реляционной модели данных.
	Реализация обобщения в реляционной модели данных.
	Реализация композиции в реляционной модели данных.
	Реализация агрегации в реляционной модели данных.

Литература:

	Гарсиа-Молина, Г. Системы баз данных. Полный курс / Г. Гарсиа-Молина, Дж. Д. Ульман, Дж. Уидом. Пер. с англ. — М.: Издательский дом “Вильямс”, 2003. — С. 1088.
	Дейт, К. Дж. Введение в системы баз данных / К. Дж. Дейт. Пер. с англ. — 6-е изд. изд. — К.: Диалектика, 1998. — С. 784.
	Когаловский, М. Р. Энциклопедия технологий баз данных / М. Р. Когаловский. — М.: Финансы и статистика, 2002. — С. 800.