Рабочая программа дисциплины «Алгебра ii» Направление icon

Рабочая программа дисциплины «Алгебра ii» Направление


Смотрите также:
Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» Направление...
Рабочая программа учебной дисциплины «Алгебра и геометрия» Направление подготовки...
Рабочая программа дисциплины аналитическая геометрия и линейная алгебра направление...
Рабочая программа по математике 7-9 классы...
Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Линейная алгебра...
Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Линейная алгебра...
Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает...
Рабочая учебная программа по дисциплине алгебра и геометрия направление: 5528 “Информатика и...
Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Алгебра и геометрия...
Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Алгебра и геометрия...
Рабочая программа дисциплины линейная алгебра направление подготовки 080100 «Экономика»...
Рабочая программа учебной дисциплины "Алгебра и геометрия" по подготовке инженера программиста...



Загрузка...
скачать
Правительство Российской Федерации

Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики



Рабочая программа дисциплины


«Алгебра II»



Направление:

010100.62 «Математика»

Подготовка:

бакалавр

^ Форма обучения:

очная




^ Автор программы:

проф. М.В.Финкельберг










Рекомендована секцией УМС




Одобрена на заседании

по математике




кафедры алгебры

Председатель




Зав. кафедрой, проф.


___________________________С.К.Ландо





_________________________А.Н.Рудаков

«_____» ______________________2009 г.




«_____» ______________________2009 г.










Утверждена УС







факультета математики







Ученый секретарь доцент








_________________________Ю.М.Бурман







«_____» ______________________2009 г.









Москва

2009

Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» [Текст]/Сост. Финкельберг М.В.; ГУ-ВШЭ. –Москва.– 2009. – 12 с.


Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100.62 «Математика».


Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100.62 «Математика».


Составитель: Ph.D. Финкельберг М.В. (fnklberg@gmail.com)



©

Финкельберг М.В., 2009.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2009.


Пояснительная записка


Автор программы: кандидат физико-математических наук М. В. Финкельберг


^ Требования к студентам: дисциплина изучается на втором курсе, и вначале от слушателей предполагается лишь владение алгеброй и геометрией в объеме первого курса. Однако этот курс должен идти в параллель с курсами анализа и геометрии, и в первом модуле от студентов предполагается опыт работы с координатными пространствами и владение основами дифференциального исчисления, а во втором, третьем, четвёртом и пятом модулях - владение евклидовой (метрической) геометрией, основами топологии и интегрального исчисления.


Аннотация.

Дисциплина «Алгебра II» предназначена для подготовки бакалавров по направлению 010100.62.


Курс алгебры занимает центральное место в блоке математических дисциплин. Он является основным арсеналом технических средств для всех остальных математических курсов, а те, в свою очередь, доставляют ключевые мотивирующие примеры, необходимые для понимания абстрактных алгебраических конструкций. Круг задач, решаемых настоящим курсом, обусловлен таким двояким взаимодействием с остальными математическими предметами.


Первый модуль посвящён знакомству с важными и часто используемыми алгебраическими структурами: симметрическими функциями и формальными производящими рядами. Одновременно с этим происходит отработка техники вычислений с формальными степенными рядами, рядами Пюизо, многоугольниками Ньютона и функциями Шура.


Второй модуль посвящён детальному изучению основ теории Галуа: расширениям полей и их автоморфизмам, решению алгебраических уравнений в радикалах и технике построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, а также технике вычисления групп Галуа.


Третий модуль посвящён арифметике колец целых алгебраических чисел. Основной упор делается на поведение идеалов при расширениях колец целых. Детально изучаются свойства идеалов в кольцах целых самых важных полей: квадратичных и круговых. Отрабатывается техника вычисления символа Лежандра на основе квадратичного закона взаимности Гаусса.


В четвёртом модуле систематически изучаются тензорные произведения векторных пространств, модулей и алгебр. Происходит отработка техники вычислений во внешней и симметрической алгебрах. Дается классификация полупростых и простых ассоциативных алгебр, а также конечных тел. Закладываются основы вычисления группы Брауэра.


В пятом модуле изучается строение групповых алгебр конечных групп и их представлений. Отрабатывается техника вычисления характеров широкого класса индуцированных представлений конечных групп. Полностью классифицируются представления многих важных классов конечных групп.


Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе


Цель изучения дисциплины:


  • формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики




  • освоение фундаментальных понятий и простейших вычислительных методов современной алгебры



Задачи изучения дисциплины:


  • освоение языка множеств и отображений




  • знакомство с базисными алгебраическими структурами – симметрическими функциями, производящими функциями, расширениями полей, группами Галуа, идеалами колец целых алгебраических чисел, простыми и полупростыми ассоциативными алгебрами, группами Брауэра, представлениями и характерами конечных групп.




  • решение базисных классификационных задач – описание базисов кольца симметрических функций, классификация конечных тел, классификация уравнений, разрешимых в радикалах, классификация простых ассоциативных алгебр, классификация представлений конечных групп.




  • освоение простейших алгебраических вычислительных методов – решение алгебраических уравнений в радикалах и в рядах Пюизо, выражение симметрических функций через стандартные базисы, построение правильных многоугольников циркулем и линейкой, вычисление символа Лежандра, вычисление характеров конечных групп.


Тематический план учебной дисциплины



Название темы

Всего часов по дисциплине

В том числе аудиторных

Самостоятельная работа

Всего

Лекции

Семинары

 

1 модуль

92

46

20

26

46

1. 

Исчисление формальных степенных рядов

18

9

4

5

9

2. 

Числа и многочлены Бернулли

18

9

4

5

9

3. 

Ряды Пюизо

18

9

4

5

9

4. 

Симметрические функции

18

9

4

5

9

5. 

Расширения полей: примеры

20

10

4

6

10

 

2 модуль

71

36

17

19

35

6. 

Сепарабельные расширения полей

20

10

5

5

10

7. 

Теория Галуа

20

10

5

5

10

8. 

Решение уравнений в радикалах

20

10

5

5

10

9. 

Целые алгебраические числа

11

6

2

4

5

 

3 модуль

76

40

16

24

36

10. 

Группа классов идеалов

13

7

3

4

6

11. 

Основная теорема арифметики

13

7

3

4

6

12. 

Квадратичный закон взаимности

12

6

2

4

6

13. 

Тензорное произведение

12

6

2

4

6

14. 

Тензорная алгебра

13

7

3

4

6

15. 

Группа Брауэра

13

7

3

4

6

 

4 модуль

85

38

27

11

47

16. 

Групповая алгебра конечной группы

11

5

2

3

6

17. 

Характеры представлений конечных групп

37

16

12

4

21

18. 

Примеры представлений конечных групп

37

17

13

4

20

 

Итого:

324

160

80

80

164

Базовые учебники




Винберг Э.Б. Курс алгебры. Изд. 3–е, перераб. и доп.–М.: Факториал Пресс, 2002.



Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.–Изд. 7–е.–М.: Университет, 2007.



Городенцев А.Л. Лекции по линейной алгебре. Второй курс.–М.: НМУ МК, 1995



Городенцев А.Л. Лекции по алгебре. Второй курс.–М.: НМУ МК, 1993



Сборник задач по алгебре/Под ред. А.И.Кострикина. – М.: Физматлит. 2001.



Ленг С. Алгебра – M.:Мир, 1968.



Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М.: Мир, 1985



Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре –11-е изд., стер.–Спб.: Лань, 2008.



Рудаков А.Н. Лекции по алгебре. Второй курс.–М.: НМУ МК, 1993.



Дополнительная литература




Ван дер Варден Б.Л. Алгебра – Пер. с нем.–Спб.: Лань, 2004.



Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел.–3-е изд.–М.:Наука, 1985.



Вейль Г. Алгебраическая теория чисел.–М.:УРСС, 2003



Кострикин А.И. Введение в алгебру.–В 3-х частях.–Изд. 2–е, испр.–М.: Физматлит, 2001.



Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.–3-е изд., стер.–Спб.: Лань, 2005.



Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры – M.: Наука, 1996.



Формы контроля


Текущий контроль - решение задач на семинарских занятиях.


Промежуточный контроль - 3 коллоквиума, 4 контрольные работы по темам:

  1. Вычисления с формальными степенными рядами и рядами Пюизо.

  2. Вычисления с симметрическими многочленами.

  3. Построения циркулем и линейкой.

  4. Решение алгебраических уравнений в радикалах.

  5. Вычисление символа Лежандра.

  6. Разложение идеалов в произведение простых.

  7. Тензорные произведения конечнопорожденных модулей.

  8. Вычисления с характерами симметрических групп.

  9. Вычисления с характерами конечных групп Гейзенберга.


Итоговый контроль - 1 письменный зачёт (3-й модуль) и 2 письменных экзамена (1-й и 4-й модули).


Формула для вычисления итоговой оценки:


Если выполнено D% домашних заданий, K% заданий предлагавшихся на контрольных работах и E% заданий, предлагавшихся на зачётах и экзаменах (в процентах от общего количества всех предлагавшихся задач), то итоговая оценка (по десятибалльной шкале) равна

10 min( 225, D+K+E) / 225


Таким образом для получения отметки 10 достаточно набрать сумму D+K+E=225 (что примерно соответствует выполнению ¾ заданий каждого из видов).


Содержание программы


Тема 1. Исчисление формальных степенных рядов.

Экспонента и логарифм являются взаимно обратными изоморфизмами между аддивной группой рядов без свободного члена и мультипликативной группой рядов с единичным свободным членом. Бином с произвольным показателем. Представление элементарных функций формальными рядами.


^ Тема 2. Числа и многочлены Бернулли.

Обращение разностного оператора на пространстве многочленов, ряд Тода, числа и многочлены Бернулли. Формула Эйлера-Маклорена.


Тема 3. Ряды Пюизо.

Многоугольник Ньютона. Разложение корня многочлена в ряд Пюизо, алгебраическая замкнутость поля формальных дробно степенных рядов.


^ Тема 4. Симмeтрические функции.

Стандартные базисы пространства симметрических многочленов, их производящие функции и переходы между ними. Многочлены Шура. Результант и дискриминант для многочленов от одной переменной. Теорема Безу. Доказательство Плюккера теоремы Паскаля о вписанном шестиугольнике.


^ Тема 5. Расширения полей: примеры.

Присоединение корня многочлена. Классификация конечных полей. Автоморфизм Фробениуса. Лемма Гаусса. Критерий неприводимости Эйзенштейна. Круговые поля и многочлены. Автоморфизмы круговых полей. Невозможность построения правильных многогранников циркулем и линейкой.


^ Тема 6. Сепарабельные расширения полей.

Сепарабельность. Теорема о примитивном элементе. Норма и след. Нормальные расширения. Поля разложения.


Тема 7. Теория Галуа.

Основная теорема теории Галуа. Группы Галуа конечных полей. Группы Галуа круговых полей. Группы Галуа куммеровых расширений. Группы Галуа артиновых расширений. Построение правильного семнадцатиугольника циркулем и линейкой.


^ Тема 8. Решение уравнений в радикалах.

Разрешимые и неразрешимые группы. Неразрешимость симметрических групп. Резольвента Лагранжа. Лемма Гильберта 90. Классификация циклических расширений. Решение в радикалах уравнений второй, третьей и четвертой степени. Неразрешимые в радикалах уравнения пятой степени.


^ Тема 9. Целые алгебраические числа.

Целые элементы и конечные расширения. Целозамкнутость. Дискриминант кольца целых алгебраических чисел. Дискриминант идеала. Свободность идеалов в расширении кольца целых алгебраических чисел.


^ Тема 10. Группа классов идеалов.

Максимальность простых идеалов в кольцах целых алгебраических чисел. Произведение идеалов. Главные идеалы. Примеры неглавных идеалов. Дробные идеалы. Группа классов идеалов. Теорема Гурвица. Конечность числа классов.


^ Тема 11. Основная теорема арифметики.

Разложение идеалов на простые множители. Китайская теорема об остатках. Ветвление и степень идеала. Сопряженные идеалы в расширениях Галуа.


Тема 12. Квадратичный закон взаимности.

Поведение идеалов в квадратичных полях. Поведение идеалов в круговых полях. Доказательство квадратичного закона взаимности Гаусса.


^ Тема 13. Тензорное произведение.

Билинейные формы. Двойственные пространства. Полилинейные формы. Представимые функторы и универсальные объекты. Эндоморфизмы векторного пространства как тензорное произведение пространства на двойственное. Разложимые тензоры.


^ Тема 14. Тензорная алгебра.

Тензорная алгебра векторного пространства. Внешняя и симметрическая алгебры. Функторы Юнга. Комплексы Кошуля и Де Рама. Тензорное произведение алгебр. Расширение и сужение скаляров.


^ Тема 15. Группа Брауэра.

Полупростые и простые алгебры. Тела и матричные алгебры. Обобщенные кватернионы. Тензорное произведение центральных простых алгебр. Теорема плотности Джекобсона. Теорема Бернсайда. Теорема Веддерберна. Классификация простых алгебр. Классификация конечных тел. Группа Брауэра. Вычисление группы Брауэра поля вещественных чисел.


^ Тема 16. Групповая алгебра конечной группы.

Полупростота групповой алгебры. Неприводимые представления. Тензорное произведение представлений. Кольцо Гротендика.


^ Тема 17. Характеры представлений конечных групп.

Лемма Шура. Соотношения ортогональности для характеров и для матричных элементов. Разложение регулярного представления. Число неприводимых представлений и их размерности. Разложение представлений на изотипические компоненты. Индуцированные представления и их характеры. Теорема Брауэра. Теорема Артина.


^ Тема 18. Примеры представлений конечных групп.

Представления симметрической группы. Представления группы Гейзенберга. Представления группы верхнетреугольных матриц два на два над конечным полем. Представления группы симметрий правильного многоугольника.


Образцы заданий по различным формам контроля


Листок 1. Формальные ряды. Это сводка простейших формальных рядов, возникающих при разложении важнейших функций, а также как производящие функции важнейших (рекуррентных) последовательностей, таких как числа Фибоначчи и числа разбиений. Сюда же относятся производящие функции для чисел и многочленов Бернулли и техника суммирования степеней натуральных чисел.

Листок 2. Метод Ньютона. Техника отыскания корня алгебраического уравнения на формальные дробно-степенные ряды. Модификация метода в случае основного поля конечной характеристики.

Листок 3. Элементарные симметрические функции. Техника вычисления различных симметрических функций от корней многочлена. Вычисление результантов и дискриминантов.

Листок 4. Функции Шура. Техника вычислений с мономиальными, полными, степенными симметрическими функциями и функциями Шура. Детерминантальные тождества и тождества Коши.

Листок 5. Неприводимые многочлены. Техника проверки неприводимости многочленов над различными полями.

Листок 6. Минимальные многочлены. Техника вычислений минимальных многочленов алгебраических чисел. Вычисление билинейных форм следа и дискриминантов. Проверка линейной независимости алгебраических чисел.

Листок 7. Группы Галуа. Техника вычислений групп Галуа расширений полей. Расширения небольшой степени, расширения полей рациональных функций и полей формальных рядов, артиновы и куммеровы расширения.

Листок 8. Формулы Кардано и Феррари. Техника решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степени.

Листок 9. Кольца целых квадратичных полей. Техника отыскания целозамкнутых колец алгебраических чисел и проверки однозначности разложения на простые множители. Примеры евклидовых и неевклидовых колец.

Листок 10. Идеалы. Техника вычислений дискриминантов идеалов. Элементарные свойства идеалов колец целых полей алгебраических чисел.

Листок 11. Геометрия чисел. Техника вычисления группы классов идеалов. Норма идеала. Обобщения теоремы Эйлера, Вильсона и малой теоремы Ферма.

Листок 12. Кольца целых круговых полей. Техника вычисления группы единиц полей деления круга. Вычисление степеней и индексов ветвления простых идеалов.

Листок 13. Алгебры Клиффорда. Техника работы с полупростыми ассоциативными алгебрами. Периодичность вещественных алгебр Клиффорда.

Листок 14. Обобщенные кватернионы. Техника построения центральных простых алгебр. Классификация тел кватернионов над р-адическими полями и полем рациональных чисел.

Листок 15. Проекторы Юнга. Техника работы с полиномиальными функторами. Классификация полиномиальных функторов. Классификация идемпотентов групповой алгебры симметрической группы.

Листок 16. Характеры симметрических групп и функции Шура. Отработка техники вычисления характеров неприводимых представлений симметрических групп. Установление их связи с функциями Шура, освоенными в первом модуле.

Листок 17. Характеры групп GL(2) над конечными полями. Отработка техники вычисления характеров неприводимых представлений конечных группп Ли типа GL(2). Основная и дискретная серии.

Листок 18. Конечные подргуппы SL(2). Классификация конечных подгрупп комплексной группы SL(2). Классификация их представлений. Вычисление тензорных произведений представлений.


Автор программы: _____________________________ М.В. Финкельберг




Скачать 201.36 Kb.
оставить комментарий
М.В.Финкельберг
Дата25.09.2011
Размер201.36 Kb.
ТипРабочая программа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх