Задачи на движение по течению и против течения реки. «Золотые мысли» icon

Задачи на движение по течению и против течения реки. «Золотые мысли»


28 чел. помогло.
Смотрите также:
Летом девяносто четвертого я плыла на теплоходе вверх по течению великой русской реки Волги...
План урока: 1
Реки в природе и на географической карте. 6 класс...
«Грачевский район Оренбургской области»...
Контрольная работа Северная Америка...
Общее описание зоны опережающего развития (вопрос 1)...
Урок-исследование по теме «Синтаксис сложного предложения»...
Диакон Андрей Кураев...
Диакон Андрей Кураев...
Источник: Селигмен Б. Основные течения современной экономической мысли. М. "Прогресс". 1968...
Действующие лица Гражданской войны махно...
Лекция 14



Задачи на движение по течению и против течения реки.

«Золотые мысли»

«Если мы действительно что – то знаем, то мы знаем благодаря изучению математики».

Пьер Гассенди (1592 – 1655),

французский философ и учёный.


Алгебра предлагает новые возможности решения задач. Чтобы научиться решать задачи, необходимо понять, как составить математическую модель к задаче, т.е. надо условие зада-чи, написанное на русском языке, перенести на язык математики. «Математика – это язык!» - сказал великий физик Гиббс.

Буквы помогают нам записывать условия задачи в виде уравнения, что намного упрощает решение этих задач.

^ Для составления уравнения по условию задачи необходимо выполнять следующие действия:

Ввести переменную, т.е. с помощью буквы обозначают неизвестную величину, которую

требуется найти в задаче, или она необходима для отыскания искомой величины.

^ С помощью введённой переменной и данных в задаче чисел и их соотношений составить

уравнение.

Решить уравнение.

^ Если с помощью буквы обозначена неискомая величина, то с помощью дополнительных

решений находят ответ на поставленный вопрос.


В известной книге Д. Пойа «Как решать задачу» приведена таблица «Как искать решение?»


Как искать решение?

1. Понять задачу.

- Что неизвестно?

- Что надо найти?

- Нельзя ли сформулировать задачу иначе, проще?

- Нельзя ли задачу свести к уже решённой?

- Все ли данные задачи были уже использованы?


^ 2. Найти путь от неизвестного к известному.

- Что необходимо знать, чтобы найти неизвестное?


3. Реализовать решение от известного к неизвестному.

- Что можно найти, зная неизвестное?

- Проверить правильность каждого шага.


^ 4 .Проверить решение.

- Правдоподобен ли результат?

- Нельзя ли сделать проверку?

- Нельзя ли упростить решение?


Уравнение, которое составляют на основании условий задачи на движение, обычно содержат такие величины как расстояние, скорость и время движущихся объектов.

Пройденный путь определяется по формуле где скорость, t – время.

Если объект, имеющий собственную скорость в стоячей воде, движется по течению реки,

скорость течения реки которой равна U, то скорость объекта (относительно берега) будет равна .

Если объект движется против течения реки, то скорость объекта (относительно берега) будет равна (очевидно, что должно выполняться ).

Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то считают, что плот имеет ту же ско-рость, что и течение реки, т.е. U.

Обращайте особое внимание на единицы измерения – они в течение всего решения должны быть одинаковыми. Если это часы, то время должно на протяжении всей задачи выражаться в


часах, а не в минутах, не должно в одном решении применяться километры и метры, путь в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в часах.

Нужно все время помнить, о том что в текстовых задачах все величины, как правило, поло-жительны (ибо в природе скорости и расстояния положительны).


Решим задачу.

Моторная лодка прошла 4 км против течения реки, а затем прошла еще 33км по течению реки, затратив на это один час. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 6,5км/ч.


Проанализируем задачу, выделим все условия; установим, какие объекты входят в условие; какие характеристики или отношения между объектами заданы в условии.

- Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

- Выразим скорость движения моторной лодки по течению реки.

- Выразим скорость движения моторной лодки против течения реки.

- Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь по течению реки.

- Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь против течения реки.

- Составим уравнение, учитывая, что на весь путь моторная лодка затратила 1 час.

- Решим уравнение.

- Исключим те из корней уравнения, которые не соответствуют условию задачи.

Решение.


Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

Тогда скорость моторной лодки по течению реки равна (+6,5) км/ч, а против течения реки - (-6,5) км/ч.

Время, затраченное моторной лодкой по течению реки - часов, а против течения реки - часов.

Зная, что моторная лодка на весь путь затратит один час, составим уравнение: + =1.


Решение уравнения.


+ = 1, если то умножим обе части уравнения на , получим

33 +4= ,





и

Если и , то , значит и - являются корнями данного уравнения.

4,5 км/ч- не удовлетворяет условию задачи (при такой скорости моторная лодка не поплыла бы против течения реки).

32,5 км/ч – скорость моторной лодки в стоячей воде.

Ответ. 32,5 км/ч.


1-ая часть

В первой части рассматриваются примеры составления математической модели к задаче, работать с математической моделью.(математические классы)


^ Текстовые задачи на движение по течению и против течения реки.


1. Пункты А и В расположены на берегу реки. Почтальон доставляет корреспонденцию из А в В

на моторной лодке, проплывая против течения число километров, равное тому значению в

уравнении при котором дискриминант его равен единице. Определите

скорость течения реки, если на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, а скорость дви-

жения лодки в стоячей воде 9,6 км /ч.


Решение.


Зная, что число километров равно тому значению в уравнении при котором дискриминант его равен единице, т.е.







S, км

V, км/ч

t, ч

по течению

реки

5







против тече-

ния реки

5








Пусть км/ч скорость течения реки.

Зная, что на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, т.е. часа, составим уравнение:

+ = .

Решение уравнения.


+ = , если то умножим обе части уравнения на получим













При выражение то - корень уравнения.


2,4 км/ч - скорость течения реки.


Ответ. 2,4 км/ч.


2. От пристани А к пристани В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и

байдарка. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Последнюю 1/10 часть пути от А до В моторная

лодка плыла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости

течения. На той части пути, где моторная лодка плыла с работающим мотором, ее скорость была

на 8 км/ч больше скорости байдарки. К пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновре-

менно. Найти собственную скорость (скорость в неподвижной воде) байдарки.


Решение.


Пусть км/ч собственная скорость байдарки.





S, км

V, км/ч

t, ч

моторная

лодка



+2+8



байдарка

S







моторная

лодка



2




Зная, что к пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновременно, составим уравнение:

+ = .


Решение уравнения.


+ = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим







,

- не удовлетворяет условию задачи, так как



Если то то корень уравнения.


8 км/ч – собственная скорость байдарки.


Ответ. 8 км/ч.


3. Из пункта А в пункт В по течению отплывает лодка. Одновременно с ней из пункта В против тече-

ния отправляется катер, который, прибывает в А, не останавливаясь, следует обратно в пункт В, а

из В так же без остановки отправляется в А. На этом последнем участке маршрута катер опять

встречает лодку, которая прошла к этому моменту 3/4 пути от А до В. Скорость лодки при движе-

нии по течению в 9 раз больше ее скорости при движении против течения. Во сколько раз скорос-

ть катера, движущегося по течению, больше скорости лодки, движущейся против течения?

Решение.


Пусть км/ч собственная скорость лодки, а км/ч скорость течения реки. Зная, что скорость лодки при движении по течению реки в 9 раз больше ее скорости при движении против течения, т.е.

км/ч скорость течения реки.

км/ч собственная скорость катера.




S, км

V, км/ч

t, ч

лодка








катер


S







катер

S







катер








Зная, что катер и лодка до последней встречи находились в пути одно и то же время, составим уравнение:

+ + = .

Решение уравнения.

+ + = ,

+ = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим





так как по условию задачи то разделим обе части уравнения на

получим

пусть тогда

не удовлетворяет условию задачи, т.к ,

- во столько раз скорость катера, движущегося по течению, больше скорости лодки, движущейся по течению.

то

Ответ.


4. В озеро впадает две реки. Лодка отплывает от пристани А на первой реке, плывет 36 км вниз до озера, далее 19 км по озеру (в озере нет течения) и 24 км по второй реке против течения до пристани В, затратив 8 часов на весь путь от А до В. Из этих 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем скорость течения второй реки. Найти ско-рость течения каждой реки. (Собственная скорость лодки, т. е. скорость лодки в стоячей воде, постоянна).


Решение.


Пусть 9,5 км/ч собственная скорость лодки, км/ч скорость течения реки.





S, км

V, км/ч

t, ч

лодка вниз по

течению по первой реке

36





по озеру


19



9,5

2

лодка против

течения по

второй реке

24









Зная, что из 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру, составим уравнение:

+ = 6.


Решение уравнения.


+ = 6, если то умножим обе части уравнения на , получим













не удовлетворяет условию задачи, так как



Если то то корень уравнения.

Если то .


1,5 км/ч скорость течения второй реки, а 2,5 км/ч скорость течения первой реки.


Ответ. 2,5 км/ч и 1,5 км/ч.


5. От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли теплоход и плот. Теплоход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 часов и отправился назад в А. В тот момент, когда он находился в 180 км от А, второй теплоход, отплывший из А на 40 часов позднее первого, нагнал плот, успевший к этому моменту проплыть 144 км. Считая, что скорость течения реки постоянная, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости теплоходов в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить скорости теплоходов и течения реки.


Решение.


Пусть км/ч собственные скорости теплоходов, а км/ч скорость течения реки.





S, км

V, км/ч

t, ч

первый теплоход по течению реки

324





плот


144







первый теплоход против те-

течения реки

144





второй теплоход по

течению реки

144







Зная, что первый теплоход и плот находились в пути одно и то же время, составим уравнение:




Зная, что второй теплоход отплыл из А на 40 часов позднее первого, составим уравнение:

- = 40.


Составим систему:


Решение системы:


1. Из второго уравнения выразим через - = 40, так как то умножим

обе части уравнения на получим




2. подставляя во второе уравнение , получим








если то умножим обе части уравнения на

получим











Если то


Если то что не удовлетворяет условию задачи.


15 км/ч скорости теплоходов, 3 км/ч скорость течения реки.


Ответ. 15 км/ч, 3 км/ч.


6. В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км

до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 час. на весь путь от А

до В. Затем катер возвращается обратно. Время обратного движения от В до А по тому же

пути равно 15 часов. Собственная скорость катера, т.е. скорость катера в стоячей воде, равна

18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до пристани В

и какова скорость течения притока?


Решение.

Пусть км расстояние по реке , тогда км расстояние от пристани А до пристани В,

а км/ч скорость течения реки.





S, км

V, км/ч

t, ч

по течению

притока

80





против тече-

ния реки






15



по течению

реки



21



против тече-

ния притока

80







Зная, что на весь от А до В катер затратил 18 часов, составим уравнение: + = 18.

Зная, что время обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 часов, составим урав-нение: + = 15.


Составим систему:

Решение системы:

1. Из первого уравнения выразим S через , получим

2. Из второго уравнения выразим S через , получим

3. Составим уравнение: ,

, ,


если то умножим обе части уравнения на , получим



данное уравнение равносильно системе














- не удовлетворяет условию задачи, так как

.

Если то 324-

Если то

то


2 км/ч скорость течения реки, 290 км расстояние от пристани А до пристани В.


Ответ. 2 км/ч, 290 км.


2-ая часть

Во второй части необходимо решить несколько задач.

Задания направлены на проверку умений:

- решать текстовые задачи, используя алгебраический метод (составление уравнений, систем),

работать с математической моделью.

^ Задачи для самостоятельного решения. (ЕГЭ – 11 класс, часть В)

1. Моторная лодка прошла против течения реки 165 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2010 г)

2. Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2010 г)

3. Из двух пунктов реки навстречу друг другу плывут две моторные лодки, собственные ско-рости которых равны. Скорость течения реки равна 2 км/ч. До встречи лодка, идущая по тече-нию, шла 0,9 ч, а другая 1ч. Найдите собственную скорость лодок, идущая по течению, прош-ла на 2км больше другой.

4. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 км/ч?

5. Катер проходит путь от А до В по течению реки за часов, плот проплывает тот же путь за часов. Сколько часов будет плыть катер от В до А? Предполагается, что собственная ско-рость катера постоянна в течение всего времени движения.

6.Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в пол-

тора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстаёт от парохода на 8 км. Если они плывут против течения, то пароход идёт от В до А в два раза быстрее (по времени, а не по скорости), чем катер. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.

7. Моторная лодка прошла против течения реки 144 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

8. Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 3 часа больше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 17 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

9. Прогулочный катер вышел 14 : 00 из пункта А в пункт В, расположенный в 20 км от А. Пробыв 15 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18 : 00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно скорость катера равна 12 км/ч.

(ЕГЭ- 11класс 2011 г).

10. Моторная лодка вышла 9 : 00 из пункта А в пункт В, расположенный в 14 км от А. Пробыв 1 час 20 минут в пункте В, лодка отправилась назад и вернулся в пункт А в 17 : 00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно скорость лодки равна

5 км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

11.Теплоход проходит по течения реки до пункта назначения 221 км и сразу возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч и на путь против течения реки теплоход затратил на 4 часа больше, чем на путь по течению реки. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

12.Теплоход проходит по течения реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвра- щается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в непод- вижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращает-ся через 40 часов после отплытия от него. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

13. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через

2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстоя- ние между пунктами равно 225 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В он при-был одновременно со вторым. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

14.На озере от пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый тепло-ход , а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пунктами равно 418 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).


«Текстовые задачи по течению и против течения реки» (ГИА-9 класс, 2 часть)


1. Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 часов. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. На ка- кое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если перед возвращением они планируют пробыть на берегу 3 часа?


2. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, по тече-

нию и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затра -

ченное на весь путь, равно 4 ч.


3. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и через 2,5 ч вернулась обрат-

но, затратив на стоянку 25 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лод-

ки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км.


4. Лодка может проплыть 18 км по течению реки и еще 2 км против течения за то же время, какое

требуется плоту, чтобы проплыть 8 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если извес-

тно, что собственная скорость лодки 8км/ч.


5. За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 ч

прошел 80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость ка-

тера и скорость течения реки.


6. Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад

через 5 часов. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 часа. На какое наибольшее рас-

стояние он может отплыть, если скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки

6 км/ч.

7. Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по те

чению реки, затратив на весь путь 14 ч. Определите собственную скорость лодки, если скоро-

сть течения реки 2 км/ч.

8. Расстояние между двумя пристанями на реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной

пристани к другой и через 4 часа вернулась назад, затратив 24 мин на стоянку. Найдите собст-

венную скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.


9. Катер проплывает 8 км против течения реки и еще 30 км по течению за то же время, за которое

плот может проплыть по этой реке 4 км. Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Найдите

скорость течения реки.


10. Моторная лодка прошла 16 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь

3 часа. В другой раз эта лодка за 2 часа прошла 8 км по течению реки и 12 км против течения.

Найдите собственную скорость моторной лодки и скорость течения реки.


11Математик шёл домой вверх по течению ручья со скоростью в полтора раза большей, чем ско-

рость течения, и держал в руке палку и шляпу. Он бросил в ручей шляпу, перепутав её с пал-

кой, и продолжил идти с той же скоростью. Вскоре он заметил ошибку, бросил палку в ручей

и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шёл вперёд. Догнав плывущую шляпу, он

мгновенно выудил её из воды, повернулся и пошёл вверх по течению с первоначальной ско-

ростью. Через 10 минут он встретил плывущую по ручью палку. На сколько раньше пришёл

бы он домой, если бы не перепутал палку со шляпой.(сложная задача)


«Текстовые задачи по течению и против течения реки» (ГИА-9 класс, 1часть)


1) Расстояние между двумя пристанями 30 км. Лодка проплыла от одной пристани до дру-гой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов 20 минут. Найдите скорость тече-ния реки, если собственная скорость лодки 12 км/ч.

Обозначьте буквой скорость течения реки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

2) Расстояние между пунктами и по реке 10 км. Лодка проплыла от пункта до пункта и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначьте буквой собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

3) Моторный катер проплыл от одной пристани по течению реки за 5 часов, а обратный путь против течения у него занял 7 часов. Найдите собственная скорость катера в км/ч, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначьте буквой собственная скорость моторной лодки (в км/ч) и составьте урав-нение по условию задачи.

4) Расстояние между двумя пристанями по реке 12 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначьте буквой собственная скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

5) Расстояние между пунктами и по реке 15 км. Лодка проплыла от пункта до пункта и вернулась обратно, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственная ско-рость лодки, если скорость течения реки 1 км/ч.

Обозначьте буквой собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

6) На путь от турбазы до озера прогулочный катер затрачивает по течению реки 2 часа, а на обратный путь против течения – 3 часа. Какова скорость течения реки в км/ч, если собственная скорость катера равна 20 км/ч?

Обозначьте буквой скорость течения реки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

7) Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани до дру-гой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначьте буквой собственная скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

8) Катер плыл по течению из пункта в пункт . После часовой стоянки в пункте катер отправился обратно и через 5 часов после отплытия из пункта вернулся на ту же пристань. Какова скорость катера в стоячей воде, если расстояние между пунктами и 40 км, а скорость течения 3 км/ч?

Обозначьте буквой скорость катера в стоячей воде (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.



Проведения экзамена по математике в виде ЕГЭ, ГИА не избавляет от необходимости научиться решать задачи.

Выбор рационального метода решения экономит время и уменьшает количество ошибок.

Надеюсь, что навыки решения предлагаемых задач, помогут в будущем успешно сдать экзамен по математике.




Скачать 216,52 Kb.
оставить комментарий
Дата25.09.2011
Размер216,52 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  25
не очень плохо
  3
средне
  5
хорошо
  10
отлично
  18
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх