Исследование многогранников icon

Исследование многогранников


32 чел. помогло.
Смотрите также:
Методический материал к т еме: «Формула Эйлера для простого многогранника...
Геометрические построения...
Задачи урока: Практическое применение теоретических знаний по теме «Параллельность прямых и...
Анотация
Реферат скачен с сайта Средней Школы №76, города Санкт-Петербурга...
Урок Обобщающий урок Решение задач по теме: «Объёмы многогранников и тел вращения»...
Элективный курс для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений...
Календарный план работы гбоу сош №657 на апрель 2012 года №...
Исследование влияния сплоченности коллектива на качество производственной деятельности...
Исследование термической устойчивости фосфатов щелочных металлов...
Исследование термической устойчивости фосфатов щелочных металлов...
Исследование систем управления Введение Учебный курс "Исследование систем управления"...





V районная научная конференция школьников

«Проектируем будущее»


Исследование

многогранников


Семенова Юлия– ученица 10 класса

МОУ Дубковская СОШ

Смирнова Александра – ученица 8 «Б» класса

МОУ Дубковская СОШ


Алимпиева Л.Н. – учитель математики

МОУ Дубковская СОШ


Ярославль 2011 г.


Оглавление


Введение 2

1. Многогранники 7

5. Изготовления моделей многогранников 25

Библиографический список 40

Приложение 1 44

Приложение 3 46

Приложение 5 52

Многогранники в архитектуре 52

Приложение 6 53

Изготовление правильных многогранников 53



Введение


Мы выбрали эту тему для нашего проекта потому что на одном из уроков геометрии учитель показал нам звездчатый многогранник. И нас заинтересовало:

Что такое многогранник? Какие еще бывают многогранники? Кто их открыл? Где они встечаются?

I. Цель исследования: Выявить научный вклад в развитие теории многогранников философов - математиков Платона, Евклида, Аристотеля, Кеплера.

II. Проблема исследования:

Изучение многогранников на протяжении всей истории велось не только с позиций дальнейшего их применения, но и с целью осмысления философских вопросов об устройстве Вселенной и природе Пространства.

III. Актуальность исследования:

Мы считаем необходимым проведение этого исследования, так как

Мы интересуемся историей математики и хотели бы быть более просвещёнными в этой области.

Это исследование помогло бы привлечь внимание окружающих к истории математики, науки, философии.

IV. Ход исследования:

Анализ литературы по заявленной проблеме.

Реферирование литературы.

Создание презентации исследования.

Представление результатов на научно-практической конференции.

Обсуждение вопросов исследования на конференции.


Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники». Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

Иоганн Кеплер (1571—1630) написал этюд «О снежинке», в котором высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколь у куба граней». Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны поныне. (Труд самого Архимеда утрачен; как полагают, его рукопись погибла во время знаменитого пожара Александрийской библиотеки, столь едко описанного в пьесе Бернарда Шоу «Цезарь и Клеопатра».) Кеплеру же принадлежит заслуга в постановке проблемы перечисления изозоноэдров (выпуклых многогранников, грани которых суть равные ромбы); он также внёс первый вклад в её решение, открыв ромбододекаэдр и триаконтаэдр. Однако с позиций этой книги, пожалуй, наиболее существенный вклад Кеплера в теорию многогранников заключался в предложении рассматривать невыпуклые многогранники со звёздчатыми гранями, подобными пентаграмме . По всей вероятности, Кеплер не подозревал о существовании более ранней работы Томаса Бредвердайна (1290—1349) (ставшего архиепископом Кентерберийским в последний месяц своей жизни), посвящённой звёздчатым многоугольникам.

В знаменитом соборе в Солсбери столько интересных реликвий, что лишь немногие посетители бросят взгляд на надгробие Томаса Горджеса, усопшего в 1610 году. А между тем резьба на могильном камне содержит изображения додекаэдра, трёх икосаэдров и двух кубооктаэдров. На камне вырезаны скелетные каркасы этих тел в манере, близкой к использованной Леонардо да Винчи при построении моделей однородных многогранников с каркасом из прутьев.

Несколькими милями к юго-западу расположена деревушка Уимборн Сент-Джилс, где в 1627 году был похоронен Энтони Эшли. Его надгробие украшает усечённый икосаэдр, причём изображён не каркас, а сам многогранник.

Со времён Декарта многие великие математики также уделяли внимание нашей теме. Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу

В — Р + Г = 2,

связывающую числа вершин, рёбер и граней любого выпуклого многогранника. Гаусс применил неправильную сферическую пентаграмму (его pentagramma mirificum) к объяснению правил Напье из сферической тригонометрии. Коши доказал, что всякий выпуклый многогранник с жёсткими гранями, шарнирно соединёнными в рёбрах, остается тем не менее твёрдым телом. Гамильтон придумал икосаэдральную игру. Фон Штаудт дал новое доказательство формулы Эйлера. Шлефли распространил этот результат на случай n измерений. Большое влияние имела книга Клейна «Лекции об икосаэдре». Е. С. Фёдоров продолжил исследование Кеплера по проблеме изозоноэдров, обнаружив весьма необычный, как бы сплющенный ромбоикосаэдр. И наконец, совсем недавно, в 1960 году, Билински завершил перечисление этих тел открытием ещё одного ромбододекаэдра, причём этот последний можно поместить в ящик с измерениями 1, τ и τ2 (где через τ обозначено число (√5+1)/2, выражающее знаменитую «божественную пропорцию», или «золотое сечение»).

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников и т. д. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. Правильным многогранникам посвящена последняя, XIII книга знаменитых «Начал» Евклида.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал изображениями правильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Другим знаменитым художником эпохи Возрождения также увлекавшимся геометрией был Альбрехт Дюрер. В своей гравюре «Меланхолия» он дал перспективное изображение додекаэдра. В 1525 г. А. Дюрер написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571 — 1630 гг.) в своей работе «Тайна мироздания» (1596 г.), используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем: «Земля (т. е. орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг ее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия». Такая модель солнечной системы получила название «Космического кубка Кеплера», но от ее истинности впоследствии пришлось отказаться. [10]

Также существуют и полуправильные многогранники. Открытие 13 таких многогранников принадлежит Архимеду («архимедовы тела»). Эти тела ограничены не одноименными правильными многоугольниками, причем, как и в правильных многогранниках, все многогранные углы равны и одноименные многоугольники равны, в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке.

На протяжении более двух тысяч лет, со времен Архимеда, считалось, что других полуправильных многогранников не существует. И только совсем недавно, в середине прошлого столетия, был открыт еще один и последний полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом верхней чаши на угол 450.

Кроме правильных и полуправильных многогранников, красивую форму имеют так называемые звездчатые многогранники. Правильных звездчатых многогранников всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других построил французский инженер, механик и математик Л. Пуансо (1777 —1859 г). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название «тел Кеплера-Пуансо». Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер. [7]

Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатых многогранников не получается. Из додекаэдра получается малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр. Из икосаэдра получается большой икосаэдр.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет их широко применять в ювелирной промышленности.

Неожиданное сочетание длинных прямоугольных балок с каркасом сложного звездчатого многогранника было положено в основу проекта национальной библиотеке в Дамаске архитектора В. А. Сомова, которого вдохновила картина В. Н. Гамаюнова «Звезда».

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать всевозможные типы снежинок, составлялись специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
^

1. Многогранники




1.1. Что такое многогранник


Первый вопрос, на который нам следует ответить - что такое многогранник? Для того, чтобы понять это, начнем с более простой ситуации - плоской. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная отрезками прямых. По аналогии, многогранник можно определить как часть пространства, ограниченную плоскими многоугольниками. [1]

Греческая математика, в которой впервые появилась теория многогранников, развивалась под большим влиянием знаменитого мыслителя Платона. Одним из существенных черт его учения является рассмотрение "идеальных" объектов - абстракций. Математика, взяв на вооружение идеи Платона, со времен Евклида изучает именно абстрактные, "идеальные" объекты. Однако и сам Платон, и многие древние математики вкладывали в термин "идеальный" не только смысл "абстрактный", но и смысл "наилучший". Самая идеальная линия для греков - прямая или правильная окружность, самый идеальный многоугольник - правильный многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.
^

1.2. Правильный многогранник.


Что такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники). [12]
^

1.3. Платоновы тела


Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Эпиграфом к книге выбрано высказывание Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Книга начинается с описания так называемых правильных многогранников, то есть многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами (см. Приложение 1), названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии.
^

1.4. Существование только пяти правильных многогранников.


Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр (см. Приложение 1). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (см. Приложение 1). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр.

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (см. Приложение 1).

Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (см. Приложение 1).

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (см. Приложение 1).

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками. Так, например, куб (см. Приложение 1) и октаэдр (см. Приложение 1) дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр (см. Приложение 1) идодекаэдр (см. Приложение 1). Тетраэдр (см. Приложение 1) дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен — ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много! [3]

^ 1.5. Исследование правильных многогранников

Изучая любые многогранники, необходимо конечно же определить его свойства, для этого предлагаем определить количество граней, ребер и вершин. Подсчитаем число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице 1.

Таблица 1

Правильный многогранник

Число граней

Число вершин

Число ребер

Тетраэдр

4

4

6

Куб

6

8

12

Октаэдр

8

6

12

Додекаэдр

12

20

30

Икосаэдр

20

12

30

Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно. Но не будем сдаваться. У нас еще есть поле для эксперимента. Ведь мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

Вот теперь закономерность видна.

Таблица 2

Правильный многогранник

Сумма граней и вершин

Число ребер

Тетраэдр

4+4=8

6

Куб

6+8=14

12

Октаэдр

8+6=14

12

Додекаэдр

12+20=32

30

Икосаэдр

20+12=32

30

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2.

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Конечно, кроме этого свойства необходимо отметить, что ребра правильного многогранника равны между собой и что равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Следовательно, радиус вписанной и описанной сферы многогранника совпадают.

Зададимся теперь вопросом о том, сколько правильных многогранников существует. Рассматривая многогранник, видим, что каждая вершина может принадлежать трем и более граням, иначе не получается пространства.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324° - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует. Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:




эдрон - грань

окто - восемь







тетра - четыре

додека - двенадцать







гекса - шесть

икоси - двадцать




Название правиль-ного многогранника

Вид грани

Число вер-шин

( В)

Число гра- ней

( Г)

Число ребер

( Р)

Четырехгранник (тетраэдр)

правильный треугольник

4

4

6

Шестигранник (куб-гексаэдр)

квадрат

8

6

12

Восьмигранник (октаэдр)

правильный треугольник

6

8

12

Двенадцатигранник (додекаэдр)

правильный пятиугольник

20

12

30

Двадцатигранник (икосаэдр)

правильный треугольник

12

20

30
^

1.6. История изучения многогранников: от Древнего мира до наших дней.


Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, относили к строению материи и Вселенной.

Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды.

Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел:

Дальнейшее развитие математики связано с именами Платона, Кеплера, Евклида и Архимеда. Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники.

Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). В начале своего научного пути И. Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, сделал мнимое открытие, которое на первых порах принесло ему много славы, но от которого впоследствии пришлось отказаться. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела его к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. По мнению Кеплера, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Своё «открытие» Кеплер изложил в первом крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» – «Космографическая тайна» (1596). Оно состояло в следующем: вокруг сферы, на поверхности которой движется Меркурий (его орбита принимается за окружность), описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера, на которой находится Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера, на которой оказывается Земля; затем идёт додекаэдр со сферой, на которой движется Марс; затем описывается тетраэдр на сфере Юпитера; затем следует куб со сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета – Сатурн. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.

Позже Кеплер обнаружил, что Марс движется не по кругу, а по эллипсу, и критически пересмотрев свои взгляды на движение планет, пришёл к «законам Кеплера». Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны и поныне.

Теория четырёх стихий мироздания вызывают сегодня лишь вежливую улыбку. Но в ней есть мудрость и она удивительно современна.

Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую высказали в начале 80-х гг. ХХ века московские инженеры В.Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. [16]


^ 1.7. Звездчатый многогранник

Теперь рассмотрим термин однородный многогранник. Так называются те многогранники, все грани которых - правильные многоугольники и, кроме того, все многогранные углы которых равны. Иначе говоря, в однородных многогранниках каждую вершину окружают многоугольники в одном и том же порядке. Например, для ромбоикосододекаэдра порядок следования граней вокруг любой вершины таков: квадрат, треугольник, другой квадрат и пятиугольник (см. Приложение 2).

Все однородные многогранники разбиваются на две большие группы - выпуклые однородные многогранники и невыпуклые однородные многогранники.

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:

  1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

  2. (связность) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, т.е. граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, возможны следующие два варианта:

  1. Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);

  2. Части плоскости, ограниченные ломаными.

В последнем случае многогранник есть , составленная из многоугольных кусков.

  1. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает третье определение.

  2. Звёздчатый многогранник — это выпуклый пирамидальными формами многогранник. Звёздчатые формы делятся на неправильные многогранники (подавляющее большинство) и полуправильные, именуемые в дань исследовавшим их математикам "телами Кепплера-Пуансо". Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Формы многогранников широко используются в декоративном искусстве,в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений и в архитектуре. [2]

^ 2. Многогранники в живой природе

Рассуждая об устройстве мира, нельзя оставить без внимания живую природу. Встречаются ли в живой природе правильные многогранники?

Да многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Например: Снежинки – это звёздчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. (см. Приложение 3)

А некоторые молекулы и подавно имеют правильные структуры обьемных фигур.

Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. (см. Приложение 3)

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. (см. Приложение 3)

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения. Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии. [19]


^ 3. Многогранники в живописи.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили художники. Леонардо да Винчи (1452-1519), например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445-1514) «О божественной пропорции» (см. Приложение 4).

Художественное изображение многогранников в разработанной Леонардо технике жёстких рёбер (см. Приложение 4).

При изучении творчества Сальвадора Дали увлекаешься его работой «Тайная вечеря» (см. Приложение 4). Это огромное полотно – подлинный шедевр живописи. Геометрический рационализм композиции свидетельствует о неодолимой вере в сакральную силу числа, спасительную совершенную форму, которая для художника олицетворяла духовную гармонию, нравственную чистоту и величие.

Обратите внимание на то, что вся сцена представлена на фоне правильного многогранника – додекаэдра. Он не случайно изобразил данный многогранник, а чтобы показать всеобъемлемость Великой Троицы. Форму додекаэдра по мнению древних имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. То, что мы узнали о правильных многогранниках, позволит в дальнейшем обращать внимание на такие детали картин, в которые художник, оказывается, вкладывает особый смысл, передавая свое мировоззрение на устройство мира.

Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471-1528). В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен многогранник, гранями которого являются треугольники и пятиугольники. В 1525 году Дюрер написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, модели которых служат хорошими моделями перспективы.

Посмотрите на гравюру Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (см. Приложение 4).

На ней изображен многогранник, причем наиболее четко видны грани-пятиугольники. Додекаэдр тоже имеет своими гранями пятиугольники. Нет ли здесь связи?

Читаем у Гете в «Фаусте»:

Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь,

Тут кое-что мешает мне немного:

Волшебный знак у вашего порога.

Фауст: Не пентаграмма ль этому виной?

Но как же, бес, пробрался ты за мной?

Каким путем впросак попал?

Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить,

И промежуток в уголку остался,

Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.

Пентаграмма – это звездчатый пятиугольник, который можно получить из правильного пятиугольника путем продолжения его сторон до взаимного пересечения. Оказалось, что у пифагорейцев пентаграмма была их отличительным знаком. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.

Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (1898-1972).

Мауриц Эшер в своих рисунках (см. Приложение 4) как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства. [19]

Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры, и если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей.





^ 4. Многогранники в архитектуре.

Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.

Различные геометрические формы находят свое отражение практически во всех отраслях знаний: архитектура, искусство.

Во всем облике японского строения очевидна четкая геометрия проникающих архитектурных форм.

Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней (см. Приложение 5).

Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров (см. Приложение 5). [19]


^

5. Изготовления моделей многогранников



Для изготовления моделей наша группа воспользовалась рекомендациями, данными в книге М. Винниджера «Модели многогранников», М., 1975. «Автор этой книги, заражая своим энтузиазмом читателя, дает ему ясные и четкие указания о том, как изготовить модели различных многогранников. Объяснения проиллюстрированы фотографиями моделей из собрания автора – возможно, наиболее полного в настоящее время. Но фотографии не в состоянии передать всего великолепия самих моделей. В книге представлены не только правильные многогранники, но и полуправильные у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов и правильные не выпуклые многогранники называемые звёздчатыми. [5]

М. Винниджер отмечает: «Время, которое затратил на изготовление моделей невыпуклых однородных многогранников, в существенной степени зависело от характера модели. Так, на простейшие из них требовалось не более трех-четырех часов, а в среднем же приходилось затрачивать восемьдесят часов, а некоторые сложные модели занимали двадцать-тридцать часов. Но китайская пословица гласит «Если ты собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг». За первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся взору путника видов заставит его забыть о трудностях пути».

Мы начали с простейших многогранников. Вот их схемы изготовления.


^ 6. Замечания о звёздчатых формах и соединениях

платоновых тел

Т
ермин «звёздчатый» имеет общий корень со словом «звезда», и это указывает на его происхождение. Существуют звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники. Чтобы разобраться в существе дела, обратимся к чертежам и моделям.



Рис 2 Рис 3


Начнём с простейшего многоугольника — равностороннего треугольника. Посмотрим, что произойдёт, если мы продолжим все три его стороны. Легко заметить, что этими прямыми не будет ограничена никакая новая часть плоскости: продолжения сторон будут расходиться (рис.2). Аналогичная картина предстанет перед нами и в том случае, если мы попытаемся продолжить стороны квадрата. Построенные прямые будут попарно параллельны и не пересекутся, сколько бы их ни продолжали (рис.3). Тем самым они не добавят никаких новых ограниченных частей плоскости к внутренности квадрата. Однако в случае пятиугольника картина меняется.

Продолжения сторон пятиугольника пересекаются во внешней по отношению к пятиугольнику части плоскости, добавляя к пятиугольнику новые части. В результате получается хорошо известная нам пятиконечная звезда, иначе называемая пентаграммой (рис.4). Пентаграмма была известна в глубокой древности, что явствует хотя бы из того, что пифагорейцы считали её символом здоровья. Продолжение сторон шестиугольника приводит к появлению шестиугольной звезды, или гексаграммы (последнюю можно рассматривать не как единый многоугольник, а как соединение двух равносторонних треугольников).



Рис 4 Рис 5

Аналогично правильный восьмиугольник (октагон) приводит нас к восьмиугольной звезде — октаграмме, правильный десятиугольник (декагон) — к десятиугольной звезде, или декаграмме. Пентаграмму, октаграмму и декаграмму можно рассматривать как нераспадающиеся единые многоугольники соответственно с 5, 8 и 10 сторонами, поскольку существует непрерывный обход их вершин по сторонам вокруг центров. При этом в случае пентаграммы, например, совершая полный обход в порядке, определяемом номерами 0-5 (рис.6), мы делаем два оборота вокруг центра пентаграммы, тогда как при обходе пятиугольника (рис.5) мы делаем лишь один оборот. В случае же октаграммы и декаграммы получается по три оборота вокруг центра (рис.7 и 8). Заметим, что внутренние точки пересечения мы не рассматриваем как вершины звезды. Указанное выше обстоятельство учитывается в символических обозначениях звёздчатых многоугольников. В нашем случае пентаграмма, октаграмма и декаграмма обозначаются соответственно через 5/2, 8/3 и 10/3. Эти звёзды могут принимать, кроме того, и иные очертания, но в дальнейшем мы будем говорить лишь об описанных выше формах.




Рис 6 Рис 7

Если теперь обратиться к аналогичному процессу в трёхмерном пространстве, то естественно снова начать с простейшего многогранника — тетраэдра. Разумеется, здесь нам потребуется продолжить не рёбра, но грани многогранника. Однако четыре плоскости — продолжения граней тетраэдра — ограничивают лишь ту часть трёхмерного пространства, которая совпадает с исходным телом. Шесть плоскостей куба попарно параллельны и взаимно перпендикулярны, подобно сторонам двумерного аналога куба — квадрата. Поэтому и в трёхмерном случае к кубу не добавляется новых частей. Но уже случай октаэдра даёт интересные результаты. Восемь плоскостей — продолжения граней октаэдра —
Рис.8
отделяют от пространства новые части, так сказать, «отсеки», внешние по отношению к октаэдру. Вы обнаружите, что эти части суть не что иное, как малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Если вы теперь мысленно присоедините эти части к октаэдру таким образом, чтобы их общие с октаэдром грани исчезли, оставив нутро нового тела полым, перед вашим взором возникнет невыпуклый многогранник.

Однако с таким же успехом вы можете представить себе этот многогранник и в виде множества пересекающихся треугольных граней, вершины которых совпадают с вершинами малых тетраэдров. Эти треугольные грани обладают свойством, отмеченным у выпуклых многогранников, а именно: каждое ребро этих треугольников принадлежит в точности двум таким граням: Разумеется, эти рёбра пересекаются, но внутренние точки пересечения этих отрезков не следует рассматривать в качестве вершин многогранника, подобно тому как мы поступали в случае плоских звёздчатых многогранников. Ведь и там каждая сторона, например пентаграммы, пересекалась двумя другими, но точки их пересечения не рассматриваются как делящие сторону. Подобным же образом в звёздчатом октаэдре мы находим лишь восемь граней, и только концы рёбер считаем вершинами многогранника.

Впрочем, дальнейшее тщательное изучение наводит нас на мысль о том, что этот многогранник на самом деле есть не единое тело, но соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра, причём эта точка является центром симметрии всего тела. Этот многогранник открыл Кеплер в 1619 году и дал ему имя stella octangula

Ещё одна особенность этого тела заключается в том, что восемь его вершин лежат в вершинах некоторого куба, а рёбра являются диагоналями граней этого куба.

Продолжать дальше грани октаэдра не имеет смысла, ибо они не отделят более никакой части пространства, не создадут новых «отсеков». Поэтому октаэдр имеет лишь  о д н у  звёздчатую форму.

Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани как и в случае октаэдра, можно обнаружить, что это приведет к образованию  т р ё х  различных типов отсеков. Вблизи самого додекаэдра имеется 12 пятиугольных пирамид. Эти пирамиды превращают додекаэдр в малый звёздчатый додекаэдр. За ними следуют 30 клинообразных отсеков, превращающих малый звёздчатый додекаэдр в большой додекаэдр. Наконец 20 треугольных бипирамид2 превращают большой додекаэдр в большой звёздчатый додекаэдр, который, пожалуй, точнее было бы назвать звёздчатым большим додекаэдром. Это завершающая звёздчатая форма додекаэдра, который имеет три такие формы: две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809).

Т
Рис.9
еперь вас, возможно, заинтересует то обстоятельство, что в отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра  не   является  соединением платоновых тел, но образует новый многогранник. На самом деле эти многогранники правильные, поскольку два из них имеют гранями по 12 пересекающихся пентаграмм, а грани третьего — 12 пересекающихся пятиугольников (пентагонов). Коши (1811) доказал, что эти три многогранника, открытые ранее, на самом деле не что иное, как звёздчатые формы додекаэдра . Он также установил, что вместе с большим икосаэдром — звёздчатой формой икосаэдра — они являются единственно возможными правильными звёздчатыми телами. Так, к пяти правильным телам, известным ещё древним учёным, математики более близкой к нам эпохи добавили четыре звёздчатых многогранника, гранями которых могут быть правильные или звёздчатые многоугольники. По-прежнему грани соединяются попарно в рёбрах, но до этого они пересекаются с другими гранями. При этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами. Все эти свойства отчётливо прослеживаются на моделях звёздчатых тел.

П
Рис.10

еред построением этих моделей небезынтересно ознакомиться с устройством трафаретов, задающих какую-либо одну лицевую звёздчатую грань. Остальные грани имеют аналогичное строение. Трафаретом для октаэдра будет служить равносторонний треугольник, из которого следует вырезать треугольник с вершинами в серединах сторон (рис.9). Этот внутренний треугольник является гранью исходного октаэдра, вне которого расположена stella octangula( Stella octangula (лат.) — восьмиугольная звезда). Трафаретом для додекаэдра служит звёздчатый многоугольник без вырезанного звёздчатого многоугольника (рис.10). Нумерация показывает, какие части образуют внешние по отношению к граням куски. С помощью таких трафаретов вы сможете сделать заготовки, необходимые для изготовления моделей.

На следующих страницах светлой штриховкой обозначены те части граней, которые видны с соответствующих вершин многогранника, лежащих над рассматриваемой гранью. Чёрным цветом показана часть этой же звёздчатой грани, видимая с противоположной стороны. По всем выделенным частям мы получаем возможность судить, какими должны быть заготовки для той или иной модели.

^ 7. Изготовление звездчатых многогранников

Есть много видов звёздчатых многогранников. Наиболее известные это 7 упомянутых ранее тел Кепплера-Пуансо: Стэлла Октангула, 3 звёздчатые формы икосаэдра и 3 звёздчатые формы додекаэдра. Они получены путем пересечения продлённых граней правильных октаэдра, икосаэдра и додекаэдра соответственно.

Разрешите представить некоторые из них.

Большой звездчатый додекаэдр, Большой додекаэдр, Малый звездчатый додекаэдр. Звездчатый октаэдр.

Звёздчатый октаэдр (stella octangula Кеплера)

У
октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Для изготовления модели вам потребуются заготовки лишь одного типа — одинаковые равносторонние треугольники. На рисунке слева приведена таблица раскраски для первых четырёх треугольных пирамид, каждая из которых имеет в основании правильный треугольник. Они подклеиваются друг к другу таким образом, чтобы отсутствующие нижние основания образовывали как бы верхушку октаэдра. При этом грани октаэдра на самом деле будут заменены этими пирамидами. Сделав половину модели, вы заметите, что каждая её грань окрашена в собственный цвет Вы также обнаружите, что параллельные грани имеют одну расцветку. Остающиеся четыре пирамиды энантиоморфны первым. Таблицу раскраски для них можно получить, переставив в приводимой таблице первый и третий столбцы.

Несмотря на простоту, модель весьма эффектна.


^

Малый звёздчатый додекаэдр


Э

тот многогранник — одно из тел Кеплера — Пуансо. В качестве трафарета вам необходим всего лишь равнобедренный треугольник с углами 72°, 72° и 36°. Такой треугольник образует любой луч пятиконечной звезды — пентаграммы. Пять склеенных треугольников образуют часть модели, примыкающую к любой вершине. Справа указаны порядок склеивания и распределение раскраски.

Рекомендуем подклеивать не отдельные треугольники, а сразу же заранее заготовленные пятиугольные пирамиды одна к одной. Назовём такую пирамиду верхушкой. Начните с верхушки (0) и подклейте к ней наклейками подряд все пять остальных белых (Б) треугольников. Вы увидите, что образовалась белая звезда. В этом-то и заключался наш основной принцип: все части звёздчатых многоугольников должны иметь одну раскраску.

Кроме того, теперь видны и остальные звёздчатые грани — подклеены две из пяти частей каждой из них. Следующие шесть верхушек энантиоморфны исходным, и их следует приклеивать сразу же после изготовления. Каждая должна занимать место, диаметрально противоположное тому, которое занимает её двойник.

Описанный способ приводит к построению полой внутри модели, что может оказаться причиной недостаточной её жёсткости. При этом каждая верхушка будет легко деформироваться, ибо она представляет собой боковую поверхность пятиугольной пирамиды без скрепляющего её основания. Попробуйте подклеить эти верхушки к граням додекаэдра как к основаниям пирамид. К сожалению, вид у такой модели не очень привлекательный и вряд ли удовлетворит вас. Лучше уж сделайте небольшую полую модель. Достаточно удовлетворительные результаты можно получить и в том случае, если изнутри хорошенько смазать клеем части, близко примыкающие ко всем вогнутым (ложным) вершинам многогранника, не забывая соединять наклейки по всей длине. Возможно, ваша изобретательность подскажет, как сделать модель более прочной. [8]



^ Большой додекаэдр

Этот многогранник составлен из 12 пересекающихся пятиугольных граней. Если выполнить модель в шести цветах, то очень заметны выступающие над плоскими гранями пятиугольные звёзды. При этом каждый луч будет принадлежать в точности двум соседним звёздам. Для этой модели нужен трафарет в виде равнобедренного треугольника с углами 36°, 36° и 108°. Проще всего соединить заготовки между собой таким образом, чтобы получить 20 треугольных пирамид (вершинами вниз!), а затем склеить пирамиды вместе способом, напоминающим тот, что мы применяли при склейке 20 треугольников, образующих икосаэдр. Порядок склейки и таблица раскраски приводятся на рисунке.

Треугольники 5 склеиваем с треугольниками 2 и получаем половину модели. Остальные её части энантиоморфны полученным и расположены на диаметрально противоположных местах.








^ Большой звёздчатый додекаэдр

Э
то последняя звёздчатая форма правильного додекаэдра. многогранника можно изготовить, подклеивая треугольные пирамиды к граням икосаэдра. Но мы не рекомендуем этот способ: получится неаккуратная и потому не удовлетворяющая вас модель. Не составит большого труда выполнить модель целиком полой; она окажется достаточно жёсткой. Это объясняется тем, что треугольные пирамиды даже без оснований обладают удовлетворительной прочностью. В качестве заготовок вам потребуются равнобедренные треугольники с углами 36°, 72° и 72° — лучи пятиконечной звезды. Их надо склеить между собой так, как показано на рисунке и в соответствии с таблицей раскраски.

Первые пять пирамид (1, 2, 3) склеиваются между собой в кольцо таким образом, чтобы внешние рёбра образовали треугольники 1. Их стороны дадут нам пятиугольник. Сюда белыми (Б) треугольниками подклеиваются остальные пирамиды (4, 5, 6). Обратите внимание, что лучи звёзд, лежащих в одной плоскости, одинакового цвета. Остающиеся части энантиоморфны полученным и располагаются на диаметрально противоположных двойникам местах. Эта модель очень декоративна. [19]











Заключение

«Наглядное понимание играет первенствующую роль

в геометрии, и притом не только как обладающее

большей доказательной силой при исследовании,

но и для понимания и оценки результатов исследования».

(Д.Гильберт, 1932г.)

Проанализировали литературу, рассмотрели несколько сайтов. Собрали по схемам разверткам несколько многогранников, сделали вывод, о том, что многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду: спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда. Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников.

Подбирая материал для своей работы, мы познакомились с различными видами многогранников (правильные, неправильные, звездчатые) и их свойствами.

Наше исследование показало, что проблема исследования многогранников была насущной всегда.

Философы-математики в попытке описать и объяснить устройство Вселенной и природу пространства обращались к понятию многогранников.

Таким образом математическое понятие «многогранники» становится своего рода философской категорией.

Всякая научная гипотеза, даже неверная, способствует в конечном итоге общему научному прогрессу.

«Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать». Эта мысль Платона должна сопровождать вас на всем жизненном пути.

^

Библиографический список


  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2001.

  2. Бирюков А. Звёздчатые многогранники. Приложение к журналу «Юный техник», №12, 1986 год, с.15.

  3. Блудов М.И. Беседы по физике. Ч.1. Учеб. Пособие для учащихся/ Под ред. Л.В.Тарасова.─3-е изд., перераб. ─М.: Просвещение, 1984.─207 с.,ил.

  4. Болодурин В.С., Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. Пособие по элементарной геометрии. Часть вторая.-Оренбург: ОГПИ, 1995.-133с.

  5. Веннинджер М. Модели многогранников. Перевод с англ. В.В.Фирсова. под ред. И послесл. И.М.Яглома., М.: Мир, 1974, 236с.

  6. Веннинджер Магнус. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974.

  7. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983, 351с.

  8. Гончар В.В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997.

  9. Гончар В.В. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010.

  10. Космический кубок// Квант. 1986 №1.

  11. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004. с.15-32.

  12. Математический энциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия», 1988г.

  13. Н.А. Пушкарёв, М.И. Розенберг, Е.П. Чёрный. Книга для чтения по физике. Просвещение, 1961.─230 с., ил.

  14. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7- 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.

  15. Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: АСТ, 1999.с.54.

  16. Смирнова И.М. «В мире многогранников», М, «Просвещение», 1995 .

  17. Тиморин В.А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002.

  18. Чанышев А.Н. Курс лекция по древней и средневековой философии: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991.

  19. http://wenninger.narod.ru/index.html



ПРИЛОЖЕНИЕ


Приложение 1


Платоновы тела



(а)



(б) (в)



(г) (д)

(а) тетраэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»),(в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум»)


Приложение 2

Ромбоикосододекаэдр







Приложение 3


Многогранники в природе



Снежинки – звездчатые многогранники




Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra)



Кристаллы поваренная соль (куб)

Приложение 4

Многогранники в живописи




Изображения Леонардо да Винчи додекаэдра методом жёстких рёбер (а) и методом сплошных граней (б) в книге Луки Пачоли «Божественная пропорция»



Титульный лист книги Ж.Кузена «Книга о перспективе»

Продолжение приложения 4






Сальвадор Дали «Тайная вечеря»




Альбрехт Дюрер «Меланхолия»


^ Продолжение приложения 4



«Бельведер» (1958)



«Восхождение и спуск» (1960)


Продолжение приложения 4




«Водпад» (1961)


^

Приложение 5

Многогранники в архитектуре







Фаросский маяк


Приложение 6



Изготовление правильных многогранников








Скачать 417.36 Kb.
оставить комментарий
Дата25.09.2011
Размер417.36 Kb.
ТипИсследование, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  4
не очень плохо
  1
средне
  2
хорошо
  10
отлично
  66
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх