Настоящее пособие является сборником задач по математике для студентов гоу спо «Кировский областной колледж культуры». Расположение задач соответствует структуре учебной программы. © Е. Н. Чернядьева, 2010 icon

Настоящее пособие является сборником задач по математике для студентов гоу спо «Кировский областной колледж культуры». Расположение задач соответствует структуре учебной программы. © Е. Н. Чернядьева, 2010


Смотрите также:
Уроках математики Чернядьева Е. Н...
Задачи №1 1243 (1211). Двойная нумерация...
Название Количество...
Публичный доклад гоу спо «Псковский областной колледж искусств имени Н. А...
Отчет по результатам самообследования в гаоу спо рб салаватский медицинский колледж...
«2-ой Московский областной музыкальный колледж имени С. С. Прокофьева»...
Программа учебной практики студентов целью учебной практики является ознакомление студентов с...
Доклад гоу спо «Адыгейский педагогический колледж им. Х. Андрухаева»...
Выпускной квалификационной работы...
Отчет о деятельности гоу спо «Георгиевский региональный колледж «Интеграл»...
Система типичных тестовых заданий и задач по математике...
Рабочей программы учебной дисциплины решение геометрических задач повышенной сложности Уровень...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5   6   7   8   9
скачать


Кировский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования


ГОУ СПО «Кировский областной колледж культуры»


Задачник по математике:

учебное пособие




Киров

2010


Рецензенты:

А.В. Черанева, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ПМиИ ВятГУ; В.В. Утемов, преподаватель математики и информатики ГОУ СПО «Кировский областной колледж культуры».


Чернядьева Е.Н. Задачник по математике: учебное пособие. – Киров: Изд-во КИПК и ПРО, 2010. – 60 с.


Настоящее пособие является сборником задач по математике для студентов ГОУ СПО «Кировский областной колледж культуры». Расположение задач соответствует структуре учебной программы.


© Е.Н. Чернядьева, 2010

© КИПК и ПРО

Оглавление


Оглавление 3

Введение 5

«Задачник по математике: учебное пособие» предназначен для студентов специальности 071302 «Социально-культурная деятельность и народное художественное творчество» ГОУ СПО «Кировский областной колледж культуры» и составлен с целью показать практическое применения полученных знаний и использование математики в гуманитарных исследованиях, учить студентов рассуждать, размышлять и делать верные выводы. 5

Раздел 1. Элементы математической логики. Математические доказательства 6

Тема 1.1. Софизмы 6

Тема 1.2. Высказывания и операции над ними 16

В делах спорных суждения различны, но истина всегда одна. 16

Ф. Петрарка [13] 16

Тема 1.3. Неопределенные высказывания. Кванторы 27

Тема 1.4. Логические задачи 31

Раздел 2. Математические методы 38

в целенаправленной деятельности 38

Тема 2.1. Понятие вероятности случайных событий. Случайные величины. 38

Тема 2.2. Характеристики законов распределения 46

Знать законы – значит, воспринять не их слова, но их содержание и значение. 46

Юстиниан 46

Х 46

Х 46

Х 47

СХ 48

Хm 48

Х 48

Х 48

Тема 2.3. Основы математической статистики 49

Ответы и указания 58

Тема 1.1 58

Тема 1.2 59

Тема 1.3 60

Тема 1.4 61

Тема 2.1 61

Тема 2.2 63

Тема 2.3 63

Список литературы 64


Список литературы 60

Введение




«Задачник по математике: учебное пособие» предназначен для студентов специальности 071302 «Социально-культурная деятельность и народное художественное творчество» ГОУ СПО «Кировский областной колледж культуры» и составлен с целью показать практическое применения полученных знаний и использование математики в гуманитарных исследованиях, учить студентов рассуждать, размышлять и делать верные выводы.


Данное пособие структурировано в соответствии с требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по данной специальности дисциплины «Математика и информатика», в пределах каждого раздела в соответствии с тематическим планом. В каждой теме освещены основные аспекты теоретического материала: даны понятия, определения, формулы, примеры на их понимание, что позволяет студентам овладеть необходимыми базовыми знаниями.

Основу пособия составляют задачи про жизненные ситуации студентов ГОУ СПО «Кировский областной колледж культуры», что вызывает интерес к их решению у самих студентов. Представленные задачи имеют разный уровень сложности и даны в достаточно большом объеме. Некоторые задачи целесообразно решать устно. Это относится к логическим софизмам и тренировочным задачам на понимание определений. Некоторые задачи не является стандартными, для их решения требуются не только базовые знания и умения, но и умение мыслить, рассуждать, доказывать.

Для удобства читателя в учебном пособии принята сквозная нумерация. Задачи распределены по разделам, каждый из которых разбит на темы. Если решение каких-то задач вызовут сомнения в их правильности, то на помощь придет раздел «Ответы и указания».
^

Раздел 1. Элементы математической логики. Математические доказательства

Тема 1.1. Софизмы


«Правильно понятая ошибка– это путь к открытию».

И. П. Павлов.

Софизм – (от греческого sophisma – мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка) умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, которое при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.


Задачи

Найдите ошибку в софизмах:

  1. Нам чужого не надо. То, что нам не надо, мы продаем. Получатся, мы продаем чужое.

  2. То, что мы не теряли, мы имеем. Мы не теряли рогов. Значит, мы их имеем.

  3. Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

  4. Все существительные меняют падежные окончания. Слово «синий» меняет падежные окончания. Следовательно, слово «синий» – существительное.

  5. ^ Софизм Зенона. Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

  6. Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

  7. Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит.

  8. Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза: ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения.

  9. Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка – тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

  10. Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

  11. Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. Какая ошибка?

  12. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

  13. – Знаете ли вы, о чем я хочу вас спросить?

– Нет.

– Знаете ли вы, что врать нехорошо?

– Знаю.

– Об этом я и хотел тебя спросить, а ты ответил, что не знаешь, выходит, ты не знаешь то, что знаешь.

  1. В приведенных ниже стихах, взятых из одного английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате.

Их было десять чудаков,
Тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать
Таверны «Славный малый».

– Пусти, хозяин, ночевать,
Не будешь ты в убытке,
Нам только ночку переспать,
Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад,
Да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него
И девять лишь кроватей.

– Восьми гостям я предложу
Постели честь по чести,
А двум придется ночь проспать
В одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица:

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,
Чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер «А»
И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,
В «Г» спал всю ночь наш пятый,
В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег
С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,
Где ждали его двое,
Он ключ от «И» вручить был рад
Десятому герою.

Хоть много лет с тех пор прошло,
Неясно никому,
Как смог хозяин разместить
Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почем

Уж Вы постарайтесь сами

  1. – Скажи, – обращается софист к молодому любителю споров,– может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?

– Очевидно, нет.

– Посмотрим. Мед сладкий?

– Да.

– И желтый тоже?

– Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого?

– Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый – это сладкий или нет?

– Конечно, нет. Желтый – это желтый, а не сладкий.

– Значит, желтый – это не сладкий?

– Конечно.

– О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согла­сился, что желтый не значит сладкий, и потому как бы сказал, что мед является и сладким, и несладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать, и не обладать каким-то свойством.

  1. ^ Софизм Эватла. Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: «Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора». На это Эватл отвечал: «Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда».

  2. Некто взялся доказать, что дважды три равно четырем, а не шести. Для этого он попросил одного из присутствующих из плотной бумаги отрезок.

– Разрезав этот отрезок пополам, – сказал он, – будем иметь один раз 2. Проделав то же самое над одной из половинок, будем иметь второй раз 2, проделав ту же операцию над другой из половинок, получим третий раз 2. Беря три раза по два, мы получили 4, а не 6.

  1. Некто утверждал, что 45-45=45. Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9):

9+8+7+6+5+4+3+2+1

1+2+3+4+5+6+7+8+9

8+6+4+1+9+7+5+3+2

Будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как 9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь нетрудно установить,

8+6+4+1+9+7+5+3+2=45.

Итак, 45-45=45».

  1. Докажем, что 5 – четное и нечетное число одновременно.

5 есть 2 + 3 («два и три»). Два – число четное, три – нечетное, выходит, что пять – число и четное и нечетное.

  1. Ниже показано, что один рубль не равен ста копейкам. Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам

1 р.=100 коп, (1)

10 р.=10 · 100 коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

10 р.=100000 коп.

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

  1. Деятельный бездельник Боб Бабкинс нажил неправедным трудом двух лошадей и решил продать их за 25$. На ярмарке он встретил ковбоя Джо и ковбоя Билла и продал им каждого коня за 12,5$. Но тут вмешался шериф Мортон, решивший, что цена за пару старых кляч слишком высока. Припугнув Боба, он велел вернуть каждому ковбою по 2,5$. Пока Боб Бабкинс снова искал Джо и Билла, он увидел, что продают его любимые леденцы, не удержался и потратил на них 3$. После этого он нашел ковбоев и отдал им оставшиеся деньги – каждому по доллару. Вернувшись домой Боб задумался. Получилось, что раз он вернул по одному доллару, то ковбои заплатили за каждую лошадь по 11,5$. Значит, оба коня вместе стоили 23$. И 3$ Боб Бабкинс потратил на леденцы, следовательно, всего получается 26$. Но ведь было всего 25$.

  2. – Скажи, – обращается софист к молодому любителю споров,– может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?

– Очевидно, нет.

– Посмотрим. Мед сладкий?

– Да.

– И желтый тоже?

– Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого?

– Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый – это сладкий или нет?

– Конечно, нет. Желтый – это желтый, а не сладкий.

– Значит, желтый - это не сладкий?

– Конечно.

– О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согла­сился, что желтый не значит сладкий, и потому как бы сказал, что мед является и сладким, и несладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать, и не обладать каким-то свойством.

  1. Докажем, что дважды два – пять! Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

4:4= 5:5.

После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь:

4·(1:1)=5·(1:1) или

(2·2)(1:1)=5·(1:1)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения 4(1:1)=5(1:1)устанавливаем:

2·2=5.

  1. Еще один софизм: дважды два пять!

16-36=25-45

16-36+81/4=25-45+81/4

42-2·4·9/2+(9/2)2=52-2·5·9/2+(9/2)2

(4-9/2)2= (5-9/2)2

(4-9/2)= (5-9/2)

4=5

2·2=5

  1. И еще один софизм: дважды два пять! Обозначим 4, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем:

a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b.

Перемножим два последних равенства по частям. Получим:

2da-a·a=2db-b·b.

Умножим обе части получившегося равенства на -1 и прибавим к результатам d·d. Будем иметь:

a2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или

(a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда

a-d=b-d и a=b, т.е. 2·2=5

  1. Докажем, что отрицательное число больше положительного.
    Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
    а/-c и -а/c Они равны, так как каждое из них равно (а/с). Можно составить пропорцию: a/-c=-a/c Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть -а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.




  1. Докажем, что единица равна нулю. Возьмем уравнение:

x-a=0

Разделив обе его части на х-а, получим:

х-а/х-а=0/х-а

Откуда сразу же получаем требуемое равенство:

1= 0.

  1. Ниже доказано, что любое число а равно меньшему числу b.

Начнем с равенства

а = b + c.

Умножив обе его части на (a - b), получим

а² - аb = аb + аc - b² - bс.

Перенесем ас в левую часть:

а² - аb - аc = аb - b² - bс

и разложим на множители:

а(а - b - c) = b(а - b -c).

Разделив обе части равенства на (а - b - c), найдем

а = b,

что и требовалось доказать.

  1. Ниже доказано, что число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его.

Возьмем два положительных равных числа a и b и напишем для них следующие неравенства:

a > - b

b > - b.

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

a·b>b·b,

разделим его на b (это законно, т.к. b>0), получим

a > b.

Записав же два других столь же бесспорных неравенства:

b > - a

a > - a

Перемножив оба этих неравенства почленно, что

b·a > a·a,

а разделив на a>0, получим

b·a > a·a , разделим на а>0, придем к

b > a.

Итак, число a, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его.

  1. Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть, а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c. Имеем

b - a = c, b = a + c.

Перемножаем два эти равенства по частям, находим:

b2 - ab = ca + c2.

Вычтем из обеих частей bc. Получим:

b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или

b(b - a - c) = - c(b - a - c),

откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

  1. Если вырезать из бумаги в клетку треугольник и разрезать его так, как показано на рис. 1, а затем сложить вырезанные части так, как показано на рис. 2, то получится, что площадь первого треугольника 60 клеток, а второго на 2 меньше.



Рис. 1 Рис. 2






оставить комментарий
страница1/9
Дата24.09.2011
Размер0,67 Mb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5   6   7   8   9
средне
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх