Математика icon

Математика


Смотрите также:
Попов А. М. Лекции по линейной алгебре...
«Математика. Прикладная математика»...
«Математика. Прикладная математика»...
Методические указания для самостоятельной работы студентов по дисциплине: «Математика» Iкурс для...
Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по...
Программа вступительного экзамена по математике в магистратуру...
Программа дисциплины “Математика и информатика” (раздел «Математика») (специальность: 050706...
Программа дисциплины “Математика и информатика” (раздел «Математика») (специальность: 050711...
1. Образ математики как науки: философский аспект. Проблемы, предмет...
Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования направление...
Программа государственного экзамена «Вычислительная математика» для студентов проходящих...
Программа дисциплины дс...



Загрузка...
скачать

Математика



Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры;

  • основные понятия и теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и многих переменных, основные методы вычисления пределов, дифференцирования и интегрирования функций, методы решения дифференциальных уравнений;

  • основы теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики и теории надежности;

  • основные понятия и теоремы теории числовых и функциональных рядов, функционального анализа, гармонического анализа, теории функций комплексного переменного;


уметь

  • применять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

  • применять дифференциальное и интегральное исчисление для решения прикладных задач;

  • применять аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений, систем алгебраических и дифференциальных уравнений;

  • вычислять числовые характеристики случайных величин и вероятности случайных событий;

  • применять статистические оценки при обработке экспериментальных данных; обрабатывать статистическую информацию для оценки значений параметров и проверки значимости гипотез;

владеть

  • навыками использования методов линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления при решении прикладных задач;

  • комбинаторным, теоретико-множественным и вероятностным подходами к постановке и решению задач;

  • навыками моделирования прикладных задач математическими методами;

  • навыками использования методов математической статистики при обработке результатов эксперимента.


Линейная и векторная алгебра. Векторы. Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведения, их свойства. Арифметическое n-мерное пространство. Ранг системы векторов, ранг матрицы. Совместность системы линейных уравнений, теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса. Алгебра матриц. Свойства операций. Определители, их свойства. Обратная матрица. Теорема Крамера. Метод Крамера решения квадратных систем линейных уравнений.


Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве: способы задания, взаимное расположение, углы и расстояния. Линии и поверхности 2-го порядка.


Дискретная математика. Множества и отношения. Комбинаторика. Элементы математической логики.


Теория пределов. Понятие функции, предел функции и последовательности. Основные теоремы о пределах, замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, эквивалентные величины. Непрерывность функции в точке, непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Численное решение нелинейных уравнений.


Производная и дифференциал. Определение производной, основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производная параметрической и неявной функции. Дифференциал. Приближенные вычисления при помощи дифференциала. Геометрический и физический смысл производной. Уравнения касательной и нормали. Свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница.


Приложения производных. Формула Тейлора. Правило Лопиталя вычисления пределов. Исследование функции с помощью производных. Интервалы монотонности, экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба, асимптоты. Построение графика функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.


Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные приемы интегрирования: подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических функций.


Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов: замена переменной, интегрирование по частям. Приближенные методы интегрирования. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Экономические приложения определенного интеграла.


Несобственный интеграл. Несобственные интегралы: интеграл по бесконечному промежутку, интеграл от неограниченной функции. Признаки сходимости несобственных интегралов.


Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Основные понятия: область определения, линии уровня, предел, непрерывность. Частные производные, полный дифференциал, геометрический смысл частных производных и полного дифференциала, касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению, градиент. Производная сложной функции, инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Приближенные вычисления. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Метод наименьших квадратов.


Теория вероятностей и математическая статистика. Вычисление вероятностей случайных событий. Случайные величины: закон распределения, основные характеристики. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Элементы теории надежности.


Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности задачи Коши для уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Физические, экономические и геометрические задачи, решаемые при помощи дифференциальных уравнений. Приближенное решение ОДУ 1-го порядка методом Эйлера.


Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Теорема существования и единственности задачи Коши для уравнения n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка: свойства решений однородных и неоднородных уравнений, фундаментальная система решений, структура общего решения. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных, частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида.


Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Методы решения нормальных систем: метод исключения, матричный метод. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.


Числовые ряды. Основные определения, необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.


Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость, дифференцирование и интегрирование равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды: интервал сходимости, радиус сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приближенные вычисления при помощи степенных рядов. Применение степенных рядов для приближенного решения дифференциальных уравнений.


Элементы функционального анализа. Гармонический анализ. Метрические и нормированные пространства. Полные пространства. Ортогональная система функций. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.


Кратные интегралы. Двойной интеграл: определение, свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах сведением к повторному интегралу. Замена переменных в двойном интеграле. Определитель Якоби. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Тройной интеграл: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Приложения тройного интеграла.


Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го типа: определение, свойства, вычисление. Интегрирование полного дифференциала. Формула Грина. Приложения криволинейных интегралов: площадь, работа силы. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го типа: определение, свойства, вычисление. Связь между поверхностными, криволинейными и тройными интегралами. Формула Стокса, формула Остроградского – Гаусса.


Элементы теории поля. Скалярное и векторное поля. Линии и поверхности уровня, векторные линии. Градиент, дивергенция и ротор. Оператор Гамильтона. Поток вектора, циркуляция вектора, формула Стокса в векторной форме. Соленоидальное и потенциальное векторные поля. Отыскание потенциала векторного поля. Гармоническое поле.


Элементы комплексного анализа. Алгебраические операции над комплексными числами. Запись комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Основные элементарные функции. Дифференцирование и интегрирование функций комплексного переменного.


^

Математический анализ



Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия и теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и многих переменных, основные методы вычисления пределов, дифференцирования и интегрирования функций, методы решения дифференциальных уравнений;

  • основные понятия и теоремы теории числовых и функциональных рядов;

уметь

  • применять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

  • вычислять пределы и производные, применять основные методы интегрирования функций;

  • применять дифференциальное и интегральное исчисление для решения прикладных задач;

  • классифицировать дифференциальные уравнения первого порядка, определять правильные методы решения, применять аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений;

  • исследовать ряды на сходимость, применять разложение элементарных функций в степенной ряд и тригонометрический ряд Фурье;

владеть

  • навыками использования методов дифференциального и интегрального исчисления при решении прикладных задач;

  • аппаратом дифференциального и интегрального исчисления, навыками решения дифференциальных уравнений.


Теория пределов. Понятие функции, предел функции и последовательности. Основные теоремы о пределах, замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, эквивалентные величины. Непрерывность функции в точке, непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Численное решение нелинейных уравнений.


Производная и дифференциал. Определение производной, основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производная параметрической и неявной функции. Дифференциал. Приближенные вычисления при помощи дифференциала. Геометрический и физический смысл производной. Уравнения касательной и нормали. Свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница.


Приложения производных. Формула Тейлора. Правило Лопиталя вычисления пределов. Исследование функции с помощью производных. Интервалы монотонности, экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба, асимптоты. Построение графика функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.


Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные приемы интегрирования: подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических функций.


Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов: замена переменной, интегрирование по частям. Приближенные методы интегрирования. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Экономические приложения определенного интеграла.


Несобственный интеграл. Несобственные интегралы: интеграл по бесконечному промежутку, интеграл от неограниченной функции. Признаки сходимости несобственных интегралов.


Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Основные понятия: область определения, линии уровня, предел, непрерывность. Частные производные, полный дифференциал, геометрический смысл частных производных и полного дифференциала, касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению, градиент. Производная сложной функции, инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Приближенные вычисления. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Метод наименьших квадратов.


Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности задачи Коши для уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Физические, экономические и геометрические задачи, решаемые при помощи дифференциальных уравнений. Приближенное решение ОДУ 1-го порядка методом Эйлера.


Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Теорема существования и единственности задачи Коши для уравнения n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка: свойства решений однородных и неоднородных уравнений, фундаментальная система решений, структура общего решения. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных, частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида.


Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Методы решения нормальных систем: метод исключения, матричный метод. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.


Числовые ряды. Основные определения, необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.


Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость, дифференцирование и интегрирование равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды: интервал сходимости, радиус сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приближенные вычисления при помощи степенных рядов. Применение степенных рядов для приближенного решения дифференциальных уравнений.


Элементы функционального анализа. Гармонический анализ. Метрические и нормированные пространства. Полные пространства. Ортогональная система функций. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.


Кратные интегралы. Двойной интеграл: определение, свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах сведением к повторному интегралу. Замена переменных в двойном интеграле. Определитель Якоби. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Тройной интеграл: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Приложения тройного интеграла.


Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го типа: определение, свойства, вычисление. Интегрирование полного дифференциала. Формула Грина. Приложения криволинейных интегралов: площадь, работа силы. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го типа: определение, свойства, вычисление. Связь между поверхностными, криволинейными и тройными интегралами. Формула Стокса, формула Остроградского – Гаусса.


Элементы теории поля. Скалярное и векторное поля. Линии и поверхности уровня, векторные линии. Градиент, дивергенция и ротор. Оператор Гамильтона. Поток вектора, циркуляция вектора, формула Стокса в векторной форме. Соленоидальное и потенциальное векторные поля. Отыскание потенциала векторного поля. Гармоническое поле.


^

Теория вероятностей и математическая статистика



Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия алгебры случайных событий, основные теоремы теории вероятностей, закон больших чисел, центральные предельные теоремы, методы вычисления вероятностей случайных событий, методы статистического анализа;

уметь

  • вычислять числовые характеристики случайных величин; составлять и исследовать функции распределения случайных величин;

  • вычислять вероятности случайных событий;

  • применять статистические оценки при обработке экспериментальных данных; обрабатывать статистическую информацию для оценки значений параметров и проверки значимости гипотез;

владеть

  • вероятностным подходом к постановке и решению задач;

  • навыками использования методов теории вероятностей и математической статистики при обработке результатов эксперимента.


Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Дискретное вероятностное пространство, классическое определение вероятности. Непрерывное вероятностное пространство, геометрические вероятности. Теорема о вероятности суммы событий. Условные вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Теорема о вероятности произведения событий. Понятие последовательности независимых испытаний. Схема Бернулли и полиномиальная схема. Предельные теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.


Случайные величины. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Закон распределения (функция распределения, ряд распределения, плотность распределения). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Примеры распределений: равномерное, биномиальное и др. Нормальное распределение и его свойства. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Предельные теоремы. Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции. Функции случайных величин, их законы распределения.


Математическая статистика. Вариационный ряд, гистограмма и полигон частот. Эмпирическая функция распределения. Выборочное среднее, выборочная дисперсия. Точечные и интервальные оценки. Построение доверительных интервалов. Статистическая проверка гипотез. Принцип максимального правдоподобия. Статистические методы обработки экспериментальных данных.


Случайные процессы. Цепи Маркова. Стационарное распределение. Марковский случайный процесс. Система уравнений Колмогорова. Процесс гибели и размножения. Элементы теории систем массового обслуживания.


Дискретная математика


Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия, теоремы и методы математической логики, теории множеств и теории графов, теории автоматов и теории алгоритмов; элементы математической лингвистики и теории формальных языков; основные методы решения комбинаторных задач, упрощения логических формул и переключательных схем;

уметь

  • применять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

  • применять аналитические и численные методы дискретной математики;

владеть

  • комбинаторным и теоретико-множественным подходами к постановке и решению задач; навыками моделирования прикладных задач методами дискретной математики;

  • навыками использования математических методов при решении прикладных задач.


Множества и отношения. Элементы теории множеств: операции над множествами, их свойства, мощность множества, счетные и несчетные множества. Отношения и функции, операции, алгебраические системы. Булевы алгебры, решетки. Элементы комбинаторики. Перестановки, сочетания и размещения. Основные комбинаторные формулы и их использование. Элементы теории нечетких множеств.


Элементы теории графов. Графы, основные понятия и операции. Маршруты, цепи и циклы. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.


Элементы математической логики и теории алгоритмов. Введение в формальную логику. Булева алгебра. Функции алгебры логики. Формулы, таблицы истинности, нормальные формы (СКНФ, СДНФ), упрощение переключательных схем. Исчисление высказываний, исчисление предикатов. Теория алгоритмов, формальные языки и грамматики. Конечные автоматы, сети автоматов. Сети Петри. Программная реализация конечных автоматов и сетей. Нечеткие алгоритмы. Теория неопределенности. Элементы математической лингвистики и теории формальных языков.


Теория функций комплексного переменного (Комплексный анализ)


Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия, теоремы и методы комплексного анализа;

уметь

  • выполнять действия с комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме;

  • вычислять значения элементарных функций комплексного переменного;

  • исследовать функции комплексного переменного на дифференцируемость и аналитичность, вычислять производные;

  • вычислять интегралы от функций комплексного переменного;

  • раскладывать функции комплексного переменного в ряды Тейлора и Лорана, находить область сходимости;

  • определять характер изолированной особой точки;

владеть

  • методами разложения функций в степенные ряды в окрестности особых точек;

  • навыками использования теории вычетов для вычисления определенных и несобственных интегралов.



Система комплексных чисел. Построение системы комплексных чисел. Алгебраические операции над комплексными числами. Запись комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Возведение в степень и извлечение корня. Геометрическая интерпретация операций над комплексными числами.


Основные понятия теории функций комплексного аргумента. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность.


Основные трансцендентные функции. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции. Логарифм и обратные тригонометрические функции.


Дифференцирование функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции, условия аналитичности. Связь аналитических функций с гармоническими.


Интегрирование функций комплексного переменного. Определение и свойства интеграла. Теорема Коши. Интеграл от аналитической функции. Интеграл Коши. Производные от аналитической функции.


Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Изолированные особые точки.


Теория вычетов. Основная теорема о вычетах. Вычет относительно полюса. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.


Алгебра и геометрия


Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия и теоремы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, алгебры комплексных чисел и многочленов;

уметь

  • применять основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений;

  • составлять уравнения линий и поверхностей первого и второго порядка, определять взаимное расположение линий и поверхностей; находить углы и расстояния;

  • находить рациональные корни многочленов, раскладывать многочлены на множители первой и второй степени.

владеть

  • навыками использования методов линейной алгебры и аналитической геометрии при решении прикладных задач.


Матрицы и определители. Алгебра матриц. Свойства операций. Определители, их свойства. Обратная матрица. Теорема Крамера. Метод Крамера решения квадратных систем линейных уравнений.


Линейные пространства. Определение линейного пространства. Линейная зависимость системы векторов. Базис линейного пространства, разложение вектора по базису. Арифметическое n-мерное пространство. Ранг системы векторов, ранг матрицы. Совместность системы линейных уравнений, теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса. Линейное подпространство. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений, структура общего решения неоднородной системы. Линейные преобразования линейного пространства: матрица линейного преобразования, координаты образа вектора, собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.


Евклидовы пространства. Определение евклидова пространства. Длина вектора, угол между векторами, ортогональные векторы, скалярное произведение в ортонормированном базисе, неравенство Коши - Буняковского. Процесс ортогонализации. Квадратичные формы: матричная запись, приведение к каноническому виду, положительно определенные квадратичные формы.


Векторная алгебра. Векторы. Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведения, их свойства.


Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве: способы задания, взаимное расположение, углы и расстояния. Нормальные уравнения прямой и плоскости. Полярная система координат. Линии 2-го порядка: канонические уравнения, свойства, приведение уравнения к каноническому виду. Поверхности 2-го порядка, метод параллельных сечений.


Комплексные числа и многочлены. Алгебра комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Формула Эйлера. Геометрическая интерпретация алгебраических операций. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебра многочленов. Алгоритм деления с остатком. Теорема Безу, теорема Гаусса. Разложение многочлена на множители.


Специальные разделы математики


Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия и теоремы операционного исчисления;

  • основные методы решения уравнений математической физики;

уметь

  • находить L-изображение и восстанавливать оригинал по изображению;

  • находить преобразование Фурье, синус- и косинус-преобразование;

  • применять интегральные преобразования к решению специальных задач;

  • классифицировать уравнения математической физики и выбирать методы решения;

владеть

  • навыками использования методов операционного исчисления при решении дифференциальных и интегральных уравнений, систем дифференциальных уравнений;

  • методами решения уравнений в частных производных.


Операционное исчисление. Преобразование Лапласа и его свойства. Изображения простейших оригиналов. Таблица изображений. Обратное преобразование Лапласа. Операционный метод решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Дискретное преобразование Лапласа. Решение разностных уравнений.


Приложения гармонического анализа. Интеграл Фурье. Синус- и косинус-преобразование Фурье. Применение преобразования Фурье в радиотехнике.


Уравнения математической физики. Вывод уравнений и постановка задач математической физики. Приведение уравнений к каноническому виду. Аналитические методы решения уравнений математической физики: метод Даламбера, метод Фурье. Приближенные методы решения уравнений в частных производных.


Вариационное исчисление. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Прямые методы вариационного исчисления.

^

Дублирующие курсы (парные для курсов по выбору)




Основы математики



Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • свойства основных элементарных функций; методы решения алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств; основные понятия и теоремы геометрии;

уметь

  • упрощать алгебраические выражения и вычислять их значение;

  • вычислять значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций;

  • строить графики основных элементарных функций;

  • решать геометрические задачи;

владеть

  • навыками решения алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств;

  • навыками построения чертежей к геометрическим задачам.



^ Арифметика и преобразование алгебраических выражений. Тождественные преобразования числовых и алгебраических выражений. Приведение дробей к общему знаменателю. Проценты. Пропорции. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Рациональные и иррациональные числа. Признаки делимости. Формулы сокращенного умножения. Выделение полного квадрата и полного куба в подкоренных выражениях. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Действие со степенями. Упрощение иррациональных алгебраических выражений и выражений с модулем. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Рекуррентные соотношения. Задачи на движение, работу и производительность труда. Задачи на концентрацию и проценты.


Комбинаторика. Размещения. Размещения без повторений. Перестановки. Подстановки. Сочетания. Основные тождества. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Математическая индукция.


^ Уравнения и неравенства. Линейные и квадратные уравнения. Теорема Виета. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Уравнения с модулем. Системы линейных уравнений. Системы алгебраических уравнений. Рациональные преобразования неравенств. Метод интервалов. Линейные, квадратные, рациональные неравенства. Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем. Системы неравенств.


Тригонометрия. Тригонометрические функции. Соотношения между тригонометрическими функциями. Тригонометрические преобразования. Доказательство тригонометрических тождеств. Тригонометрические уравнения и основные методы их решения. Однородные тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических неравенств.


^ Функции и их графики. Область определения функций. Графики функций. Графики степенных и иррациональных функций. Графики обратных тригонометрических функций. Графики показательных и логарифмических функций. Простейшие преобразования графиков функций.


^ Показательные и логарифмические функции. Преобразование показательных и логарифмических выражений. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Смешанные уравнения. Показательные, логарифмические и смешанные системы уравнений. Показательные, логарифмические и смешанные неравенства.


Планиметрия. Треугольник и круг. Равенство и подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов. Прямоугольный треугольник и метрические соотношения в нем. Площадь треугольника. Вписанные и описанные углы. Свойства хорд, секущих и касательных. Вписанная и описанная окружность в треугольнике. Трапеция, параллелограмм, ромб и прямоугольник. Основные свойства вписанных и описанных четырехугольников. Правильные многоугольники. Площади различных фигур.


Стереометрия. Призмы, прямые призмы, параллелепипеды, пирамиды, усеченные пирамиды. Площадь поверхности, объем. Конус, усеченный конус, цилиндр, шар сфера. Площади поверхности, объемы.

^

Исследование операций



Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия и теоремы математического программирования; необходимые и достаточные условия экстремума функций; основные методы линейного и динамического программирования;

уметь

  • применять аналитические и численные методы отыскания экстремумов функций;

  • составлять математические модели экстремальных задач и выбирать методы решения;

владеть

  • навыками использования методов оптимизации при решении прикладных задач.



Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Графический метод решения. Метод наименьших квадратов.


Численные методы решения задач одномерной и многомерной оптимизации. Метод половинного деления, «золотого сечения», метод Фибоначчи. Градиентные методы решения гладких экстремальных задач: градиентный метод с регулировкой шага, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона.


Линейное программирование. Математическая модель задачи линейного программирования. Графический метод решения. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Метод искусственного базиса. Двойственность в линейном программировании.


Целочисленное программирование. Метод Гомори. Метод ветвей и границ.


Транспортная задача линейного программирования. Метод потенциалов и его применение для закрытой и открытой модели транспортной задачи.


Динамическое программирование. Задача набора высоты, задача распределения ресурсов. Уравнения Беллмана.


^

Системный анализ



Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия теории систем и системного анализа; основные подходы к анализу систем; необходимые и достаточные условия экстремума функций; основные методы математического программирования, вариационного исчисления;

уметь

  • составлять математические модели экстремальных задач и выбирать методы решения;

  • применять аналитические и численные методы анализа систем;

  • применять методы теории статистических решений;

владеть

  • навыками определения цели, методиками анализа целей и функций систем управления, навыками использования математических методов при решении прикладных задач.



Системы и закономерности их функционирования и развития. Переходные процессы. Принцип обратной связи. Методы и модели теории систем. Управляемость, достижимость, устойчивость. Элементы теории адаптивных систем. Информационный подход к анализу систем. Основы системного анализа: система и ее свойства; дескриптивные и конструктивные определения в системном анализе; принципы системности и комплексности; принцип моделирования; типы шкал. Понятие цели и закономерности целеобразования: определение цели; закономерности целеобразования; виды и формы представления структур целей (сетевая структура или сеть, иерархические структуры, страты и эшелоны); методики анализа целей и функций систем управления. Соотношения категорий типа событие, явление, поведение. Функционирование систем в условиях неопределенности; управление в условиях риска.


Решение экстремальных задач. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.


Нелинейное программирование. Функция Лагранжа. Выпуклое программирование. Теорема Куна-Таккера. Квадратичное программирование. Решение задач с сепарабельными функциями.


Элементы теории игр. Решение игры в чистых и в смешанных стратегиях. Применение симплекс-метода. Понятие о теории статистических решений. Критерии принятия решений в условиях риска и в условиях неопределенности.


Элементы вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Прямые методы вариационного исчисления.


Вычислительная математика


Целью математического образования является:

  • воспитание достаточно высокой математической культуры, позволяющей самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач;

  • развитие логического и алгоритмического мышления, умения оперировать с абстрактными объектами и быть корректными в употреблении математических понятий, символов для выражения количественных и качественных отношений;

  • формирование представлений о математике как об особом способе познания мира, о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре;

  • приобретение рациональных качеств мысли, чутья объективности, интеллектуальной честности; развитие внимания, способности сосредоточиться, настойчивости, закрепление навыков работы, т.е. развитие интеллекта и формирование характера.


Студенты должны:

знать

  • основные понятия теории погрешностей; методы численного решения задач алгебры и математического анализа;

уметь

  • применять методы численного дифференцирования и численного интегрирования функций;

  • применять численные методы решения нелинейных уравнений, систем алгебраических и дифференциальных уравнений;

  • применять методы численного решения экстремальных задач;

владеть

  • навыками использования прикладных пакетов программ для решения математических задач;

  • навыками программирования для использования численных методов.


Введение в вычислительную математику. Физическое моделирование. Математическое моделирование. Вычислительный эксперимент. Роль компьютерно-ориентированных численных методов в исследовании сложных физических и математических моделей. Особенности реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ. Оценка достоверности полученных результатов.


Элементы теории погрешностей. Источники погрешностей. Классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности числа и функции. Обратная задача теории погрешностей.


Численные методы алгебры. Основные задачи линейной алгебры. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы исключения. Метод Гаусса. LU-разложение. Метод вращений. Метод прогонки. Обусловленность систем и матриц. Итерационные методы решений. Сходимость итерационных методов. Методы Якоби и Гаусса-Зейделя. Итерационные методы вариационного типа. Вычисление определителей. Обращение матриц. Задачи на собственные значения. Вычисление максимального по модулю собственного числа. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений для симметричной матрицы. QR метод. Вычисление корней нелинейных уравнений и систем. Метод деления отрезка пополам. Методы простой итерации и Ньютона. Условие сходимости.


Аппроксимация функций. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный полином Лагранжа. Разделенные разности. Полином Ньютона. Оценка погрешности. Выбор узлов интерполяции. Сходимость. Сплайн-интерполяция. Построение кубического интерполяционного сплайна. Наилучшее приближение. Метод наименьших квадратов.


Численное интегрирование и дифференцирование. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Погрешность. Правило Рунге практической оценки погрешности. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности. Численное дифференцирование. Разностные отношения. Некорректность и регуляризация численного дифференцирования.


Численное решение задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение задачи Коши. Метод Эйлера и его модификации. Методы Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Численное решение краевых задач. Конечно-разностный метод решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Метод стрельбы.


Численное решение задач для уравнений в частных производных. Разностные схемы для уравнения переноса. Аппроксимация. Спектральный признак устойчивости. Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной. Теорема сходимости для линейных задач. Разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Понятие о монотонных схемах. Экономичные схемы. Схемы расщепления для многомерных задач. Численные методы решения интегральных уравнений.


Численные методы решения задач одномерной и многомерной оптимизации. Метод половинного деления, «золотого сечения», метод Фибоначчи. Градиентные методы решения гладких экстремальных задач: градиентный метод с регулировкой шага, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона.




Скачать 322,86 Kb.
оставить комментарий
Дата24.09.2011
Размер322,86 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх