Решение различных уравнений вида icon

Решение различных уравнений вида


Смотрите также:
Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств...
Тема: «способы решений различных квадратных уравнений»...
Решение может предполагать...
Элективный курс по математике...
Показательно-степенные уравнения являются немаловажным разделом алгебры...
Разработка интегратора для решения систем дифференциальных уравнений в рамках концепции...
«Уравнения с двумя неизвестными в целых числах»...
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств» Класс: 11 Профиль класса: общеобразовательный...
Решение неоднородных линейных уравнений и постоянными коэффициентами и неоднородностями...
Конспект урока по теме «Решение квадратных уравнений»...
Самостоятельная работа по теме «Решение уравнений и систем уравнений (повтор)»...
Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых...



Загрузка...
скачать

О решении уравнений вида f ((x)) = ((x))


М.К. Потапов, А.В. Шевкин

Решение различных уравнений вида ((x)) = ((x)) будет основано на трех утверждениях, доказательства которых приведены в конце статьи.

Утверждение 1. Пусть функция f (u) строго монотонна (строго возрастает или строго убывает) на R. Тогда уравнение ((x)) = ((x)) равносильно уравнению (x) = (x).

Приведем несколько примеров применения утверждения 1.

Пример 1. Решим уравнение

= . (1)

Так как функция (u) = строго возрастает на R, то на основании утверждения 1 уравнение (1) равносильно уравнению

arcctg (x2 + 1002) = arcctg (2004x – 1001). (1′)

Так как функция = arcctg u строго убываeт на R, то на основании утверждения 1 уравнение (1′) равносильно уравнению

x2 + 1002 = 2004x – 1001, (1′′)

имеющему два корня х1 = 1 и х2 = 2003. Уравнение (1), равносильное уравнению (1′′), имеет те же два корня.

Ответ. 1; 2003.

Пример 2. Решим уравнение

= . (2)

Так как функция (u) = строго убывает на R, то на основании утверждения 1 уравнение (2) равносильно уравнению

= . (2′)

Так как функция = строго возрастает на R, то на основании утверждения 1 уравнение (2′) равносильно уравнению

х3х – 1 = х3 + х2 – 3, (2′′)

имеющему два корня х1 = –2 и х2 = 1. Уравнение (2), равносильное уравнению (2′′), имеет те же два корня.

Ответ. –2; 1.

Пример 3. Решим уравнение

= . (3)

Область существования функции (u) = есть множество ^ R, функция (u) строго возрастает на R (как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании утверждения 1 уравнение (3) равносильно уравнению

sin х = sin2 х, (3′)

имеющему две серии решений хk = , k Z и хn = n Z. Уравнение (3), равносильное уравнению (3′), имеет те же решения.

Ответ. , k Z; n Z.

Покажем, как с помощью утверждения 1 решается задача 6.139 из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы.

Пример 4. Решим систему уравнений

(4)

Система (4) равносильна системе

(4′)

Функция (u) = 2u – sin u имеет область существования R. Так как
f (u) = 2 – cos u > 0 для любого u R, то функция (u) строго возрастает на R. Поэтому по утверждению 1 второе уравнение системы (4′) равносильно уравнению х = , имеющему единственный корень х1 = 3. Тогда система (4′) имеет единственное решение (3; 3). Система (4), равносильная системе (4′), имеет то же самое единственное решение.

Ответ. (3; 3).

Пример 5. МГУ, химфак, 1989. Решим уравнение

. (5)

Перепишем уравнение (5) в виде

. (5′)

Функция  (u) = имеет область существования R. Так как
f (u) = 2 + > 0 для любого u R, то функция (u) строго возрастает на R. Поэтому по утверждению 1 уравнение (5′) равносильно уравнению

2x + 1 = –3x, (5′′)

имеющему единственный корень х1 = –0,2. Уравнение (5), равносильное уравнению (5′′), имеет тот же корень.

Ответ. –0,2.

Утверждение 2. Пусть функция f (u) имеет область существования — промежуток J, и пусть она строго монотонна на J. Тогда уравнение

((x)) = ((x))

равносильно системе



Отметим, что в системе можно опустить одно из двух условий: или
(x) J, или (x) J (что мы и будем иногда делать в дальнейшем). Действительно, если для некоторого числа x0 справедливо равенство (x0) =
= (x0) и одно из условий, например, (x0) J, то тогда справедливо и второе условие (x0) J, так как (x0) = (x0).

Приведем несколько примеров применения утверждения 2.

Пример 6. Решим уравнение

. (6)

Функция (u) = arccos u имеет область существования промежуток [–1; 1] и строго убывает на нем. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (6) равносильно системе

(6′)

Уравнение системы имеет два решения х1 = 3 и х2 = 6. Из них двойному неравенству этой системы удовлетворяет только число х1. Следовательно, система (6′) и равносильное ей уравнение (6) имеют то же решение.

Ответ. 3.

Пример 7. Решим уравнение

lg (sin x) = lg (–cos x). (7)

Функция (u) = lg u имеет область существования промежуток (0; +) и строго возрастает на нем. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (7) равносильно системе

(7′)

Уравнение системы имеет серию решений хk = – + k, k Z. Неравенству этой системы удовлетворяют лишь те из них, для которых
k = 2n + 1, т. е. хn = + 2n, n Z. Следовательно, система (7′) и равносильное ей уравнение (7) имеют те же решения.

Ответ. + 2n, n Z.

Пример 8. Решим уравнение

=

= . (8)

Область существования функции (u) = есть промежуток J = [0; +). Функция (u) строго возрастает на этом промежутке. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (8) равносильно системе

(8′)

Уравнение системы (8′) имеет два решения х1 = –5 и х2 = 1. Из них неравенству системы (8′) удовлетворяет только число х1. Следовательно, система (8′) и равносильное ей уравнение (8) имеют единственное решение х1.

Ответ. –5.

Покажем, как с помощью утверждения 2 решается задача 6.130 из того же экзаменационного сборника.

Пример 9. Решим систему уравнений

(9)

Система (9) равносильна системе

(9′)

Функция (u) = u + log 2 u имеет область существования промежуток
J = (0; +) и на нем строго возрастает (как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании утверждения 2 второе уравнение системы (9′) равносильно системе

(9′′)

Уравнение системы (9′′) имеет два решения х1 = 3 и х2 = –4. Из них неравенству системы (9′′) удовлетворяет лишь х1. Следовательно, второе уравнение системы (9′) имеет единственное решение х1, но тогда система (9′) и равносильная ей система (9) имеют единственное решение (3; 3).

^ Ответ. (3; 3).

Утверждение 3. Пусть функция f (u) строго монотонна на промежутке J, тогда системы

и

равносильны. (Здесь J может быть или всей областью существования функции f (u), или ее частью.)

Приведем несколько примеров применения этого утверждения.

Пример 10. Решим уравнение

(x2 + 4x – 3)10 + (x2 + 4x – 3)22 = (x + 1)10 + (x + 1)22 (10)

Если рассмотреть функцию f 1 (u) = u10+ u22, то на всей своей области существования R она не является строго монотонной, поэтому для нее неприменимо ни одно из утверждений 1–3. Однако, если обозначить (x) = (x2 +
+ 4x – 3)2, (x) = (x + 1)2, f (u) = u5+ u11, то получаем, что (x) 0 и (x) 0 для любого х R, поэтому уравнение (10) равносильно системе

(10′)

Функция f (u) на промежутке J = [0; +) строго возрастает. Поэтому на основании утверждения 3 система (10′) равносильна системе

(10′′)

Так как (x) 0 и (x) 0 для любого х R, то система (10′′) равносильна уравнению (x) = (x), т. е. уравнению

(x2 + 4x – 3)2 – (x + 1)2 = 0. (10′′′)

Следовательно, исходное уравнение (10) равносильно уравнению (10′′′). Переписав это уравнение в виде

(x2 + 3x – 4)(x2 + 5x – 2) = 0,

найдем его корни х1 = 1; х2 = –4; х3 = и х2 = . Эти числа и будут корнями исходного уравнения.

Ответ. 1; –4; ; .

Пример 11. Решим уравнение

– (1 + sin x)100 = – (1 + cos x)100. (11)

Область существования функции f (u) = u100 есть R, на R функция f (u) не является строго монотонной, поэтому для нее неприменимо ни одно из сформулированных утверждений. Однако если заметить, что для любого х R

1 + sin x 0 и 1 + cos x 0, (11′)

то, обозначив (x) = 1 + sin x, (x) = 1 + cos x, получим, что уравнение (11) равносильно системе

(11′′)

На промежутке J = [0; +) функция f (u) строго убывает. Поэтому по утверждению 3 система (11′′) равносильна системе

(11′′′)

Учитывая условия (11′), получаем, что система (11′′′) равносильна уравнению (x) = (x), т. е. уравнению

1 + sin x = 1 + cos x,

которое имеет серию решений хk = + k, k Z.

Следовательно, исходное уравнение (11) имеет те же решения.

Ответ. + k, k Z..

Пример 12. Решим уравнение

. (12)

Перепишем уравнение (12) в виде

. (12′)

Так как для любого х R

x2 + 1 1 и 2x2 – 4x + 5 1, (12′′)

то, обозначив = x2 + 1, = 2x2 – 4x + 5,  (u) = , получим, что уравнение (12′) равносильно системе

(12′′′)

Так как область существования функции  (u) есть промежуток (0; +) и
f (u) = > 0 для u > 1, то функция  (u) строго возрастает на промежутке
J = [1; +). Поэтому по утверждению 3 система (12′′′) равносильна системе



Учитывая, что неравенства (12′′) выполняются для любого х R, последняя система равносильна уравнению

x2 + 1 = 2x2 – 4x + 5,

имеющему единственный корень х0 = 2. Следовательно, уравнение (12) также имеет единственный корень х0.

Ответ. 2.

Докажем утверждение 3. Пусть число х0 является решением системы

(А)

Это означает, что имеют смысл числовые выражения u1 = (х0), u2 = (х0), каждое из них принадлежит промежутку J и f (u1) = f (u2). Покажем, что отсюда следует, что u1 = u2. Пусть функция f (u) строго возрастает на промежутке J. Тогда если u1 < u2, то f (u1) < f (u2); если же u1 > u2, то f (u1) > f (u2), что противоречит условию f (u1) = f (u2). Следовательно, действительно u1 = u2, а так как u1 J, u2 J, то число х0 является решением системы

(Б)

Аналогично показывается, что число х0 — решение системы (А) — является решением системы (Б), если функция f (u) строго убывает на промежутке J.

Сказанное выше означает, что любое решение системы (А) является решением системы (Б).

Если число х1 является решением системы (Б), то это означает, что имеют смысл и принадлежит промежутку J числовые выражения u1 = (х1), u2 = (х1) и u1 = u2. Но тогда f (u1) = f (u2). Следовательно получим, что (х1) J, (х1) J и f ((х1)) = f ((х1)), а это означает, что число х1 является решением системы (А). отсюда следует, что любое решение системы (Б) является решением системы (А).

Таким образом, показано, что системы (А) и (Б) равносильны в случае, если известно, что хотя бы одна из них имеет решение.

Покажем, что если система (А) не имеет решения, то и система (Б) не имеет решения. Предположим противное, т. е. предположим, что система (Б) имеет решение. Но тогда по доказанному выше и система (А) имеет решение, что противоречит условию, что система (А) не имеет решения. Следовательно, наше предположение неверно, а это означает, что система (Б) не имеет решений.

Аналогично показывается, что если система (Б) не имеет решения, то и система (А) не имеет решения. Следовательно, если не имеет решений хотя бы одна из систем (А) и (Б), то эти системы равносильны. Таким образом, утверждение 3 доказано полностью.

Отметим, что утверждение 1 является частным случаем утверждения 3, так как в утверждении 1 J = R, а писать, что (х1) R не принято, это подразумевается. Утверждение 2 также является частным случаем утверждения 3, так как если дано уравнение f ((х)) = f ((х)) и областью существования функции f (u) является промежуток J, то это уравнение равносильно системе (А), так как уравнение f ((х)) = f ((х)) имеет решения только в случае, если
(х) J и (х) J.

Отметим также, что именно в такой же последовательности, как в данной статье, методы решения уравнений излагаются в учебнике для 11 класса «Алгебра и начала анализа» серии «МГУ — школе» (Просвещение, 2002-2003 гг., авторы С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин). Там же приведены и более сложные приемы решения уравнений (а также неравенств и систем), необходимые для работы в классах с углубленным изучением математики и для подготовки учащихся к поступлению в вузы.

Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. =

= ;

6. ;

7. (3х – 2)22 + (3х – 2)2002 =(х – 6)22 + (х – 6)2002;

8. ;

9. .

10. МГУ, хим. фак., 1989. = 0.

Ответы. 1. 1; 2. –1 ; 3. , k Z; 4. ,
k Z; 5. 9; 6. , k Z; , n Z; 7. ; 8. 1 ; 9. 4. 10. .


Данная статья подготовлена к печати при поддержке РГНФ (проект № 02-06-00057а).


20.03.2003





Скачать 173,9 Kb.
оставить комментарий
Дата24.09.2011
Размер173,9 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх