Программа дисциплины дпп. Ф. 05 Дифференциальные уравнения
| скачать ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ТГПУ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе (декан факультета) _________________________ “___”____________200__ г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫДПП.Ф.05 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯИ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ(050201.65 Математика) Томск – 2008 ^ Дифференциальные уравнения являются одним из основных понятий современной математики. Дифференциальные уравнения, полученные в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. Современное развитие физики и техники невозможно без использования дифференциальных уравнений. В данном курсе рассматриваются теоретические сведения и методы решения стандартных, в приложениях к конкретным разделам физики, дифференциальных уравнений.
Курс теории обыкновенных дифференциальных уравнений является развитием одного из основных разделов современной математики – математического анализа - имеющего фундаментальное значение как для самой математики, так и для всех естественно-научных дисциплин, особенно для физики. Достаточно заметить, что все основные законы физики формулируются на языке дифференциальных уравнений. В процессе изучения курса дифференциальных уравнений студент должен усвоить основные понятия теории дифференциальных уравнений, основные типы дифференциальных уравнений и методы их интегрирования, научиться применять общие методы к решению конкретных задач в математике и физике. 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины: В результате усвоения материала курса студент должен:
^ 4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (Тематический план) 6 семестр
4.2. Содержание разделов дисциплины 1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения: определение уравнения и его порядка; решение уравнения и его интеграл; геометрическая интерпретация уравнения и его решения; классификация дифференциальных уравнений; и т.д. . Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия и классификация. Уравнения, разрешенные относительно производной: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения первого порядка; линейные уравнения первого порядка; уравнения в полных дифференциалах – определение и методы решения. Задачи с начальными условиями (задача Коши) и приложения дифференциальных уравнений в физике. Уравнения, не разрешенные относительно производной: простейшие уравнения и их решение: уравнения Клеро и Лагранжа. 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков: определение и классификация: основные понятия теории. Простейшие типы дифференциальных уравнений высших порядков, допускающие понижения порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка: теорема о структуре общего решения. Уравнения с постоянными коэффициентами и их решение. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка: теорема о структуре общего решения. Уравнения с постоянными коэффициентами и построение общего решения: метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов (уравнения со специальной правой частью). Математическое моделирование физических процессов на примере математического маятника. 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений: определение и основные понятия; задача Коши. Нормальная система и механическая интерпретация её решения, интегрирование нормальных систем. Математические модели на основе систем дифференциальных уравнений. 5. Теория устойчивости: связь математической модели с реальностью; влияние начальных условий на решение системы дифференциальных уравнений. Точки покоя и их классификация; простейшие точки покоя. 6. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка: постановка краевых задач и их физическое содержание; классификация краевых задач. Линейная, однородная и неоднородная краевые задачи. Задачи на собственные значения. Математическое моделирование на основе краевых задач: дифференциальное уравнение изгиба балки. 7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка: методы Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса. Приближенное интегрирование систем дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 8. Дифференциальные уравнения в частных производных первого и второго подядка: вывод уравнений и их классификация. Понятие о методах решения. Примеры. 5. Лабораторный практикум: Не предусмотрен учебным планом. 6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины: 6.1 Рекомендуемая литература а) основная литература:
б) дополнительная литература:
6.2. Средства обеспечения освоения дисциплины Рабочие программы по математическому анализу. 7. Материально техническое обеспечение дисциплины: Не предусмотрено. ^ 8.1. Для преподавателей: Необходимо сделать акцент на вопросах, ближе всего стоящих к профессиональным интересам студентов. Лекция – главное звено дидактического цикла обучения. Её цель – формирование у студентов ориентировочной основы для последующего усвоения материала методом самостоятельной работы. Содержание лекции должно отвечать следующим дидактическим требованиям:
Лекция по теме должна завершаться обобщающими выводами. Цель практических занятий состоит в выработке устойчивых навыков решения основных примеров и задач дисциплины, на которых основана теория лекционного курса. Практические занятия проводятся по узловым и наиболее сложным вопросам (темам, разделам) учебной программы. Они могут быть построены как на материале одной лекции, так и на содержании обзорной лекции, а также по определённой теме без чтения предварительной лекции. Главная и определяющая особенность любого практического занятия – наличие элементов дискуссии, проблемности, диалога между преподавателем и студентами и самими студентами. В конце практического занятия рекомендуется дать оценку всей работы, обратив особое внимание на следующие аспекты:
По курсу практических занятий рекомендуется проведение контрольных работ и расчетно-графических домашних заданий, оценка которых осуществляется по пятибальной системе. Организуя самостоятельную работу, необходимо постоянно обучать студентов методам такой работы. При проведении итоговой аттестации студентов важно всегда помнить, что систематичность, объективность, аргументированность – главные принципы, на которых основаны контроль и оценка знаний студентов. Проверка, контроль и оценка знаний студента, требуют учета его индивидуального стиля в осуществлении учебной деятельности. Знание критериев оценки знаний обязательно для преподавателя и студента. ^ Студентам предлагается использовать указанную литературу и методические рекомендации, разработанные сотрудниками кафедры математического анализа ТГПУ для более прочного усвоения учебного материала, изложенного на лекциях, а также для изучения материала, запланированного для самостоятельной работы. Студентам необходимо выполнить индивидуальные задания по основным темам курса. Задания, вынесенные на самостоятельную работу, проверяются преподавателем в течение семестра. Оценки за индивидуальные задания и самостоятельную работу учитываются при выставлении оценок на экзаменах. Целью самостоятельной работы, т.е. работы, выполняемой студентами во внеаудиторное время по заданию и руководству преподавателя является глубокое понимание и усвоение курса лекций и практических занятий, подготовка к выполнению контрольных работ, к выполнению семестрового задания, к сдаче зачета и (или) экзамена, овладение профессиональными умениями и навыками деятельности, опытом творческой, исследовательской деятельности. Для успешной подготовки и сдачи зачета (экзамена) необходимо проделать следующую работу:
Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы: 1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением? Порядок дифференциального уравнения. Что называется решением дифференциального уравнения? 2. Какое уравнение называется уравнением первого порядка в частных производных? Понятие полного интеграла. Линейные и нелинейные задачи. Задачи на собственные значения и собственные решения. 3. Геометрическая интерпретация уравнений первого порядка и их решения. Поле направлений и интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения. 4. Какое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? Метод решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. В каком случае дифференциальное уравнение вида  имеет решение, не содержащееся в общем интеграле?5. Какое уравнение первого порядка называется линейным? Линейным однородным, линейным неоднородным? Методы решения линейного неоднородного уравнения. Какое уравнение называется уравнением Бернулли? Метод решения уравнения Бернулли? 6. Какое дифференциальное уравнение называется однородным уравнением первого порядка? Метод решения этого уравнения? Какую особенность имеет расположение интегральных кривых однородного уравнения? 7. Что называется полным дифференциалом, уравнением в полных дифференциалах? Метод решения уравнения в полных дифференциалах? 8. Что такое математическое моделирование? Этапы построения математической модели процесса или явления. Примеры простейших моделей на базе дифференциальных уравнений первого порядка. 9. Простейшие уравнения высших порядков и их решение методом понижения порядка? 10 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка и их решение. Какие линейные уравнения называются однородными, какие неоднородными? Теорема о структуре решения линейного однородного и неоднородного уравнения. Решение неоднородного уравнения в случае специального вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных. 11. Математическое моделирование на базе уравнений второго порядка. Примеры моделей. Краевые задачи. Примерная тематика рефератов, курсовых работ: Темы рефератов
Темы курсовых работ 1. Линейные уравнения второго порядка в резонансе и без него.
Примерный перечень вопросов к экзамену: 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений: порядок уравнения, решения уравнения, геометрическая интерпретация уравнений и их решений, и т.д. Теорема существования и единственности. Задача Коши. 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: стандартный вид и метод решения. 3. Линейное уравнение первого порядка: стандартный вид и метод решения. Уравнение Бернулли. 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: стандартный вид и метод решения. 5. Уравнения в полных дифференциалах: стандартный вид и метод решения. 6. Простейшие уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной, уравнения Клеро и Лагранжа: стандартный вид и метод решения. 7. Простейшие уравнения высших порядков: стандартный вид и решение. 8. Линейные однородные уравнения второго порядка: теорема о структуре решения и метод решения. 9. Линейные неоднородные уравнения второго порядка: теорема о структуре общего решения и метод решения вариацией произвольных постоянных. 10. Линейные неоднородные уравнения со специальной правой частью. 11. Общие понятия о системах дифференциальных уравнений, нормальные системы дифференциальных уравнений. 12. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка, классификация краевых задач. Линейная, однородная и неоднородная краевые задачи. Задачи на собственные значения. 13. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка: методы Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса. 14. Приближенное интегрирование систем дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 15. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка: уравнения линейные относительно производных (частные случаи интегрирования). Программа дисциплины составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 050201.65 ”Математика”. Программу составил: Доцент кафедры математического анализа, к.ф.-м.н. Голубенко Т.Я. _____________ Программа дисциплины утверждена на заседании кафедры математического анализа. Протокол №______ от ______________200__г. Заведующий кафедрой ______________/Лавров П.М. Программа дисциплины одобрена методической комиссией физико-математического факультета ТГПУ Председатель методической комиссии ФМФ ТГПУ профессор ___________/Шишковский В. И. Согласовано: Декан физико-математического факультета ТГПУ _____________/ Макаренко А.Н.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: Разместите кнопку на своём сайте или блоге: