Тему курса математики VII-XI классов «системы уравнений» можно назвать значительной, т к. к решению уравнений сводятся текстовые задачи, с которыми учащиеся вс icon

Тему курса математики VII-XI классов «системы уравнений» можно назвать значительной, т к. к решению уравнений сводятся текстовые задачи, с которыми учащиеся вс


Смотрите также:
Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней...
Разработка интегратора для решения систем дифференциальных уравнений в рамках концепции...
Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5 9 классах Выполнил учитель...
Программа обсуждена на заседании кафедры вычислительной математики...
Задача Коши для уравнений и систем уравнений с частными производными произвольного порядка...
Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств...
Реферат по математике...
Программа элективного курса по алгебре «Методы решения рациональных уравнений и систем...
Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых...
5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса...
Тема: «способы решений различных квадратных уравнений»...
Решением дифференциального уравнения является некоторая функция...



Загрузка...
скачать
Введение

Актуальность. Тему курса математики VII-XI классов «системы уравнений» можно назвать значительной, т.к. к решению уравнений сводятся текстовые задачи, с которыми учащиеся встречаются в курсе математике, а также физические задачи. Знания по этой теме являются базовыми при изучении такой темы, как «текстовые задачи» по математике и др.

Учащиеся несколько раз сталкиваются с изучением систем уравнений: в VII классе с линейными системами, а затем каждый год ученики возвращаются к этой теме на более высоком уровне. Но в школьном курсе системы уравнений рассматриваются не достаточно глубоко. Это объясняется тем, что на изучение данной темы отводится мало времени. Но на вступительных экзаменах в ВУЗы часто встречаются задачи, связанные с системами уравнений. И эти задачи вызывают затруднение у поступающего. Чтобы избежать этих затруднений следует более глубоко изучить данную тему: «Аналитические способы решения систем уравнений с двумя переменными».

^ Цель исследования – изучение решения систем уравнений с двумя переменными разными способами.


Основная часть.

Понятие системы.

Решением системы называется упорядоченный набор чисел, при подстановке которых, каждое уравнение системы обращается в верное числовое неравенство. Решить систему - значит найти все её решения или убедиться, что их нет.

Равносильность

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Т.е. например, любые две системы, не имеющие решений, равносильны. Из определения равносильности следует так же, что если в системе уравнений заменить любое уравнение равносильным ему уравнением, то получим систему, равносильную исходной. При решении систем применяются различные методы. Суть решения состоит в том, чтобы, применяя эти методы, заменить исходную систему равносильной её более простой, а затем решить эту простую систему.

Правила работы с системами

Существуют следующие правила преобразования системы, которые приводят к равносильным системам.

  1. Правило замены.

Заменив в системе одно из уравнений на равносильное, получим систему, равносильную данной.

2.Правило подстановки.

Если одно из уравнений системы может быть приведено к виду х=А (А -произвольное выражение, не содержащее х),то, заменив во всех остальных уравнениях системы переменную х на выражение А, получим систему равносильную данной.

3.Правило сложения.

Если в систему входят уравнения А=В и С=D, (А,В,С,D – какие-то выражения, относительно переменных), то одно из этих уравнений, например второе, можно заменить, на уравнение А+С=В+D.


Методы решения нелинейных систем 2 уравнений с двумя неизвестными.

  1. Метод подстановки.

А. Одно из уравнений линейное относительно одной из неизвестных.

Вид системы:


Метод решения.

  1. Определить область допустимых значений (О.Д.З.)

  2. х=- подставить во второе уравнение системы. Пример:

х-3ху+у+2х+3у=6

2х-у=3


у=2х-3

х-3х(2х-3)+(2х-3) +2х+3(2х-3)=6

х-5х+6=0

Ответ:

В. Оба уравнения - второй степени

Вид системы.


Метод решения.

  1. Определить О.Д.З.

  2. В одном из уравнений одно из неизвестных считать буквенным коэффициентом и решить уравнение относительно другого неизвестного.

  3. Подставить поочерёдно полученные выражения во второе уравнение системы.

Пример:

2х-15ху+4у-12х+45у-24=0

х+ху-2у-3х+3у=0

х+х(у-3)-2у+3у=0

D=у-6-+9+8у-12у=9(у-1)

х=у;х=3-2у

х=у х=3-2у

2х-15ху+4у-12х+45у-24=0 2х-15ху=4у-12х+45у-24=0 и т.д.

Однородные системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Вид системы

В общем виде система называется однородной если её можно представить в виде:


х+ху+ху…у=с(1)

х+ху+ху…+у=d(2)

Метод решения

  1. определить О.Д.З

  2. в общем виде

а. Домножить (1) на d и (2) на с. Вычесть (2) из (1). В левой части получается однородный многочлен f(х,у) (многочлен f(х,у) от двух переменных называют однородным многочленом степени n, если все его одночлены имеют степень n ), а в правой – ноль. Полученное уравнение – следствие исходной системы.

б. разложить полученный многочлен на множители

f(х,у)=g(х,у)g(х,у)…g(х,у)=0. Данная система распадается на совокупность систем g(х,у)=0 g(х,у)=0 g(х,у)=0

………. , ………. … ………. .

в. Решить их.

Рассмотрим частный случай, когда n=2.

Способ 1.

а. итак, мы можем перейти от системы х+ху+у=с(3)

х+ху+у=d(4) ,

домножив (3) на d и (4) на (с) и вычтя (4) из (3), к её следствию Ах+Вху+Су=с(3). Перейдём к равносильной системе.

х+ху+у=с(3)

Ах+Вху+Су=с(3) б. рассмотрим нахождение тех решений этой системы, для которых у не равен 0.При у не равном 0 уравнение (5) равносильно

Решить(6) как квадратное относительно

в. Решить совокупность систем

способ 2.

а. Обозначить х=ty. Подставить это выражение вместо х в уравнение системы. Неизвестные у вынести за скобки и разделить одно уравнение на другое. Получим уравнение относительно t.

б. решаем его.

в. Для каждого t решаем систему .

пример

способ 1


Способ 2


Симметрические системы 2 уравнений с 2 неизвестными.

Вид системы.


, где f-симметрические многочлены от х и у

, т.е. не меняются при замене х на у, а у на х.

Метод решения

Простейшая система такого типа – система уравнений (7).

Метод решения основан на теореме Виета.

Теорема. Система уравнений (7) и квадратное уравнение (8)

Связаны следующим образом: если и корни(8), то система (7) имеет решения ( ) и ( ) – и не имеет других решений. Верно и обратное, если ( ) решение системы (7), то числа х,у являются корнями уравнения (8).

Доказательство теоремы элементарно.

Если система произвольная, то заменой переменных она может быть сведена к простейшей. При использовании этого приёма приходится выражать симметрические многочлены от х,у через u,v. На практике достаточно уметь выражать через y и v симметрические многочлены вида

, называемые степенными суммами.

Для выражения существует следующая реккурентная формула.


Докажем её


Пример


Для решения надо выразить . теперь у нас есть стартовые суммы и мы можем воспользоваться реккурентной формулой.


Перепишем систему относительно u и v .


Решении первой системы совокупности перестановка чисел 1 и 2, а вторая – не имеет решений.

Ответ

Замена переменных.

Вид системы


Надо заметить, что почти все способы решения систем сводятся к заменам переменных.

Метод решения.

  1. определить О.Д.З.

  2. решить упрощённую систему относительно u и v.

  3. решить совокупность систем


примеры


Системы с двумя неизвестными, содержащие модули.

Вид системы.


Метод решения.

  1. определить О.Д.З

  2. каждое выражение под знаком модуля приравнять к нулю.

  3. в одной системе координат построить графики функций, соответствующие уравнениям предыдущего пункта, разбив всю координатную плоскость на области.

  4. для каждой области отдельно записать систему без модулей и решить её.

Решение исходной системы – совокупность решений систем предыдущего пункта.

Пример




оставить комментарий
Дата24.09.2011
Размер58,5 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх