Учебная программа по дисциплине «Численные методы» Специальность 010200 Прикладная математика и информатика icon

Учебная программа по дисциплине «Численные методы» Специальность 010200 Прикладная математика и информатика


Смотрите также:
Учебная программа по специальности 01. 02. 00 Прикладная математика и информатика...
Рабочая программа по дисциплине «теория сложности алгоритмов и вычислений» для специальности...
Программа дисциплины Численные методы для направления 010500...
Рабочая программа учебной дисциплины численные методы Наименование магистерской программы...
Учебная программа дисциплины ен. Ф. 01...
Учебной дисциплины «Численные методы» для направления 010200...
Рабочая программа по курсу “Дискретная математика” ( наименование дисциплины по учебному плану )...
Рабочая программа По дисциплине “Методы оптимизации Для направления 010500 «Прикладная...
Методические указания по выполнению курсовых проектов...
Учебная программа по дисциплине «Системное и прикладное программное обеспечение» Специальность:...
Календарно-тематический план учебная дисциплина: «Математика»...
Программа вступительного экзамена по математике в магистратуру...



Загрузка...
скачать


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
ГОУ ВПО «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физико-математический факультет

Кафедра информатики


УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине

«Численные методы»


Специальность 010200 – Прикладная математика и информатика

Квалификация – Математик, системный программист



Составитель:

к .ф.-м. н, доцент Дорофеева В.И.


2007 г.

Выписка из протокола

заседания кафедры информатики об утверждении программы курса
«Численные методы»

Данная программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования для студентов, обучающихся по специальности 010200 – Прикладная математика и информатика, специальность – Математик, системный программист.


Утвержден 23 марта 2000 г.

Номер государственной регистрации 199 ЕН / СП

Выписка верна:

Протокол № 1 от 04.09. 2007 г.

Зав. кафедрой Никольский Д.Н.


^ ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА

к обязательному минимуму содержания образовательной программы подготовки математика, системного программиста по специальности 010200 Прикладная математика и информатика


Общепрофессиональные дисциплины


ОПД.Ф.09. Численные методы

Численные метода решения задач математического анализа, алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений; численные методы решения задач математической физики; методы решения сеточных уравнений.


^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

по дисциплине «Численные методы»

Курс является одним из основных в подготовке студентов физико-математического факультета специальности 010200 Прикладная математика и информатика. Это следует из того, что в прикладных науках, не говоря о самой математике, все большее значение приобретают численные расчеты, численный эксперимент, компьютерное моделирование.

Курс предполагает наличие у студентов знаний, умений и навыков, полученных при изучении дисциплин «Математический анализ», «Аналитическая геометрия», «Алгебра», «Дифференциальные и интегральные уравнения» и «Теория вероятностей», «Программирование»: необходим умение программировать на каком-либо алгоритмическом языке, потребуются знания математического и функционального анализа (понятия метрики, норм матриц и векторов), математической физики (формулировки основных краевых задач), линейной алгебры (решение систем линейных алгебраических уравнений).

^ Цели и задачи дисциплины: изучить основные алгоритмы численных методов, возникающие при решении задач (интерполяция и приближение функций, численное интегрирование, решение систем линейных и нелинейных уравнений, методы оптимизации, численное решение задач Коши, краевых задач матфизики и уравнений в частных производных); на практике научиться разрабатывать программы на одном из языков программирования для решения поставленных задач.

^ Основные знания, умения, навыки:

Математик, системный программист должен знать:

  • основные понятия теории погрешностей, понятия устойчивости, сходимости, оценки точности приближений; понятия согласованных норм векторов и матриц; основные способы и формулы оценки погрешностей;

  • основные алгоритмы интерполяции (приближение многочленами Лагранжа и Ньютона, сплайнами, тригонометрическими многочленами), численного интегрирования (квадратурные формулы Ньютона -Котеса), алгоритмы решения нелинейных уравнений и систем (метод половенного делений, хорд и касательных, метод простых итераций);

  • основные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса, метод ортогонализации, Зейделя), алгориты решения задачи Коши (методы Рунге-Кутта), алгоритмы решения краевых задач и уравнений в частных производных (метод стрельбы, разностные и проекционные методы);

  • методы решения интегральных уравнений (метод конечных сумм и метод замены ядра на вырожденное); решение частной и полной проблемы собственных значений.

Математик, системный программист должен уметь:

  • разрабатывать программную реализацию необходимых алгоритмов, выполнять подготовительную аналитическую работу, оценивать полученные результаты и сравнивать с точным решение, если оно существует;

  • выбирать наиболее подходящий алгоритм решения с учетом получения наилучшего приближения.

Математик, системный программист должен обладать навыками: применения знаний современных алгоритмов и языков программирования для решения прикладных задач из областей науки, техники, экономики и управления; самостоятельной разработки программ для решения задач, получения допустимых приближенных решений и оценки полученных результатов.

Курс изучается в 7-м и 8-м семестрах. Всего на изучение курса учебным планом отводится 155 часов. Из них 110 ч. аудиторных (74 ч. лекций, 36 ч. лабораторных), 45 ч. самостоятельной работы. В 7-м семестре проводится 40 ч. лекций и 16 ч. лабораторных занятий (и 18 ч. в рамках курса «Практикум на ЭВМ»), в 8-м – 34 ч. лекций и 20 ч. лабораторных занятий.

Форма контроля: зачет в 7-м семестре, в 8-м семестре проводится экзамен. При подготовке к зачету и экзамену студент должен проработать лекции, выполнить все лабораторные работы, изучить основную и дополнительную литературу.

Самостоятельная работа студента заключается в проработке лекций, решении задач и подготовке к лабораторным занятиям и экзамену. Кроме того, необходимо разобрать темы, вынесенные на самостоятельное изучение.


^ УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН


7-й семестр





Наименование разделов и тем


Всего

часов

В том числе аудиторных

Самост.

работа

Всего

Лекц.

Лаб. занят

СРСП

Внеаудит.






^ Тема 1. Элементы теории погрешностей.



6

4

4

0

1

1



^ Тема 2. Интерполяция и приближение функций.

24

18

8

10

1

5



^ Тема 3. Численное дифференцирование.

6

4

2

2

-

2



^ Тема 4. Численное интегрирование.

14


10


6


4


1

3



^ Тема 5. Решение нелинейных уравнений.

6

4

4

4

-

2



^ Тема 6. Численные методы линейной алгебры.

14


8


8


0

2

4



^ Тема 7. Численные методы нелинейной алгебры.

11

8

8

0

1

2




Всего

81

56

40

16

6

19



8 семестр





Наименование разделов и тем


Всего

часов

В том числе аудиторных

Самостоят.

работа

Всего

Лекций

Лаб. занят.

СРСП

Внеаудит. работы




1.

^ Тема 8. Решение задач на собственные значения.

12


8


4


4

1

3

2.

^ Тема 9. Численные методы решения задач оптимизации.

14

10

6

4

1

3

3.

^ Тема 10. Решение задачи Коши.

12

8

4

4

-

4

4.

^ Тема 11. Методы решения краевых задач. п


22

18

14

4

2

2

9.

^ Тема 12. Методы решения интегральных уравнений. е

14

10

6

4

1

3




ВСЕГО

74

54

34

20

5

15




^ ИТОГО за 7-й и 8-й семестр

155

110

74

36

11

34



Содержание программы дисциплины


А. Перечень изучаемых вопросов

^ Тема 1. Элементы теории погрешностей. Погрешность вычислений, обусловленность, структура погрешности. Прямая и обратная задачи теории погрешностей.

Тема 2. Интерполяция и приближение функций. Интерполирование функций многочленами: многочлены Лагранжа и Ньютона. Интерполирование сплайнами. Многочлены Чебышева. Интерполяция функций двух переменных. Минимизация остаточного члена погрешности интерполирования. Интерполяция сплайнами. Тригонометрическая интерполяция. Поточечная интерполяция и интерполяция в среднем. Наилучшее приближение в нормированном пространстве. Чебышевский альтернанс. Единственность многочлена наилучшего приближения в С. ортогональные многочлены, их примеры. Процесс ортогонализации Шмидта. Рекуррентная формула для вычисления ортогональных многочленов. Разложение произвольного многочлена по ортогональным.

^ Тема 3. Численное дифференцирование. Численное дифференцирование и его погрешность.

Тема 4. Численное интегрирование. Вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона. Формулы Ньютона-Котеса и их погрешность. Квадратурные формулы типа Гаусса. Несобственные интегралы. Кратные интегралы. Методы Монте-Карло.

^ Тема 5. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных. Метод итераций. Преобразование уравнений к итерационному виду.

^ Тема 6. Численные методы линейной алгебры. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): формы записи, нормы, обусловленность. Принцип сжимающих отображений. Метод исключения Гаусса. Метод квадратного корня. Задача на минимум квадратичной функции и СЛАУ. Метод простых итераций для СЛАУ, необходимое и достаточное условие сходимости итераций. Ускорение сходимости итерационного процесса. Решение линейных систем методом Монте-Карло и методом ортогонализации. Метод Зейделя. Вычисление определителей и обратных матриц.

^ Тема 7. Численные методы нелинейной алгебры. Решение нелинейных алгебраических систем методом Ньютона. Градиентные методы.

Тема 8. Решение задач на собственные значения. Методы решения частной и полной проблем собственных значений и собственных векторов матриц.

^ Тема 9 Численные методы решения задач оптимизации. Решение задач безусловной оптимизации с помощью методов спуска и градиентных методов. Решение систем нелинейных уравнений с помощью сведения их к задачам оптимизации.

^ Тема 10. Решение задачи Коши. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши, метод Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта.

^ Тема 11. Методы решения краевых задач. Аппроксимация производных разностными отношениями. Примеры конечно-разностных схем, исследование свойств, устойчивость и сходимость. Аппроксимация краевой задачи разностной схемой. Задача Штурма-Лиувилля на конечном интервале. Методы решения линейных систем с 3-диагональной матрицей (метод прогонки).

Разностные схемы для уравнений с частными производными. Уравнение переноса; спектральный признак устойчивости; примеры. Одномерное уравнение теплопроводности; явная и неявная схемы; схема с весами, устойчивость схемы с весами; схема со вторым порядком аппроксимации. Разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Сеточная задача Дирихле для уравнения Пуассона: метод Гаусса, метод разложения в дискретный ряд Фурье, метод простой итерации.

Метод Галеркина. Понятие о методе конечных элементов. Виды конечных элементов, триангуляция области, процесс ансамблирования матрицы, визуализация полученного решения.

^ Тема 12. Методы решения интегральных уравнений. Численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода. Сингулярные интегральные уравнения, их регуляризация. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с помощью сингулярных интегральных уравнений.


^ Б. Примерное содержание лабораторных занятий.

7 семестр:

Интерполирование функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона. Интерполирование сплайнами.

Построение тригонометрического многочлена, аппроксимирующего заданную функцию. Вычисление ортогональных многочленов Чебышева. Вычисление многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения функций ортогональными многочленами.

Численное дифференцирование.

Численное интегрирование по формулам Ньютона-Котеса и по формулам Гаусса. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.

Решение нелинейных уравнений с одной переменной методом половинного деления, методом касательных, методом хорд и методом простой итерации.

Решение линейных систем итерационными методами. Решение линейных систем методом Гаусса и методом ортогонализации. Решение линейных систем методом Монте-Карло. Метод Зейделя. Вычисление определителей и обратных матриц.

Решение нелинейных алгебраических систем методом Ньютона. Градиентные методы.


8 семестр:

Решение задач оптимизации.

Решение частной и полной проблемы собственных значений.

Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и для системы дифференциальных уравнений первого порядка методами Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта.

Численное решение краевых задач.

Численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода.


^ В. Содержание и виды самостоятельной работы

Объем самостоятельной работы примерно равен объему лекционных часов. Самостоятельная работа студента заключается в проработке лекций, решении задач и подготовке к зачету и экзамену, а также в проработке тем курса, вынесенных на самостоятельное изучение.

ЛИТЕРАТУРА



Основная:

  1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

  2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

  3. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. Просвещение, М., 1991.

  4. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. Наука, М., 1994.

  5. Самарский А.А. Введение в численные методы.Учебн. Пособие для вузов. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987.-288 с.

  6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб. Пособие для вузов. -М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат. Лит., 1988.- 552 с.

  7. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. М.: БИНОМ, 2006.- 523 с.

Дополнительная:

  1. Сборник задач по методам вычислений. Ред. Монастырский П.И. Наука, М., 1994.

  2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. 512 с.

  3. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. –256 с.

  1. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). – М.: ТОО «Янус», 1995. – 520 с.





Скачать 128.87 Kb.
оставить комментарий
Дорофеева В.И
Дата24.09.2011
Размер128.87 Kb.
ТипПрограмма, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх