Способы решений уравнений и неравенств с параметром icon

Способы решений уравнений и неравенств с параметром


1 чел. помогло.
Смотрите также:
«Решение уравнений и неравенств с модулем»...
Оказалась для меня сложной...
Задачи для самостоятельного решения. Занятие №2 Обобщенный метод интервалов 7-9...
Программа элективного курса для учащихся 11 классов решение уравнений и неравенств...
Элективный курс по математике...
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств» Класс: 11 Профиль класса: общеобразовательный...
Образовательная программа «Способы доказательства неравенств»...
Программа элективного курса профильной подготовки учащихся 11 классов решение уравнений и...
Тема: «способы решений различных квадратных уравнений»...
Элективный курс Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств Автор : Андреева Рена...
Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами»...
Приказ № от 2010 г...



Загрузка...
скачать
Способы решений уравнений и неравенств с параметрами.

Шамсутдинов Ринат, 11В класс, средняя школа №3 г. Баймака.

Научный руководитель - Ф. М. Мурзабаева.

В работе изучались алгебраический, аналитический, графический способы решения уравнений и неравенств с параметрами на конкретных примерах.

1.Алгебраический способ.

Использование равносильных переходов при поиске решений уравнения и неравенства. Нахождение значений параметра по заданным в задачи условиям и по ОДЗ уравнения и неравенства.

2.Аналитический способ.

Нахождение значений параметра через

  • анализ корней квадратного трехчлена

  • анализ корней тригонометрического уравнения на единичной окружности

  • использование области значений функции или экстремумов функции.

3.Графический способ.

Уединение параметра и графический анализ по условию задачи. Использование методов математического анализа (уравнение касательной).

^







Министерство образования Республики Башкортостан


Отдел образования г. Баймака и Баймакского района


Математическая секция
^

Тема׃


СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Выполнил׃ ученик 11 в класса Шамсутдинов Ринат


Руководитель׃ учитель математики Мурзабаева Ф.М.


2004


Оглавление.


Введение


1.Алгебраический и аналитический способы решения иррациональных уравнений с параметрами.


2.Два различных подхода при аналитическом способе решения тригонометрического уравнения с параметрами.


3.Два способа решения тригонометрического неравенства с параметрами.


4.Графический способ решения уравнения с модулем.


5.Графический и аналитический способ решения неравенства с параметрами, содержащего знак модуля.


Заключение


Литература





Введение.

В последнее время на вступительных экзаменах в различные вузы очень часто встречаются задачи с параметрами. Они являются самыми сложными из всех заданий, потому что, чтобы их решить, требуются не только знания свойств функций, то есть теории, но и умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. Таким образом, проверяется, насколько абитуриент умеет мыслить сжато, логично и аргументировано.

Разбираясь со сложными задачами с параметрами из сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам УГНТУ, я выяснил, что имеется несколько способов решения параметрических уравнений и неравенств׃ алгебраический, аналитический, графический. А в некоторых задачах применяются методы математического анализа.

Суть каждого способа рассмотрена на примерах.


1.Алгебраический способ решения иррациональных уравнений с параметрами.

При этом способе нужно пользоваться равносильными переходами, чтобы показать, что преобразованное выражение равносильно исходному. И обязательно ставятся условия для нахождения решения иррационального уравнения, потому что одно из решений может не попасть в ОДЗ:

f(x)=g2(x;а)



g(x;a)0


Рассмотрим данный способ на примере:

1.13.33. При каких а уравнение х+3=2х-а имеет единственное решение?

Решение: Обеспечим неотрицательность обеих частей,

возведем в квадрат обе части уравнения:

Х+3 = 4х2 – 4х+а22 – х(4а+1) + а2 – 3 = 0

2х – а  0  х  a/2


Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Д=(4а+1)2 – 44(а2 - 3)=16а2+8а+1 – 16а2 + 48=8а+49

1) По условию уравнение должно иметь один корень, значит, Д=0, 8а +49 = 0,

а= - 49/8; х= 4а+1/8, но надо проверить, удовлетворяет ли это значение ОДЗ:




а =- 49/8 а = - 49 /8 а = - 49/8

   а = - 49/8

4а+1/8  а/2 4а + 1 4а 1 0


2) Если Д>0, то только один корень уравнения должен удовлетворять условию х  a/2

а)

4а+1+√8а+49 4а √8а+49  - 1 а  - 6

4а+1- √8а+49 <4a  √8а+49 > 1  а > -6  а > - 6

8а+49>0 а > - 49/8




б) √8а+49 < - 1

√8а+49 ≤ 1

 Ø

а > - 49/8




Ответ: - 49/8 U (-6;∞)


2 способ. Решим это задание аналитическим способом.

Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика - «полу» парабола с вершиной х = -3; у= 2х – а – множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом а прямая у=2х – а перемещается вправо.




у









x х х


Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке х



Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2

- абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной , а=

При х= - 3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом а= - 6.

А при а > - 6 имеем одну точку пересечения.

Ответ:


2.Аналитический способ решения тригонометрического уравнения с параметром.


1.13.24. При каких значениях параметра а уравнение

Соs2 x – (a -1/3) Cos x – a/3 = 0

имеет на промежутке [π/4; 5 π/3) не меньше 3 корней?

Решение: заменим cоs x на t, причем |t| ≤ 1

t2 – (a – 1/3) t – a/3 < 0

Д= (а+1/3)2 0 при любом а.

Рассмотрим 2 случая:

  1. Д=0, тогда уравнения будут иметь не больше 2 корней, но по условию должно быть не меньше 3 корней. Следовательно, этот случай не надо рассматривать

  2. Д > 0



а – 1/3 + √(а + 1/3)2

t = t=a

2

 t = -1/3

а – 1/3 - √(а + 1/3) 2

t = ׀t׀ ≤1

2

|t| ≤ 1


Рассмотрим расположение корней уравнения на тригонометрической окружности

y

а π

4


-1 0 х

3

Видим, что при t= уравнение имеет два решения. Чтобы оно имело не меньше трех решений и

Ответ:


2 способ.

Пусть Cosx=t,

; Рассмотрим график t = cosx




В промежутке при t= - 1 уравнение cosx = t имеет один корень

При - два корня, при -один корень

Поэтому чтобы исходное уравнение имело не меньше 3 корней необходимо выполнение условия:




(1) Первая система имеет 4 решения.


(2) вторая система имеет 3 решения.


Расположим корни квадратного трехчлена по этим двум условиям:


1) t

-1 ½




2)




½ √2/2

-1 t




Объединяя 1) и 2) получаем a[-1;


3. Два способа решения одного тригонометрического неравенства с параметром.

1.13.10. При каких а неравенство 2а – 4+а(3 – Sin2 x)2 + Сos2 x < 0 верно для всех х?

Решение: Преобразуем неравенство и приведем его к виду

а Cos4 x + (1+4a)cos2 x + 6a – 4 <0

Пусть cos2 x = t, 0≤t≤1

Получим неравенство аt2 + (4a + 1)t+6a – 4 <0

Это значит, что парабола при 0≤t≤1 находится ниже оси ох

Рассмотрим 3 случая:

1) а>0

Получаем условия для а>0


a>0 a>0

f(0)<0  a< 2/3  0
f(1)<0 0 1 x

a< 3/11


2) а<0

Получаем условия для а<0




a<0

f(0)< 0  a<0

f(1)<0

0 1 x


Но если 0






0


Д<0  Ø




a<(3-√11)/2

a>(3+√11)/2


3) a=0, то t – 4<0

t<4

Полученное неравенство верно при любых 0≤t≤1; Объединяем 3 случая и получаем ответ:a< 3/11

Решим эту же задачу другим способом:

Уединяем параметр

a< (4-cos2 x)/ 2+(3 – sin2 x)2 = f(x), ОДЗ: х  R.

Минимум f(x) достигается при х= πk, k  Z; т.к 4 – cos2 x = 3-минимум числителя, 2+(3 – sin2 x)2=11-максимум знаменателя. Значит, min f(x)= 3/11

Максимум f(x) достигается при х= π/2 + πk; т.е max f(x)=2/3


Схема:

y

max Заметим, что минимум числителя и

максимум знаменателя достигается при

одном и том же х.


а



min Ответ: а< 3/11

х


4. Графический способ решения уравнения с модулем, содержащий параметр.

При графическом способе решения задач с параметрами удобно

уединение параметра, то есть, приведение уравнения (неравенства) к виду f(х)=a (f(х)
При таком подходе рассматриваются две функции, графиком одной из которых обычно является прямая.

1.13.1. При каких а уравнение 2|х+1|-2|х-2|+|х-6|=х+3а имеет 1 корень.

Решим данное уравнение на четырех промежутках:




. f

-1 2 6

Составим уравнение для каждого промежутка.



Выразим параметр а через х и рассмотрим по 2 функции с ограничениями на промежутках.




Начертим график функции, заданной на промежутках.

y

6

y=-2x/3 5

4

3

2 y=2x+4/3

y=12-2x/3

1

0 x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7




График функции y=a представляет собой прямую, которую можно передвигать по оси ординат. Передвигая прямую y=a, легко заметить, что одно решение уравнения будет при 08/3.


5. Графически и аналитический способы решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля.

При решение уравнений (неравенств) вида f(x)=g(x;a) (g(x)>g(x;a)) пользуемся преобразованием графиков и уравнением касательной.

Функция, содержащая параметр, способна передвигаться по координатным осям или совершать повороты вокруг точки.

И благодаря такому свойству, находится такое положение графика, которое удовлетворяет данному условию.

1.13.42. При каких а неравенство ах+│х2-4х+3│>1 выполняется для всех х?

Решение: ах+|х2-4x+3|>1.

|x2-4x+3|>1-ax

Рассмотрим две функции y= |x2-4x+3|

y=1-ax


Построим их графики

y



10

8 y=|x2-4x+3|

6

4

2

x

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

y=1-ax


Найдем уравнение касательной в точке х0 функции y= |x2-4x+3|

y=(х0)= x20-4x0+3, y/(x0)=2x0-4

f(х)=(2х0-4) х-х02+3 – уравнение касательной

02+3=1




x0

x0<0 x0= -. Подставим значение точки х0 в производную рассматриваемой функции и получаем, что -a=-2-4, а=4+2.

Следовательно, при а=4+2 y=1-ax – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы 1


З II способ. │x² - 4x + 3│>1 – ax

1 случай.


Это значит, что





1 3

x


2 случай.




А это значит, что

1






2

1 3 x







Чтобы неравенство выполнялось при всех x:



Ответ: (1; 4+2√2)


Заключение.

Научный интерес в решении уравнений и неравенств с параметрами алгебраическим, аналитическим и графическим способами заключается в том, что при одном способе решение задания может быть громоздким, а при другом - более простым и наглядным. А это говорит о том, что нужно перед началом решения задания оценить его и выбрать тот путь, который проще.


Литература.


  1. Сборник задач по математике для подготовки к вступительным УГНТУ, Уфа-2003г.

  2. Факультативный курс по математике, 10 класс. Шарыгин.И.Ф. Москва «Просвещение» 1989г.

  3. Уравнение с параметрами на факультативных занятиях . С.Я.Постникова. «Математика в школе», №8, 2002г.

  4. Математика_ абитуриенту. В.В.Ткачук, Москва, 2002г.


Рецензия.

Все задачи, которые разобраны в этой работе, взяты из сложного уровня заданий сборника для подготовки к вступительным экзаменам УГНТУ.

Ринат серьезно и кропотливо изучил способы решения уравнений и неравенств с параметрами. Все задачи решены двумя способами и с использованием различных подходов. Выявлены три способа решения уравнений и неравенств с параметрами алгебраический, аналитический и графический. При решении некоторых задач использованы методы математического анализа.

Все задачи Ринат подобрал самостоятельно и подошел творчески к их решению.

Им был сделан самый важный вывод, что, знание различных способов решения позволяет оценить и находить самый простой и рациональный путь решения сложных задач с параметрами.

Научный руководитель - Мурзабаева Ф. М.




Скачать 137,17 Kb.
оставить комментарий
Мурзабаева Ф.М
Дата24.09.2011
Размер137,17 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх