Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факультета непрерывного обучения Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера icon

Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факультета непрерывного обучения Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера


Смотрите также:
Методические указания по выполнению контрольных работ...
Методические указания по выполнению контрольных работ...
Учебно-методическое пособие для слушателей 3 курса факультета заочного обучения...
Пособие содержит тематику контрольных работ, учебно-методические рекомендации по каждой теме...
Методика обучения техники легкоатлетических прыжков учебно-методическое пособие для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей и всех форм обучения www...
Курс лекций под редакцией профессора В. И...
Учебно-методическое пособие для студентов всех форм обучения факультета э и У...
Учебно-методическое пособие по дипломному проектированию для студентов специальности «Менеджмент...
Учебно-методическое пособие по дипломному проектированию для студентов специальности «Менеджмент...
Учебно-методическое пособие по курсу логика для студентов специальностей 030301 Психология...
Учебно-методическое пособие Москва, 2009 ббк 63. 3 /2/я 73 удк-930. 24 Степнова Л. В...



Загрузка...
скачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

для студентов II курса всех специальностей, бакалавров

и слушателей факультета непрерывного обучения

Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера Кафедра высшей математики

Москва 2008

ББК22.1

^ Методические указания и рекомендации по изучению дисциплины подготовил профессор Н.Ш. Кремер

Варианты контрольных работ подготовили

доцент А.В. Потемкин, доцент Б.А. Путко, доцент И.М. Эйсымонт, ст. препо­даватель О.Г. Константинова, ст. преподаватель Я.И. Федорова (все Москва); ст. преподаватель Г.Н. Саблина (Архангельск); доцент М.А. Ильина (Барнаул); ст. преподаватель А.Б. Еловиков (Брянск), ст. преподаватель А.П. Лукавый (Брянск); доцент М.Б. Хрипунова (Владимир), доцент Е. М. Исаенко (Владимир); доцент Н.Л. Рубцова (Волгоград); профессор В.Л. Хацкевич (Воронеж); допет И.А. Зенкина (Калуга); доцент Г.Б. Заболотских (Киров); доцент Л.Е. Лихог-рудова (Краснодар); ст. преподаватель Т.П. Паточкина (Курск); профессор В.Г. Курбатов (Липецк); доцент А.А. Коропец (Орел); доцент К).И. Заваровский (Пенза); доцент Н.Д. Голичева (Смоленск); ст. преподаватель Т.А. Нищета (Челя­бинск); ст. преподаватель Т.В. Ершова (Ярославль)

Учебно-методическое издание одобрено на заседании Научно-методического совета ВЗФЭИ

Проректор, председатель НМС, профессор ^ Д.М. Дайшпбегов

Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-ме­тодическое пособие для студентов II курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факультета непрерывного обучения / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: ВЗФЭИ, 2008.

В учебно-методическом пособии приведен обзор основных по­нятий и положений дисциплины «Теория вероятностей и матема­тическая статистика», даны методические рекомендации по ее изуче­нию, выделены типовые задачи, представлены контрольные вопро­сы для самопроверки и задачи для самоподготовки по данной дис­циплине, приведены варианты контрольных работ для студентов II курса, бакалавров и слушателей ФНО, а также указания по их выполнению.

ББК22.1

© Всероссийский заочный финансово-экономический

Предисловие

Среди математических дисциплин, изучаемых в экономическом вузе, теория вероятностей и математическая статистика занимает особое положение. Во-первых, она является теоретической базой статистических дисциплин. Во-вторых, методы теории вероятнос­тей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении закономернос­тей случайных явлений. Наконец, теория вероятностей и математи­ческая статистика имеет важное методологическое значение в по­знавательном процессе, при выявлении общей закономерности исследуемых процессов, служит логической основой индуктивно-дедуктивного умозаключения.

Цель настоящего методического пособия — помочь студентам в изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», освоении основ вероятностных и математико-статис-тических методов исследования.

Своеобразная форма вероятностных утверждений, сопровожда­емых обычно словами «вероятно», «практически достоверно», «в среднем», «сходится по вероятности» и т.п., — первая проблема, с которой сталкиваются студенты при изучении дисциплины. Дру­гая проблема связана с усвоением специфических теоретико-веро-

4

абстрактно-логических рассуждений при изучении данной дисцип­лины. Одним из путей преодоления возникающих трудностей яв­ляется решение достаточно большого числа задач.

При изучении дисциплины рекомендуется использовать учеб­ник Н.Ш. Кремера «Теория вероятностей и математическая стати­стика». Далее именно на этот учебник [1], указанный в литературе, даются ссылки. Другие пособия могут быть использованы в каче­стве дополнительной учебной литературы.

Литература

Основная

  1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статис­тика. — М.: ЮНИТИ, 2007*.

  2. Теория вероятностей и математическая статистика: Методи­ческие указания по компьютерному тестированию. — М.: Вузов­ский учебник,2007.

Дополнительная

  1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 2. — М.: Высшая шко­ла, 1982.

  2. Кремер Н.Ш. Математическая статистика. — М.: Экономи­ческое образование, 1992.

  3. Войтенко М.А. Руководство к решению задач по теории веро­ятностей. — М.: ВЗФЭИ, 1988

  4. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. — М.: Финансы и статистика, 1982.

Возможно использование учебника предыдущих лет издания.

5

Содержание дисциплины и методические рекомендации по ее изучению

В пособии по каждой теме приводится учебно-программный материал, который должен изучить студент со ссылками на реко­мендованный учебник [1].

Контрольные вопросы по данной дисциплине представлены низке в разделе «Вопросы для самопроверки».

Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и для само­стоятельной работы приводятся ниже в разделе «Задачи для са­моподготовки».

Раздел I. Теория вероятностей

Тема 1. Классификация событий

Случайные события. Полная группа событий. Классическое и ста­тистическое определение вероятности. Свойства вероятности со­бытия. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет ве­роятности. ([1], § 1.1-1.3, 1.5, 1.6.)

При изучении данной темы студенты сталкиваются с такими фундаментальными понятиями как испытание (опыт, эксперимент), случайное событие, вероятность события и др. Необходимо четко представлять, что событие — это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход (результат) испытания, т.е. выполнение определенного комплекса условий.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности наступления события. Если при классическом опре­делении вероятность события определяется как доля случаев, благо­приятствующих данному событию, то при статистическом опреде­лении — как доля тех фактически произведенных испытаний, в которых это событие появилось. При этом предполагается, что число испытаний достаточно велико, а события — исходы тех ис­пытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий, и обладают устойчивостью относительных частот. С теоретико-множественной

6

трактовкой основных понятий и аксиоматическим построением теории вероятностей студент может ознакомиться по учебнику ([1], § 1.12). (Этот материал в обязательную программу не входит.)

Для решения задач на непосредственный подсчет вероятностей необходимо овладеть элементами комбинаторики, ([1], § 1,5), в пер­вую очередь, определением числа сочетаний С* (без повторений).

Тема 2. Основные теоремы

Сумма и произведение событий. Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых собы­тий. Формулы полной вероятности и Байеса. ([1], § 1.7-1.11.)

Студент должен четко усвоить основные операции над события­ми — их сумму и произведение. Если (А + В) — событие, состоя­щее в появлении хотя бы одного из данных событий (т.е. наступ­ления либо события А, либо события В, либо обоих событий вме­сте), то АВ представляет событие, состоящее в совместном появле­нии двух событий (т.е. наступления и события А, и события В). Нужно знать, что событием, противоположным сумме нескольких событий, является произведение противоположных событий, т.е.

А + В + ... + К = ~АВ..Х, а событием, противоположным произведению нескольких собы­тий, является сумма противоположных событий:

АВ...К = А~ + В + ... + ~К.

Основными теоремами данной темы являются теоремы сложе­ния и умножения вероятностей. Следует четко знать, что вероят­ность суммы событий равна сумме их вероятностей (т.е. Р(А + В) = - Р(А) + Р(В)) для несовместных событий, а вероятность произве­дения событий равна произведению их вероятностей (т.е. Р(АВ) = = Р{А)Р(В)) для независимых событий.

Завершают тему формулы полной вероятности и Байеса, явля­ющиеся следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Общим для этих формул является то, что они применяются в слу­чае, когда данное событие F может произойти только при условии появления одной из гипотез А , А2, ..., Ап, образующих полную группу событий. Но если в формуле полной вероятности для P(F)

7

ищется вероятность события F (безотносительно к рассматривае­мой гипотезе), то формула Байеса позволяет произвести количе­ственную переоценку априорных вероятностей гипотез Р(А) (/ = 1, 2, ..., п), известных до испытания, лишь после того, как событие F произошло, т.е. найти апостериорные (получаемые после прове­дения испытания) условные вероятности гипотез PF(At).

Особое внимание следует уделить задачам по данной теме. Ре­шение каждой из них должно сопровождаться предварительным логическим анализом условия, формулировкой и обозначением искомого события, выявлением его логической связи с другими, более простыми событиями. Этот анализ выявит применимость в данной задаче той или иной формулы или теоремы (теорем сло­жения, умножения, формул полной вероятности, Байеса и т.п.) и позволит обосновать дальнейшие операции, связанные с расче­том вероятностей.

При решении задачи прежде всего необходимо ввести обозначе­ния для событий и по данным условия составить соотношения между ними, позволяющие определить искомую вероятность че­рез данные или более просто определяемые вероятности. Нужно соблюдать условие применимости используемой теоремы (напри­мер, условие несовместности событий при использовании теоре­мы сложения, условие зависимости или независимости событий при использовании теоремы умножения и т.п.).

Тема 3. Повторные независимые испытания

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. ^ Многоугольник распределения вероятностей. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применения. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция Дх), ее свойства и график. Интеграль­ная теорема Муавра-Лапласа и ее следствия. Функция Ф(х) Лапла­са и ее свойства. ([1], § 2.1-2.4.)

В этой теме рассматривается схема Бернулли — последователь­ность п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) =р. Результат испытаний — появление т раз события А, которое чередуется в любом порядке с п-т раз непоявлением события А.

8

При этом могут определяться вероятности того, что:

а) событие А появится точно т раз (вероятность Р );

б) событие А появится не менее или не более данного числа а
раз (вероятности Р(т > а) или Pftn < a));

в) событие А появится т раз, заключенное в границах от а до Ъ
(включительно), т.е. вероятность Р (а <т < Ь).

При решении задач темы следует уяснить, что нужно понимать под испытанием и событием ^ А. Далее необходимо сформулиро­вать вопрос задачи в виде условий, налагаемых на число т на­ступлений события или частость (относительную частоту) mln. Затем перейти к записи условий задачи в терминах и обозначени­ях схемы повторных испытаний, к выбору подходящей расчетной формулы и вычислительной схемы.

Расчет вероятностей РппРп (a<m<b) = ^ Ртп можно произво-

дить по точной формуле Бернулли (если п — небольшое число) и по асимптотическим формулам, если п велико. Если по техничес­ким причинам вероятность Ртп не может быть вычислена по фор­муле Бернулли, то используются асимптотические формулы — фор­мула Пуассона (если п — велико, р — мала, так, что к = пр < 10), локальная формула Муавра-Лапласа (если npq > 20). Если необ­ходимо найти вероятность числа т (частости mln) появления собы­тия, заключенного в некоторых пределах, то при условии npq > 20 может быть использована интегральная теорема Муавра-Лапла­са и ее следствия.

Тема 4. Дискретные случайные величины

Понятие случайной величины и ее описание. Виды случайных вели­чин. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения; основное свойство закона распределения. Арифметические операции над случайными величинами. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое от­клонение дискретной случайной величины. Математическое ожида­ние и дисперсия: а) случайной величины, распределенной по биноми­альному закону и закону Пуассона; б) частости события в п незави­симых повторных испытаниях. ([1], § 3.1-3.4, 3.8, 4.1, 4.2.)

_9

В этой теме рассматривается одно из фундаментальных понятий теории вероятностей — понятие случайной величины. Под слу­чайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возмож­ного множества своих значений (какое именно — заранее неизве­стно). Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.

Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения, т.е. всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и со­ответствующими им вероятностями.

При решении задач случайная величина, как и случайное собы­тие, подлежит четкому определению по условию. Ее связь со слу­чайным событием заключается в том, что принятие ею некоторого числового значения (т.е. выполнение равенства X = х) есть слу­чайное событие, характеризуемое вероятностью Р(Х = х) =р..

В данной теме рассматриваются дискретные случайные величи­ны (ДСВ), характеризуемые конечным или бесконечным, но счет­ным множеством возможных значений х. и соответствующими им вероятностями р. = Р(Х = х). Большинство задач темы связано с построением для заданной случайной величины закона распреде­ления, т.е. таблицы вида \ — \. Решение подобных задач требует,

прежде всего, четких определений случайной величины и испыта­ния, количественный результат которого характеризуется значе­ниями Xj, х2, ..., х., ..., хп.

Затем можно перейти к построению закона распределения слу­чайной величины, а точнее — к вычислению вероятностей р., — вероятностей событий X = х.. Здесь могут быть использованы при­емы и методы, рассмотренные при решении задач в темах 1-3.

Общая схема решения задач на построение законов распределе­ния включает:

  1. введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь;

  2. описание множества ее возможных значений хг х2, ..., х, ..., хп;

  3. рассмотрение выполнения каждого из равенств X = х. как слу­чайного события;

10

  1. вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;

  2. проверку правильности составленного распределения с по-

п

мощью равенства ^р, = 1. ы Особое внимание следует обратить на числовые характеристи­ки случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на ма­тематическое ожидание и дисперсию и их свойства.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

^ Функция распределения случайной величины, ее свойства и график. Определение непрерывной случайной величины. Вероятность отдель­но взятого значения непрерывной случайной величины. Плотность вероятности, ее свойства и график. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Определение нормально­го закона распределения; теоретико-вероятностный смысл его па­раметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа. Форму­лы для определения вероятности: а) попадания нормально распреде­ленной случайной величины в заданный интервал; б) отклонения нор­мально распределенной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм». Понятие о центральной предель­ной теореме {теореме Ляпунова). ([1], § 3.5-6.5.)

Функция распределения случайной величины — одно из фунда­ментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F{x) представляет вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее х, т.е. F(x) = Р{Х < х). Не­обходимо знать свойства функции распределения F(x) и ее произ­водной ф(х) — плотности вероятности случайной величины — и уметь их изображать графически. Из непрерывных случайных ве­личин особо важное значение имеет нормальный закон распреде­ления. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его па­раметров, выражение функции распределения F (х) через функцию

11

Лапласа Ф(х), свойства нормально распределенной случайной ве­личины, правило «трех сигм». Важно четко представлять, что нор­мальный закон, в отличие от других, является предельным зако­ном, к которому при некоторых весьма часто встречающихся усло­виях приводит совокупное действие (сумма) п независимых слу­чайных величин X., Х2, ..., Хп при п -> оо.

Тема 6. Двумерные (я-мерные) случайные величины

Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения. Ковариа-ция и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреля­ции. Двумерное нормальное распределение. Условные математичес­кое ожидание и дисперсия. ([1], § 5.1, 5.6, 5.7.)

В этой теме обобщается понятие случайной величины, вводятся понятия многомерной (и-мерной) случайной величины, условных распределений и их числовых характеристик. Так как математи­ческие ожидания и дисперсии случайных величин X и У недостаточ­но полно характеризуют двумерную случайную величину (X, Y), рассматриваются ковариация и коэффициент корреляции случай­ных величин, которые позволяют выявить степень зависимости между X и Y. Завершается тема понятием двумерного нормально­го закона распределения. Следует обратить внимание на то, что в случае двумерного нормального закона зависимости условных математических ожиданий Mx{Y) (или М (X)) от х (или у), т. е. нормальные регрессии Y по X (или X по У), всегда линейны, а условные дисперсии Dx(Y) (или D (X)) постоянны и не зависят от значений х (или у).

Тема 7. Закон больших чисел

Сущность закона больших чисел. Значение теорем закона боль­ших чисел для математической статистики. Лемма Чебышева {не­равенство Маркова). Неравенство Чебышева и его частные случаи: а) для средней арифметической случайных величин; 6) для случайной величины,распределенной по биномиальному закону; в) для частости события. Теорема Чебышева и ее следствие. Теорема Бернулли. ([1], §6.1-6.4.)

12

Данная тема важна для понимания методов математической ста­тистики. Она включает ряд теорем, устанавливающих при опреде­ленных условиях устойчивость частости (относительной частоты) и средней арифметической (теоремы Бернулли, Чебышева и др.). При изучении каждой из них важно уяснить условия их примени­мости, а также смысл утверждений, сопровождаемых словами «практически невозможно», «практически достоверно». Особое внимание следует уделить понятию «сходимости по вероятности».

При использовании неравенств Маркова и Чебышева в процес­се решения задач необходимо учитывать, что:

  1. приведенные неравенства дают не точное значение соответ­ствующей вероятности, а лишь ее оценку снизу или сверху (веро­ятность не меньше (не больше) данного числа);

  2. неравенство Чебышева оценивает вероятность отклонения случайной величины X от ее математического ожидания М(Х) = а.

Неравенство \Х- а\ может быть представлено в виде: -е < Х- а < г или а - е < X < а + е. Это означает, что случайная величина X принимает значения в границах, симметрично расположенных от­носительно а, т.е. ота = А"Едо(3 = а + Е.

Раздел 2. Математическая статистика

Тема 8. Вариационные ряды

Вариационный ряд как результат первичной обработки данных наблюдений. Дискретный и интервальный ряды. Средняя арифмети­ческая и дисперсия вариационного ряда. Упрощенный способ их вы­числения. ([[], 8.1-8.4.)

Прежде чем непосредственно изучать выборочный метод, необ­ходимо ознакомиться с простейшей статистической обработкой опытных данных, построением вариационных рядов, вычислени­ем их числовых характеристик.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реали­зацией) распределения признака (случайной величины), а его чис­ловые характеристики — средняя арифметическая х и дисперсия s2 — аналогами соответствующих числовых характеристик слу­чайной величины — математического ожидания М(Х) и диспер-

13

сии D(X). Точно так же понятие частости (относительной частоты) w для вариационного ряда аналогично понятию вероятности р для случайной величины.

Необходимо четко знать формулы вычисления числовых харак­теристик ряда (§ 8.2, 8.3). Более сложные формулы, используемые в упрощенном способе расчета (§ 8.4), являются вспомогательны­ми, и их сложность объясняется переходом в расчетах от рассмат­риваемых вариантов к условным.

Однако некоторое усложнение нахождения числовых характе­ристик по этим формулам с лихвой компенсируется снижением трудоемкости расчетов за счет существенного упрощения услов­ных вариантов по сравнению с исходными.

Тема 9. Основы выборочного метода

Сплошное и выборочное наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Собственно-случайная выборка с повторным и бес­повторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности, свойства оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность. Оценка гене­ральных доли и средней по собственно-случайной выборке. Несмещен­ность и состоятельность выборочных доли и средней. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии как оценки генеральной дисперсии. Интервальная оценка параметров. Доверительная веро­ятность, надежность оценки и предельная ошибка выборки. Форму­лы доверительных вероятностей для средней и доли. Объем выборки. ([1], §9.1,9.2, 9.4, 9.6.)

Выборочный метод широко применяется на практике. Однако значение этой темы значительно шире, поскольку концепция вы­борки лежит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генераль­ной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результатами наблюдений) и теоретической моделью.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о гене­ральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. По­этому выборочные характеристики— выборочные средняя х, доля w и дисперсия s2 — величины случайные в отличие от их аналогов в генеральной совокупности х0, р и а2 — величин неслучайных.

14

Необходимо знать свойства выборочных оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Уметь обосновать несмещенность и состоятельность выборочных средней и доли. При этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое к выборочной оценке 0„ заключается в том, чтобы ее рассеяние относительно оце­ниваемого параметра 8, т.е. М(6Я -8)2 было минимальным. Для

несмещенной оценки, для которой М(0Я - б)2 = D(Qn) = о~, это требование означает ее эффективность. Но даже «наилучшая» оцен­ка является лишь приближенным значением неизвестного парамет­ра и, будучи величиной случайной, может существенно отличаться от самого параметра.

Поэтому наряду с точечной рассматривают интервальную оцен­ку параметра, т.е. такой числовой интервал, который с заданной доверительной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестное значение параметра. Программой предусматривается построение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли собственно-случайных выборок (повторной и бесповторной). Основой являются формулы доверительной вероятности для сред­ней и доли ([1], формулы (9.23), (9.24)).

Необходимо усвоить три типа задач на выборку, сводящиеся к определению предельной ошибки выборки или границ доверитель­ного интервала, надежности оценки и объема выборки.

При решении задач на нахождение объема выборки следует учесть, что это не просто задачи на вычисление неизвестной величины п из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дис­персию признака. Ведь обычно объем выборки надо знать до про­ведения выборочного наблюдения, но в этом случае неизвестны не только дисперсии признака о2 ширд, но даже их оценки. Поэтому вместо неизвестных значений a2 v\mi pq берут выборочные характе­ристики s1 или w(l - w) предшествующего исследования в аналогич­ных условиях, т.е. полагают, что а2и s2, p&w. Если никаких сведе­ний о а2 илир нет, то в качестве о2 илир используют их выборочные оценки по специальной пробной выборке небольшого объема и по формулам (9.33) — (9.36) находят объем основной выборки. При оценке генеральной доли р вместо проведения пробной выборки можно в формулах объема выборки произведение pq =p(\ ~ р) заме­нить его максимальным значением, равным 0,25.

_.

Если по условию задачи объем бесповторной выборки значи­тельно меньше объема генеральной совокупности или генераль­ная совокупность бесконечна, то расчет необходимых характери­стик проводят по формулам для повторной выборки.

Тема 10. Элементы проверки статистических гипотез

Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки ^ 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Прин­цип практической уверенности. Оценка параметров законов распре­деления по выборочным данным. Понятие о критериях согласия. I2 критерий Пирсонам схема его применения. ([1], § 10.1,10.2,10.7.)

Проверка статистических гипотез — один из наиболее часто ис­пользуемых на практике разделов математической статистики. Необходимо усвоить такие понятия, как статистическая гипотеза и статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень зна­чимости и мощность критерия.

Важнейшим вопросом темы является построение теоретическо­го закона распределения (выбор типа закона и оценка его пара­метров) по опытным данным и оценка его расхождения (согла­сия) с эмпирическим распределением. Необходимо уяснить суть критериев согласия, позволяющих установить (на данном уровне значимости), объясняется ли расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением лишь случайными причинами, свя­занными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распре­деления подобран неудачно.

Необходимо знать критерии согласия х2-Пирсона и схему его применения.

Тема 11. Элементы теории корреляции

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Уравнения регрессии, корреляционная таблица. Групповые средние. Основные задачи теории корреляции: определение формы и оценка тесноты связи. Линейная парная регрессия. Определение парамет­ров прямых регрессий методом наименьших квадратов. Выборочная ковариация. Формулы расчета коэффициентов регрессии. Выбороч­ный коэффициент корреляции, его свойства и оценка достоверности

16

(значимости). Понятие о нелинейной и множественной корреляции. Ш],§ 12.1-12.3,12.5.)

Корреляционный анализ наряду с выборочным методом пред­ставляет собой важнейшее прикладное направление математичес­кой статистики. Предметом его исследования является связь (зави­симость) между различными варьирующими признаками (пере­менными величинами), при которой каждому значению одной переменной соответствует не определенное значение другой (как это имеет место при функциональной зависимости), а распределе­ние другой переменной с определенным условным математичес­ким ожиданием.

При изучении темы следует уяснить сущность статистической и ее частного случая — корреляционной зависимости.

Конечная цель корреляционного анализа — получение уравне­ний прямых регрессий, характеризующих форму зависимости, и вычисление коэффициента корреляции, определяющего тесноту (силу) связи, если она линейная.

Расчет производится в два основных этапа. На первом обраба­тывают табличные данные для нахождения величин выборочных средних х, у, дисперсий s2x, s1 и выборочной ковариации р. При этом рекомендуется использовать упрощенный способ их расчета (§ 12.2). Второй этап — вычисление основных характеристик кор­реляционной зависимости — коэффициентов регрессии Ъ , Ьх ко­эффициента корреляции г и оценка их достоверности.

При решении задачи 3 контрольной работы № 4 следует учесть, что прямые регрессии должны быть построены на одном чертеже с эмпирическими линиями (ломаными) регрессии, причем они должны образовывать с осью Ох либо только острые, либо толь­ко тупые углы и пересекаться в точке (х, у).

Все расчеты должны вестись с разумной степенью точности, ис­пользуя правила приближенных вычислений, сохраняя в проме­жуточных вычислениях на один-два десятичных знака больше, чем в окончательном ответе (правило запасной цифры).

17

Вопросы для самопроверки

  1. Классификация случайных событий. Классическое определе­ние вероятности. Свойства вероятности события, непосредствен­ный подсчет вероятности. Примеры.

  2. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.

  3. Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теоре­ма сложения вероятностей (с доказательством). Пример.

  4. Полная группа событий. Противоположные события. Соот­ношение между вероятностями противоположных событий (с вы­водом). Примеры.

  5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятнос­тей (с доказательством). Примеры.

  6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.

  7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.

  8. Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее примени­мости. Свойства функции Дх). Пример.

  9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее примени­мости. Пример.




  1. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее при­менимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример.

  2. Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с вы­водом). Примеры.

  3. Понятие «случайная величина» и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.

  4. Математические операции над дискретными случайными ве­личинами и примеры построения законов распределения для кХ, X2, X + Y, XY по заданным распределениям независимых случай­ных величин X и Y.

  5. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.

  6. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с вы­водом). Примеры.

18

  1. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости на­ступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).

  2. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распреде­ления Пуассона.

  3. Функция распределения случайной величины, ее определе­ние, свойства и график.

  4. Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность от­дельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дис­персия НСВ.

  5. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.

  6. Определение нормального закона распределения. Теорети­ко-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.

  7. Функция распределения нормально распределенной случай­ной величины и ее выражение через функцию Лапласа.

  8. Формулы для определения вероятности: а) попадания нор­мально распределенной случайной величины в заданный интер­вал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трех сигм».

  9. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпу­нова и ее значение. Пример.

  10. Понятие двумерной (и-мерной) случайной величины. При­меры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таб­лице распределения.

  11. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случай­ных величин.

  12. Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.

  13. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). При­мер.

  14. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному за­кону, и для частости события.

19

  1. Неравенство Чебышева для средней арифметической случай­ных величин (с выводом).

  2. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и след­ствие. Пример.

  3. Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.

  4. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифмети­ческая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.

  5. Генеральная и выборочная совокупности. Принцип образо­вания выборки. Собственно-случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Ос­новная задача выборочного метода.

  6. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

  7. Оценка генеральной доли по собственно-случайной выбор­ке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.

  8. Оценка генеральной средней по собственно-случайной вы­борке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.




  1. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.

  2. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная ве­роятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выбор­ки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и система­тические).

  3. Формула доверительной вероятности при оценке генераль­ной доли признака. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной доли признака.

  4. Формула доверительной вероятности при оценке генераль­ной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бес­повторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.

  5. Определение необходимого объема повторной и бесповтор­ной выборок при оценке генеральной средней и доли.

  6. Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошиб­ки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.

20

  1. Построение теоретического закона распределения по опыт­ным данным. Понятие о критериях согласия.

  2. Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.

  3. Функциональная, статистическая и корреляционная зависи­мости. Различия между ними. Основные задачи теории корреля­ции.

  4. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравне­ний для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.

  5. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выбороч­ный), его свойства и оценка достоверности.

21

Задачи для самоподготовки

Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для самостоятельного выполнения по учебнику [1]. Студентам ре­комендуется в первую очередь разобрать задачи с решениями, а затем выборочно решать задачи для самостоятельного выполне­ния (например, каждую вторую задачу из списка задач по теме).



п/п

Название темы

^ Номера задач по учебнику |1]

с решениями

для самостоятель­ного выполнения




Раздел I. Теория вероятностей

1

Классификация событий

1.1,1.10-1.16

1.37-1.49

2

Основные теоремы

1.17-1.31, 1.34-1.35

1.53-1.78

3

Повторные независимые испытания

2.1-2.12

2.13-2.34

4

Дискретные случайные величины

3.1-3.10, 3.18,3.19а,

3.20-3.22,4.1,4.2,4.5

3.25-3.46,3.49-3.61, 4.11-4.16

5

Непрерывные случай­ные величины

3.11-3.14,3.24,4.9

3.47,3.48,3.62-3.66, 4.19-4.23

6

Двумерные (и-мерные) случайные величины

5.2,5.5

5.10,5.14

7

Закон больших чисел

6.1-6.4,6.6-6.8

6.9-6.22




Раздел II.

Математическая статистика

8

Вариационные ряды

8.2,8.3,8.6,8.8

8.10-8.12

9

Основы выборочного метода

9.6,9.7,9.10-9.13

9.19-9.27,9.30

10

Элементы проверки статистических гипотез

10.12

10.28-10.30

11

Элементы теории корреляции

12.1-12.6

12.14-12.18

22

Методические указания по выполнению контрольных работ

В соответствии с учебным планом по дисциплине «Теория веро­ятностей и математическая статистика» каждый студент должен выполнить две контрольные работы — № 3 и № 4. Контрольная работа № 3 охватывает материал курса, соответствующий разде­лу «Теория вероятностей», а контрольная работа № 4 — материал раздела «Математическая статистика».

Обе контрольные работы (№ 3 и № 4) все студенты вечерних и дневных групп выполняют дома по приведенным в данном посо­бии вариантам и направляют в институт для проверки в сроки, указанные в индивидуальном графике студента. Однако эти сроки являются крайними. Чтобы работа была своевременно провере­на, при необходимости доработана и сдана повторно, ее надле­жит выслать значительно раньше указанного срока.

Студентам дневных групп рекомендуется во время установоч­ной (зимней экзаменационной) сессии вчерне выполнить домаш­ние контрольные работы № 3 и № 4, чтобы получить консульта­цию по возникшим в ходе написания работ вопросам. В течение двух недель после окончания сессии соответствующие работы дол­жны быть завершены и представлены на проверку.

Если работа имеет существенные недочеты и требуется повтор­ное решение задач, то она получает оценку «Не допускается к со­беседованию». Такую работу в той же тетради, если есть место, или новой необходимо переделать в соответствии с указаниями преподавателя, проверявшего работу. Новая работа с надписью «Повторная» вместе с первоначальной направляется для повтор­ной проверки. На обложке тетради необходимо указать фамилию преподавателя, которым работа ранее не была зачтена.

Если работа оценивается положительно, на ней делается запись «Допускается к собеседованию». При этом в работе могут быть отдельные недочеты или ошибки, которые следует устранить. Ра­боту над ошибками необходимо представить на собеседовании.

Собеседование проходят все студенты по каждой контрольной работе, оцененной положительно. Время проведения собеседова­ния устанавливается территориальным подразделением (филиа-

23

лом). Если со студентом дневной группы собеседование не про­водилось в межсессионный период, оно будет проведено во время экзаменационной сессии. В ходе собеседования проверяется само­стоятельность выполнения работы, выявляется знание основных теоретических положений учебно-программного материала, охва­тываемого данной работой.

По результатам собеседования ставится зачет или незачет. К эк­замену допускаются только те студенты, которые успешно про­шли собеседование по двум контрольным работам (№ 3 и № 4).

Замечание. В соответствии с учебным планом по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» может быть предусмотрено компьютерное тестирование. В этом случае допол­нительным обязательным условием допуска студентов к экзамену является положительная оценка на тестировании.

Основные требования к выполнению и оформлению контрольной работы

Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо перепи­сать ее условие, а затем после слова «Решение» привести решение, к каждому этапу которого должны быть даны развернутые объясне­ния, описание вводимых обозначений. Используемые формулы и теоремы должны записываться с необходимыми пояснениями. Окон­чательный ответ следует выделить и сформулировать словесно.

Все расчеты нужно проводить тщательно с учетом правил при­ближенных вычислений*. Учитывая, что используемые при реше­нии задач таблицы четырехзначные, все промежуточные вычисле­ния следует проводить с четырьмя верными знаками после запя­той, а окончательный ответ дать с тремя верными знаками, пра­вильно округлив полученный до этого результат.

При выполнении громоздких расчетов, связанных с обработкой вариационных рядов и корреляционных таблиц, рекомендуется

* Математический анализ и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов I курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факуль­тета непрерывного обучения / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: ВЗФЭИ, 2008. — С. 7-9.

24

пользоваться упрощенной схемой вычислений ([1], § 8.4, § 12.2). Прежде чем приступить к решению задачи 2 контрольной работы № 4, ознакомьтесь с замечанием, приведенном в учебнике ([1], § 10.7).

В конце работы указывается список использованной литерату­ры, ставится дата окончания работы и подпись. Поля в тетради, где выполняется работа, должны быть не менее 3 см.

Зачетные контрольные работы хранятся у студента и обязатель­но предъявляются на экзамене. В случае успешной сдачи экзамена эти работы остаются у экзаменатора.

Ниже приведены варианты заданий контрольных работ № 3 и № 4. ^ Индивидуальный номер варианта соответствует последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с номе­ром зачетной книжки и студенческого билета.

Контрольная работа не рассматривается, если ее вариант не со­впадает с последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена по вариантам прошлых лет.

^ 25

Варианты контрольных работ* Вариант 1

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)

Контрольная работа № 3

  1. В первом ящике 2 красных и 5 синих папок, во втором — 4 красных и 3 синих. Из первого ящика переложили 2 папки во вто­рой, после чего из второго ящика наудачу достали одну папку. Какова вероятность того, что она красного цвета?

  2. Вероятность сдачи студентом контрольной работы в срок рав­на 0,7. Найти вероятность того, что из 5 студентов вовремя сдадут контрольную работу:

а) 3 студента; б) хотя бы один студент.

3. Всхожесть хранящегося на складе зерна равна 80%. Отбира­
ются 400 зерен. Определить вероятность того, что из отобранных
зерен взойдут:

а) ровно 303; б) от 250 до 330.

4. Котировки акций могут быть размещены в Интернете на трех
сайтах. Материал есть на первом сайте с вероятностью 0,7, на вто­
ром — с вероятностью 0,6, на третьем — с вероятностью 0,8. Сту­
дент переходит к новому сайту только в том случае, если не най­
дет данных на предыдущем. Составить закон распределения числа
сайтов, которые посетит студент.

Найти:

а) функцию распределения этой случайной величины и постро­
ить ее график;

б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной вели­
чины.

5. Случайная величина X имеет нормальный закон распределе­
ния с параметрами а и а2.

* Напоминаем (см. с. 24), что номер личного дела студента совпадает с номе­ром его зачетной книжки и студенческого билета.

26

Найти:

а) параметр о\ если известно, что математическое ожидание
^ М(Х) - 5 и вероятность Р(2 < X < 8) = 0,9973;

б) вероятность Р(Х < 0).

Контрольная работа 4

1. Для проверки качества поступившей партии зерна по схеме собственно-случайной бесповторной выборки произведено 10%-ное обследование. В результате анализа установлено следующее распределение данных о влажности зерна:



Процент влажно­сти

Менее 8

8-10

10-12

12-14

14-16

16-18

18-20

Более 20

Итого

Число проб

7

15

30

35

25

18

7

3

140

Найти:

а) вероятность того, что средний процент влажности зерна в
партии отличается от ее среднего процента в выборке не более чем
на 0,5% (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля зер­
на, влажность которого менее 12%;

в) объем выборки, при которой те же границы для доли зерна,
полученные в пункте б), можно гарантировать с вероятностью
0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предваритель­
ных данных о рассматриваемой доле нет.

  1. По данным задачи 1, используя х2-критерий Пирсона, на уров­не значимости а = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X — процент влажности зерна — распределена по нор­мальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эм­пирического распределения и соответствующую нормальную кри­вую.

  2. Распределение 60 предприятий по затратам рабочего времени Х(тыс. человеко-дней (чел.-дн.)) и выпуску продукции У (млн руб.) представлены в таблице:



X ^\

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

Итого

10-25

1

3

2







6

25-40

3

6

4

I 1




14

40-55




3

7

6

1

17

55-70




1

6

4

4

15

70-85







2

5

1

8

Итого

4

13

21

16

6

60

Необходимо:

  1. Вычислить групповые средние х, и у}, построить эмпиричес­кие линии регрессии;

  2. Предполагая, что между переменными X и Y существует ли­нейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на
одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо­
мическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
а = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и на­
правлении связи между переменными X и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить
средний выпуск продукции предприятия с затратами рабочего
времени 55 тыс. чел.-дн.

28

Вариант 2

{для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)

Контрольная работа № 3

1. Дано восемь карточек с буквами Н, М, И, И, Я, Л, Л, О.
Найти вероятность того, что:

а) получится слово «ЛОМ», если наугад одна за другой выби­
раются три карточки и располагаются в ряд в порядке появления;

б) получится слово «МОЛНИЯ», если наугад одна за другой
выбираются шесть карточек.

2. По телевидению с 1 сентября начинают показывать четыре
новых сериала. Вероятность того, что сериал продлится до Ново­
го года, равна 0,3. Найти вероятность того, что до Нового года из
этих сериалов продлится:

а) ровно 2; б) хотя бы один.

Y:

У)

1

3 1




Pj

0,6

7

  1. В филиале института 1000 студентов. После окончания заня­тий в среднем каждый десятый студент занимается в читальном зале. Сколько посадочных мест нужно иметь, чтобы с вероятнос­тью 0,9545 их хватало всем студентам филиала.

  2. Законы распределения независимых случайных величин X и Y приведены в таблицах:



X:

X,

0

1

2




Р,

0,1

?

0,7

Найти:

а) вероятности Р(Х = 1) и P(Y = 3);

б) закон распределения случайной величины Z = X + Y;

в) математическое ожидание М{7) и дисперсию D(Z);

г) функцию распределения F(z).

5. Уровень воды в реке — случайная величина со средним значе­нием 2,5 м и стандартным отклонением 20 см. Оценить вероят­ность того, что в наудачу выбранный день уровень воды:

а) превысит 3 м; б) окажется в пределах от 2 м 20 см до 2 м 80 см.

29

Контрольная работа 4

1. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки про­ведено 5%-ное обследование вкладов в Сбербанк одного из горо-ттгт Рр^пктяты обследования 150 вкладов ппедставлены в таблице.



Размер вклада, тыс. руб.

Менее 40

40-60

60-80

80-100

100-120

120-140

Более 140

Итого

Число вкладов

6

17

35

43

28

13

8

150

Найти:

а) вероятность того, что средний размер всех вкладов в Сбер­
банке отличается от их среднего размера в выборке не более чем
на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкла­
дов, размер которых менее 80 тыс. руб.;

в) объем выборки, при которой те же границы для доли вкла­
дов, полученные в пункте б), можно гарантировать с вероятнос­
тью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предвари­
тельных данных о рассматриваемой доле нет.

  1. По данным задачи 1, используя х2-критерий Пирсона, на уров­не значимости а = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X — размер вклада — распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

  2. Распределение 50 предприятий по стоимости основных про­изводственных фондов X (млн руб.) и стоимости произведенной nno/wKiiHH У Гмлн nv6.1 ппедставлены в таблице:






X ^\

15-20

20-25

25-30

30-35

35-^0

40^15

Итого




20-30

1

4

2










7




30-40

2

4

5

2







13




40-50




5

6

2

1




14




50-60







1

3

3

4

11




60-70










1

3

1

__5__




Итого

3

13

14

8

7

5

50

30

Необходимо:

  1. Вычислить групповые средние х, и у1 и построить эмпиричес­кие линии регрессии;

  2. Предполагая, что между переменными X п Y существует ли­нейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на
одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо­
мическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
а = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и на­
правлении связи между переменными X и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить
среднюю стоимость произведенной продукции на предприятиях
со стоимостью основных производственных фондов 45 млн руб.

31

Вариант 3

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)

Контрольная работа 3

  1. Студент пришел на зачет, зная 24 вопроса из 30. Какова веро­ятность сдать зачет, если для получения зачета необходимо отве­тить на один вопрос, а преподаватель задает последовательно не более двух вопросов?

  2. В среднем 10% заключенных в городе браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из четы­рех случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года:

а) ни одна пара не разведется; б) разведутся не более двух пар.

3. Вероятность того, что желание, загаданное на Новый год, сбу­
дется, равна 0,7. Найти вероятность того, что из 200 загаданных
желаний сбудется:

а) ровно 140; б) от 120 до 150.

4. Дискретная случайная величина X задана функцией распреде­
ления:



Найти:

а) ряд распределения случайной величины X;

б) дисперсию D(X)\

в) вероятность Р(3 < X < 7,5).

5. Дневная выручка магазина является случайной величиной со средним значением 10 000 руб. и средним квадратическим откло­нением 2000 руб.:

  1. с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что дневная выручка будет находиться в пределах от 6000 до 14 000 руб.;

  2. найти вероятность того же события, учитывая, что дневная выручка магазина является случайной величиной, распределен­ной по нормальному закону;

  3. объяснить различие результатов.
































































































































Скачать 481.96 Kb.
оставить комментарий
Н.Ш. Кремера
Дата24.09.2011
Размер481.96 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх