Материалы для подготовки к государственному экзамену по математике icon

Материалы для подготовки к государственному экзамену по математике


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Материалы для подготовки к единому государственному экзамену в 2009 2010 учебном году вконце...
Решение задач и выполнение заданий по математике...
Программа по дисциплине. Вопросы для подготовки к государственному экзамену Москва 2012...
Пособие для подготовки к государственному экзамену по курсу «Дошкольная педагогика» Смоленск...
Методические материалы для учащихся при подготовке к Единому государственному экзамену...
Литература для учащихся...
Методические материалы для учащихся при подготовке к Единому государственному экзамену...
Литература Азевич А. И...
Материалы для подготовки к государственному теоретическому междисциплинарному экзамену по курсам...
Материалы для подготовки к государственному теоретическому междисциплинарному экзамену по курсам...
Экзамену по математике на примере темы «Функция»...
Материалы для подготовки к государственному теоретическому междисциплинарному экзамену «История...



Загрузка...
скачать


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ГЛАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

им. В.Г. Короленко


Материалы

для подготовки к государственному

экзамену по математике


Специальность «010100 – Математика»


Глазов 2002


ББК 22.1:74р Печатается по решению учебно-

М 34 методической комиссии математического факультета

Протокол № 2 от 12.04.2002г.


Материалы для подготовки к государственному экзамену по математике. Специальность "010100 - Математика". – Глазов, 2002. – 36 с.


Составители: М.А. Бабушкин, В.И. Карнаухова, Л.Т. Крежевских, В.В. Маев

Ответственный за выпуск: М.А. Бабушкин


«Материалы» предназначены студентам старших курсов Глазовского пединститута, обучающимся по специальности «010100 – Математика». «Материалы» содержат программы междисциплинарного государственного экзамена по математике (разделы «Алгебра», «Геометрия» и «Математический анализ»), типовые практические задания, включенные в билеты государственного экзамена, рекомендуемую литературу.


 Глазовский государственный педагогический институт, 2002


Государственная аттестация выпускника по специальности «010100 – Математика» с дополнительной специальностью «Информатика» (государственный стандарт 1995г.) состоит из трех испытаний: междисциплинарный экзамен по математике, экзамен по педагогике и методике преподавания математики, экзамен по информатике и методике преподавания информатики. Один из экзаменов заменяется защитой выпускной квалификационной работы.

Междисциплинарный экзамен по математике включает дисциплины: алгебра, геометрия и математический анализ. Названные дисциплины представлены в программе государственного экзамена 60 теоретическими вопросами, разбитыми на 30 билетов. Структура экзаменационного билета следующая: два теоретических вопроса и одно практическое задание. При этом каждый билет составлен так, чтобы в нем были представлены все три дисциплины. Например, если первый теоретический вопрос по алгебре, второй – по математическому анализу, то практическое задание – по геометрии.

Ниже в трех разделах приведены аннотированные программы междисциплинарного государственного экзамена по алгебре, геометрии и математическому анализу, а также рекомендации и типовые задачи по названным дисциплинам. В конце каждого раздела вы найдете список рекомендуемой литературы. Ссылки по тексту раздела даны на соответствующий список.


Раздел I. АЛГЕБРА


1.1. Вопросы


1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы, фактор-множество.

Упорядоченные пары (n-ки) элементов. Прямое произведение двух (нескольких) множеств.

Бинарные отношения на множествах. Примеры бинарных отношений. Область отправления и область прибытия бинарного отношения. Свойства бинарных отношений.

Отношение эквивалентности. Примеры отношений эквивалентности. Классы эквивалентности. Свойства классов эквивалентности. Фактор-множество.

Разбиение множества. Теорема о разбиении множества на классы эквивалентности.

[1], гл.2, [7], [8].


^ 2. Группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Алгебраические операции. Алгебра. Примеры классических алгебр.

Основные свойства групп. Определение подгруппы. Нормальная подгруппа. Фактор - группа.

Гомоморфизм групп. Основные свойства гомоморфизмов групп. Образ и ядро гомоморфизма групп.

Изоморфизм групп. Теорема об эпиморфизме групп.

[1], гл.3, §1-3, [2], [3].

^ 3. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Алгебраические операции. Алгебра. Примеры классических алгебр.

Основные свойства кольца. Подкольцо. Идеалы кольца. Фактор - кольцо.

Гомоморфизм колец. Основные свойства гомоморфизмов колец. Образ и ядро гомоморфизма колец.

Изоморфизм колец. Теорема об эпиморфизме колец.

[1], гл.3, §1-2,4, [2], [3].


^ 4. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.

Дедуктивный характер математики.

Аксиоматический подход к построению математической теории.

Аксиоматика натурального ряда. Аксиома индукции и принцип математической индукции. Теорема о методе математической индукции.

[1], гл.1, §1, [8].


^ 5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.

Определение числового кольца. Кольцо целых чисел - минимальное числовое кольцо, содержащее множество натуральных чисел.

Деление с остатком в кольце целых чисел. Теорема о делении с остатком.

Делимость нацело в кольце целых чисел. Основные свойства делимости.

Наибольший общий делитель(НОД) и наименьшее общее кратное(НОК) двух(нескольких) чисел. Нахождение НОД и НОК с использованием канонического представления целых чисел.

Алгоритм Евклида. Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя. Взаимно-простые числа.

Теорема о связи наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

[1], гл.4, §4. [5], гл.3.


^ 6. Поле. Числовые поля. Упорядоченное поле.

Определение и примеры полей. Основные свойства поля.

Отношение порядка. Линейный порядок. Упорядоченное множество.

Упорядоченное поле. Основные свойства упорядоченных полей.

Числовые поля. Примеры числовых полей.

Архимедовски упорядоченные поля. Поле действительных чисел. Некоторые свойства поля действительных чисел.

[1], гл.2, §5, гл.4, §5,6.


^ 7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними.

Примеры задач, приводящих к комплексным числам.

Определение поля. Примеры. Определение подполя. Примеры.

Определение поля комплексных чисел. Теорема о существовании поля комплексных чисел.

Теорема об алгебраической форме комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сопряженные комплексные числа и их свойства. Модуль и аргумент комплексного числа и их свойства.

Геометрическое представление комплексных чисел. Геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа.

[1], гл.4, §7,8, [2], гл.4., [4], гл.2.,[6] гл.2.


^ 8. Тригонометрическая форма комплексного числа и действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Теорема о тригонометрической форме комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Корни из комплексных чисел. Теорема о корнях из комплексного числа.

[1], гл.4, §8, [4], гл.2.,[6],гл.2


^ 9. Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Определение и примеры векторного пространства. Простейшие свойства векторных пространств.

Линейная зависимость и независимость системы векторов, свойства. Критерий линейной зависимости конечной системы векторов.

База и ранг конечной системы векторов.

[1], гл.7, §1, [6].


^ 10. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространство. Изоморфизм векторных пространств.

Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства. Теорема о числе векторов в базисе пространства. Размерность конечномерного векторного пространства.

Координатная строка вектора относительно базиса. Теорема о координатной строке.

Подпространства. Примеры. Теорема о подпространстве. Размерность подпространства векторного пространства. Теорема о размерности подпространства.

Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств.

[1], гл.7, §3,4, [6].


^ 11. Система линейных уравнений(СЛУ). Равносильные системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных.

Основные понятия теории систем линейных уравнений: СЛУ, решение СЛУ, совместные и несовместные СЛУ, следствие СЛУ, равносильные СЛУ. Векторная запись СЛУ.

Элементарные преобразования СЛУ. Теорема об элементарных преобразованиях.

Критерий совместности и единственности решения системы линейных уравнений.

Решение и исследование СЛУ методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных).

[1], гл.5, §2,3, [2], [3].


^ 12. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое представление составного числа и его единственность.

Определение простого и составного чисел. Критерий простоты числа. Решето Эратосфена.

Теорема о бесконечности множества простых чисел.

Основная теорема арифметики. Разложение натурального числа на простые множители. Каноническое представление составного числа.

[1], гл.11, §1, [5], гл.2, [6].


^ 13. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной неизвестной.

Отношение сравнимости по модулю в кольце целых чисел. Свойства отношения сравнимости по модулю. Отношение сравнимости по модулю - отношение эквивалентности.

Различные системы вычетов, Полная, приведенная системы вычетов и их свойства. Функция Эйлера. Свойства функции Эйлера.

Теорема Эйлера. Теорема Ферма.

Линейное сравнение с одной неизвестной. Решение и исследование линейного сравнения с одной неизвестной.

[1], гл.12, §1-4, [5], гл.7,9-11,13,14.


^ 14. Приложения теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби.

Отношение сравнимости по модулю в кольце целых чисел и его свойства.

Определение показателя класса вычетов по модулю. Свойства показателя.

Определение длины периода и предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Признак делимости Паскаля. Частные признаки делимости.

[1], гл.12, §1-6, [5], гл.17,23.


^ 15. Делимость многочленов. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное двух многочленов.

Определение многочлена над областью целостности и связанные с ним понятия. Сложение и умножение многочленов. Степень суммы и произведения многочленов.

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.


Деление многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов.

Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида и линейное представление наибольшего общего делителя.

Наименьшее общее кратное двух многочленов.

Теорема о связи наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух многочленов.

[1], гл.14, §1,2, [2], гл.5, [7], [6], гл.1-3.


^ 16. Многочлены над числовым полем. Корни многочлена. Разложение многочлена по степеням (x-c).

Корни многочлена. Теорема Безу.

Деление многочлена на двучлен x-с. Схема Горнера.

Разложение многочлена по степеням x-с. Формальная производная многочлена. Формула Тейлора.

Теорема о максимальном числе корней многочлена над областью целостности. Формулы Виета.

Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.

[1], гл.14, §1,2, [6], [7], гл.2.


^ 17. Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей и его единственность. Приводимость многочленов над основными числовыми полями.

Приводимые и неприводимые над полем многочлены.

Разложение многочлена на неприводимые множители. Каноническое представление многочленов. Кратные множители.

Приводимость многочленов над полями комплексных, действительных и рациональных чисел.

Теорема о неприводимом кратном множителе. Наибольший общий делитель многочлена и его производной.

Отделение кратных множителей многочлена.

[1], гл.14, §4, [6],[7], гл.2.


18. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных чисел.

Многочлены над полем комплексных чисел. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей.

Многочлены над полем вещественных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Критерий неприводимости многочлена над полем вещественных чисел.

Многочлены над полем рациональных чисел. Приводимость многочленов над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна.

[1], гл.16, §1,2, гл.17, §1,[2], гл.5,[7], гл.4,5.


^ 19. Алгебра высказываний и ее приложения.

Высказывания. Операции над высказываниями. Алгебра высказываний. Законы логики.

Булевы функции. Представление булевых функций формулами логики высказываний.

Полные системы булевых функций. Штрих Шеффера. Стрелка Пирса.

Приложения логики высказываний к анализу видов теорем, анализу логичности рассуждений. Использование логики высказываний в информатике. Функциональная схема двоичного одноразрядного и многоразрядного сумматоров.

[1], [7], [8], [10], гл.1-3.


^ 20. Интуитивное понятие алгоритма. Уточнение понятия алгоритма в виде машины Тьюринга.

Интуитивное понятие алгоритма и его характерные черты.

Алгоритмически разрешимые проблемы. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем. Методологическая сущность алгоритмической неразрешимости математических проблем.

Обоснование необходимости уточнения понятия алгоритма. Различные пути решения этой задачи.

Машины Тьюринга(МТ). Устройство МТ. Конфигурация МТ. Программа МТ. Примеры МТ.

Словарные функции. Вычислимые по Тьюрингу словарные функции. Теорема Тьюринга.

[6], гл.1,5, [10], гл.6.


^ 1.2. Типовые задачи


1. Нахождение НОД и НОК двух (нескольких) целых чисел. Линейное представление НОД.

Знать: алгоритм Евклида, каноническое представление целых чисел, способы вычисления НОД и НОК.

Уметь: находить НОД и НОК двух(нескольких) натуральных чисел различными способами. Используя алгоритм Евклида находить его линейное представление.

Пример типовой задачи.

1. Найдите НОД и НОК чисел а= 362, а= 1026 и представьте НОД в линейной форме.


^ 2. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах, нахождение корней из комплексных чисел.

Знать: определение алгебраической и тригонометрической формы комплексного числа, формулу Муавра, теорему о корнях n-й степени из комплексного числа.

Уметь: находить тригонометрическую форму комплексного числа по его алгебраической форме, применять формулу Муавра, применять алгоритм нахождения корней из комплексного числа.

Примеры типовых задач:

1. Вычислите .

2. Постройте треугольник Паскаля до n = 8, выразите cos8x через sinx, cosx .

3. Вычислить корни из комплексного числа .


^ 3. Применение теории сравнений в задачах на делимость.

Знать: отношение сравнимости по модулю во множестве целых чисел, свойства сравнений, определение функции Эйлера и ее вычисление, теоремы Эйлера и Ферма.

Уметь: использовать теоремы Эйлера и Ферма для вычисления сложных арифметических выражений со степенями.

Типовые задачи:

1. Найдите остаток от деления 5 + 7 на 13.

2. Найдите остаток от деления 383 на 15.

3. Найдите остаток от деления на 7 .


^ 4. Обращение обыкновенной дроби в десятичную, определение длины периода и длины предпериода.

Знать: определение показателя класса вычетов по модулю, свойства показателя, формулу перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.

Уметь: находить длину периода и предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную и находить само десятичное представление, обращать бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную.

Примеры типовых задач:

1. Сократите дробь . Определите длину ее периода.

2. Какова длина периода у дроби ?


^ 5. Операции над многочленами. Нахождение наибольшего общего делителя(НОД) многочленов и его линейного представления.

Знать: определение НОД двух многочленов, алгоритм Евклида, определение линейного представления НОД многочленов.

Уметь: выполнять операции над многочленами, находить НОД двух многочленов и его линейное представление.

Примеры типовых задач:

1. Разложите по степени х + 1 многочлен f(x) = 5x- 3x+ 8 x -10.

2. С помощью схемы Горнера вычислите:

а) f(5), если f(x) = 8x- 7x+ 3x- 9x + 5;

б) остаток от деления и частное для f(x) = 7x- 5x- 3x и x - 7 .

3. Найдите НОД (f,f) и представьте его в линейной форме:

f(x) = x+ 2x- x- x + 1, f(x) = x+ 3x+ x+ 3x+ 2.


^ 6. Разложение многочленов над числовыми полями Q, R, C.

Знать: основную теорему алгебры и следствия из нее, теорему о сопряженности мнимых корней многочлена с вещественными коэффициентами, критерии приводимости многочленов над полем комплексных и вещественных чисел, критерий приводимости над полем рациональных чисел – критерий Эйзенштейна.

Уметь: находить разложение многочлена на неприводимые множители над основными числовыми полями.

Примеры типовых задач:

1. Разложите на неприводимые над полем R множители многочлен f(x) = x+ 16.

2. Разложите на неприводимые над полем R множители многочлен f(x) = x+ x+ 1.

3. Разложите на неприводимые над полями R и С множители многочлен f(x) = x+ 3x+ 5x .

4. Приводим или нет многочлен 2x+ 18x + 97 над полем R ?


^ 7. Корни многочленов.

Знать: теорему о числе корней многочлена, кратность корня, теорему о кратном корне, формулы Виета, теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Уметь: решать типовые задачи, связанные с корнями многочленов и их числом.

Примеры типовых задач:

1. Определите кратность корня х = 1 многочлена:

f(x) = х- 2x+ 4х- 6x + 3.

2. Вычислите , где x, i = , - корни уравнения:

x- 2x - 1 = 0.

3. Найдите рациональные корни многочлена:

6x- 3x+ 2x- x+ 8x - 4 .

4. Решите уравнение x- 3x + 2 = 0 .


^ 8. Решение и исследование системы линейных уравнений(СЛУ) с параметрами и без параметров.

Знать: решение СЛУ, фундаментальная система решений СЛУ, равносильные СЛУ, методы решения СЛУ - метод Гаусса, метод Крамера, матричный способ. Критерий существования и единственности решения СЛУ.

Уметь: находить решения СЛУ, находить фундаментальную систему решений СЛУ, исследовать СЛУ с параметрами.

Примеры типовых задач:

1. Решите СЛУ и найдите фундаментальную систему ее решений:



2. Решите методом Крамера и матричным способом :



3. Решите :

^ 9. Решение неопределенных уравнений с двумя неизвестными.

Знать: способы решения неопределенных уравнений с двумя неизвестными с помощью сравнений и цепных дробей.

Уметь: решать неопределенные уравнения с двумя неизвестными.

Примеры типовых задач:

1. Найдите все точки прямой 8x - 17y = 43 с целочисленными координатами.

2. Шнур длиной 110 м нужно разрезать на куски длиной 22 м и 15 м. Сколькими способами это можно сделать ?

3. Решите неопределенное уравнение 5x + 8y = 5340.


^ 10. Нахождение базы конечной системы векторов и нахождение координат векторов в выбранной базе.

Знать: определение линейной зависимости и независимости системы векторов, критерий линейной зависимости, определение ранга и базы конечной системы векторов, элементарные преобразования системы векторов, эквивалентные системы векторов.

Уметь: производить элементарные преобразования над конечной системой векторов, находить ранг и базу конечной системы векторов, линейно выражать любой вектор системы через ее базу.

Примеры типовых задач:

1. Найти базу системы векторов a=(1,2,3,4), b=(2,0,1,-1), c=(0,-1,2,1), d=(0,0,2,1), заданных своими координатами в некотором базисе, и выразить каждый из векторов системы через найденную базу.

2. Вектор =(-1, 2, 3) в базисе , , . Найдите его координаты в базисе = - , = + , = -.


^ 11. Нахождение базиса векторного пространства и координат векторов в различных базисах.

Знать: размерность и базис векторного пространства, координатная строка вектора в базисе, формулы перехода от одного базиса к другому.

Уметь: находить различные базисы векторного пространства, координаты векторов в этих базисах, находить координаты вектора в одном базисе по известным координатам этого вектора в другом базисе.

Примеры типовых задач:

1. Является ли базисом V система векторов : = (-3, 0, 4, 5),

= (1, -2, 3, 4 ), = (2, 0, 0, -5), = (0, 3, 2, -1) ?

2. Даны вектор = (2, 4) в базисе = (1, -1), = (1, 3) и вектор = (4, 2) в базисе = (0, -1), = (1, 1). Найдите координаты и во всех базисах.


3. Определите размерность пространства многочленов не выше 3-й степени без свободного члена над полем R. Найдите какой-либо базис этого пространства.

4. Докажите изоморфизм пространства многочленов не выше 2-й степени над R и V.


^ 12. Применение метода математической индукции для доказательства утверждений.

Знать: принцип математической индукции, методы полной и неполной математической индукции.

Уметь: применять метод полной и неполной математической индукции при доказательстве утверждений, содержащих в своей формулировке натуральные числа.

Примеры типовых задач:

1. Докажите методом математической индукции:

.

2. Найдите количество инверсий в перестановке

( 2n + 1 2n - 1 ... 3 1 2n 2n - 2 ... 4 2 ).


^ 13. Задачи на алгебраические структуры.

Знать: определение алгебраической операции и основных свойств бинарных алгебраических операций, определение алгебры, моноида, полугруппы, группы, кольца, поля.

Уметь: определять замкнутость множества относительно операции(является ли операция алгебраической на данном множестве), свойства алгебраической операции, определения различных видов алгебраических систем, определять свойства элементов определенных алгебраических систем(групп, колец, полей).

Примеры типовых задач:

1..Выяснить свойства операции *, заданной на множестве Z следующим образом x*y=x-y+3

2. Докажите , что элемент а имеет порядок 7 в циклической группе < a| a= 1 >.

3. Составьте таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулю 5.

Покажите, что множество классов вычетов по модулю 5 относительно операций сложения и умножения классов вычетов является кольцом.

4. Является ли группой < Q \ {0}; * >, если х * у = 4ху ?


^ 1.3. Список литературы

У Ч Е Б Н И К И

1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Просвещение, 1979.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975.

3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.:Просвещение, 1966.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.:Физико-математическая литература, 2000.

5. Бухштаб Л.А. Теория чисел.- М.: Просвещение, 1966.

6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.

7. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. - М.: Просвещение, 1980.

8. Столяр А. Логическое введение в математику. - Минск: Вышэйшая школа, 1971.

9. Роберт Р.Столл. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М.: Просвещение, 1968.

10. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1986.

11. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. - Саратов, 1991.


С Б О Р Н И К И З А Д А Ч


1. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.

3. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964.

4. Практические занятия по алгебре и теории чисел, часть 1

Методические рекомендации в помощь студентам. - Глазов,1987.

5. Практические занятия по алгебре и теории чисел, часть 2

Методические рекомендации в помощь студентам. - Глазов,1989.

6. Практические занятия по алгебре и теории чисел, часть 3

Методические рекомендации в помощь студентам. - Глазов,1991.

7. Контрольные работы по алгебре и теории чисел. - Глазов,1997.


Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ


2.1. Вопросы


1. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.

Дать определение скалярного произведения двух векторов.

Сформулировать и доказать его геометрические свойства. Сформулировать и доказать его алгебраические свойства. На основании алгебраических свойств вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов в координатах. Рассмотреть приложения скалярного произведения в геометрии и физике (расстояния, углы, перпендикулярность, работа силы). Рассмотреть решение конкретной содержательной школьной задачи с помощью скалярного произведения.

[1], § 8, § 10, n. 2,3.


^ 2. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.

Дать определение векторного произведения двух векторов.

Сформулировать и доказать его геометрические свойства (в том числе и теорему о геометрическом смысле векторного произведения).

Сформулировать и доказать его алгебраические свойства. Вывести формулу для вычисления векторного произведения в координатах.

Рассмотреть приложения векторного произведения в геометрии и физике (площади параллелограмма, треугольника; коллинеарность векторов; момент силы).

[1], § 56.


^ 3. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.

Дать определение смешанного произведения трех векторов.

Сформулировать и доказать геометрические свойства смешанного произведения (в том числе и теорему о геометрическом смысле смешанного произведения). Сформулировать и доказать его алгебраические свойства. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения в координатах. Рассмотреть приложения смешанного произведения (объемы параллелепипеда, треугольной призмы; тетраэдра; компланарность векторов).

[1], § 55.


^ 4. Линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

Дать определения, вывести канонические уравнения, сформулировать и доказать геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Уметь изображать эллипс, гиперболу и параболу по их каноническим уравнениям. Дать понятие о классификации линий второго порядка (знать 9 типов линий второго порядка и уметь записывать их канонические уравнения). Рассказать о приведении общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду с помощью поворота осей координат и переноса начала координат. Рассмотреть конкретный пример.

[1], §§ 27-30, § 38.


^ 5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

Знать различные уравнения плоскости и прямой в пространстве. Вывести условия совпадения, параллельности, пересечения двух плоскостей. Вывести условия принадлежности, параллельности, пересечения прямой и плоскости. Вывести условия совпадения, параллельности, пересечения и скрещиваемости двух прямых в пространстве. Рассмотреть конкретный пример определения взаимного расположения прямых, плоскостей или прямой и плоскости в пространстве.

[1], §§ 59-61, § 63, § 64.


^ 6. Группа движений плоскости и ее подгруппы.

Дать определения преобразования плоскости и композиции двух преобразований. Сформулировать теорему о группе преобразований.

Дать определение движения. Сформулировать свойства движений. Дать определения параллельного переноса, осевой симметрии, поворота, центральной симметрии и скользящей симметрии. Доказать теорему о том, что множество всех движений плоскости образует группу. Основные инварианты группы движений. Сформулировать и доказать теоремы о подгруппах группы движений. Знать их основные инварианты.

[1], §§ 39-41, § 44.


^ 7. Классификация движений плоскости. Приложение движений к решению задач.

Аналитическое выражение движений. Классификация движений по инвариантным точкам. Рассмотреть решение конкретных содержательных задач с помощью параллельного переноса, поворота, центральной или осевой симметрии.

[1], §§ 42, 43, § 51, n.1.


^ 8. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложение подобия к решению задач.

Дать определения преобразования подобия и гомотетии. Доказать теорему о разложении подобия в композицию гомотетии и движения. Сформулировать свойства гомотетии и подобия. Доказать теорему о том, что множество всех преобразований подобия плоскости образует группу. Рассмотреть подгруппы группы преобразований подобия плоскости. Рассмотреть решение конкретной содержательной задачи с помощью подобия (гомотетии).

[1], §§ 46, 47, § 51, n.2.


^ 9. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.

Дать определение аффинного преобразования плоскости. Сформулировать свойства аффинных преобразований. Частный случай аффинных преобразований - перспективно-аффинные преобразования, их виды. Доказать теорему о группе аффинных преобразований плоскости. Основной инвариант группы аффинных преобразований. Подгруппы группы аффинных преобразований плоскости. Рассмотреть решение конкретной задачи с помощью аффинного преобразования.

[1], §§ 48-50, § 51, n.3.


^ 10. Проективная плоскость и ее модели. Основные факты проективной геометрии и их приложение к решению задач.

Дать определения проективной плоскости (аксиоматическое), интерпретации данной системы аксиом, модели. Рассмотреть различные модели проективной плоскости.Сформулировать принцип двойственности на проективной плоскости. Сформулировать и доказать теорему Дезарга. Сформулировать и доказать обратную теорему.

Сформулировать определения сложного отношения четырех точек прямой и четырех прямых пучка; гармонической четверки точек и прямых; полного четырехвершинника и его элементов. Свойства полного четырехвершинника. Сформулировать теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона и обратные теоремы.

Рассмотреть приложение теорем Дезарга, Штейнера, Паскаля, Брианшона или свойств полного четырехвершинника (на выбор) к решению задач.

[2], §§ 2,4,7-10,13; § 19, n.2,3; § 20.


^ 11. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.

Дать определения параллельной проекции точки, фигуры; параллельного проектирования одной плоскости на другую. Свойства параллельного проектирования. Понятие ортогонального проектирования.

Определение изображения фигуры. Требования, предъявляемые к изображениям. Сформулировать и доказать теорему об изображениях плоских фигур в параллельной проекции. Рассмотреть применение этой теоремы к построению изображений плоских фигур (треугольник, параллелограмм, трапеции, четырехугольник, n-угольник (n > 4), окружность).

Сформулировать теорему Польке-Шварца. Рассмотреть построение изображений пространственных фигур (тетраэдр, пирамида, параллелепипед, призма, цилиндр, конус). Изображение шара. [2], §§ 26-29.

^ 12. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи.

Дать понятие заданных элементов изображения (точки, прямой, плоскости), полного и неполного изображения. Доказать, что изображение плоской фигуры, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса является полным. Привести примеры неполных изображений.

Дать определение позиционной задачи. Сформулировать критерий однозначной разрешимости позиционной задачи. Рассмотреть пример позиционной задачи с решением (например, построение линии пересечения двух плоскостей).

Задачи на построение сечений многогранников и основные методы их решения (метод внутреннего проектирования и метод следов). Рассмотреть пример.

[2], §§ 31, 32.

^ 13. Метрически определенные изображения. Метрические задачи.

Дать определения декартова репера, метрической задачи, метрически определенного изображения плоской и пространственной фигуры. Привести примеры метрически определенных изображений и изображений, не являющихся метрически определенными.

Сформулировать критерий однозначной разрешимости метрической задачи. Основные методы решения метрических задач (метод учета метрических и проекционных свойств оригинала и метод эффективного использования оригинала). Рассмотреть примеры решения метрической задачи на плоскости и в пространстве.

[2], § 33.


^ 14. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и следствия из нее.

Иметь представление о понятиях математической структуры рода Т

и теории структур рода Т. Указать основные (неопределяемые) понятия и отношения аксиоматики Вейля. Сформулировать аксиомы пяти групп. Знать, что аксиомы первых трех групп составляют аксиоматику аффинного; а первых четырех - аксиоматику евклидова векторных пространств. Сформулировать и доказать по выбору основные следствия из каждой группы аксиом. Рассмотреть определения некоторых геометрических понятий в аксиоматике Вейля (прямая, отрезок, луч, плоскость; перпендикулярность, параллельность прямых и плоскостей; многоугольник, тетраэдр, многогранное тело, шар, сфера).

[1], § 89;

[2], §§ 77; 81, n.1,3,4; § 82, 83;

[3], гл.1, § 2; гл.3, §§ 1, 4.


^ 15. Непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства.

Дать определения модели, интерпретации системы аксиом, непротиворечивости как обязательного требования к аксиоматике и указать способ доказательства непротиворечивости. Построив арифметическую модель аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства, доказать, что аксиоматика Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.

[2], §§ 78, 79, 81, n.1,2.

[3], гл.1, §§ 3,4; гл.3, §§ 1,2.


^ 16. Плоскость Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому.

Дать обзор аксиоматики Гильберта. Дать понятие абсолютной геометрии. Рассказать, как получается система аксиом плоскости Лобачевского из аксиоматики Гильберта.

Сформулировать определение параллельных прямых по Лобачевскому и доказать существование прямой,параллельной данной в данном направлении.

Понятие об угле параллельности. Свойства параллельных прямых.

[2], §§ 71-73; § 75, n.1; § 93.


^ 17. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского. Расходящиеся прямые и их свойства.

Сформулировать и доказать следствие из аксиомы Лобачевского (о существовании бесконечного множества прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую). Сформулировать определения параллельных прямых по Лобачевскому и расходящихся (сверхпараллельных) прямых. Знать, сколько существует на плоскости Лобачевского прямых, проходящих через данную точку и: а) параллельных данной прямой; б) расходящихся с данной прямой. Знать четыре случая взаимного расположения двух прямых на плоскости Лобачевского. Сформулировать и доказать признаки расходящихся прямых.

Сформулировать теорему о существовании единственного общего перпендикуляра двух расходящихся прямых.

[2], § 73, n.1,2; § 75, n.2; § 93.


^ 18. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.

Дать определения модели, интерпретации системы аксиом, непротиворечивости как обязательного требования к аксиоматике и указать способ доказательства непротиворечивости.


Знать аксиоматику плоскости Лобачевского. доказать непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского построением модели Кэли-Клейна или Пуанкаре.

[2], §§ 78-90; § 92;

[4], часть 1, глава III, §§ 49-54;

[5], часть 6, глава IV, §§ 1,2.


^ 19. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

Определение ломаной, простой, замкнутой ломаной, простого многоугольника, ориентированного многоугольника. Понятие и свойства характеристики ориентированного многоугольника.

Определения измерения площадей (аксиоматическое) и площади многоугольника. Сформулировать и доказать теоремы существования и единственности измерения площадей.

Понятие равновеликих и равносоставленных многоугольников. Взаимосвязь между равновеликостью и равносоставленностью многоугольников.

[2], §§ 88, 89.


^ 20. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.

Определение элементарной поверхности; поверхности; гладкой поверхности класса С (k - натуральное число). Задание поверхности.

Понятие о криволинейных координатах. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности (определение, вычисление коэффициентов первой квадратичной формы). Приложения первой квадратичной формы поверхности (вычисление длины дуги гладкой линии на поверхности, угла между гладкими линиями на поверхности, площади гладкой компактной поверхности). Рассмотреть пример.

[2], §§ 54-57.


^ 2.2. Типовые задачи


1. Задачи на применение скалярного произведения векторов к нахождению длин отрезков и величин углов.

Например:

1) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите величину его угла при вершине, если А(2; 1), В(4; 3), С(2; 3).

[6], занятия N 3,4.


^ 2. Задачи на применение скалярного произведения векторов к доказательству утверждений и теорем.

Например:

2) Докажите с помощью скалярного произведения векторов, что если СD - медиана треугольника АВС и ВС > АС, то угол ВDС - тупой.

3) Докажите с помощью скалярного произведения векторов, что в ромбе сумма квадратов длин диагоналей равна учетверенному квадрату стороны.

[6], занятие N 3.


^ 3. Задачи на геометрические свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов.

Например:

4) Даны векторы = (0; 1; z) и = (-2; -1; 0). При каком значении z вектор x перпендикулярен оси Оу ?

[6], занятия N 3,5.


^ 4. Задачи на применение векторного произведения векторов к вычислению площади треугольника и параллелограмма.

Например:

5) Вычислите площадь и длину высоты DH параллелограмма АВСD, если А(3; 2; -2), В(1; 2; -3), D(5; 2; 0).


[6], занятие N 5.


^ 5. Задачи на применение смешанного произведения трех векторов к вычислению объема тетраэдра, треугольной призмы, параллелепипеда.

Например:

6) Вычислите объем и длину высоты параллелепипеда АВСDАВСD, если А(-1; -3; 4), В(5; 5; -1), D(1; -2; 2), А(2; -4; 5).

[6], занятие N 5.


^ 6. Задачи на составление уравнения плоскости в пространстве.

Например:

7) Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; -2; 7) и ось аппликат.

8) Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; -1; 3) и В(1; 2; 4) и перпендикулярной плоскости Оху.

9) Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной двум плоскостям 2х - у + 5z = 0 и

х + 3у - z - 7 = 0.

[7], занятия N 9,10.

^ 7. Задачи на составление уравнения прямой в пространстве.

Например:

10) Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку

М(3; -2; -4), параллельна плоскости 3х - 2у - 3z - 7 = 0 и перпендикулярна прямой .

11) Найдите координаты точки, симметричной точке М(1; 5; 2) относительно плоскости 2х - у - z + 11 = 0.

[7], занятие N. 11.


^ 8. Задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Например:

12) Докажите, что прямые

и

пересекаются и найдите уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

13) При каких значениях m и С прямая

перпендикулярна плоскости 3х - 2у + Cz + 1 = 0 ?

[7], занятия N 11,12.

^ 9. Задачи на составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

Например:

14) Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если уравнения асимптот у = х, а расстояние между директрисами равно 12.

[7], занятия N 13, 14.


^ 10. Задачи на построение сечений призм и пирамид.

Например:

15) Постройте сечение шестиугольной пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, из которых одна лежит вне пирамиды, а две – на боковых гранях пирамиды.

16) Постройте сечение шестиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, из которых одна лежит на нижнем основании, а две - вне призмы.

[8], занятие N 7.

11. Задачи на применение первой квадратичной формы поверхности к нахождению длины дуги линии на поверхности, угла между линиями на поверхности, площади компактной поверхности.

Например:

17) Вычислите длину дуги линии v = au на поверхности



между точками ее пересечения с линиями u = 1 и u = 2.

18) Найдите, под каким углом пересекаются линии u + v = 0 и

u - v = 0 на прямом геликоиде

[9], занятия N 5-6.


^ 2.3. Список литературы


1. Атанасян Л.С.,Базылев В.Т. Геометрия. Часть 1.- М.: Просвещение, 1986.

2. Атанасян Л.С.,Базылев В.Т. Геометрия. Часть 2.- М.: Просвещение, 1987.

3. Егоров И.П. Геометрия. - М.: Просвещение, 1979.

4. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1978.

5. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

6. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть 1. Аналитическая геометрия. 2-е изд., перераб. и доп. - Глазов, 1995.

7. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть 2. Аналитическая геометрия. 2-е изд., перераб. и доп. - Глазов, 1995.

8. Практические занятия по проективной геометрии и методам изображений. Методические рекомендации в помощь студентам. - Глазов,

1993.

9. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть 5. Дифференциальная геометрия. - Глазов, 1996.


Раздел 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


3.1. Вопросы


  1. Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.

Множества, эквивалентность множеств, их мощность. Счетные множества. Примеры счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел, алгебраических чисел.

Несчетность множества действительных чисел на отрезке [0; 1]. Множества мощности континуума. Примеры множеств мощности континуума. Мощность континуума действительных чисел на конечном промежутке. Мощность континуума множества R.

Существование множеств любой мощности.

[12], гл.1.

^ 2. Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.

Понятие функции. Определение предела функции в точке по Коши. Теоремы о пределах. Единственность предела. Два замечательных предела.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность элементарных функций в области их определения. Точки разрыва.

Теоремы Больцано-Коши и теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке. Обоснование метода интервалов с помощью теоремы Больцано-Коши.

[1], гл.2, 3, 4; [5], гл. 2, 3, 4; [7], гл. 2, 3, 4.


^ 3. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Предел числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Ограниченные и неограниченные множества. Границы и грани числовых множеств. Аксиома непрерывности множества R.

Понятие числовой последовательности. Монотонные, ограниченные последовательности. Предел функции на бесконечности и предел последовательности.

Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности и ее применение. Теорема о пределе последовательности стягивающихся отрезков.

[1], гл.3; [3], гл.3; [5], гл.3.


^ 4. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признаки сходимости последовательности.

Последовательность и ее подпоследовательности. Ограниченные последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Применение леммы в доказательстве теоремы Кантора.

Понятие фундаментальной последовательности. Критерий Коши для числовых последовательностей.

Критерий Коши для числовых рядов. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов.

[1], гл3, §9; [3], гл.3, §4; [2], гл.20, §6.


^ 5. Определение и свойства степени. Степенная функция. Степень в комплексной области.

Степенная функция с целым показателем. Корень с натуральным показателем. Степенная функция с дробным показателем. Понятие функции с иррациональным показателем. Непрерывность. Свойства степенной функции при разных показателях и её графики.

Степень с произвольным комплексным показателем. Случаи однозначной, n - значной и бесконечнозначной степенной функций в зависимости от вида показателя.

[1], гл.4; [5], гл. 5; [3], гл.4., §5; [10], гл.4, §10.


^ 6. Показательная функция. Её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция комплексной переменной. Формулы Эйлера.

Определение экспоненты. Её функциональное свойство (теорема сложения) и другие основные свойства. График экспоненты. Показательные функции с произвольным основанием. Их свойства и графики.

Теорема о достаточных условиях разложения некоторого класса функций в степенные ряды. Использование этой теоремы для разложения в ряд экспоненты. Использование степенного ряда для вычисления значений экспоненты (в частном случае – числа e).

Определение в комплексной области функций . Новые свойства экспоненты. Вывод формул Эйлера (используя определение экспоненты и тригонометрических функций через степенные ряды).

[1], гл.4, §9; [5], гл.5, §55; [3], гл.4, §5; [10], гл.4.


7. Логарифмическая функция, её основные свойства. Разложение в степенной ряд функции натурального логарифма. Вычисление логарифмов. Логарифмическая функция в комплексной области.

Определение функции натурального логарифма. Ее свойства и график. Определение логарифмических функций с произвольным показателем. Их основные свойства и графики. Модуль перехода.

Теорема об интегрировании степенных рядов. Использование этой теоремы при разложении в ряд функции ln (1+x). Область сходимости полученного ряда. Вычисление логарифмов с помощью рядов.

Определение логарифмической функции комплексной переменной. Новые свойства (область определения, многозначность).

[1], гл.4, §9; [5], гл.5, §56; [10], гл.4.


  1. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение функций sin x и cos x в степенные ряды. Синус и косинус в комплексной области.

Определения и основные свойства тригонометрических функций, их графики. Непрерывность и дифференцируемость.

Теорема о достаточном условии разложения функции в ряд Тейлора. Разложение в степенные ряды синуса и косинуса. Вычисление значений тригонометрических функций с помощью рядов.

Определение функций sin z и cos z в комплексной плоскости, их область определения, четность и нечетность. Связь синуса и косинуса с экспонентой. Выполнение в комплексной плоскости всех известных ранее свойств тригонометрических функций в R. Неограниченность sin z и cos z по модулю.

[5], гл.5, §58; [3], гл.4, §5; [10], гл.4.


^ 9. Дифференцируемые функции одной переменой. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы дифференцирования.

Понятия производной и дифференцируемой функции. Связь между понятиями производной функции, ее дифференцируемостью и непрерывностью. Геометрический и механический смысл производной. Касательная и нормаль к графику функции.

Правила и формулы дифференцирования. Теоремы о производной сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование.

Дифференциал как главная, линейная часть приращения функции, его геометрический и механический смысл. Инвариантность формы дифференциала.

[1], гл.5; [3], гл.5; [5], гл.6, 7, 8; [7], гл.5.


^ 10. Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости графика функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.

Теорема Лагранжа. Применение теоремы к исследованию функций на монотонность (теорема о достаточных условиях постоянства и монотонности функции).

Понятие экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Правила исследования функций на экстремум с помощью первой и второй производных.

Понятие выпуклости и вогнутости графика функции. Теорема об определении выпуклости (вогнутости) графика функции в точке. Точки перегиба и их нахождение. Правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции.

[1], гл. 6, 7; [3], гл.5; [5], гл. 10; [7], гл. 6, 7.


^ 11. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Таблица основных интегралов. Интегрирование по частям. Замена переменной.

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых простейших иррациональных функций с помощью рационализации. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

[1], гл. 8; [7], гл. 10; [3], гл. 6; [5], гл. 11.


^ 12. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Интегрируемость монотонной функции.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

[1], гл. 9; [7], гл. 11; [3], гл. 10; [5], гл.12.


^ 13. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры. Понятие объёма тела. Вычисление объёма тела вращения.

Понятие квадрируемой фигуры и ее площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме. Площадь криволинейного сектора.

Понятие кубируемого тела и его объёма. Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений. Объём тела вращения.

[1], гл. 10, §1; [3], гл. 11, §2; [5], гл. 14, §109; [7], гл. 12, §1.


^ 14. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги. Нахождение площади поверхности вращения.

Понятие спрямляемой дуги кривой и ее длины. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги. Длина дуги в декартовых координатах. Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме. Длина дуги кривой в полярных координатах.

Площадь поверхности вращения.

[1], гл. 10, §2; [3], гл. 1, §1; [5], гл. 14, §110.


15. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Степенные ряды в комплексной области. Круг сходимости.

Основные понятия. Геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Признаки сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Различия в их свойствах.

Понятие функционального ряда. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы ряда, интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

Степенные ряды в комплексной области. Теорема Коши-Адамара.

[2], гл. 20, 21; [3], гл.13; [6], гл. 1, 2, 3; [8], гл.15,16; [10], гл. 1; [11], гл. 4.


^ 16. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Задача разложения функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряд Тейлора. Формула Тейлора и остаточный член ряда Тейлора. Необходимое и достаточное условия разложения функции в ряд Тейлора.

Разложение в степенной ряд бинома. Применение биномиального ряда в приближенных вычислениях.

[2], гл. 12; [6], гл. 3; [8], гл. 1, §6.


^ 17. Метрические пространства. Полные метрические пространства. Теорема Банаха о сжатом отображении и ее приложения.

Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств. Полные метрические пространства.

Сжатое отображение полного метрического пространства в себя. Теорема Банаха.

Применение теоремы Банаха при решении дифференциальных уравнений и в численных методах при решении алгебраических уравнений методом итерации.

[12], гл. 18.


^ 18. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

[2], гл. 25; [6], гл. 12; [9], гл. 1, 2.


^ 19. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Основные понятия дифференциальных уравнений высших порядков. Линейные однородные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Метод вариации постоянных.

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

[2], гл. 27; [6], гл. 25; [9], гл. 6.


^ 20. Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.

Понятие функции комплексной переменной. Предел, непрерывность и дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Понятие аналитической функции. Понятие гармонической функции. Действительная и мнимая части аналитической функции. Понятие конформного отображения.

Понятие аналитического продолжение. Элементарные функции на комплексной плоскости как аналитическое продолжение известных функций, определенных на R.

[10], гл. 1, 2, 3, 4; [11], гл. 1, 2, 3.


^ 3.2. Типовые задачи



  1. Составление и решение задач на наибольшее и наименьшее значение.

Примеры типовых задач:

1) Среди равнобедренных треугольников с заданной боковой стороной найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

2) Из всевозможных прямоугольных участков площади S выберите тот, который имеет наименьший периметр.

3) В данный шар впишите прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма.



  1. Исследование функций и построение графиков (D(f), исследование на монотонность, экстремумы, выпуклость, вогнутость, точки перегиба, точки разрыва, асимптоты).

Примеры типовых задач:

1) 2) 3)


3. Вычисление неопределенных интегралов (таблица интегралов, внесение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной, интегрирование некоторых классов функций: рациональных, простейших иррациональных, тригонометрических).

Примеры типовых задач:

1) 2) 3)

4) 5)


^ 4. Вычисление площади плоской фигуры (в декартовых и полярных координатах; ограниченной кривыми, заданными параметрически).

Примеры типовых задач:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) 2)

3) 4)


^ 5. Вычисление объемов тел (в том числе тел вращения).

Примеры типовых задач:

Вычислите объём тела, образованного вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной заданными линиями:

1) вокруг оси ОX; 2) вокруг оси ОY;

3) вокруг оси ОY (объём конуса).


^ 6. Вычисление площадей поверхностей (в том числе поверхностей тел вращения, изучаемых в школе).

Примеры типовых задач:

Вычислите площадь поверхности, образованной вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной заданными линиями:

1) вокруг оси ОY; 2) вокруг оси ОX;

3) вокруг оси ОY (a>R, тор).


^ 7. Вычисление длины дуги.

Примеры типовых задач:

1) Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности.

2) Найдите длину дуги кривой от точки (1;1) до точки (4;8).


8. Исследование рядов на сходимость(признаки сравнения (эквивалентные бесконечно малые), Даламбера, Коши, интегральный (ряды гармонического типа); абсолютная и условная сходимость, признак Лейбница).

Примеры типовых задач:

Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряды:.

1) 2)

3)


^ 9. Решение дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных, в полных дифференциалах).

Примеры типовых задач:

Решите уравнение:

1) 2) 3)


^ 10. Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных и неоднородных; характеристическое уравнение, метод подбора и/или вариации).

Примеры типовых задач:

Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)


^ 3. 3. Литература

УЧЕБНИКИ

1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Том 1. – М.: Просвещение, 1972.

2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Том 2. – М.: Просвещение, 1972.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. – М.: Наука, 1971.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2. – М.: Наука, 1981.

5. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. Т. 1. – М.: Просвещение, 1966.

6. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. Т. 2. – М.: Просвещение, 1976.

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1. – М.: Наука, 1964.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. – М.: Наука, 1964.

9. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. – Л.: ЛГУ, 1963.

10. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. – М.: Просвещение, 1977.

11. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Наука, 1978.

12. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974..


^ СБОРНИКИ ЗАДАЧ

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1984.

2. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1973.

3. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Ч. 1. – М.: Просвещение.

4. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Ч. 2. – М.: Просвещение.

5. Методические материалы к практическим занятиям по математическому анализу. Вып.1. Введение в анализ. – Глазов, 1994.

6. Методические материалы к практическим занятиям по математическому анализу. Вып.2. Дифференциальное исчисление. – Глазов, 1995.

7. Методические материалы к практическим занятиям по математическому анализу. Вып.3. Интегральное исчисление. – Глазов, 1996.

8. Методические материалы к практическим занятиям по математическому анализу. Вып.4. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных. – Глазов, 1996.

9. Методические материалы к практическим занятиям по математическому анализу. Вып.5. Ряды. – Глазов, 1998.

10. Методические материалы к практическим занятиям по математическому анализу. Вып.6. Дифференциальные уравнения. – Глазов, 1998.

11. Методические материалы к практическим занятиям по математическому анализу. Вып.7. Теория аналитических функций. – Глазов, 2000.






Скачать 386,57 Kb.
оставить комментарий
Дата24.09.2011
Размер386,57 Kb.
ТипМатериалы для подготовки, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх