Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных icon

Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных


Смотрите также:
Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств...
Реферат по математике...
Самостоятельная работа по теме «Решение уравнений и систем уравнений (повтор)»...
Разработка интегратора для решения систем дифференциальных уравнений в рамках концепции...
Курсовая работа на тему: «Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса...
Задача Коши для уравнений и систем уравнений с частными производными произвольного порядка...
Решение уравнений, содержащих аркфункции...
Самостоятельная работа по теме «Решение уравнений и систем уравнений (повторение).»...
Список публикаций по кафедре дифференциальных уравнений...
«О некоторых применениях алгебры матриц»...
Программа дисциплины ен. Ф. 01 «Математика. Численные методы» Специальность 032100 050201...
Тема: «способы решений различных квадратных уравнений»...



Загрузка...
скачать
Министерство образования и науки.

Республика Бурятия

МОУ Выдринская общеобразовательная
средняя школа



«Нестандартные методы решения

уравнений»


Выполнила:
Заяц Светлана Александровна


Ученица 10 класса А

Научный руководитель:

Ильюк Наталья Михайловна


с. Выдрино

2007г.


Содержание.

Введение ……………………………………………………………………………….3

Основная часть ………………………………………………………………………..4

Умножение уравнения на функцию…………………………………………………...4

Метод неопределённых коэффициентов………………………………………………4

Подбор корня многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту….5

Введение параметра…………………………………………………………………….6

Введение новой неизвестной…………………………………………………………..6

Комбинация различных методов………………………………………………………6

Угадывание корня………………………………………………………………………6

Использование суперпозиции функции……………………………………………….7

Раскрытие знаков модулей……………………………………………………………..8

Уравнение вида f(x) = g(x)…………………………………………………………….8

Уравнение вида f(x) = g(x)……………………………………………………………9

Использование свойств абсолютной величины……………………………………….9

Понижение степени уравнения…………………………………………………………10

Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных………………………………………………………………………10

Использование ограниченности функций………………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………………….14

Список использованной литературы …………………………………………………15


Введение

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

В моей работе систематизирован ряд таких приёмов.

Я изучила методы решения уравнений, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций: монотонности, ограниченности, чётности; применении производной и др.

Моя работа может помочь учащимся и особенно тем из них, кто собирается поступать в высшие учебные заведения в области точных наук, разобраться какими легче и быстрее решить те или иные уравнения, потому что всех изученных по школьной программе методов недостаточно для поступления в ВУЗ.

Кроме этого, в моей работе разобрана масса «хитрых» методов и приёмов решения различных равенств.

Что касается теории, то она предоставлена выборочно, исходя из соображений её применения к тем уравнениям, которые я здесь рассмотрела.

Задачи работы:

  • Изучить умножение уравнения на функцию.

  • Изучить метод неопределённых коэффициентов.

  • Изучить подбор многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту.

  • Изучить введение параметра.

  • Изучить введение новой неизвестной.

  • Изучить комбинирование различных методов.

  • Изучить угадывание корня.

  • Изучить использование суперпозиции функции.

  • Изучить раскрытие знаков модулей.

  • Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

  • Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

  • Изучить использование свойств абсолютной величины.

  • Изучить понижение степени уравнения.

  • Изучить решения некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

  • Изучить использование ограниченности функции.



^ Основная часть


Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример1. Решить уравнение:

X3 – X6 + X4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

2 +1) (Х8 – Х 6 + Х4 – Х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

Х10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение:

3 – Х 2 – 20Х + 12 = 0 (4)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х + ½, получим уравнение:

4 + 2Х3 – 41/2Х2 + 2Х + 6 = 0 (5)
являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень Х = -1/2, не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку Х=0 не является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на 2Х2 и перегруппировав его члены, получим уравнение:

3(Х2 +1/Х2) + (Х +1/Х) – 41/4 = 0 (6)
равносильное уравнению (5). Обозначив Y= Х + 1/Х, перепишем уравнение (6) в виде

3Y2 + Y – 65/4 =0 (7)
уравнение (7) имеет два корня: Y1= -5/2 и Y 2 = 13/6. Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:

Х + 1/Х = 15/6,

Х + 1/Х = -5/2.

Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5)

Х1 =2/3,

Х2 = 3/2,

Х3 = -2,

Х4 = -1/2.

Так как корень Х4 = -1/2 является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: Х1, Х2, Х3.

Ответ: Х1 =2/3, Х2 = 3/2, Х3 = -2.


Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителя – многочленов, на которые разлагается данный многочлен, этот метод опирается на следующие утверждения.

  1. два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;

  2. любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

  3. Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух много членов второй степени.

Пример 1. Разложить на множители многочлен.

Х3-5Х2+7Х-3

Решение. Будем искать многочлены Х - £ и β1Х2+ β2Х+ β3 такие, что справедливо тождественное равенство

Х3-5Х2+7Х-3= (Х - £)( β1Х2+ β2Х+ β3 ).(1)

Правую часть этого равенства можно записать в виде. β15 Х3+( β2+ £ β1) Х2+( β3 -£ β2)Х+£ β3.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения £ ,β1, β2, β3 ;

β1=1

β2 - £ β1 = -5

β3 - £ β2 =7

£ β3 =3

Легко видеть, что этим равенством удовлетворяют числа β1=1, β2=-2, β3=1, £=3, а это означает, что многочлен Х3-5Х2+7Х-3 разлагается на множители Х-3 и Х2-2Х+1


Подбор корня многочлен по его старшему и свободному коэффициентам.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

  1. если многочлен апп-1Х+…+а0Хп0≠0, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень Х0=р/g ( где р/g – несократимая дробь, рЄZgЄN), то р – делитель свободного члена ап, а g – делитель старшего коэффициента d0;

  2. если каким – либо образом подобран корень Х= £ многочлена рп(Х) степени n, то многочлен рп(Х) можно представить в виде рп(Х) =(Х - £) рп-1(Х), где рп-1(Х) – многочлен степени n-1.

Многочлен рп-1(Х) можно найти либо делением многочлена рп(Х) на двучлен (Х - £) «столбиком», либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя Х - £, либо методом неопределенных коэффициентов.

Пример1. Разложить на множители многочлен.

Х4-5Х3+7Х2-5Х+6

Решение. Поскольку коэффициент при Х4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, если они существуют, являются делителями числа 6, т.е.могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим многочлен через р4(Х). Так как р4(1)=4 и р4(-4)=23, то числа 1 и -1не являются корнями многочлена р4(Х),и, значит, данный многочлен делится на двучлен Х-2. Поэтому

4 - 5Х3+7Х2-5Х+6 Х - 2

Х4 – 2Х3 Х3 – 3Х2+Х - 3



- 3 Х3+ 7 Х2

- 3 Х3+ 6 Х2



_ Х2 - 5Х

Х2 - 2Х




_ -3Х+6

-3Х+6

0

Следовательно, р4(Х)=(Х –2)(Х3 – 3Х2 + Х - 3). Так как Х3 – 3Х2 + Х – 3=Х2( Х -3) + ( Х -3)= =( Х -3)(Х2 +1), то Х4 - 5Х3+7Х2-5Х+6=(Х -2) ( Х -3)( Х2 +1).


Метод введения параметра.

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода хорошо видна в следующем примере.

Пример1. разложить на множители многочлен.

X3 – (√3 + 1) X2 + 3

Решение. Рассмотрим многочлен с параметром a:

X3 – (a + 1) X2 + a2 ,

который при a = √3 превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трёхчлен относительно a:

a2 – aX2 + (X3 – X2).

Так как корни этого квадратного относительно a трёхчлена есть a1 = X и a2 = X2 – X , то справедливо равенство a2 – aX2 + (X3 – X2) = (a – X)(a – X2 + X). Следовательно, многочлен X3 – (√3 + 1)X2 + 3 разлагается на множители √3 – X и √3 – X2 + X т.е.

X3 – (√3 + 1) = (X - √3) (X2 – X – √3).

Метод введения новой переменной.

В некоторых случаях путём замены выражения f(x), входящего в многочлен Pn(x), через y можно получить многочлен относительно y, который уже легко разложить на множители. Затем после замены y на f(x) получаем разложение на множители многочлена Pn(x).

Пример1. Разложить на множители многочлен.

X (X + 1) (X + 2) (X + 3) – 15.

Решение. Преобразуем данный многочлен следующим образом:

X (X + 1) (X + 2) (X + 3) – 15 = [X (X + 3)] [(X + 1) (X + 2)] – 15 = (X2 + 3X) (X2 + 3X + 2) – – 15.

Обозначим X2 + 3X через y. Тогда имеем

y (y + 2) – 15 = y2 + 2y – 15 = y2 + 2y + 1 – 16 = (y + 1)2 – 16 = (y + 1 + 4) (y + 1- 4) =

= (y + 5) (y – 3).

Поэтому

X (X + 1) (X + 2) (X + 3) – 15 = (X2 + 3X + 5) ( X2 + 3X + 3).

Пример2. Разложить на множители многочлен

(X – 4)4 + (X + 2)4.

Решение. Обозначим (X – 4 + X + 2)/2 = X – 1 через y. Тогда

(X – 4)4 + (X + 2)4 = (y – 3)4 + (y + 3)4 = y4 – 12y3 + 54y2 – 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[ (y2 + 27)2 – 648] =

= 2 (y2 + 27 – √648) (y2 + 27 + √648) = 2 ((X – 1)2 + 27 – √648) ((X – 1)2 + 27 + √648) =

= 2 (X2 + 2X + 28 – 18√2) (X2 – 2X + 28 +18√2).


Комбинирование различных методов.

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов.

Пример 1.Разложить на множители многочлен

Х4 - 3Х2+4Х – 3

Решение. Применяя группировку, перепишем многочлен в виде

Х4 - 3Х2+4Х – 3=(Х4 – 2Х) – (Х2 – 4Х+3)

Применяя к первой скобки метод выделения полного квадрата, имеем.

Х4 - 3Х2+4Х – 3=(Х2 – 1)2 – (Х – 2)2

Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что

Х4 - 3Х2+4Х – 3=(Х2 – 1+Х – 2)(Х2 – 1 – Х+2)=(Х2+Х – 3)(Х2 – Х+1)


Угадывание корня уравнения.

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Пример 1. Решите уравнение.

Х3+3Х – 123 – 3*12=0

Решение. Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что Х=12 есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

Х3+3Х – (123+ 3*12)=(Х3 – 123)+3(Х – 12)=(Х – 12)(Х2+12Х+122+3)=(Х – 12)(Х2+12Х+147)

Так как многочлен Х2+12Х+147 не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень Х=12.

Пример 2.Решите уравнение.

Х3 – 3Х=а3+1/а3, (1)

Где число а – отличное от нуля число.

Решение. Так как.

а3+1/а3=(а+а/1)3 – 3а2*1/а – 3а*1/а=(а+1/а)3 – 3(а+1/а),

то отсюда заключаем, что Х1=а+1/а есть один из корней исходного уравнения. Разделив многочлен Х3 – 3Х – а3-1/а3 на двучлен Х – а -1/а, получим, что.

Х3 - 3Х – (а3 – 1/а3)=(Х – а -1/а)[Х2+Х(а+1/а)+(а – 1/а)2 – 3], т.е. остальные корни уравнения (1) совпадают со всеми корнями уравнения.

Х2+Х(а+1/а)+(а+1/а)2 – 3=0 (2)

Дискриминант квадратного уравнения(2) есть

D=(а+1/а)2 – 4[(а+1/а)2 - 3]=3[4 – (а+1/а)2]= - 3(а – 1/а)2.

а) D> 0 быть не может

б) D=0 лишь при а=1 и при а= - 1.

Итак, уравнение(2) не имеет корней при а2≠1, имеет единственный корень Х= - 1 при а=1 и еще один корень Х=а+1/а, находим все корни исходного уравнения.

Ответ: при а=1 два корня Х1=2, Х2= - 1;

При а= -1 два корня Х1= -2,Х2=1

При а2≠1 и а≠0 один корень Х1=а+4/а.

Пример3. Решите уравнение.

Х(Х2 – а)=m(Х2+2mХ+а), (1)

Решение: Из внешнего вида уравнения, очевидно, что Х= - m является корнем.

Для нахождения остальных корней уравнения перенесем все его члены в одну сторону и разложим полученный многочлен на множители. Тогда получим, что уравнение (1) можно записать в виде

(Х+ m)(Х2 - 2 mХ – а)=0 (2)

Уравнение (2) равносильно совокупности уравнений

Х+ m=0

Х2 - 2 mХ – а=0

Первое уравнение совокупности (3) имеет единственный корень Х1= - m, а второе уравнение имеет решения в зависимости от дискриминанта.

а) если m2+а>0, то будем два корня;

б) если m2+а=0, то будет один корень;

в) если m2+а<0, то корней нет.

Отсюда легко находятся корни уравнения (1)

Ответ: при m2+а<0 Х1=1;

При m2+а=0 Х1= - m, Х2=m

При m2+а>0 Х1=m, Х2= m – √ m2+a

Пример 4: Решить уравнение

Х(Х+1)+(Х+1)(Х+2)+(Х+2)(Х+3)+(Х+3)(Х+4)(Х+6)+(Х+5)(Х+6)+(Х+6)(Х+7)+(Х+7)(Х+8)+(Х+8)(Х+9)+(Х+9)(Х+10)=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10

Решение: Легко заметить что Х1=0 и Х2= - 10 являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное.

А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно решено.

Ответ: Х1=0, Х2= - 10


Использование суперпозиции функции.

Иногда можно найти корень уравнения, если заметить, что функция, находящаяся в одной из частей уравнения, является суперпозицией некоторых более простых функций.

Пример1. Решить уравнение

(X2 + 2X – 5) + 2 (X2 + 2X – 5) – 5 = X. (1)

Решение. Обозначим f(x) = X2 + 2X – 5, уравнение (1) можно переписать в виде f(f(x)) = X. Теперь очевидно, что если Х0 – корень уравнения f(X) = X, то Х0 и корень уравнения f(f(x)) = X. Корни уравнения X2 + 2X – 5 =Х есть Х1=(-1+√ 21)/2 и Х2 = (-1 - √21)/2 отсюда следует, что уравнение (1) имеет эти корни. Переписав уравнение (1) в виде.

X4 + 4X3 – 4X2 – 17X + 10 = 0 (2)

и разделив многочлен (2) на многочлен (X – X1) ( X – X2), получим, что уравнение (2) можно записать в виде

(X2 + X – 5) (X2 + 3X – 2) = 0,

отсюда следует корнями уравнения (1) наряду с X1 и X2 являются также корни уравнения

X2 + 3X – 2 = 0,

т.е. числа X3 = (-3 + √17)/2 и X4 = (-3 – √17)/2.

Ответ: X1,2 = (-1 ± √21)/2; X3,4 = (-3 ± √17)/2.


Раскрытие знаков модулей.

Основной метод решения уравнений, содержащих модули, состоит в следующем: надо разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых каждое из выражений, находящихся под знаком модуля, сохраняет знак. На каждом таком множестве уравнение записывается без знака модуля и затем решается на этом множестве. Объединение решений, найденных на всех этих множествах - частях ОДЗ уравнения, составляет множество всех его решений.

Пример1. Решить уравнение

X22x + 1 + 2x – 3 + 2 = X22x – 3 + 4 + 2x – 1 . (1)

Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех действительных X. Разобьём ОДЗ на два промежутка:

А) X – 3 ≥ 0

Б) X – 3 < 0

А) Пусть X ≥ 3 тогда X – 3 = X – 3 и уравнение (1) запишется на этом множестве так:

X22x + 1 + 2x – 1 = X22x + 1 + 2x – 1

Это уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного X, т.е. его решениями являются все действительные X. Из них условию X ≥ 3 удовлетворяют все X из промежутка [3; + ~). Они и являются решениями уравнения (1) в случае А).

Б) Пусть X – 3 < 0, тогда X – 3 = – X + 3 и уравнение (1) запишется на этом множестве так:

X22x + 1 + 2-x + 5 = X22-x + 7 + 2x – 1

или

( 2x – 64*2-x) (4X2 – 1) = 0 (2)

Решение этого уравнения есть X1 = ½ , X2 = -½, X3 = 3. Из этих значений условию X<3 удовлетворяют только X1 = ½ , X2 = -½. Итак , решения уравнения (1) есть X1 =½,

X2 = -½ и всех из промежутка [3; + ~).

Ответ: X1 = ½, X2 = -½, 3 ≤ X < + ~.


Уравнения вида f(x) = g(x).

Уравнение

f(x) = g(x) (1)

можно решать основным методом. Однако в некоторых случаях полезно уравнение (1) решать следующим образом:

  1. Найти ту часть ОДЗ уравнение (1), где g(Х)≥0.

  2. На этой области уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений.

f(Х)=g(X),

  • f(X)=g(x).

Решение этой совокупности, принадлежащие рассматриваемой области, и дадут решение уравнения (1).

Пример1. Решите уравнение.

12х – сохsХ – 51=2х+2+соsХ. (2)

Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные Х. Очевидно, что на ОДЗ, т.е. для любого действительного Х,

2х+2+соsX>0.

Поэтому уравнение (2) равносильно совокупности уравнений

2х – соsX – 5=2х+2+соsX

- (2х – соsX – 5)=2х+2+соsX


Первое уравнение решений не имеет, а второе равносильно уравнению 2 х=3/2

Ответ :Х=log23/2

Уравнение вида f(X)=g(X)

Уравнение f(X)=g(X) (1)

Можно решить согласно общему методу. Однако иногда бывает полезно заменить уравнение (1) уравнением.

f(X)2=g(X)2, т.е. равносильное ему на его ОДЗ уравнением (f(X)+g(X)(f(X) – g(X))=0

Пример1: Решите уравнение.

Х3+Х+1=Х2+3Х - 1 (2)

Решение: ОДЗ уравнения (2) есть все действительные Х, возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение.

3+Х+1 – Х2 – 3Х+1)(Х3+Х+1+Х2+3Х – 1)=0,

равносильное исходному. Это уравнение можно переписать в виде (Х3 – Х2 – 2Х+2)(Х32+4Х).⇒что оно равносильно совокупности уравнений.

Х32+4Х=0 (3)

Х3 – Х2 – 2Х=0 (4)

Так как Х32+4Х=Х(Х2+Х+4) и дискриминант квадратного трехчлена Х2+Х+4 отрицателен, то уравнение (3) имеет единственный корень Х1=0. Поскольку Х3 – Х2 – 2Х+2=Х2(Х – 1) – 2(Х – 1)=(Х – 1)(Х2 – 2)=(Х – 1)(Х - √2)(Х+√2), то решения уравнения (4) есть Х2=1, Х3=√2 и Х4= - √2. Итак, исходное уравнение имеет четыре корня: Х1=0, Х2=1, Х3=√2 и Х4= - √2.

Ответ: Х1=0, Х2=1, Х3=√2, Х4= - √2.


Использование свойств абсолютной величины.

При решении уравнений с модулем иногда бывает полезно решать их не по основному методу, а применять различные свойства абсолютных величин действительных чисел.

Пример1: Решите уравнение.


√Х2 – Х – Х+Х+√Х=√Х2 – Х+√Х (1)

Решение: Обозначим √Х2 – Х – Х через а и Х+√Х через в. Тогда уравнение (1) можно записать в виде.

 а  +  в  =а+в. (2)

Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство (Х) возможно тогда и только тогда, когда одновременно, а≥0 и в≥0. Поэтому исходное уравнение (1) равносильно системе неравенств.


Х2 – Х – Х≥0,

Х+√Х≥0.

Решение этой системы неравенств, а значит, и исходное уравнения есть Х=0.

Ответ: Х=0.


Понижение степени уравнения.

Некоторые алгебраические уравнения заменой в них некоторого многочлена одной буквой могут быть сведены к алгебраическим уравнениям, степень которых меньше степени исходного уравнения и решение которых проще.

Пример1: Решите уравнение.

2+Х+2)(Х2+Х+3)=6 (1).

Решение. Обозначим Х2+Х+2 через t, тогда уравнение (1) можно переписать в виде t(t+1)=6. Последние уравнение имеет корни t1=2 и t2= - 3. Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности уравнений.

Х2+Х+2=2

Х2+Х+2=3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть Х1=0 и Х2= - 1. Решения второго – есть Х3= - 1+√21/2, Х4= - 1- √21/2. Решениями уравнения (1) являются Х1,Х,2Х3,ИХ4.

Ответ:Х1=0,Х2= -1,Х34= - 1±√21/2

Пример2: Решить уравнение.

(6Х+7)2(3Х+4)(Х+1)=1. (2)

Решение: Умножив обе части уравнения на 12 и обозначив 6Х+6 через Z,получим уравнение. (Z+1)2(Z+2)Z=12. Переписав это уравнение в виде.

(Z+2Z+1)(Z2+27)=12 (3)

и обозначив Z2+27 через u, перепишем уравнение (3) в виде (u+1)u=12. Последние уравнение имеет корни u1=3 и u2= - 4. Поэтому получаем, что уравнение (3) равносильно совокупности двух уравнений.

Z2+2Z=3

Z2+2Z= - 4.

Решение этой совокупности уравнений есть Z1= - 3 и Z2=1, т.е. уравнение (2) равносильно совокупности уравнении.

6X+6= - 3

6Х+6=1. (4)

Решение совокупности (4) являются Х1= - 3/2 и Х2= - 5/6, они и являются решениями уравнения (2).

Ответ: Х1= -3/2, Х2= - 5/6.


Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

В некоторых случаях решение уравнении относительно проиллюстрирую в примерах.

Пример1: Решить уравнение.

(2 – Х)5+(Х – 3)5+1=0. (1)

Решение: Пусть Х0 – решение уравнения (1). Вводим новые неизвестные u=2 – X0, V=Х0 – 3. Ясно, что и uV удовлетворяют системе уравнений.

u+V= - 1

u5+V5= -1.

Поскольку, как легко проверить,

u5+V5=(u+V)(((u+X)2 – 2uV)2 – uV(u+V)2+u2V2),

то систему (2) можно переписать в виде

u+V= - 1

(u+V)(((u+X)2 – 2uV)2 – uV(u+V)2+u2V2). (3)

Подставляя во второе уравнение системы (3) число – 1вместо u+V, получим уравнение(1 – 2Vu)2 – uV+uV2=1, которое можно переписать в виде 5(uV)2 – 5(uV)=0, откуда - либо uV=0, либо uV=1.

Таким образом для нахождения u и V имеем две системы уравнений.

u+V= -1, u+V= -1,

uV=0 . uV=1.

Вторая система решения не имеет. Решения первой системы есть u1=0, V1=1 и u2= - 1, V2=0⇒ что решения уравнения (1) содержатся среди чисел Х0’=2, Х0’’=3. Проверка подсказывает, что оба эти числа являются решениями уравнения (1).

Ответ: Х1=2, Х2=3.

Пример2: Решить уравнение.

Х2+9Х2/(3+Х)2=40. (4)

Решение. Пусть Х0 – решение. Уравнения (4). Введем новую неизвестную у0=3Х0/3+Х0. Тогда для нахождения Х0 и у0 имеем систему уравнений.

3(Х0 – у0) – Х0у0=0

Х0202=40.

Поскольку Х0202=(Х0 – у0)2+2Х0у0, то вводя новые неизвестные u0=X0 – y0,V0=X0y0, систему (5) можно переписать в виде

3u0 – V0=0

u02+2V0=40.

Решение этой системы есть пары чисел u0=4,V0=12,u0= - 10,V0= - 30, откуда для нахождения Х0 и у0 получаем системы уравнений.

Х0 – у0=4 Х0 – у0= - 16

Х0у0=12 Х0у0= -30.

Решение первой из этих систем есть Х0= - 2, у0= - 6 и Х0=6,у0=2. Вторая система решений не имеет. Итак, все решения уравнения (4) содержатся среди чисел Х0= - 2 и Х0=6.

Проверка показывает, что эти числа являются решениями уравнения (4).

Ответ: Х1= - 2,Х2=6.

Пример3: Решить уравнение.

30/Х3√35-Х3=Х+3√35 – Х3. (6)

Решение: Пусть Х0 – решение уравнения (6). Введем новую неизвестную 3√35 – Х30, тогда Х0 и у0 являются решением системы уравнений

30/Х0у000

Х33= - 35. (7)

Вводя новые неизвестные u=X0+y0, V=X0y0, перепишем систему (7) в виде.

uV=30

u3 – 3uV=35 (8)

Решения системы (8) есть u=5, V=6.⇒для нахождения Х0 и у0 получим систему уравнений.

Х00=5

Х0у0=6.

Эта система имеет две пары решений: Х0=2,у0=3 и Х0’’=3, у0’’=2. Итак, все решения уравнения (6) содержатся среди чисел Х=2 и Х=3. Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения (6).

Ответ: Х1=2, Х2=3.

Пример4: Решить уравнение.


3√Х+45 - 3√Х – 16=1. (9)

Решение: Пусть Х0 – решение уравнения (9). Введем новые неизвестные 3√Х+45=u

3√Х – 16=V. Тогда u и V являются решениями системы уравнений.

u – V=1,

u3 – V3=61.

эта система равносильна системе.

u – V=1,

(u – V)(u2+uV+V2)=61.

или системе.

u=V+1

(u+1)2+V(V+1)+V2=61. (10)

Решения системы (10) есть V1=4,u1=5; V2= - 5,u2= - 4, а это означает, что решениями уравнения (9) могут быть только число Х0=80 и Х0’’= - 109. Проверка показывает, что эти числа являются решениями уравнения (9).

Ответ: Х1=80, Х2= - 109.

Пример5: Решить уравнение.

4√2sinX – 1+4√3sinx – 2=2 (11)

Решение: Пусть Х0 – решение уравнения (11). Введем новые неизвестные u=4√2sinX – 1 и V=4√3sinx – 2. Тогда u и V является решениями системы уравнений.

u+V=2,

3u4 – 2V4=1.

Из первого уравнения этой системы u=2 – V. Подставляя 2 – V вместо и во второе уравнение, получаем уравнение.

V4 – 24V3+72V2 – 96V+47=0. (12)

Легко видеть, что уравнение (12) имеет корень V=1. Разделив многочлен, находящийся в левой части уравнения (12), на V – 1, получим тождество V4 – 24V2+72V2 – 96V+47=(V – 1)(V3 – 23V3+49V – 47)⇒ что кроме V=1 остальные корни уравнения (12) есть корни уравнения.

V3 – 23V3+49V – 47=0 (13)

Ясно, что надо искать лишь те корни уравнения (12), которые удовлетворяют условию 0≤V≤2. Поскольку V3 – 23V3+49V – 47=(V – 8) – (23V2 – 49V+39), то очевидно, что при 0≤V≤2 имеем V3 - 8≤0 и 23V2 – 49V+39>0. Поэтому V3 – 23V3+49V – 47<0 при любом v из промежутка 0≤V≤2 ⇒ уравнение (13) не имеет корней на отрезке 0≤V≤2 . Таким образом, все корни уравнения (11) содержатся среди корней уравнения.

2sinX – 2=1. (14)

Перепишем уравнение (14) в виде.

sinX=1.(15)

Уравнение (15) имеет решения Х=п/2+2пn, nЄz.

Подставляя эти числа в уравнение (11), убеждаемся в том, что все они являются его решениями.

Ответ: Х=п/2+2пn, nЄz.


Использование ограниченности функции.

При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Например, если для всех Х из некоторого множества М справедливы неравенства f(Х)>А и g(X)<А, где А некоторое число, то на множестве М уравнение f(Х)=g(Х) решений не имеет.

Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функции f(X) и g(X) на множестве М.

Пример1: Решите уравнение.

Sin(X3+2X2+1)=X2+2X+3.

Решение: Для любого действительного числа Х имеем sin(X3+2X2+1)≤1, X2+2X+3=(Х+1)2+2≥2. Поскольку для любого значения Х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда меньше двух, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Пример2: Решить уравнение.

Х3 – Х – sinпX=0. (1)

Решение: Очевидно, что Х=0, Х=1,Х= - 1 являются решениями уравнения (1). Для нахождения других решений уравнения (1) в силу нечетности функции f(X)=X3 – X – sinпX достаточно найти его решения в области Х >0,X≠1, поскольку если Х0 >0 являются его решением, то и ( - Х0) также являются его решением.

Разобьем множество Х>0, X≠1, на два промежутка: (0;1) и (1;+~).

Перепишем уравнение (1) в виде Х3 – Х=sinпХ. На промежутке (0;1) функция g(Х)=Х3 – Х принимает только отрицательные значения, поскольку Х3<Х, а функция h(Х)= sinпХ только положительные значения ⇒ на этом промежутке уравнение (1) не имеет решений.

Пусть Х принадлежит промежутку (1;+~). Для каждого из таких значений Х функция g(X)=X3 – X принимает положительные значения, функция h(Х)= sinпХ принимает значения разных знаков, прием на промежутке (1;2] функция h(Х)= sinпХ неположительная.⇒ на промежутке (1;2] уравнение (1) решений не имеет.

Если же Х>2, то sinпХ≤1, X3 – X=(Х2 – 1)>2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+~) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, Х=0, Х=1 и Х= - 1и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: Х1=0,Х2=1, Х3= -1.

Пример3: Решить уравнение.

2 sinпХ=Х – п/2 – Х+п/2. (2)

Решение: Обозначим =Х – п/2 – Х+п/2 через f(X). Из определения абсолютной величины следует, что f (X)=п при Х≤ - п/2, f(Х)= -2Х при – п/2пп/6+Пn, n= - 1, - 2,…Если Х≥п/2, то уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпХ= - п т.е. в виде sinX= - 1/2 это уравнение имеет решение имеет решение Х=(-1)м+1п/6+ Пm, mЄZ. Из этих значений Х условию Х≥п/2 удовлетворяют только Х=( -1)пп/6+Пm, m=1,2,…

Рассмотрим Х из промежутка ( - п/2,п/2). На этом промежутке уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпХ= - 2Х, т.е. в виде.

sinХ= - Х/п. (3)

Ясно, что Х=0 есть решение уравнения (3), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (3) на промежутке ( - п/2;п/2) не имеет.

Для Х≠0 уравнение (3) равносильно уравнению.

Sin/Х= - 1/п.

Для любого значения ХЄ(- п/2;0)U(0;п/2), функция f(X)=sinX/Х принимает только положительные значения, поэтому уравнение (3) не имеет решений на множестве (- п/2;0)U(0;п/2).

Ответ: Х=0; Х=( -1)пп/6+Пn, n= 1,2…;=( -1)m+1п/6+Пm, m=1,2…


Заключение.

В ходе изучения данной темы, я сделала следующий вывод, нестандартные приемы решения уравнений позволяют получить результат более рациональным способом.

При использовании нестандартных методов решение занимает меньше времени, а также оно более интересно.


Список использованной литературы.

Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н.. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства».

Игудисман О. С. «Математика на устном экзамене».

Лурье М. В., Александров Б. И. «Задачи на составление уравнений».

Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. «Уравнения и неравенства».

Потапов М. К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю. В. «Математика. Методы решения задач».

Смолич Б. А., Ефимов Г. Н., Соловьёв А. Ф. «Уравнительные вычисления».












Скачать 210,52 Kb.
оставить комментарий
Заяц Светлана Александровна
Дата23.09.2011
Размер210,52 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх