Учебное пособие для студентов физико-математического факультета Воронеж 2010 icon

Учебное пособие для студентов физико-математического факультета Воронеж 2010


Смотрите также:
Учебное пособие для студентов физико-математического факультета Воронеж 2010...
Учебное пособие для студентов дневного отделения физико-математического факультета...
Учебное пособие для студентов факультета иностранных языков / Сост. Н. В. Дороднева, И. В...
Учебное пособие для студентов механико-математического факультета специальностей «Механика»...
Учебное пособие для студентов механико-математического факультета специальностей «Механика»...
Учебное пособие для студентов механико-математического факультета специальностей «механика»...
Программа вступительных испытаний по приему в магистратуру физико-математического факультета по...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...
Рейтинговая система оценки знаний студентов по дисциплине «Философия»...
Контрольная работа по теории вероятностей для студентов заочного отделения...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5   6   7
скачать


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»


КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ

ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ

УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ

И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ


Учебное пособие для студентов

физико-математического факультета


Воронеж 2010

УДК 512 (075.8)


Составитель:


кандидат физико-математических наук, доцент Н.А.Гордиенко


^ Комплексные числа и их приложение к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета / сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский госпедуниверситет, 2010. – 92 с.


Учебное пособие представляет собой курс лекций и практических занятий по теме «Комплексные числа». Пособие делится на четыре части: комплексные числа в алгебраической форме, геометрическая интерпретация комплексных чисел, комплексные числа в тригонометрической форме, приложение теории комплексных чисел к решению кубических уравнений и уравнений 4-й степени. В заключение приводится краткий исторический обзор формирования понятия комплексного числа и действий над комплексными числами.

Предназначено для студентов физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.


© Гордиенко Н.А., составление, 2010

Предисловие


Теория комплексных чисел является составной частью курса «Высшая алгебра» в педагогических вузах и предполагает глубокое знание ее основ, а также методов и приемов, применяемых при решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания. Будущие учителя должны грамотно и непринужденно оперировать с основными понятиями, действиями и интерпретациями комплексных чисел, поскольку азы теории комплексных чисел являются частью учебной программы по математике для профильных классов. Это объясняется тем, что, будучи непосредственным обобщением понятия действительного числа, комплексное число является завершающим элементом в стройной и строгой логической
конструкции понятия числа.

Алгебраическая природа комплексного числа состоит в том, что комплексное число есть элемент алгебраического расширения С поля действительных чисел R , получаемого присоединением к полю R корня i многочлена f(x) = x2 + 1 . Получающееся таким путем поле С называется полем комплексных чисел.

Наиболее важное свойство комплексных чисел состоит в том, что оно алгебраически замкнуто, т.е. любой многочлен с коэффициентами из С разлагается на линейные множители. Иначе это свойство алгебраической замкнутости выражается в том, что любой многочлен степени n ≥ 1 с коэффициентами из С имеет в поле комплексных чисел по крайней мере один корень (теорема Даламбера – Гаусса).

Изучение теории комплексных чисел выполняет следующие образовательные функции.

1) Расширение математического кругозора и повышение математической культуры учащихся.

Наличие у комплексных чисел более тесной, нежели у других числовых множеств, связи с геометрией (в частности, с векторным исчислением) представляет широкие возможности, с одной стороны, применения алгебраических методов к решению геометрических
задач (задачи на построение ГМТ), а с другой стороны, наглядных геометрических интерпретаций различных алгебраических операций (действий с комплексными числами в тригонометрической форме).

2) Логическое завершения развития понятия числа.

3) Выделение из множества всех алгебраических уравнении лишь тех, которые решаются в радикалах, т.е. для которых существуют формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты.

Сюда относится решение уравнений 3-й степени (и сводящихся к ним уравнений 4-й степени), поскольку по теореме Абеля: «Ни для какого натурального числа нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения п-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов».

В первой главе пособия сначала вводится понятие комплексного числа в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, а также операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме; излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй главе изучается геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей главе рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Четвертая глава посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

Завершает пособие краткая историческая справка о возникновении понятия комплексного числа.

Особенностью изложения материала является форма в виде лекционных и практических занятий. Эта форма выбрана для удобства использования представленного материала как преподавателями, так и студентами. В конце каждой из первых трех глав приведены примерные варианты контрольных работ.


^ Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ


Занятие 1. Введение понятия комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Степени мнимой единицы

(Лекция)

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывается представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для
решения линейных уравнений вида

ах + b = 0 ,

где а и b - целые числа.

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого измерения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т.е. дробью.

Однако еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело в конце концов к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида

,

где а0, а1, . . . , аn - действительные числа. Однако оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

х2 + 1 = 0 .

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

х = –1 .

Обозначим этот корень через i. Таким образом, по определению

i2 + 1 = 0 , или i2 = - 1 ,

следовательно, i=.

Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел а и b составляется выражение вида

z=a+bi .

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов rее1 – действительный и imaginaire – мнимый, воображаемый). Название комплексное переводится как составное - по виду выражения z = a+bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

z=a+bi ,

где а и b действительные числа, а i некоторый символ,
удовлетворяющий условию i=. Число а называется
действительной частью комплексного числа z=a+bi, а
число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

а = Re z , b = Im z .

Комплексные числа вида z=a+0∙i являются
действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Комплексные числа вида z=0+bi называются чисто
мнимыми.


Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства

a1 = a2 , b1 = b2 .


Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

Произведение двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i можно найти, почленно умножая числа z1 и z2:

.

Таким образом, произведением двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z1 ∙ z2 вида

.

Пример. Найдите сумму комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2=3 – i.

Решение. z1+z2 = (2 + 3i ) + (3 – i) = 1 + 2i.

Ответ: 1 + 2i .

Пример. Найдите произведение комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2=1 – i .

Решение. z1 z2 = (2 + 3i) + (1 – i) =

= (2 + 3) + (3 –2)i = 1 – 5i.

Ответ: 1 – 5i.

Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел

Каковы бы ни были комплексные числа , справедливы следующие равенства.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

.

Проведем доказательство свойства 3 (остальные свойства доказываются аналогично).

Доказательство. Пусть , . Тогда поскольку а1 , b1 , a2 и b2 – действительные числа , для которых умножение коммутативно, получаем:





Кроме того, в множестве комплексных чисел есть «особые» элементы

0 = 0 + 0i и 1= l + 0i ,

которые обладают такими же свойствами, что и на множестве действительных чисел, а именно, для любого комплексного числа z = а + bi имеют место равенства:

6. z + 0 = z .

7. z0 = z .

8. Произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Доказательство. Пусть , и . Тогда по определению равенства и произведения двух комплексных чисел получаем систему уравнений :



Умножив уравнение (1) на а2 , а уравнение (2) на b2 и сложив полученные уравнения, приходим к системе :



Возможны два случая.

1 случай. а1= 0 .

Тогда из уравнения (1)* следует, что b1b2 = 0.
a) Если b1 = 0 , а b2 ≠ 0, то z1 = a1 + b1i = 0.
б) Если b2 = 0 , а b1 ≠ 0 то из уравнения (2) следует, что a2b1 = 0 , значит, а2 = 0 , т.е. z2 = a2 + b2i = 0.

в) Если b1 = b2 = 0 , то z1 = 0 .

2 случай. а1 ≠ 0 .

Тогда из уравнения (2)* следует, что, a22 + b22 = 0 , т.е. а2 = b2 = 0 , значит, z2 = 0.

9. zl = z .

10. Любому комплексному числу z=а+bi соответствует противоположное комплексное число (–z) такое, что z + (–z) = 0 .

Доказательство. Вычислим (–z). Пусть (–z ) = x + yi, тогда

а + bi + х + yi = 0 + 0i .

Получаем систему:



откуда находим х = –а , у = –b. Таким образом, (–z) = а – bi .

11. Всякому комплексному числу z=а+bi, отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число z1 такое, что zz–1 = 1 .

Доказательство. Условие z ≠ 0 равносильно условию а2 + b2 > 0 . Вычислим z–1.



Следовательно,

.
^

Пользуясь понятиями противоположного и обратного комплексного числа, определим операции вычитания и деления комплексных чисел.


Для того чтобы найти разность двух комплексных чисел и , достаточно сложить число z1 с числом, противоположным числу z2 , т.е.

.

Пример. Вычислите z1z2 , если z1 = 5 – 2i ,

z2 = –3 + i.

Решение. z1z2 = (5 – (–3)) + (–2 – 1)i = 8 – 3i .

Ответ: 8 – 3i .

Для того чтобы разделить комплексное число на комплексное число , не равное нулю, достаточно умножить число z1 на число, обратное числу z2 , т.е.



Пример. Вычислите .

Решение.

.

Ответ:1,7 + 0,l i .




оставить комментарий
страница1/7
Н.А.Гордиенко
Дата23.09.2011
Размер0.92 Mb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5   6   7
хорошо
  1
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх