Литература icon

Литература


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Программа дисциплины дпп. Ф. 11 Зарубежная литература и литература страны изучаемого языка 1...
Литература древнерусская литература...
Учебно-методический комплекс для студентов II III курсов филологического факультета по...
Литература английского декаданса: истоки, становление, саморефлексия...
Литература английского декаданса: истоки, становление, саморефлексия...
Календарно-тематическое планирование Предмет литература Класс...
Учебно-методический комплекс по дисциплине...
Рабочая учебная программа по дисциплине Русское устное народное творчество для специальности...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «детская литература» для специальностей: 05030101...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «детская литература» для специальностей: 05030101...
Учебно методический комплекс по дисциплине «Детская литература» для специальностей: 05030101...
«Литература 7 кл»...



Загрузка...
страницы:   1   2   3
скачать
Раздаточный материал №5


Уравнения высших степеней


Содержание


§1. Типы уравнений высших степеней, имеющие алгоритмы решений ………………………………………………………….…….2


§2. Рациональные корни целочисленных

уравнений …………………………………………………………...…5

2.1. Деление многочленов…………………………………………….5

2.2. Теорема Безу и схема Горнера……..…………………..…….….7

    1. Основная теорема алгебры и ее следствия………..…….9

    2. Нахождение целых корней……………………………….10

    3. Нахождение дробных корней…………………………….12


§3. Общий подход к решению уравнений высших степеней…..14


§4. Точное определение числа действительных корней в уравнениях, их отделение и оценка………………………….…….17


Ответы к упражнениям…………………………………………..…21


Литература…………………………………………………………....22


Приложение. Алгоритмы решений уравнений третьей и четвертой степеней (формулы Кардано и Феррари).…….……..23


§1. Типы уравнений высших степеней,

имеющие алгоритмы решения


Рассмотрим так называемое двучленное уравнение

1.1 axn + b = 0,

где

1). Если знаки коэффициентов "a" и "b" разные - то есть имеем уравнение (*) axn - b = 0, где a>0 и b>0, - то axn = b, , (число корней равно "n"); при четном "n" имеем два действительных корня (противоположенные числа), а при нечетном "n" - один действительный (положительный) корень.

2). Если знаки коэффициентов "a" и "b" одинаковы - то есть имеем уравнение (**) axn + b = 0, a>0, b>0, - то и при нечетном "n" имеем один действительный (отрицательный) корень, а при четном "n" действительных корней нет.

Упражения 1.1. Найти действительные корни уравнений:

а). x3 + 8 = 0; б). x4 - 16 = 0;

в). x4 + 81 = 0; г). x3 - 27 = 0.

Замечание. Комплексные корни уравнения при наличии действительных корней легко получить, умножив один из действительных корней уравнения на радикал соответствующей степени из единицы, то есть:

1.2 где к =

При четном "n" имеем здесь два действительных корня, соответствующих k = 0 и k = n/2; при нечетном "n" имеем один действительный корень, соответс- твующий k = 0.

Так называемое трехчленное уравнение

1.3 ax2n + bxn + c = 0,

где сводится к решению квадратного уравнения при замене xn = y (в частности, при n = 2 получаем известное биквадратное уравнение).

Упражнения 1.2. Найти действительные корни уравнений:

а). x4 - 13 x2 + 36 = 0;

б). x8 - 65x4 + 64 = 0;

в). (x-2)6 - 19(x-2)3 = 216.


Уравнения вида

1.4 axn + bxn-1 + cxn-2 + … +cx2 + bx + a = 0,

у которых коэффициенты членов, равноудаленных от конца и начала равны, называются симметричными, причем а0. Такие уравнения обладают следующим свойством: если х есть решение, то 1/x тоже будет решением. Кстати, ни один из корней симметричного уравнения не может быть равен нулю, ибо а0. Симметричные уравнения могут быть как четной, так и нечетной степени.

1). Способ решения симметричного уравнения четной степени покажем на примере уравнения четвертой степени:

1.5 ax4 + bx3 + cx2 +bx + a = 0.

Так как х0, то делим это уравнение на x2:

ax2 + bx +c + b/x + a/x2 = 0;

далее группируем члены при одинаковых коэффициентах:

a(x2 + 1/ x2) + b(x + 1/x) + c = 0.

Пусть х +1/х = t, тогда (х+1/x)2 = t2 , x2 + 2 +1/ x2 = t2, откуда x2 + 1/ x2 = t2 - 2 и исходное уравнение превращается в квадратное относительно новой переменной "t":

a(t2 - 2) + bt + c = 0, at2 + bt + c - 2a = 0.

Кстати, (x + 1/x)3 = x3 + 3x2 *1/x + 3x*1/x2 +1/x3 = x3 + 3x + 3/x + 1/x3, откуда имеем при х +1/х = t х3 + 1/x3 = t3 -3t, что позволяет свести уравнение шестой степени к уравнению третьей степени; если слагаемые с коэффициентом "b" в уравнении 1.5 имеют разные знаки, то ясно, что надо использовать замену

х-1/х= t.

Упражнения 1.3. Найти действительные корни уравнений:

а). 4x4 - 3x3 - 2x2 - 3х + 4 = 0;

б). 2x4 + 3x3 - 4x2 - 3x + 2 = 0;

в). 2x4 - 9x3 + 9x - 2 = 0.

2). Симметричное уравнение нечетной степени всегда имеет действительный корень, равный 1. Разделив исходное уравнение на разность х1, получим уже симметричное уравнение четной степени.

Упражнения 1.4. Найти действительные корни уравнений:

а). 3x3 - x2 - х + 3 = 0;

б). 4x5 + x4 - 5x3 - 5x2 + х + 4 = 0.

В симметричных уравнениях по сути с помощью подходящей замены (х1/х=t) понижается степень исходного уравнения. Такая же ситуация реализуется в так называемых возвратных уравнениях, частным случаем которых являются симметричные уравнения. Характерным признаком, определяющим тип уравнения четвертой степени (1.5) ax4 + bx3 + cx2 +dx + e = 0 как возвратного является условие:

1.6 .


Упражнение 1.5. Найти действительные корни уравнения

2x4 + 3x3 - 14x2 - 9x + 18 = 0.


При решении уравнений высших порядков возможны самые разнообразные замены, понижающие, как правило, степень исходного уравнения.


Упражнение 1.6. Найти действительные корни уравнения

2 - 3x - 4)( х2 -5x - 4) = 9х2.


Уравнения типа

1.7 (х + а) (х + в) (х + с) (х + d) = m

при выполнении хотя бы одного из условий:

1.8 a + b = c + d,

a + c = b + d,

a + d = b + c;

превращаются после простой замены в квадратное уравнение.

Упражнения 1.7. Найти действительные корни уравнений:

a). (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3;

б). (х - 1)(х - 7)(х - 4)(х + 2) = 40.


Уравнения типа

1.9 (x + a)n + (x + b)n = c, n N,

решаются с помощью замены

1.10

и разложения биномов (можно использовать так называемый "треугольник" Паскаля).

Упражнения 1.8. Найти действительные корни уравнений:

а). (x - 3) 4 + (x + 1) 4 =256;

б). (x - 2) 6 + (x - 4) 6 = 64.

Упражнение 1.9. Найти действительные корни уравнения

x4 + 4x3 + 10x2 + 12x - 7 = 0.

При решении уравнений высших степеней в ряде случаев удается использовать известные приемы при алгебраических преобразованиях, как-то: выделение полного квадрата, формулы сокращенного умножения, группировка, разложение на множители.

Упражнение 1.10. Найти действительные корни уравнения

(x + 4x) 2 + (x + 2) 2 = 16.

Упражнение 1.11. Найти действительные корни уравнения

x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2х - 2 = 0.

Упражнение 1.12. Найти действительные корни уравнения

x4 + 6x3 + 8x2 - 2x - 1 = 0.

Упражнения 1.13. Найти действительные корни уравнений:

а). 2x3 - x2 - 1 = 0,

б). 2x3 - x2 - 18x + 9 = 0,

в). x3 - 19x - 30 = 0.

Рассмотрим еще специальную тригонометрическую замену переменных в алгебраическом уравнении.

Пример 1.1. Решить уравнение

8x(2x2 - 1)(8x4 - 8x2 + 1) = 1

при условии 0 < x < 1.

Решение. Так как 0 Тогда с помощью тригонометрических преобразований получим: 2x2 - 1 = 2 cos2 t - 1 = = cos 2t; 8x4 - 8x2 + 1 = 8cos4 t - 8cos2 t + 1 = 8cos2 t(cos2 t - 1 ) + 1 = -8cos2 t * * sin2 t +1 = 1 - 2sin2 2t = cos 4t; и исходное уравнение принимает вид:

8cos t * cos 2t * cos 4t = 1.

Умножаем обе части равенства на sin t и делаем "цепочку" тригоно- метрических преобразований: 8sin t * cos t * cos 2t * cos 4t = sin t, 4sin 2t * cos 2t * cos 4t = sin t, 2sin 4t * cos 4t = sin t, sin 8t = sin t, sin 8t - sin t = = 0, 2cos(4.5t) *sin(3.5t) = 0. Далее имеем два простейших тригонометрических уравнения, которые и решаем: 1). cos(4.5t) = 0, t = = при k = 0 t1 =, при k = 1 t2 = , соответствующие значения "x" следующие: x1= cos, x2=cos=1/2. 2). sin(3.5t)=0,

что при k = 1 дает t3 = и х3 = cos

Ответ: { cos; 1/2; cos}.

Упражнение 1.14. Решить уравнение

8x(1- 2x2)(8x4 - 8x2 + 1) = 1

при условии 0 < x < 1.


§2. Рациональные корни целочисленных уравнений


Запишем уравнение n-ой степени в виде:

(2.1) ,

где x - неизвестная величина; - заданные числовые целочисленные коэффициенты; ; так называемый старший коэффициент . Левая часть уравнения есть многочлен (или полином)

n-ой степени от неизвестной ‘x’, который обозначим через , где индекс ‘n’ указывает на степень многочлена. Таким образом, имеем:

(2.2)

Ясно, что многочлен нулевой степени есть конечное число, отличное от нуля, так как .


2.1.Деление многочленов


Для двух многочленов и можно реализовать деление «уголком», то есть при имеем:

(2.3)

(2.4)

где q(x) называется неполным частным (или просто частным) от деления на , а - остаток от этого деления. Если n>m, то многочлен считается старшим по отношению к многочлену , как имеющий более высокую степень. Обозначение многочленов строчными («маленькими») буквами без указания их степени (в соотношениях (2.3) и (2.4) это q(x) и r(x)) используются зачастую там, где порядок степени многочлена не является определяющим фактором.

Если остаток от деления на равен нулю (r(x)=0), то говорят, что делится на и называют делителем многочлена ; многочлен q(x) при этом называется полным частным (или просто частным). В этом случае имеем:

(2.5)

откуда следует, что многочлен q(x) при делении «нацело» также является делителем многочлена .

Пусть даны произвольные многочлены и . Многочлен будет называться общим делителем этих многочленов, если он служит делителем для каждого из многочленов. Если есть число, отличное от нуля (многочлен нулевой степени), то тогда многочлены и называются взаимно простыми. В общем случае, многочлены и могут обладать делителями, зависящими от ‘x’.

Введем понятие о наибольшем общем делителе двух многочленов, который обозначим через НОД . Наибольшим общим делителем двух многочленов называется такой многочлен , который является общим делителем этих многочленов и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Отметим, что любой многочлен делится на многочлен нулевой степени, то есть на произвольное конечное число, отличное от нуля, так как у соответствующему этому многочлену уравнении умножение на любое конечное число, отличное от нуля, корней этого уравнения не меняет. Это обстоятельство будет использовано при упрощении процесса нахождения НОД двух многочленов.

Если многочлены разложены на линейные множители, то нахождение их НОД не представляет труда: это есть произведение их общих сомножителей. Если корни многочленов неизвестны, а потому и нет соответствующих разложений на линейные множители, то для нахождения НОД двух многочленов можно использовать алгоритм последовательного деления (так называемый алгоритм Евклида).

Замечание. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, можно, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или делитель на любое конечное, не равное нулю, число; причем, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, конечно, к искажению частного, но при этом остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что, как уже отмечалось выше, при нахождении НОД многочленов допускается.

Пример 2.1. Найти наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов:

,

.

Решение. Делим на , умножив предварительно на 3:







Умножаем полученный остаток на (-3) и продолжаем процесс деления.







Полученный теперь остаток разделим на 5 и назовем его первым, то есть . Делим многочлен на первый остаток:











Полученный остаток после деления на 9 назовем вторым, то есть . Делим теперь первый остаток на второй:











Так как , то будет последним остатком, на который «нацело» делится предыдущий остаток (или соответствующий многочлен). Этот остаток и будет согласно алгоритму Евклида наибольшим общим делителем многочленов и , то есть .

Ответ: .

Упражнения 2.1. Найти , если:

а). ,

;

б). ,

;

в). ,

.


2.2. Теорема Безу и схема Горнера

Если делить некоторый целочисленный многочлен на разность , (то есть на многочлен первой степени), то остаток от деления ‘г’ будет либо нуль, либо число, отличное от нуля (многочлен нулевой степени). Теорема Безу позволяет найти этот остаток, не выполняя самого процесса деления.

Теорема Безу: остаток ‘г’ от деления многочлена на линейный многочлен равен значению многочлена при .

Действительно, пусть ; при имеем: , что и доказывает теорему.

Рассмотрим деление суммы или разности одинаковых степеней на сумму или разность их оснований.

1). Пусть , ; - остаток от деления; тогда:

при : ;

при : ;

при : ;

при : .

2). Пусть , ; тогда:

при : ;

при : ;

при : ;

при : .

Все эти соотношения легко проверяются по теореме Безу. В итоге имеем вывод: разность делится на разность оснований при , та же разность делится на сумму оснований только при четном , а сумма делится на сумму оснований только при нечетном .




Скачать 350,21 Kb.
оставить комментарий
страница1/3
Дата23.09.2011
Размер350,21 Kb.
ТипЛитература, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3
плохо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх