Реферат Тема: «Решение задач с параметрами»
1 чел. помогло. | скачать Реферат Тема: «Решение задач с параметрами» Выполнила ученица 10 класса МОУ СОШ №1 г.Карталы Челябинской области, Алтынбаева Дарина. Оглавление. Введение.
Заключение. Список литературы. Введение. Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. ^ Толковый словарь определяет параметр как величину, характеризующую какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров - это всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. Выполняя данную работу, я ставила цель расширить свои математические представления о приёмах и методах решения задач с параметрами, развивать логическое мышление и навыки исследовательской деятельности. В своем реферате я рассмотрела основные типы задач с параметрами:
В первой части моего реферата я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения уравнений и систем уравнений с параметрами, а во второй – графический метод. Я думаю, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче ЕГЭ по математике. ^ Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнение с параметром задает множество уравнений. Решить уравнение с параметрами означает следующее:
^ Уравнение вида ах + в = 0, где а и в – некоторые постоянные, называется линейным уравнением. Если а  0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х= .Если а=0 и в=0, переписав исходное уравнение в виде ах=-в, легко видеть, что любое х является решением линейного уравнения. Если а=0 и в 0, то линейное уравнение не имеет корней.Пример 1. Решить уравнение с параметром: 1) ах=0. Решение. Если а=0, то 0  х=0; х - любое действительное число.Если а 0, то х =  = 0.Ответ: если а=0, х - любое действительное число; если а 0, то х = 0.2) х + 2 = ах. Решение. Преобразуем данное уравнение к виду х(1-а) = -2. Если 1-а =0,т.е. а=1, то получим уравнение х 0=-2, которое не имеет корней.Если 1-а 0,т.е. а1, то уравнение имеет единственный кореньх=  .Ответ: если а 1, то х=;если а=1,то уравнение не имеет корней. 3) (а2 -1)х=2 а2 + а -3. Решение. Приведем данное уравнение к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1). Если а=1, то уравнение принимает вид 0 х=0, его решением является любое действительное число.Если а=-1, то уравнение принимает вид 0 х=-2, это уравнение не имеет решений.Если а  1, то уравнение имеет единственное решение х= .Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х. Ответ: если а=1, то х- любое действительное число; если а=-1, то уравнение не имеет решений; если а 1, то х=.Пример 2. Решить относительно х уравнение  +  =  .Решение. Из условия следует, что (а-1)(х+3) 0, т.е. а1, х-3.Умножив обе части данного уравнения на (а-1)(х+3), получим уравнение 3ах-5+ (3а-11)(х+3)=(2х+7)(а-1), или х(4а-9)=31-2а. При а 2,25 х= .Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х=-3. =-3 при а=-0,4.Таким образом, при а 2,25, а1 и а-0,4 данное уравнение имеет единственное решение х=.При а=2,25, а=-0,4 и а=1 уравнение решений не имеет. Замечание: если при каком-либо значении параметра данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение не верно. Ответ: если а 2,25, а1 и а-0,4, то х=; если а=2,25, а=-0,4 и а=1,то уравнение решений не имеет. Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное множество решений? 6(ах-1)-а=2(а+х)-7. Решение. Приведем данное уравнение к виду 2х(3а-1)=3а -1. Если 3а-1 0,т.е. а , то х= .Если 3а-1=0, т.е. а= , то уравнение примет вид 2х0=0, его решением является любое число.Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а= .Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?  =2а.Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8. Если 5+2а 0,т.е. а- , то х= .Если 5+2а =0,т.е. а =- , то уравнение примет вид х0=-18, это уравнение не имеет решений.Ответ. уравнение не имеет решений при а =- .^ Уравнение вида ах2+вх+с=0, где а,в,с –некоторые числа (а 0), х-переменная, называется квадратным уравнением.Для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант D= b2-4ac. Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень: х=-  (или два, но сливающихся корня х1=х2).Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня: х1 =  ; х2 =  .Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней. Если один из коэффициентов в или с равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта: 1. в=0, с 0;  <0, то х1,2=  .2. в 0, с=0, то х1=0, х2=- .Следующие теоремы также помогают при решении квадратных уравнений с параметрами. ^ (прямая) утверждает: если х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2+вх+с=0, то выполняются соотношения: х1+х2=- и х1х2=.^ утверждает: если для некоторых постоянных а, в, с существуют числа х1 и х2, удовлетворяющие соотношениям х1+х2=- и х1х2=, то эти числа х1 и х2 являются корнями уравнения ах2+вх+с=0.Пример 5. Решить относительно х: ах2-2х+4=0 Если а=0, тогда уравнение примет вид -2х+4=0, отсюда х=2. Если а 0, то D=4-16а.Если 4-16а≥0, т.е а≤  , х1,2=  Если 4-16а<0, т.е. а> , то уравнение не имеет решений.Ответ: если а=0, то х=2; если а 0 и а≤, то уравнение имеет два решения х1,2= если а 0 и а>, то уравнение не имеет решений.Пример 6. При каких значениях а уравнение ах2-х+3=0 имеет единственное решение? Если а=0, тогда уравнение примет вид –х+3=0, отсюда х=3. Если а 0, то D=1-12а.Уравнение будет иметь единственное решение при D=0. 1-12а=0, отсюда а=  .Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=0 или а= .Пример 7. При каких значениях а уравнение ах2+4х+а+3=0 имеет более одного корня? Если а=0, то уравнение примет вид 4х+3=0, которое имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи. Если а 0, то D=16-4а2-12а.Уравнение имеет более одного корня при D>0. 16-4а2-12а>0.  Рассмотрим функцию у=16-4а2-12а. Найдем нули этой функции, решая уравнение 16-4а2-12а=0. а1=-4; а2=1. Функция принимает положительные значения, если -4<а<1. Ответ: уравнение имеет более одного корня, если -4<а<0 и 0<а<1. Пример 8. Найти коэффициент а, если корни уравнения х2-2х+а=0. связаны соотношением 2х1+х2=3. х2-2х+а=0. По теореме Виета х1+х2=а и х1 х2=2.Составляю систему:  Решая эту систему, получаю, что х1=1, х2=1. Тогда а=1. Ответ: а=1. ^ Системы линейных уравнений вида  1) имеют единственное решение, если   ;2) не имеют решений, если  =  ;3) имеют бесконечное множество решений, если == .Пример 9. Найти все значения параметра а, при котором система имеет бесконечное множество решений:  Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие:  =  =  .1) = ;ОДЗ: а 0, а-3.(а+1)(а+3)=8а, отсюда а2-4а+3=0. D>0, а1=1 и а2=3. Оба значения входят в область допустимых значений. 2) = ;ОДЗ: а ; а-3.4а(а+3)=8(3а-1), отсюда а2-3а+2=0. D>0, а1=2 и а2=1. Оба значения входят в область допустимых значений. 3) =;ОДЗ: а ; а0.4а2=(а+1)(3а-1), отсюда а2-2а+1=0, (а-1)2=0, а=1. Ответ: при а=1 система имеет бесконечное множество решений. Пример 10. При каких m и n система а) имеет единственное решение; б) не имеет решений.  а) система имеет единственное решение, если   ;Это условие выполняется при m 6.б) система не имеет решений, если =  ;1) = , отсюда m=6.2)  , отсюда n8.3) , отсюда n  ; т.е. при m=6 n8.Ответ: а) при m 6 система имеет единственное решение;б) при m=6 и n 8 система не имеет решений.^ Пример 11. Решить уравнение х2-4х+2=а. Рассмотрим функцию у1= х2-4х+2, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Для удобства построения выделим полный квадрат у=(х-2)2-2. Вершиной параболы является точка с координатами (2;-2). Рассмотрим функцию у2=а. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси ОХ. Так как параметр содержится в уравнении прямой, то решение уравнения будет зависеть от расположения данной прямой. Построим графики рассматриваемых функций: у1= х2-4х+2 и у2=а.  По графикам построенных функций можно сделать следующий вывод: при а<-2 уравнение не имеет корней; при а=-2 уравнение имеет единственный корень, х=2; при а>-2 уравнение имеет два корня. При графическом способе решения данного уравнения мы легко определили количество корней в зависимости от значения а. Однако не всегда удается найти их аналитическое значение, как в случае при а>-2. Найдем значение этих корней аналитическим способом. Если а>-2, то D > 0. Находим корни по формуле: х1,2=  х1,2=2±  Ответ: если а<-2, то уравнение не имеет корней; если а=-2, то х=2; если а>-2, то х1,2=2± .Пример12 . Найти все значения параметра а, для которых вершины парабол у1= х2-2(а+1)х+1 и у2= ах2-х+а лежат по разные стороны от прямой у=  . Решение данной задачи начнем с анализа графической модели. Рассмотрим функцию у1= х2-2(а+1)х+1, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Графиком функции у2= ах2-х+а является парабола, направление ветвей которой будет зависеть от значения параметра а. Согласно условию задачи схематично можно изобразить четыре возможных варианта:  Найдем координаты вершин парабол: хв1=а+1; ув1=1-(а+1)2. хв2=  ; ув2= ,4,а-2.-1-4а..Согласно схематичным чертежам записываем четыре системы неравенств:  Рассмотрим более подробно решение первой системы . Преобразование остальных систем аналогично , отличается только знаками:  Рационально далее решить систему методом интервалов:  Система решений не имеет.  Объединяя решения систем получаем ответ:  Пример 13. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х2+х+а=0 действительные, различные и оба больше а. Рассмотрим функцию у= х2+х+а, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы хв=-  .Графическая интерпретация данной задачи:  По условию задачи уравнение имеет два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда: ,,D>0,-f,a.>0,-,x-в.>a;..⇒ ,,D>0,-f,a.>0,-,x-в.>a;..  Ответ: (-  ; -2).Пример 14. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2+2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны. Корни уравнения неотрицательны, значит они могут принимать значения больше либо равные нулю, не сказано, что корни различны, следовательно это могут быть два совпавших корня. Графическая интерпретация данной задачи:  Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно ,,D≥0,-f,0.≥0,-,x-в.>0, a>0... или ,,D≥0,-f,0.≤0,-,x-в.>0, a<0... Решая системы методом интервалов, получаем, что решением первой системы является пустое множество, а решением второй системы - ,-2,25;-2. Ответ: а   ,-2,25;-2..Пример15. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2-(а+1)х+а+3=0 имеют разные знаки. Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах2-(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах2-(а+1)х+а+3 принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи:  Тогда искомое условие задачи имеет вид:  Ответ: а (-3;0).Пример16. При каких значениях параметра а, корни уравнения х2-ах+2=0 принадлежат отрезку  ?При требуемом условии расположения корней квадратного трехчлена х2-ах+2 соответствующая парабола располагается следующим образом:  Решение данной задачи определяется условием: ,,D≥0,-f,0.≥0; f,3.≥0,-0≤,x-в.≤3;..⇔ ,,,а-2.-8≥0,-11-3а≥0,-0≤,а-2.≤3... Решаем систему методом интервалов, откуда получаем, что а ,2,-2.;,11-3.. .Ответ: а ,2,-2.;,11-3.. .Заключение. Таким образом, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и системы уравнений с параметрами и сделала следующие выводы:
Подготовка реферата позволила мне узнать много нового и интересного, подробно познакомиться с вопросами, которые на уроках изучаются кратко. Оформление реферата способствовало совершенствованию и закреплению полученных мною на уроках информатики умений и навыков по редактированию и форматированию текстовых документов. Я могу сказать, что научилась решать уравнения с параметрами, но не хочу останавливаться на достигнутом и в следующем году собираюсь продолжить работу по этой теме и рассмотреть примеры тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений с параметрами. Список литературы. 1. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990. 2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач.Учеб. пособие для 10 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1989. 3. Васильев Ю.С., Витовтов П.Г. и др. Математика. Система дистанционного образования. Часть 1. Учебно-практическое пособие. – Челябинск: 2000. 4. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика. -1999, №5. 5. Мещерякова Г.В. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. –Математика в школе. №5, 2001. 6. Большой энциклопедический словарь. Математика. – М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998.
|
средне
2отлично
2 Разместите кнопку на своём сайте или блоге: