Реферат Тема: «Решение задач с параметрами» icon

Реферат Тема: «Решение задач с параметрами»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Программа по курсу «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для 9 классов...
Программа по курсу «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для 9 классов...
Тема урока: Квадратные неравенства. Задачи с параметрами...
Реферат Элективный курс «Решение задач с параметрами»...
Элективный курс по математике «Уравнения с параметрами»...
Элективный курс «От задач простых к задачам более содержательным» (для учащихся 11-х классов)...
Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович...
Рабочая программа элективного курса по математике Уравнения и неравенства с параметрами 10 класс...
Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами»...
Программа элективного курса «Решение задач с параметрами»...
Тема : «Решение задач» (1 класс)...
Урока: решение комплексных задач по теме «Электрическое поле»...



Загрузка...
скачать


Реферат


Тема: «Решение задач с параметрами»

Выполнила ученица 10 класса МОУ СОШ №1 г.Карталы Челябинской области, Алтынбаева Дарина.


Оглавление.


Введение.

  1. Аналитический способ решения задач с параметрами.

    1. Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.

    2. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

    3. Системы линейных уравнений с параметрами.




  1. Применение графического способа при решении задач с параметрами.

Заключение.

Список литературы.


Введение.


Большинство жизненных задач

                                                            решаются как алгебраические

                                                           уравнения: приведением их к

                                                 самому простому виду.

 

                                                               ^ Толстой Л. Н. “Круг чтения”.


 

 

Толковый словарь определяет  параметр как величину, характеризующую какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или  явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю.  Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров - это  всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Перед выбором мы стоим  и в различных жизненных ситуациях.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Выполняя данную работу, я ставила цель расширить свои математические представления о приёмах и методах решения задач с параметрами, развивать логическое мышление и навыки исследовательской деятельности.

В своем реферате я рассмотрела основные типы задач с параметрами:

  • уравнения и их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству;

  • уравнения и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра;

  • уравнения и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений.

В первой части моего реферата я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения уравнений и систем уравнений с параметрами, а во второй – графический метод.

Я думаю, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче ЕГЭ по математике.


^ 1. Аналитический способ решения задач с параметрами.


Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.

Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнение с параметром задает множество уравнений.

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

  • исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;

  • найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.



^ 1.1. Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.


Уравнение вида ах + в = 0, где а и в – некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если а0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х=.

Если а=0 и в=0, переписав исходное уравнение в виде ах=-в, легко видеть, что любое х является решением линейного уравнения.

Если а=0 и в0, то линейное уравнение не имеет корней.


Пример 1. Решить уравнение с параметром:


1) ах=0.

Решение. Если а=0, то 0х=0; х - любое действительное число.

Если а0, то х = = 0.

Ответ: если а=0, х - любое действительное число;

если а0, то х = 0.


2) х + 2 = ах.

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду х(1-а) = -2.

Если 1-а =0,т.е. а=1, то получим уравнение х0=-2, которое не имеет корней.

Если 1-а0,т.е. а1, то уравнение имеет единственный корень

х=.

Ответ: если а1, то х=;

если а=1,то уравнение не имеет корней.

3) (а2 -1)х=2 а2 + а -3.

Решение. Приведем данное уравнение к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1).

Если а=1, то уравнение принимает вид 0х=0, его решением является любое действительное число.

Если а=-1, то уравнение принимает вид 0х=-2, это уравнение не имеет решений.

Если а1, то уравнение имеет единственное решение х=.

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Ответ: если а=1, то х- любое действительное число;

если а=-1, то уравнение не имеет решений;

если а1, то х=.


Пример 2. Решить относительно х уравнение


+ = .


Решение. Из условия следует, что (а-1)(х+3)0, т.е. а1, х-3.

Умножив обе части данного уравнения на (а-1)(х+3), получим уравнение

3ах-5+ (3а-11)(х+3)=(2х+7)(а-1), или х(4а-9)=31-2а.

При а2,25 х=.

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х=-3.

=-3 при а=-0,4.

Таким образом, при а2,25, а1 и а-0,4 данное уравнение имеет единственное решение х=.

При а=2,25, а=-0,4 и а=1 уравнение решений не имеет.

Замечание: если при каком-либо значении параметра данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение не верно.

Ответ: если а2,25, а1 и а-0,4, то х=;

если а=2,25, а=-0,4 и а=1,то уравнение решений не имеет.


Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное множество решений?

6(ах-1)-а=2(а+х)-7.

Решение. Приведем данное уравнение к виду 2х(3а-1)=3а -1.

Если 3а-10,т.е. а, то х=.

Если 3а-1=0, т.е. а=, то уравнение примет вид 2х0=0, его решением является любое число.

Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а=.


Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?


=2а.

Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8.

Если 5+2а0,т.е. а-, то х=.

Если 5+2а =0,т.е. а =-, то уравнение примет вид х0=-18, это уравнение не имеет решений.

Ответ. уравнение не имеет решений при а =-.


^ 1.2. Квадратные уравнения, содержащие параметр.


Уравнение вида ах2+вх+с=0, где а,в,с –некоторые числа (а0), х-переменная, называется квадратным уравнением.

Для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D= b2-4ac.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень:


х=- (или два, но сливающихся корня х12).

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:


х1 = ; х2 = .

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.


Если один из коэффициентов в или с равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1. в=0, с0; <0, то х1,2= .

2. в0, с=0, то х1=0, х2=-.


Следующие теоремы также помогают при решении квадратных уравнений с параметрами.


^ Теорема Виета (прямая) утверждает: если х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2+вх+с=0, то выполняются соотношения:

х12=- и х1х2=.


^ Обратная теорема утверждает: если для некоторых постоянных а, в, с существуют числа х1 и х2, удовлетворяющие соотношениям

х12=- и х1х2=, то эти числа х1 и х2 являются корнями уравнения ах2+вх+с=0.


Пример 5. Решить относительно х:


ах2-2х+4=0


Если а=0, тогда уравнение примет вид -2х+4=0, отсюда х=2.

Если а0, то D=4-16а.

Если 4-16а≥0, т.е а≤, х1,2=

Если 4-16а<0, т.е. а>, то уравнение не имеет решений.

Ответ: если а=0, то х=2;

если а0 и а≤, то уравнение имеет два решения х1,2=

если а0 и а>, то уравнение не имеет решений.


Пример 6. При каких значениях а уравнение ах2-х+3=0 имеет единственное решение?


Если а=0, тогда уравнение примет вид –х+3=0, отсюда х=3.

Если а0, то D=1-12а.

Уравнение будет иметь единственное решение при D=0.


1-12а=0, отсюда а=.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=0 или а=.


Пример 7. При каких значениях а уравнение ах2+4х+а+3=0 имеет более одного корня?


Если а=0, то уравнение примет вид 4х+3=0, которое имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Если а0, то D=16-4а2-12а.

Уравнение имеет более одного корня при D>0.


16-4а2-12а>0.

Рассмотрим функцию у=16-4а2-12а.

Найдем нули этой функции, решая уравнение 16-4а2-12а=0.

а1=-4; а2=1.

Функция принимает положительные значения, если -4<а<1.

Ответ: уравнение имеет более одного корня, если -4<а<0 и 0<а<1.


Пример 8. Найти коэффициент а, если корни уравнения х2-2х+а=0.

связаны соотношением 2х12=3.

х2-2х+а=0.

По теореме Виета х12=а и х1х2=2.

Составляю систему:




Решая эту систему, получаю, что х1=1, х2=1.

Тогда а=1.

Ответ: а=1.


^ 1.3. Системы линейных уравнений с параметром.


Системы линейных уравнений вида





1) имеют единственное решение, если ;


2) не имеют решений, если = ;


3) имеют бесконечное множество решений, если == .


Пример 9. Найти все значения параметра а, при котором система имеет бесконечное множество решений:




Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие:


= = .


1) = ;


ОДЗ: а0, а-3.

(а+1)(а+3)=8а, отсюда а2-4а+3=0.


D>0, а1=1 и а2=3. Оба значения входят в область допустимых значений.


2) = ;


ОДЗ: а; а-3.

4а(а+3)=8(3а-1), отсюда а2-3а+2=0.


D>0, а1=2 и а2=1. Оба значения входят в область допустимых значений.


3) =;


ОДЗ: а; а0.

2=(а+1)(3а-1), отсюда а2-2а+1=0, (а-1)2=0, а=1.


Ответ: при а=1 система имеет бесконечное множество решений.


Пример 10. При каких m и n система

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений.





а) система имеет единственное решение, если ;

Это условие выполняется при m6.


б) система не имеет решений, если = ;


1) = , отсюда m=6.


2) , отсюда n8.


3)  , отсюда n  ; т.е. при m=6 n8.


Ответ: а) при m6 система имеет единственное решение;


б) при m=6 и n8 система не имеет решений.


^ 2.Применение графического способа при решении задач с параметрами.


Пример 11. Решить уравнение х2-4х+2=а.

Рассмотрим функцию у1= х2-4х+2, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Для удобства построения выделим полный квадрат у=(х-2)2-2. Вершиной параболы является точка с координатами (2;-2).

Рассмотрим функцию у2=а. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси ОХ.

Так как параметр содержится в уравнении прямой, то решение уравнения будет зависеть от расположения данной прямой. Построим графики рассматриваемых функций: у1= х2-4х+2 и у2=а.

По графикам построенных функций можно сделать следующий вывод:

при а<-2 уравнение не имеет корней;

при а=-2 уравнение имеет единственный корень, х=2;

при а>-2 уравнение имеет два корня.

При графическом способе решения данного уравнения мы легко определили количество корней в зависимости от значения а. Однако не всегда удается найти их аналитическое значение, как в случае при а>-2.

Найдем значение этих корней аналитическим способом.

Если а>-2, то D > 0.

Находим корни по формуле: х1,2=


х1,2=2±

Ответ: если а<-2, то уравнение не имеет корней;

если а=-2, то х=2;

если а>-2, то х1,2=2±.


Пример12 . Найти все значения параметра а, для которых вершины парабол у1= х2-2(а+1)х+1 и у2= ах2-х+а лежат по разные стороны от прямой у=.

Решение данной задачи начнем с анализа графической модели.

Рассмотрим функцию у1= х2-2(а+1)х+1, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Графиком функции у2= ах2-х+а является парабола, направление ветвей которой будет зависеть от значения параметра а.
Согласно условию задачи схематично можно изобразить четыре возможных варианта:




Найдем координаты вершин парабол:

хв1=а+1; ув1=1-(а+1)2.


хв2=; ув2= ,4,а-2.-1-..

Согласно схематичным чертежам записываем четыре системы неравенств:



Рассмотрим более подробно решение первой системы . Преобразование остальных систем аналогично , отличается только знаками:




Рационально далее решить систему методом интервалов:

Система решений не имеет.
Объединяя решения систем получаем ответ:



Пример 13. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х2+х+а=0 действительные, различные и оба больше а.

Рассмотрим функцию у= х2+х+а, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы хв=-.
Графическая интерпретация данной задачи:



По условию задачи уравнение имеет два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда:

,,D>0,-f,a.>0,-,x-в.>a;..,,D>0,-f,a.>0,-,x-в.>a;..



Ответ: (-; -2).

Пример 14.  Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2+2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны.

Корни уравнения неотрицательны, значит они могут принимать значения больше либо равные нулю, не сказано, что корни различны, следовательно это могут быть два совпавших корня.

Графическая интерпретация данной задачи:





Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно

,,D≥0,-f,0.≥0,-,x-в.>0, a>0... или ,,D≥0,-f,0.≤0,-,x-в.>0, a<0...

 Решая системы методом интервалов, получаем, что решением первой системы является пустое множество, а решением второй системы - ,-2,25;-2.

Ответ: а ,-2,25;-2..


Пример15.   Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2-(а+1)х+а+3=0  имеют разные знаки.

Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах2-(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах2-(а+1)х+а+3  принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи:



Тогда искомое условие задачи имеет вид:



Ответ: а (-3;0).


Пример16. При каких значениях параметра а, корни уравнения     х2-ах+2=0 принадлежат отрезку ?

При требуемом условии расположения корней квадратного трехчлена х2-ах+2 соответствующая парабола располагается следующим образом:



Решение данной задачи определяется условием:

,,D≥0,-f,0.≥0; f,3.≥0,-0≤,x-в.≤3;..,,,а-2.-8≥0,-11-3а≥0,-0≤,а-2.≤3...

Решаем систему методом интервалов, откуда получаем, что а ,2,-2.;,11-3.. .

Ответ: а ,2,-2.;,11-3.. .


Заключение.

Таким образом, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и системы уравнений с параметрами и сделала следующие выводы:

  • при решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный «ключ» к решению задачи;

  • существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значения параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов.



Подготовка реферата позволила мне узнать много нового и интересного, подробно познакомиться с вопросами, которые на уроках изучаются кратко.

Оформление реферата способствовало совершенствованию и закреплению полученных мною на уроках информатики умений и навыков по редактированию и форматированию текстовых документов.

Я могу сказать, что научилась решать уравнения с параметрами, но не хочу останавливаться на достигнутом и в следующем году собираюсь продолжить работу по этой теме и рассмотреть примеры тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений с параметрами.


Список литературы.

1. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач.Учеб. пособие для 10 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1989.

3. Васильев Ю.С., Витовтов П.Г. и др. Математика. Система дистанционного образования. Часть 1. Учебно-практическое пособие. – Челябинск: 2000.

4. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика. -1999, №5.

5. Мещерякова Г.В. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. –Математика в школе. №5, 2001.

6. Большой энциклопедический словарь. Математика. – М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998.




Скачать 148,49 Kb.
оставить комментарий
Дата23.09.2011
Размер148,49 Kb.
ТипРеферат, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх