С очень давних времен. Самыми древними числами были натуральные (от латинского слова natur-природа). Понятие арифметических icon

С очень давних времен. Самыми древними числами были натуральные (от латинского слова natur-природа). Понятие арифметических


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Программа вступительных испытаний по математике 2011 г...
Программа по математике основного общего образования...
Сказка в 5 классе. «Повторение темы «Натуральные числа»...
Рассказыорусскихсвяты Х...
Двоичная арифметика...
Ромб происходит от латинского слова «ромбус»...
Урок математики в 5 классе...
Информация и информационные процессы Понятие информации...
«История предков всегда любопытна для того...
Понятие информации, виды информации, свойства информации...
Сорганическими веществами человек знаком с давних времен...
Программа вступительных испытаний...



Загрузка...
скачать
УДИВИТЕЛЬНОЕ СЛОЖЕНИЕ

Ткачева А. С.

5А, школа №1, г.Абай

рук. Акинфиева Л.М.


Необходимость выполнять арифметические действия (вычислять) так же. как и считать, диктуется практикой, самой жизнью. Умениями вычислять люди овладевали постепенно с очень давних времен. Самыми древними числами были натуральные (от латинского слова natur-природа).

Понятие арифметических действий в разные времена у разных народов было различным. Древние египтяне к арифметическим действиям относили сложение, удвоение и деление пополам. Позже некоторые европейские ученые (XIII в.) насчитывали 9 арифметических действий, в том числе и нумерацию.

Для обозначения арифметических действий сначала употреблялись слова, затем - буквы. Знаки « + », « —» и точка как знак умножения впервые употреблены в учебниках по арифметике в XV в., а знак деления (две точки)- в XVII в., но окончательно все эти знаки утвердились в работах выдающегося немецкого ученого Г. В. Лейбница (XVII в.).

Сложение – арифметическое действие, которое мы применяем с самых ранних лет, считая яблоки, конфеты. Казалось бы это самое простое из всех арифметических действий. Но насколько оно является простым, настолько и удивительным.

Первыми понятиями математики, с которыми столкнулись люди, были «меньше», «больше» и «столько же».Пришлось придумать названия для чисел. Недаром ведь го­ворят: «Без названия нет знания».

О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки разных племен и народов. И должно было пройти много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел.

Ученые считают, что сначала названия получили только числа 1 и 2. У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме «один» и «два». А все, что шло после двух, называлось «много». Но потом понадобилось называть и другие числа.

Позднее другие племена дали особое имя числительному, которое мы называем «три». А так как до того они считали «один», «два», «много», то это новое числительное стали при­менять вместо слова «много».

Иногда числом 3 обозначали весь окружающий человека мир — его делили на земное, подземное и небесное царства. Поэтому число 3 стало у многих народов священным.


Другие народы делили мир не по вертикали, а по горизон­тали. Они знали четыре стороны света — восток, юг, запад и север, знали четыре главных ветра. У этих народов главную роль играло не число 3, а число 4.

Пальцы оказались настолько тесно связанными со счетом, что на древнегреческом языке понятие «считать» выражалось словом «пятерить». Да и в русском языке слово «пять» на­поминает «пясть» — часть кисти руки

А научившись считать по пальцам до десяти, люди сделали следующий шаг вперед и стали считать десятками. Во многих языках слова «два» и «десять» созвучны. Может быть, это объясняется тем, что когда-то слово «десять» означа­ло «две руки».

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Говорили: собрали урожай «сам-двадцать» (в двадцать раз больше собрали, чем посеяли), «сам-сорок» и т. д. Наконец, когда добытое на охоте мясо жи­вотных или собранные орехи делили поровну между всеми членами племени, выполняли операцию деления.

Применявшиеся в древности обозначения чисел были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот для выполнения арифметических действий они никуда не годи­лись.

Разумеется, и египтянам, и вавилонянам, и грекам, и рим­лянам счет был нужен не сам по себе. С его помощью они ре­шали различные задачи, возникавшие у них в хозяйственных и военных делах.

Много интересных задач содержат и вавилонские клино­писные таблички. Такие задачи теперь тоже решают с помощью уравнений. Но эти уравнения куда сложнее, чем те, к которым приводят задачи из египетских папирусов.

Арабский математик Мухам­мед ибн Муса, родившийся в IX веке новой эры в средне­азиатском государстве Хорезме, в «Книге об индийском счете» подробно описал новую запись чисел. А кроме этого, он описал правила, по которым надо выполнять арифметические дей­ствия.

Сочинение Мухаммеда из Хорезма имело большой успех. По нему обучались новому методу счета во всем арабском мире, а он в те годы простирался от Северной Индии до Испа­нии.


Первое время в обозначениях чисел царил беспорядок. Не­которые ученые применяли индийский счет, но цифры обо­значали по-римски. В течение столетий ученые совершенствовали предложен­ные ал-Хорезми методы вычисления.

Истории математики известны случаи очень раннего проявления математических способностей.

Очень рано раскрылись дарования и у Карла Гаусса, позднее ставшего одним из крупнейших математиков XIX ве­ка (его даже называли «царем математиков»).

Рассказывают, что в возрасте трех лет он заметил ошибку, сделанную его отцом в расчетах. А семи лет мальчик пошел в школу.

В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий в математике.

Рассмотрим решение задач с применением метода Гаусса – удивительного метода.

Задача 1. Найдите сумму всех чисел от 1 до 10.

Решение:

+1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

10+ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

11+11 +11+11+11+11+11+11+11+11

Итак, получилось 10 пар, по11, но так как числа брали 2 раза, то надо 10 : 2 =5. Значит 11* 5 =5

Задача 2. Найдите сумму всех чисел от 1 до 20.

Решение:

Можно составить пары из чисел.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…=(1+20)+(2+19)+(3+18)+(4+17)+(5+16)+(6+15)+(7+14)+(8+13)+(9+12)+(10+!1)=21*10=210

Задача 3. Найдите сумму всех чисел от 1 до 100.

Решение:

+ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+100

100+ 99+ 98+ 97 + 96+ 95+ 94 + 93 + 92+ 91+… +1

101+ 101+101+101+1 01+101+101+ 101+ 101+101+…+101

В каждой сумме получилось по 110, но т.к. чисел всего 100, а брали их по два раза. Значит их надо разделить на 2.

101 * (100:2)

Задача 4. Найдите сумму: 20+40+60+80+…+460+480+500.

Алгоритм:

1.Найдем, сколько всего чисел в этой последовательности. Так как, здесь записана сумма чисел, которые делятся на 20, начиная с 20 до 500.Поэтому найдём их количество: 20а=500, а=25.Всего 25 пар.

2.Найдём сумму первого и последнего числа: 20+500=520

3. Вычислим непосредственно сумму по формуле:

Сумма чисел = (сумма первого и последнего числа)* количество пар): 2

(520*25):2=4160

Задача 5.Найдите сумму:30+60+90+…+540+570+600

Решение:

1. 30а=600, а=20

2. 30+600= 630

3.630*(20:2)=6300

Задача 6. Найдите сумму: 6+12+18+…+90+96.

Решение:

1.6а=96,а=102

2.6+96=102

3.102*(16:2)=816

Задача 7. Найдите сумму: 100+200+300+400+…+900+1000

Решение:

1.100а= 1000,а=10

2.100+1000=1100

3. 1100*(10:2)=5500

Задача 8. Найдите сумму: 150+250+350+450+…+950.

Решение:

(150+950)+(250+850)+(350+750)+(450+650)+550=1100*4=550=4950

1.50а=950,а=19.Нотак как здесь сумма начинается не с 50, и не со 100,а со 150.Значит нужно исключить числа 50.100,200,300,400,500,600,700,800,900.Их всего 10.19-10=9

2.150+950=1100

3.1100*9:2=4950

Задача 9. Какой цифрой оканчивается сумма всех трёхзначных чисел?

Решение:

100+101+102+…+998+999=(101+999)+(102+998)+…+(549+551)+(100+55)

Каждая сумма в скобках оканчивается нулём. Поэтому сумма всех трёхзначных чисел тоже оканчивается нулём.

Задача 10. Вычислите сумму всех нечётных чисел, находящихся в первой тысяче.

Решение:

1+3+5+…+997+999=(1+999)+(3+997)+(5+995)+…(499+501)=1000*250=250000

Всего от 1 до 1000 – 1000(тысяча), нечётных и чётных наполовину. Значит нечётных чисел в первой тысяче 500. Пар слагаемых, заключённых в скобки – 250.

Задача 11. Вычислите наиболее удобным способом: 99-97+95-93+…+3-1

Решение:

Нечётных чисел в первой сотне 50. Всего пар слагаемых 25, значит (99-97)+(95-93)+…+(3-1)= 2*25= 50

Задача 12.Вычислите наиболее удобным способом: 101-99+97-95+93-…5-3+1

Решение:

Нечётных чисел в первой сотне 50, но добавилось число 101, значит 51 нечётное число, но 1 не образовало пары, значит, пар будет 25, и 1 отдельно (101-99)+(97-95)+(93-91)+…+(5-3)+1= 2*25+1=51

Задача 13. Вычислите сумму: 1+1+2+3+5+…+144=?

Решение:

Сначала нужно найти закономерность. Каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.

Например, 1+1=2, 1+2=3, 3+5=8 и т.д. Получаем следующую сумму: 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144 = 377.

Заключение.

В данной исследовательской работе содержится информация, необходимая для понимания свойств, некоторых методов сложения. В ней рассматриваются не только история возникновения и развития арифметики и алгебры в целом, значение арифметических действий, но подробно анализируется метод сложения Гаусса – удивительный метод. Проект позволяет пятиклассникам углубленно изучить материал о сложении, его свойствах и методах, что в дальнейшем поможет им быстро вычислять, решать логические задания по данной теме, разовьёт наблюдательность и мышление.


Литература:

1. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. –М., «Просвещение», 1989.

2. Д.В. Клименченко. Задачи по математике для любознательных. - М., «Просвещение», 1992.

3. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов. - М., «Просвещение», 1989.

4. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка. - М., «Просвещение», 1984.

5. И.Л. Никольская, Е.Е. Семенов. Учимся рассуждать и доказывать. - М., «Просвещение», 1989.

6. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. Задачи на смекалку. – М.




Скачать 85.46 Kb.
оставить комментарий
Дата23.09.2011
Размер85.46 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх