«Задачи по геометрии» (методическая разработка) Нижний Новгород, 2004 «Задачи по геометрии» (методическая разработка по курсу “ Геометрия и алгебра”) icon

«Задачи по геометрии» (методическая разработка) Нижний Новгород, 2004 «Задачи по геометрии» (методическая разработка по курсу “ Геометрия и алгебра”)


2 чел. помогло.
Смотрите также:
Рабочая программа по дисциплине ен. Ф. 01. 1 «Алгебра и геометрия» для направления 230100...
Методическая разработка к задаче "Практикума колебаний"...
Конспект лекций по курсу «теория чисел» Методическая разработка...
«Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках геометрии»...
Методическая разработка открытого мероприятия- праздника с использованием икт «путешествие к...
Методическая разработка по теме «Задачи на проценты на уроках и в жизни»...
Методическая разработка microsoft...
Методическая разработка темы по геометрии в 11-м классе: "Цилиндр. Конус. Шар"...
Методическая разработка по курсу «системы принятия решений» Нижний Новгород, 2010...
Требования к оформлению методических разработок (докладов) Методическая (научно-методическая...
«Право на выбор»...
Методическая разработка курса по выбору по теме «Элементы проективной геометрии в решении задач...



Загрузка...
скачать


Министерство образования Российской Федерации


Нижегородский государственный университет

им. Н.И.Лобачевского


Факультет вычислительной математики и кибернетики


Кафедра математической логики и высшей алгебры


«Задачи по геометрии»


(методическая разработка)


Нижний Новгород, 2004


«Задачи по геометрии»


(методическая разработка по курсу

“ Геометрия и алгебра”)


Составители: Лариса Георгиевна Киселева


Михаил Михайлович Шульц


Подписано к печати Формат 60х84 1/16.

Печать офсетная. Бумага газетная. Усл. печ. л. 3. Тираж 500 экз. Заказ .

Бесплатно.

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского.

603600, ГСП-20, Н.Новгород, просп. Гагарина, 23.

Типография ННГУ, 603000, Н.Новгород, ул. Б. Покровская, 37.
^

1. Уравнения линий на координатной плоскости




Основы теории.

В декартовой системе координат

расстояние между точками M1(x1,y1) и M2(x2, y2) равно

,

расстояние между точкой M(x, y) и прямой x = a равно |x a|,

расстояние между точкой M(x, y) и прямой y = b равно |y b|.


1.1. Даны две точки A и B, расстояние между которыми равно 2c. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до точек A и B равна 2a2 при условии, что a > c. (Мод 291)

1.2. Даны две точки A и B, расстояние между которыми равно 2c. Найти геометрическое место точек, абсолютная величина разности квадратов расстояний которых до точек A и B равна 4a2 ( Мод 292)

1.3. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух противоположных вершин заданного прямоугольника равна сумма расстояний до двух других противоположных вершин этого прямоугольника. (Мод 297)

1.4. Найти геометрическое место точек, для которых квадрат расстояния до двух точки пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых в k раз больше произведения их расстояний до этих прямых. Рассмотреть случаи k = 2 и . k = 2,5. (Мод 304)

1.5. Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до прямых, на которых лежат две противоположные стороны квадрата, равно произведению расстояний до прямых, на которых лежат две другие стороны квадрата. (Мод 306)

1.6. Даны две различные точки A и B и положительное число k. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых до точек A и B равно k. (Мод 298)


1.7. Даны две точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2c. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до точек F1 и F2 равна 2a при условии, что a > c. (Мод 315)

1.8. Дана окружность x2.+ y2 = a2 . Во что превратиться эта окружность, если, не меняя абсцисс ее точек. Уменьшить их ординаты в k раз. (Мод 319)

1.9. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Точка M делит этот отрезок на две части, длины которых a и b. Найти линию, описываемую точкой M при движении отрезка. (Мод 318)

1.10. Даны две точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2c. Найти геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до точек F1 и F2 равна 2a при условии, что a < c. (Мод 321)

1.11(Мод 322-323). Дана точка F, прямая d и положительное число . Найти геометрическое место точек, отношение расстояния которых от точки F к расстоянию от прямой d равно . Указание. При  1 взять точку F(c,0), прямую d с уравнением При = 1 взять точку , прямую d с уравнением. (Мод 322-323)
^

2. Линейные операции с векторами


Основы теории.

Базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов e1 e2. Координатами вектора a в базисе e1, e2 называются коэффициенты a1a2  в разложении этого вектора по базису: a = a1e1+a2e2. Координаты вектора определяются однозначно. Если базис зафиксирован, вектор можно кратко записать через его координаты a = {a1, a2}.

Базис в трехмерном пространстве состоит из трех некомпланарных векторов e1, e2, e3. Координатами вектора a в базисе e1, e2, e3 называются коэффициенты a1, a2, a3 в разложении этого вектора по базису:


a=a1e1+a2e2+a3e3. Координаты вектора определяются однозначно. Если базис зафиксирован, вектор можно кратко записать через его координаты a = {a1, a2, a3}.

При сложении (вычитании) векторов соответствующие координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Это справедливо как для координат на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Система координат на плоскости (в трехмерном пространстве) определяется заданием начальной точки O и базиса e1, e2 (e1, e2, e3). Ориентированные прямые, несущие базисные векторы, называются осями координат. Обычно их обозначают Ox, Oy, Oz.

С каждой точкой M связывают ее радиус-вектор . Его координаты в базисе, связанном с системой координат, называются координатами точки M. Если = xe1+ye2+ze3, координаты точки M записываются в виде M(x,y,z). (На плоскости сохраняются только координаты x,y). Если заданы две точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2), то вектор

={x2x1, y2y1, z2z1} (правило “конец минус начало”).


2.1. Две перпендикулярные прямые, проходящие через точку M, пересекают окружность в точках A,B и C,D. Доказать, что . (Бур 388)

2.2. В параллелограмме ABCD точка K – середина отрезка BC, а точка O – точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы и найти в этом базисе координаты векторов (Бек 1.12)

2.3. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая за базисные векторы и найти в этом базисе координаты векторов (Бек 1.16)

2.4. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы и найти координаты вершин шестиугольника и его центра. (Бек 1.20)

2.5. В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и BC равно 4. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы и найти координаты вершин трапеции, точки M пересечения ее диагоналей и точки S пересечения продолжений боковых сторон.

(Бек 1.21)

2.6. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы найти координаты

1) вершин C, B1 и C1;

2) точек K и L – середин ребер A1B1 и CC1 соответственно;

3) точек M и N пересечения диагоналей граней A1B1C1D1 и ABB1A1 соответственно;

4) точки O пересечения диагоналей параллелепипеда.

(Бек 1.22)

2.7. Векторы = a и = b служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить векторы через векторы a и b. (Мод 1)

2.8. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Представить векторы в виде линейных комбинаций векторов . Найти сумму векторов (Мод 4-5)

2.9. Точки K и L служат серединами сторон и параллелограмма ABCD. Выразить векторы через векторы (Мод 8)

2.10. В плоскости треугольника ABC найти такую точку M, что сумма векторов равна нулю. Указание. Выразить радиус-вектор через радиусы-векторы (Мод 9)

2.11. Докажите, что точка M из задачи Мод 9 является точкой пересечения медиан треугольника ABC. (Доп 1)

2.12. В плоскости треугольника ABC найти такую точку M, что сумма векторов = 0. (Бур 380)

2.13. На стороне треугольника AD параллелограмма ABCD отложен вектор , а на диагонали AC – вектор . Докажите, что векторы и коллинеарны и найдите коэффициент  в соотношении .(Мод 11)

2.14. В тетраэдре ABCD найти такую точку M, что сумма векторов равна нулю. Указание. Выразить радиус-вектор через радиусы-векторы (Доп 2)

2.15. Медианой тетраэдра ABCD называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Доказать, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3:1, считая от вершины. Указание. Эта точка совпадает с точкой M из задачи 2.14. (Доп 3)

2.16. Один из концов отрезка AB находится в точке A(2,3), его серединой служит точка M(1,–2). Найти другой конец отрезка. (Мод 90)

2.17. Даны середины сторон треугольника (2,4), (–3,0), (2,1). Найти его вершины. (Мод 91)

2.18. Точка M пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины треугольника – точки A(2,–3) и B(–5,1), третья вершина C лежит на оси ординат. Найти точки M и C. (Кле 109)

2.19. Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD: A(–4,–7), B(2,6) и точка пересечения диагоналей M(3,1)..Найти две другие вершины параллелограмма. (Мод 92)

2.20. Даны две вершины треугольника ABC: A(–4,–1,2) и

B(3,5,–16). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на оси Ox, а середина стороны BC – на плоскости Oyz. (Мод 109)

2.21. Найти отношение, в котором плоскость Oyz делит отрезок AB, если A(2,–1,7), B(4,5,–2). (Мод 110)

2.22. Определить координаты концов отрезка, который точками C(2,0,2) и D(5,–2,0) разделен на три равные части. (Кле 742)

2.23. Найти координаты центра тяжести проволочного треугольника со сторонами 3, 4, 5. Ось^ Ox направлена по меньшему катету, ось Oy – по большему катету. Указание. Центр тяжести однородного отрезка – его средина. Если имеется система отрезков с длинами L1, L2, и центрами тяжести C1, C2,, то радиус-вектор точки C – центра тяжести системы можно найти по формуле.

(Мод 106)
^

3.Скалярное произведение


Основы теории.

Скалярным произведением векторов a и b называется число (скаляр) (a, b) = |a||b|cos (угол  берется между векторами a и b, отложенными от одной точки).

Свойства скалярного произведения:

  1. (a, b) = (b, a) – коммутативность;

  2. k (a, b + c)= (a, b) + (a, c) – дистрибутивность;

  3. если (a, b) = 0, то векторы a и b ортогональны;

  4. (a, a)= |a|2 – скалярный квадрат вектора (квадрат длины).

В ортонормированном базисе, состоящем из попарно ортогональных единичных векторов скалярное произведение векторов

 a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} выражается формулой

(a, b) = a1 b1+a2 b2+a3 b3

Модуль вектора (длина) a={a1,a2,a3} выражается формулой |a|=.

Косинус угла  между векторами a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} выражается формулой



Если вектор a = {a1, a2, a3} образует с векторами ортонормированного базиса e1, e2, e3 углы 1, 2, 3 соответственно, то величины cos 1, cos 2, cos 3 называются направляющими косинусами вектора a. Эти величины связаны с координатами вектора соотношениями:

Для направляющих косинусов выполняется равенство:

cos21,+cos22+cos23 =1

(трехмерное обобщение основного тригонометрического тождества)

Для векторов на плоскости во всех приведенных формулах сохраняются только первые две координаты.


3.1. Дан равносторонний треугольник A,B,C длины сторон которого равны 1. Вычислить . (Мод 131)

3.2. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Вычислить (Мод 133)

3.3. Даны два вектора a и b. Представить вектор b в виде суммы двух векторов x и y так, чтобы вектор x был коллинеарен вектору a, а вектор y ортогонален вектору a. (Мод 141)

3.4. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора {–14,2,5} на прямую с направляющим вектором {2,–2,1}. (Мод 148)

3.5. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора {8,4,1} на плоскость, перпендикулярную вектору {2,–2,1}. (Мод 149)

3.6. Найти внутренние углы треугольника с вершинами A (1,2,3), B (3,0,4), C (2,1,3). (Мод 152)

3.7. Даны вершины треугольника A(1,2,–1), B(2,–1,3) и
C(–4,7,5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине B. (Кле 743)

3.8. Вычислить углы 1, 2, 3, образовванные противоположными ребрами тетраэдра с вершинами A (3,–1,0), B (0,–7,3),
C (–2,1,–1), D (3,2,6). (Мод 154)

3.9. Найти угол между двумя векторами = 2m + 4n и
b = mn, где m и n – единичные векторы, угол между которыми равен 120о. (Бур 424)

3.10. Найти угол между двумя биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла. (Бур 443)

3.11. Луч образует со всеми осями декартовой системы координат равные углы. Какие значения может иметь этот угол ? (Доп 4)

3.12. Луч образует с осью Ox декартовой системы координат угол , а с осью Oy – угол . Какие значения может иметь угол между этим лучом и осью Oz ? (Бур 457)

3.13. Даны два луча. Первый составляет с осями декартовой системы координат углы . Второй луч образует со всеми осями декартовой системы координат равные тупые углы. Найти угол между лучами. (Доп 5)

3.14. Доказать, что для произвольного прямоугольника ABCD и для произвольной точки M (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства:

1)

2) (Бек 2.17)

3.15. Доказать, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Указание. В треугольнике ABC взять точку H, в которой пересекаются высоты, проведенные из вершин A и B, ввести векторы . Из условий перпендикулярности и вывести условие перпендикулярности (Доп 6)

3.16. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (x,a) = p, а также его частного решения, коллинеарного вектору a.

1) в плоском случае;.

2) в пространственном случае.

(Бек 2.31)

3.17. Объяснить геометрический смысл.

1) решения системы векторных уравнений (x,a) = p, (x,b) = q (векторы a и b неколлинеарны);

2) решения системы векторных уравнений (x,a) = p, (x,b) = q, (x,c) = s (векторы a, b и c некомпланарны).

(Бек 2.32)

3.18. Дан произвольный тетраэдр ABCD. Доказать: если перпендикулярны ребра AB и CD, а также ребра AC и BD, то ребра AD и BC также перпендикулярны. (Бек 2.41)

3.19. Дан вектор a = {x, y}. Найти вектор a` = {x`, y`}, получающийся поворотом вектора a на заданный угол . (Доп 7)

3.20. Даны две соседние вершины квадрата A(–3, 2) и
B(2, 4). Найти две другие вершины. (Доп 8)

3.21. Даны две противоположные вершины квадрата
A(–3, 2) и C(5, –4). Найти две другие вершины этого квадрата. (Доп 9)
^

4. Векторное и смешанное произведения




Основы теории.

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c = [a, b], задаваемый следующими условиями:

  • |c|= |a||b|sin  (угол  берется между векторами a и b, отложенными от одной точки), модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях;

  • ca, cb;

  • тройка векторов <a, b, c> ориентирована так же, как базисная тройка < e1, e2, e3>.

Свойства векторного произведения:

  1. [a, b]= –[b, a] – антикоммутативность;

  2. для любого скаляра k [ka, b]= k[a, b];

  3. [a, b + c]= [a, b] + [a, c] – дистрибутивность;

  4. если [a, b] = 0, то векторы a и b коллинеарны.

В ортонормированном базисе, состоящем из попарно ортогональных единичных векторов, произведение c = [a, b] векторов
a
= {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} имеет координаты



Эти три формулы можно свести в одну, где векторное произведение выражается в виде “символического определителя”:

c = [a, b] =


Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, обозначаемое (a, b, c) = ([a, b], c). Смешанное произведение равно ориентированному объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Свойства смешанного произведения вытекают из свойств векторного и скалярного произведения. В частности, если

(a, b, c) = 0, то векторы a, b, c компланарны.

В декартовой системе координат смешанное произведение выражается через координаты сомножителей в виде определителя:

(a, b, c) =


4.1. Даны два луча. Первый составляет с осями декартовой системы координат углы . Второй луч составляет со всеми осями равные тупые углы. Третий луч перпендикулярен к двум данным и образует с ними положительно ориентированную тройку. Найти направляющие косинусы третьего луча (координаты единичного вектора, направленного по этому лучу). (Мод 185)

^ 4.2. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки A(–1,0,–1), B(0,2,–3), C(4,4,1). (Мод 189)

4.3. Однородная пластинка имеет форму четырехугольника ABCD с вершинами в точках A(3,1), B(7,3), C(0,4), D(–1,2). Найти площадь пластинки и координаты ее центра тяжести. Указание. Центр тяжести однородной треугольной пластинки – точка пересечения медиан; центр тяжести параллелограмма – точка пересечения диагоналей. Если имеется система площадок с площадями S1, S2, и центрами тяжести C1, C2,, то радиус-вектор точки C – центра тяжести системы, можно найти по формуле. (Бек 1.34)

4.4. Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника ABC равна ¾ площади треугольника ABC. (Бек 3.32)


4.5. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA’B’C’D’ находится в точке A(1,2,3), а концы выходящих из нее векторов – в точках B(9,6,4),

D (3,0,4), A’(5,2,6). Найти угол между диагональю AC’ и плоскостью грани ABCD этого параллелепипеда. (Мод 187)

4.6. Пусть A’, B’, C’, D – точки пересечения медиан граней BCD, CDA, ABD, ABC тетраэдра ABCD. Найти отношение ориентированного объема тетраэдра A’B’C’D’ к ориентированному объему тетраэдра ABCD. (Мод 188)

4.7. Вычислить объем параллелепипеда ABCDA’B’C’D’, зная его вершину A(1,2,3) и концы выходящих из нее ребер B(9,6,4), D(3,0,4), A’(5,2,6). (Мод 190)

4.8. Векторы a, b, c некомпланарны. При каких значениях скаляра  компланарны векторы + 2+ c, 4+ 5+ 6c, 7a + 8b + 2c ?

(Бек 3.21)

4.9. Из одной точки проведены три некомпланарных вектора

a, b, c. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна вектору [a, b] + [b, c] + [c, a]. (Мод 196)

4.10. При каком условии векторного уравнения [x, a] = b имеет решение? Объяснить геометрический смысл всех его решений, а также его частного решения, коллинеарного вектору [a., b]. (Бек 3.16)

4.11. Ко всем сторонам произвольного многоугольника построены внешние нормали, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Доказать, что сумма векторов внешних нормалей равна нулю. Указание. Если ввести единичный вектор p, перпендикулярный плоскости, в которой лежит многоугольник, то для вектора стороны ai вектор нормали ni =[p, ai]. Так как ai = 0, то и ni = 0. (Доп 7)

4.12. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных во внешнюю сторону, равна нулю. Замечание. Утверждение можно обобщить на любой многогранник, разбив его “грань в грань” на тетраэдры. Для выпуклого многогранника возможность такого разбиения легко доказать, а для невыпуклого “интуитивно правдоподобно”.(Бек 3.11)
^

5. Прямая на координатной плоскости




Основы теории.

Первый способ задания прямой на координатной плоскости предполагает, что известны начальная точка M0 и направляющий вектор

l = {, }  0. Тогда уравнение прямой в векторной форме имеет вид:

r – r0 = lt., где

r =– радиус-вектор “текущей точки” M(x,y);

r0 =– радиус-вектор начальной точки M0(x0,y0);

t параметр, каждому вещественному значению которого соответствует некоторая точка прямой.

В координатной форме параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид:

или

Если разрешить эти уравнения относительно параметра t и приравнять найденные выражения, то получится каноническое уравнение прямой на плоскости:





Здесь один из знаменателей (любой) может обратиться в нуль. Так, если  = 0, то и x – x0 = 0, – в этом случае прямая параллельна оси O y.

При  = 0 получается y – y0 = 0 – прямая параллельна оси O x.


Второй способ задания прямой на координатной плоскости предполагает, что известны начальная точка M0 и вектор нормалиn = {a, b}  0. Тогда уравнение прямой в векторной форме имеет вид:

^

(n, r – r0) = 0.

В координатной форме получаем общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку:

a(x – x0) + b(y – y0) = 0.

Если раскрыть скобки и обозначить –(ax0 + by0) через c, получиться общее уравнение прямой на плоскости:

^

ax + b y + c = 0.


Множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству

ax + by + c > 0 (или < 0) представляет собой одну из двух

полуплоскостей, на которые делит координатную плоскость прямая

a x + b y + +c = 0.

Расстояние от точки M(x0,y0) до прямой ax + by + c = 0 выражается формулой


Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими или нормальными векторами.

5.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(–3,4) и параллельной прямой

1) x – 2y + 5 = 0; 4) y = –1;

2) ; 5) x = 3 + t, y = 4 – 7t.

3) x =2;

(Бек 5.8)


5.2. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

  1. A(–3,1) и B(1,2); 3) A(0,2) и B(–1,0);

  2. A(2,1) и B(2,–5); 4) A(1,–3) и B(3,–3).

(Бек 5.9)

5.3. Установить взаимное расположение прямых данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения:

  1. x – 3y – 2 = 0 и 2x + y – 1 = 0;

2) x + 3y – 1 = 0 и 2 – 2x – 6y = 0;

3) –xy – 3 = 0 и 3x + 3y + 1 = 0;

4) x = 1 + 2t, y = 1 – 7t и x = 2 – t, y = 2 + t.

Замечание. Использование одной и той же буквы для обозначения параметра в уравнениях различных прямых может привести к ошибке. (Бек 5.10)

5.4. При каких a прямые ax – 4y = 6 и xay = 3:

1) пересекаются; 2) параллельны: 3) совпадают. (Бек 5.11)

5.5. При каких a три прямые ax + y = 1, xy = a, x + y = a2 имеют общую точку ? (Бек 5.12)

5.6. Площадь треугольника S = 8, две его вершины A(1,–2), B(2,3), а третья вершина C лежит на прямой 2x + y2 = 0. Определить ее координаты. (Кле 218)

5.7. Площадь треугольника S = 3/2, две его вершины A(2,–3),

B(3,–2), центр тяжести этого треугольника лежит на прямой

3xy8 = 0. Определить координаты третьей вершины C (Кле 218)

5.8. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями 7x – 5y – 11 = 0,

8x + 3y + 31 = 0, x – 8y – 19 = 0. (Кле 343).


5.9. Определить, лежит ли точка M(–3,2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями x + y – 4 = 0,

3x – 7y + 8 = 0, 4x – 3y – 31 = 0. (Кле 344)

5.10. Точка M(3,2) является центром параллелограмма, а его стороны лежат на некоторых четырех прямых. На каждой из этих прямых расположена одна из точек P(2,1), Q(4,-1), R(-2,0), S(1,5). Найти уравнения прямых. (Бек 5.14)

5.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1,2) так, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми 3x + y + 2= 0 и 4x + y – 1 = 0, в точке A делится пополам. (Бек 5.16)

5.12. Составить уравнение прямой, если точка P(2,3) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. (Кле 233)

5.13. Известны уравнения двух сторон треугольника 2xy = 0,

5xy = 0 и уравнение одной из его медиан 3xy = 0. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка (3,9), и найти координаты вершин треугольника. (Мод 377)

5.14. Дано уравнение x – 2y + 7 = 0 стороны треугольника и уравнения x + y – 5 = 0, 2x + y – 11 = 0 медиан, выходящих из вершин треугольника, лежащих на данной прямой. Составить уравнения двух других сторон треугольника. (Мод 379)

5.15. Известны уравнения двух сторон параллелограмма

xy – 1 = 0, x – 2y – 10 = 0 и точка пересечения его диагоналей M(3,–1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма. (Мод 391)

5.16. Стороны треугольника ABC заданы уравнениями

2xy + 2 = 0 (AB), x + y – 4 = 0 (BC), 2x + y = 0 (CA). Определить положение точек M(3,1), N(7,–6), P(3,2) относительно данного треугольника. (Мод 412)

5.17. Даны две вершины треугольника A(–10,2) и B(6,4), его высоты пересекаются в точке H(5,2). Найти третью вершину треугольника C. (Кле 267)


5.18. Дана точка P(–5,6). Найти ее проекцию на прямую

7x – 13y – 105 = 0. (Мод 423)

5.19. Найти точку, симметричную относительно прямой

2x – 3y + 18 = 0 точке M(–2,9). (Мод 424)

5.20. На прямой 2xy – 5 = 0 найти такую точку P, сумма расстояний которой до точек A(–7,1) и B(–5,5) наименьшей. Указание. Взять точку, симметричную одной из данных относительно прямой и применить неравенство треугольника: “сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны”. (Кле 251)

5.21. На прямой 3xy – 1 = 0 найти такую точку P, разность расстояний которой до точек A(4,1) и B(0,4) наибольшей. Указание. Аналогично 5.20, неравенство треугольника использовать в форме: “разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны”. (Кле 252)

5.22. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(4,–1), а также уравнения высоты 2x – 3y + 12 = 0 и медианы 2x + 3y = 0, проведенных из вершины A. (Кле 275)

5.23. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2,–7), а также уравнения высоты 3x + y + 11 = 0, проведенной из вершины A и медианы x + 2y – 7 = 0, проведенной из вершины C. (Кле 276)

5.24. Среди прямых, проходящих через точку P(3,0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми x – 2y – 3 = 0 и

x – 2y + 17 = 0, делился бы в точке P пополам. (Кле 280)

5.25. Через точку P(0,1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми 2x – y – 2 = 0 и x + y + 3 = 0, делится в точке P пополам.

(Кле 282)

5.26. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x + 3y – 1 = 0 под углом 45о. (Бур 586)

5.27. Составить уравнения прямых, параллельных прямой

5x + 12y – 1 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 5. (Мод 450)


5.28. Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3,5) на одинаковых расстояниях от точек A(–7, 3) и B(11,–15). (Кле 246)


5.29. Найти расстояние между параллельными прямыми

12x – 16y – 48 = 0 и 3x – 4y + 43 = 0. (Мод 451)


5.30. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми x + 2y = 0 и 2x – 11y + 30 = 0. (Мод 452)

5.31. Найти касательные к окружности с центром (1,1) и радиусом 3, параллельные прямой 5x – 12y = 0. (Мод 453)


5.32. Найти общие касательные к окружностям, центры которых находятся в точках (1,1) и (2,3), а радиусы соответственно равны 2 и 4. (Мод 455)

5.33. Найти центр С и радиус r круга, вписанного в треугольник со сторонами x + y + 12 = 0, 7x + y = 0, 7xy + 28 = 0. (Мод 455)

5.34. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2,6), а также уравнения высоты 3x – 4y + 27 = 0 и биссектрисы x + 2y – 5 = 0, проведенных из вершины A. (Кле 273)

5.35. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2,–1), а также уравнения высоты 3x – 4y + 27 = 0, проведенной из вершины A и биссектрисы x + 2y – 5 = 0, проведенной из вершины C. (Кле 274)


5.36. Составить уравнения сторон квадрата, зная его центр (1,6) и по точке на двух непараллельных сторонах: (4,9) на стороне ^ AB, (–5,4) на стороне BC. (Мод 472)

5.37. Доказать, что фигура, ограниченная прямыми
x – 3y + 1 = 0, x – 3y + 12 = 0, 3x + y – 1 = 0, 3x + y + 10 = 0, является квадратом и вычислить его площадь. (Бур 608)


  1. ^

    Плоскость и прямая в пространстве


Основы теории.

Первый способ задания плоскости предполагает, что известны

начальная точка M0 и два неколлинеарных вектора l1 = {1, 1,1}  0 и. l2 = {2,21,2}  0 . Тогда параметрическое уравнение плоскости в векторной форме имеет вид:

r – r0 = l1u + l2v, где

r =– радиус-вектор “текущей точки” M(x,y,z);

r0 =– радиус-вектор начальной точки M0(x0,y0,z0);

u и v – параметры; каждой паре их вещественных значений соответствует некоторая точка плоскости.
^

В координатной форме параметрические уравнения плоскости


или

Второй способ задания плоскости в трехмерном пространстве предполагает, что известны начальная точка ^ M0 и нормальный вектор

n = {a, b, c}  0. Тогда уравнение плоскости в векторной форме имеет вид:

(n, r – r0) = 0.

В координатной форме получаем общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0.

Если раскрыть скобки и обозначить –(ax0 + by0 + cz0) через d, получиться общее уравнение плоскости:

ax + by + cz + d = 0.


^

Множество точек пространства, удовлетворяющих неравенству

ax + by + cz + d > 0 (или < 0) представляет собой одно из полупространств, на которые делит пространство плоскость.

^

ax + by + cz + d = 0.

Расстояние от точки M(x0,y0,z0) до плоскости

ax + by + cz + d = 0 выражается формулой





Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами.

Первый способ задания прямой в трехмерном пространстве предполагает, что известны начальная точка ^ M0 и направляющий вектор

l = {, , }  0. Тогда уравнение прямой в векторной форме имеет вид:

r – r0 = lt., где

r =– радиус-вектор “текущей точки” M(x,y,z);

r0 =– радиус-вектор начальной точки M0(x0,y0,z0);

t – параметр, каждому вещественному значению которого соответствует некоторая точка прямой.
^

В координатной форме параметрические уравнения прямой в трехмерном пространстве имеют вид:


или


Если выразить параметр t из этих уравнений и приравнять полученные выражения, получатся канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве



Здесь один или два знаменателя могут обратиться в нуль.


Чтобы найти расстояние от прямой до точки M(x,y,z), надо разделить площадь параллелограмма, построенного на векторах l и , на модуль вектора l. В результате получится формула





Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами.

Второй способ задания прямой в трехмерном пространстве представляет собой систему уравнений, определяющих две непараллельные плоскости:



где нормальные векторы плоскостей n1 = {a1, b1, c1} и n2 = {a2, b2, c2} неколлинеарны.


6.1. Дана точка A(1,2,3).

  1. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку A и параллельных координатным плоскостям.

  2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A и параллельных осям координат.

  3. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку A и через оси координат.

  4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A и начало координат.

(Мод 491)

6.2. Дана точка A(1,2,3).

  1. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из точки A на координатные плоскости.

  2. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из точки A на оси координат.

  3. Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку A и перпендикулярных к осям координат.

(Мод 492)

6.3. В пространстве дана прямая . Найти направляющий вектор этой прямой. (Мод 493)

6.4. Найти ортогональные проекции прямой



на координатные плоскости O y z , O z x, O x y. (Мод 498)


6.5. Даны точки пересечения прямой с координатными плоскостями (0, y1,z1), (x2,0,z2). Вычислить координаты точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью Oxy. (Мод 499)

6.6. Через точки M1(–6,6,–5) и M2(12,–6,1) проведена прямая. Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями. (Кле 1011)

6.7. Написать общее уравнение плоскости по ее параметрическим уравнениям x = 2 + 3u – 4v, y = 4– v, z = 2 + 3u. (Мод 503)

6.8. В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью 2x + 3y – 5z + 10 = 0, вписан куб так, что одна из его вершин лежит в начале координат, три ребра, выходящие из этой вершины, направлены по осям координат, а вершина, противоположная началу координат, лежит в данной плоскости. Определить длину ребра куба. (Мод 506)

^ 6.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и равноудаленной от точек (2,7,3) и (–1,1,0). (Мод 510)

6.10. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору

l = {2,1,–1} и отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки 3 и 5 соответственно. (Кле 954)

6.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

(–2.3.0) и прямую x = 1, y = 2 + t, z = 2 – t. (Мод 514)

6.13. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (1.2.3) и пересекающей прямые и .

(Мод 516)

6.14. Показать, что прямые

x = 1 + 2t, y = 2t, z = t и x = 11 + 8t, y = 6 + 4t, z = 2 + t

пересекаются, написать уравнения биссектрисы тупого угла между ними. Замечание. Использование одной и той же буквы для обозначения параметра в уравнениях различных прямых может привести к ошибке. (Мод 517)


6.15. Проверить, лежит ли данная прямая в плоскости

x – 3y + z + 1 = 0, параллельна этой плоскости или пересекает ее в единственной точке (в последнем случае найти координаты точки пересечения). Прямая задана уравнениями:

1)

  1. x = 2 + 3t, y = 7 + t, z = 1 + t.

  2. xy + 2z = 0, x + y – 3z + 2 = 0.

  3. 3x – 2y – 1 = 0, 7y – 3z – 4 = 0.

  4. x = 2, y = 5 + t, z = 4 + 3t.

(Бек 6.23)

6.16. При каких a прямая :

  1. пересекает плоскость 3a2x + ay + z – 4a = 0;

  2. параллельна этой плоскости;

  3. лежит в этой плоскости.

(Бек 6.24)

6.17. Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения:

  1. x + z – 1 = 0, 3x + yz + 13 = 0 и x – 2y + 3 = 0, y + 2z – 8 = 0;

  2. x = 3 + t, y = –1 + 2t, z = 4 и x + y – z = 0, 2xy + 2z = 0;

  3. x = 2 + 4t, y = –6t, z = –1 – 8t и x = 7 – 6t, y = 2 + 9t, z = 12t;

  4. x = 9t, y = 5t, z = –3 + t и 2x – 3y – 3z – 9 = 0, x – 2y + z + 3 = 0;

  5. x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3 + 4t и x = 6 + 3t, y = –1 – 2t, z = –2 + t.

(Бек 6.25)


6.18. При каких a прямые

и :

  1. пересекаются;

  2. скрещиваются;

  3. параллельны;

  4. совпадают.

(Бек 6.26)


6.19. Найти проекцию точки P(1,2,1) на плоскость

3x + 7y – 2z + 5 = 0 и расстояние точки от плоскости. Найти также точку, симметричную P относительно плоскости. (Бур 682)


6.20. Найти проекцию точки P(1,2,3) на прямую x = 8 + 3t,

y = 1 + t, z = 6 – 2t и расстояние точки от прямой. Найти также точку, симметричную P относительно прямой. (Бур 698)


6.21. На плоскости 2x – 3y + 3z – 17 = 0 найти такую точку P, сумма расстояний которой до точек A(3,–4,7) и B(–5,–14,17) была бы наименьшей. Указание. См. 5.20. (Кле 1057)


6.22. На плоскости 2x + 3y – 4z – 15 = 0 найти такую точку P, разность расстояний которой до точек A(5,2,–7) и B(7,–25,10) была бы наибольшей. Указание. См. . 5.21. (Кле 1058)


6.23. Спроектировать на плоскость 2x – 2y + 3z – 5 = 0 прямую x = 3 + 5t, y = –1 + t, z = 4 + t. (Мод 584)


6.34. Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую

{3x + 2yz – 1 = 0, 2x – 3y + 2z – 2 = 0}на плоскость x + 4yz + 1 = 0. (Кле 1005)


6.35. Составить уравнения проекции прямой

{3x – 4y – 2z – 5 = 0, x + 2z – 2 = 0}на плоскость 2xy + z – 1 = 0.

(Кле 1006)

6.36. Найти угол между плоскостями:

  1. x + 4yz + 1 = 0 и x + yz – 3 = 0;

  2. x + 2yz = 1 и xy = 3;

  3. x + 2y – 2z = 0 и z = 5

(Бек 6.60)

6.37. Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым

.

Найти расстояние между этими прямыми и точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми. (Мод 585)

6.38. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный плоскостью 11x – 10y – 2z – 57 = 0 и плоскостями координат. (Мод 612)

6.39. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки M(2,–1,1) и N(1,2,–3) в одном, в смежных или в вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

  1. 3xy + 2z – 3 = 0 и x – 2yz + 4 = 0;

  2. 2xy + 5z – 1 = 0 и 3x – 2y + 6z – 1 = 0.

(Кле 975)


Содержание



  1. Уравнения линий на координатной плоскости … 3

  2. Линейные операции с векторами …………………4

  3. Скалярное произведение …………………………..8

  4. Векторное и смешанное произведения …….……12

  5. Прямая на координатной плоскости ……………..15

  6. Плоскость и прямая в пространстве ……….…… 21





Скачать 353,68 Kb.
оставить комментарий
Дата23.09.2011
Размер353,68 Kb.
ТипМетодическая разработка, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  2
не очень плохо
  1
средне
  4
хорошо
  1
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх