Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14
вернуться в начало
скачать
: а) с помощью признака Даламбера; б) используя интегральный признак.

Решение, а) По условию , следовательно,



т. е. признак Даламбера не позволяет сделать заключения о сходимости или расходимости ряда.

б) Члены данного ряда положительны и убывают; в качестве функции f(x), о которой идет речь в интегральном признаке (см. § 6), возьмем функцию при x≥2; эта функция непрерывна и убывает, причем . Так как




то данный ряд расходится.


Вопросы для самопроверки.


  1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

  2. Докажите необходимый признак сходимости ряда.

  3. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его n членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного отбрасыванием этих n членов.

  4. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

  5. Докажите признак Даламбера сходимости знакопеременных рядов. Приведите пример применения этого признака.

  6. Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

  7. Докажите интегральный признак сходимости ряда Коши. Приведите примеры применения этого признака.

  8. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите прн. меры абсолютно и условно сходящихся рядов.

  9. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.


2. Функциональные ряды


Литература. [4], гл. XVI, § 9—12; [11], гл. 9, § 9.8—9.10; [5], задачи 2510—2520.


3. Степенные ряды


Литература. [4], гл. XVI, § 13—15, 25, упр. 30—33, 35—38; [11], гл. 9, § 9.11—9.13; [5], задачи 2530, 2534, 2535, 2539, 2564— 2567, 2576, 2579, 2580, 2582; [4], гл. XVI, § 16, 17, 19, 20, упр. 44—46, 50, 55, 64, 66, 70, 71, 74, 76, 78, 80; [4], гл. XVI, § 23.

4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям


Литература. [4], гл. XVI, § 17, 20—22, 26, 27 (замечание 2), упр. 85, 87, 89, 90, 97, 102, 103, 106, 113, 116, 117, 119, 123, 125, 127, 129—132; [11] гл.9, § 9.14.

Ряды часто используют для приближенного вычисления значений функции, интегралов и решения дифференциальных уравнений. Следует обратить внимание на замечание 3 § 7 гл. XVI пособия [4], в котором показано, как оценить погрешность, получающуюся при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой (при этом предполагается, что знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница); это замечание используется в § 17 и 21. В § 22 гл. XVI следует отметить два метода отыскания частного решения дифференциального уравнения по заданным начальным условиям в виде ряда Тейлора: последовательного дифференцирования и неопределенных коэффициентов. Сумму конечного числа членов этого ряда можно принять за приближенное решение дифференциального уравнения. Такой метод приближенного решения дифференциального уравнения может оказаться малоудобным, если трудно оценить точность вычислений или если требуется отыскивать слишком большое число членов ряда. В этом случае, а также в часто встречающихся на практике случаях, когда требуется найти числовые значения неизвестной функции, определяемой дифференциальным уравнением, только для нескольких определенных значений независимой переменной, применяют численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, некоторые из которых были рассмотрены ранее (методы Эйлера и Рунге—Кутта, тема XIII).


Вопросы для самопроверки


  1. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

  2. Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательности функций. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

  3. Сформулируйте признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ряда.

  4. Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся рядов.

  5. Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

  6. Выведите формулу для вычисления радиуса круга сходимости степенного ряда

  7. Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

  8. Разложите функцию y=sinx в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.

  9. Разложите функцию у=еx в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.

  10. Разложите функцию у=(1+х) в степенной ряд и найдите промежуток сходимости полученного ряда.

  11. Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=arctgx.

  12. Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции у=ln(1+х).

  13. Сформулируйте теорему о дифференцировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=cosx.

  14. Выведите формулу Эйлера eiy=cos y+i sin у, исходя из разложения в степенной ряд функции eiy.

  15. Приведите пример оценки точности вычисления суммы знакочередующегося ряда.

  16. Приведите пример применения остаточного члена формулы Тейлора (в форме Лагранжа) к оценке точности вычисления с помощью степенного ряда.

  17. Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов. Приведите примеры.

  18. Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Приведите пример.


^ ТЕМА XIX. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ


Литература. [4], гл. XVII, § I—7, 10 (доказательство можно опустить), 11—16, упр. 1, 4—14.

Тригонометрические ряды играют важную роль в математике как аппарат изучения функций. Это объясняется тем, что для разложения в тригонометрический ряд функция не должна удовлетворять столь жестким требованиям, которые предъявляются к ней при разложении, например, в степенной ряд (в степенные ряды разлагаются даже не все бесконечно дифференцируемые функции). Велико значение тригонометрических рядов в приложениях, где их применяют при решении ряда задач математической физики (например, колебание струны, распространение теплоты), в электротехнике, метрологии и т. д. Чаще всего тригонометрические ряды используют при изучении периодических процессов, поэтому основное внимание в учебнике [4] уделено разложению в ряд Фурье периодических функций (с периодом 2я в § 1—4, с периодом 2/ в § 5); § 6 посвящен разложению в ряд Фурье непериодической функции.

При чтении § 10 полезно сопоставить требования, предъявляемые здесь к разлагаемой функции, с требованиями, которые предъявлялись к ней ранее (см. теорему в конце § 1).

В § 11 (чтение этого параграфа не является обязательным) студент получит представление о приближенном вычислении коэффициентов Фурье и найдет литературу, в которой эти вопросы изложены подробно.


Вопросы для самопроверки


  1. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

  2. Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Приведите примеры функций, удовлетворяющих и не удовлетворяющих этим условиям.

  3. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и нечетных функций.

  4. Представьте ряд Фурье в комплексной форме.

  5. Что называется интегралом Фурье?

  6. Дайте определение преобразования Фурье и сформулируйте его основные свойства.

После изучения тем XVIII и XIX выполните контрольную работу 10.


^ ТЕМА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ


Литература. [4], гл. XVIII, § 1—3, упр. 1—3, 5; [9], ч. II, гл. VI, § 3 (п. 1), задачи 931—933; [4], гл. XVIII, § 4—7, упр. 7, 8, 10; [9], ч. II, гл. VI, § 4 (п. 1), задачи 943, 944; [4], гл. XVIII, § 8—11, упр. 12—16; [9], ч. II, гл. VI, § 4, (п. 2), § 5, задачи 948, 949; [12], гл. 5, § 5, 8.


Вопросы для самопроверки


  1. Дайте классификацию уравнений с частными производными второго порядка. Приведите примеры.

  2. Выведите уравнение колебаний струны. Сформулируйте краевую задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах.

  3. Изложите метод Даламбера нахождения решения задачи Коши о колебаниях бесконечной струны.

  4. Изложите метод Фурье нахождения решения краевой задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

  5. Выведите уравнение распространения теплоты в стержне. Сформулируйте краевую задачу.

  6. Изложите метод Фурье для нахождения решения уравнения теплопроводности.

  7. Сформулируйте краевые задачи для уравнений Лапласа. Приведите примеры решения уравнения Лапласа методом Фурье

  8. Изложите метод сеток для нахождения решения краевых задач. Приведите примеры.


^ ТЕМА XXI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО


Литература. [6], гл. I, § 3, 4; [7], гл. I, § 2, задачи 48, 52—56; § 3, задачи 69, 73, 75—77, 8!; [9], ч. II, гл. VII, § 1, задачи 937, 959, 963, 965; § 2, задачи 972, 976—978; [6], гл. I, § 5; [7], гл. I, § 4, задачи 89, 90, 92, 94, 99, 102, 108, 111; § 5, задачи 116—123, 126, 129, 132; [9], ч. II, гл. VII, § 4, задачи 996—1000; [6], гл. 4, § 1, 2; [7], гл. 1, § 6, задачи 158, 163, 166, 198, 201, 203, 205, 208, 209, 212, 216; § 7, задача 221, 223, 228, 236, 237—241, 242, 249; [9], ч. II, гл. VII, § 5, задачи 1010-1017; [6], гл. 5, § 1, 2, п. 1, 2; [7], гл. I, § 8, задачи 270, 27G, 277, 282, 283, 285, 289, 292, 293, 297, 303, 305, 310; [9], ч. II, гл. VII, § 6, задачи 1027—1034.


Вопросы для самопроверки


  1. Дайте определения производной н дифференциала функции комплексного переменного.

  2. Какая функция называется аналитической? Выведите необходимые и достаточные условия для аналитичности функции.

  3. Дайте определение гармонической функции. Какие функции являются сопряженными гармотиескими функциями? Приведите пример.

  4. Каков геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного?

  5. Дайте определение интеграла от функции комплексного переменного и сформулируйте основные его свойства.

  6. Сформулируйте основную теорему Коши и приведите примеры ее приложения.

  7. Дайте определение ряда Лорана. Что является областью сходимости ряда Лорана? Каковы условия разложимости функции в ряд Лорана?

  8. Дайте классификацию изолированных особых точек аналитической функции. Приведите примеры.

  9. Дайте определение вычета функции относительно изолированной особой точки. Приведите примеры вычисления вычетов функции.

  10. Сформулируйте теорему Коши о вычетах. Приведите примеры приложения теории вычетов.


^ ТЕМА XXII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


Литература. [4], гл. XIX, § 1-9, 11, 13, 19; [9], ч. II, гл. VIII, § 1—3, задачи 1041—1047, 1054—1057, 1061—1065; [4], гл. XIX, § 10, 12, упр. 1—10; [9], г. II, гл. VIII, § 4, задачи 1072— 1078.

Операционным методом удобно решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. Этот метод заключается в преобразовании данного уравнения (или системы), содержащего оригиналы, в уравнение относительно соответствующих изображений, после чего оказывается, что для нахождения изображений достаточно решить простое линейное алгебраическое уравнение (или систему таких уравнений). Затем остается восстановить оригиналы по найденным изображениям. Для успешного применения методов операционного исчисления студенту нужно уметь свободно применять теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями и хорошо знать изображения основных функций. Для этого рекомендуем составить таблицу соответствия операций и таблицу преобразования Лапласа и выучить их наизусть.

Вопросы для самопроверки

I. Дайте определение преобразования Лапласа. Что называется изображением и оригиналом?

2 Могут ли две различные непрерывные функции иметь одно и то же изображение?

3. Если и , то какое изображение имеет af1(t)+bf2(t) (а, b-постоянные)? Докажите свойство линейности изображения.

4. Если , то какое изображение имеет e-αtf(t)? Докажите теорему смещения.

5. Если (f(t)=0 при t≤0), то какое изображение имеет f(t—1\), ti>Ql Докажите теорему запаздывания.

6. Если , то какое изображение имеет f(at)? Докажите теорему подобия и найдите изображения функций sin at и cos at, считая известными изображения функций sint и cos t (a>0).

7. Докажите теорему о дифференцировании оригинала. Если , то какие изображения имеют f '(t), f''(t), f'''(t) [f '(t), f''(t), f'''(t) существуют при всех t>0]?

8. Если , то какое изображение имеет ? Докажите теорему об интегрировании оригинала. Найдите с помощью этой теоремы изображение функции sin at.

9. Если , то какие оригиналы соответствуют F'(p), F"(p), F'"(p)? Докажите теорему о дифференцировании изображения. Найдите с помощью этой теоремы изображение функции tnеαt, считая известным изображение функции еαt.

10. Если и , то какое изображение имеет ? Докажите теорему свертывания, о

I1. Изложите операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем. Приведите примеры.

После изучения тем XX—XXII выполните контрольную работу 11.


^ ТЕМА XXIII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


1. Случайные события


Литература. [8], гл. I, § 1—3, задача 6; гл. 2, § 4—5, задачи 1—8, 12, 14—16, 21; гл. 3, § 1—3, задачи 1, 2, 4, 13—16; гл. 4, § 1—3, задачи 1—21; [4J, гл. XX, § 1-6, 8, упр. 1—3, 8, 9, 12, 13; [9], ч. И, гл. V, § 1—4, задачи 776, 777, 792, 794, 809, 815.

Формулу Бернулли ([8], гл. 4, § 2; [4], гл. XX, § 8) практически используют при небольших значениях числа независимых испытаний n. При больших значениях n применяют локальную теорему Муавра—Лапласа ([8], гл. 4, § 3): если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0<р<1), то вероятность Рn(m) того, что событие наступит в n независимых испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n)



Здесь функция , причем значение аргумента находят по формуле. Эта функция табулирована, ее таблицы приведены в приложении (табл. 2) учебника [4]. В таблицах помещены только положительные значения аргумента x. Для отрицательных значений x используют те же таблицы, так как рассматриваемая функция — четная.

Пример 1. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 1500 раз в 2100 испытаниях.

Решение. По условию, n=2100, m= 1500, р=0,7, q=l—0,7=0,3. Так как n = 2100 достаточно большое число, то воспользуемся локальной теоремой Муавра—Лапласа.

Найдем значение аргумента х:



По таблице функции f(x) находим f(1,43)=0,1435. Искомая вероятность



Если число независимых испытаний n велико (я>100), а вероятность появления события в каждом испытании р мала (р≤0,3), то. для отыскания вероятности того, что в этих испытаниях событие появится m раз, используют приближенную формулу Пуассона:



где λn=np (среднее число появлений события). Эту формулу можно получить из формулы Бернулли, перейдя к пределу при ([8], гл. 4, §3).

Пример 2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию, n=1000, р=0,002, m=3. Поскольку число n велико, а вероятность p мала и элементы работают независимо, воспользуемся формулой Пуассона. Найдем λn; λn=np=1000∙0,002=2. Искомая вероятность




Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них.

  2. Дайте классическое определение вероятности В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

  3. Дайте определение условной вероятности. Какие события называются независимыми'

  4. Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы умножения.

  5. Докажите формулу полной вероятности.

  6. Докажите формулу Байеса.

  7. Дайте определение последовательности независимых испытаний, изложите схему Бернулли и докажите формулу Бернулли.

  8. Сформулируйте локальную теорему Муавра—Лапласа, докажите теорему Пуассона. Когда применяются эти теоремы?


2. Случайные величины


Литература. [8], гл. 5, § 1—6, задачи 2, 4, 6, 7, 9, 11, 16, 17, 20; гл. 6, § 1—5, задачи 8, 10—12, 16—18, 22; [4], гл. XX, § 7, 9—17, упр. 14—26, 30—33; [9], ч. II, гл. V, § 5, 6, 8—10, 14, задачи 826, 827, 830, 838, 852, 878; [8], гл. 7, § 1—6, задачи 1, 5—8, 11, 13, 14—16; [9], ч. II, гл. V, § 12, 13, задачи 864-866, 869, 870.

Особое внимание обратите на теоремы, которые позволяют найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал '([8], гл. 5, § 2, 3; [4], гл. XX, § 12, 13).

Пример 3. Случайная величина X задана функцией распределения.



Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (1/4, 1).

Решение. Искомая вероятность равна приращению функции распределения на заданном интервале:

P(l/4
Так как на интервале (1/4, 1), по условию, F(x)=x/2, то F(l)—F(l/4) = 1/2—1/8 = 3/8. Итак, Р(1/4<X<1)=3/8.

Пример 4. Случайная величина X задана функцией распределения, приведенной в задаче 3. Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей; б) используя плотность распределения вероятностей, найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (1/4, 1).

Решение. а) Найдем плотность распределения вероятностей Рх(х), для чего продифференцируем по х интегральную функцию F(x);





оставить комментарий
страница9/14
Ю. С. АРУТЮНОВА
Дата23.09.2011
Размер1.9 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14
плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх