Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14
вернуться в начало
скачать
, где D=D1+D2.

  • Что называется двукратным интегралом от функции f(x, у) по области D? Как он вычисляется?

  • Докажите теорему о среднем для двойного интеграла, укажите ее геометрический смысл.

  • Выведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Дайте геометрическое толкование формулы в случае неотрицательной подынтегральной функции.

  • Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.

  • Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

  • Каков геометрический смысл интеграла



    где z=z(x, у) —функция, обладающая непрерывными частными производными в области D?

    1. Каков механический смысл интеграла



    где γ(х, y)≥0— непрерывная функция в области D?

    1. Выведите формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры D, поверхностная плотность которой γ=γ(х, у).


    2. Тройной интеграл


    Литература. [4], гл. XIV, § 11, 12, упр. 65, 66; § 13, упр. 67; § 14, упр. 68, 69; [5], задача 2268.

    Можно использовать также [9], ч. II, гл. I, § 7, 8.


    Вопросы для самопроверки


    1. Что называется тройным интегралом от функции f(x, у, z) по пространственной области V? Укажите его механический смысл.

    2. Что называется трехкратным интегралом от функции f(x,y,z) По области V? Как он вычисляется?

    3. Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.

    4. Выведите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью трехкратного. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах.

    5. Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.

    6. Каков механический смысл интеграла



    где у(х, у, z)V — непрерывная функция в области V? Напишите формулы для вычисления координат центра тяжести тела V, объемная плотность которого γ=γ(x, y, z).

    ТЕМА XVI^ . КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


    1. Криволинейные интегралы; их определение, свойства и приложения

    Литература. [4], гл. XV, § 1, 2, упр. 1, 3, 6, 7; § 4 «Замечание»; [5], гл. VII, § 9, задачи 2295, 2312, 2323, 2336, 2338, 2343; [9], ч. II, гл. II, § 1, 4.

    В [4] рассмотрены два типа криволинейных интегралов — криволинейный интеграл по координатам и криволинейный интеграл по длине дуги. Определение криволинейного интеграла по координатам (интеграла от векторной функции) дано в § 1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги приведено в конце § 4 (см. замечание в конце § 4).


    2. Формула Грина.

    Условные независимости криволинейного

    интеграла от пути интегрирования


    Литература. [4], гл. XV, § 3, 4; [5], гл. VII, § 9, задачи 2318 (а, б, г), 2322 (а, б), 2328, 2329; [9], ч. II, гл. II, § 2, 3. Криволинейный интеграл



    зависит, вообще говоря, не только от подынтегрального выражения, начальной и конечной точек пути интегрирования, но и от самого пути интегрирования. Однако для большого и важного класса подынтегральных выражений криволинейный интеграл (1) оказывается независящим от пути интегрирования или, что равносильно, интеграл (1), взятый по любому замкнутому контуру L, лежащему в рассматриваемой области D, оказывается равным нулю.

    Пусть функции Х(х, у), Y(x, у) вместе со своими частными производными и непрерывны в и. Тогда для того чтобы криволинейный интеграл (1) по любому замкнутому контуру L, лежащему в D, был равен нулю, необходимо и достаточно выполнения равенства = во всех точках области D. В этом случае выражение Xdx+Ydy является в области D полным дифференциалом некоторой функции U(x, у), т. е. Xdx+Ydy=dU. Здесь существенно, что рассматриваемая область D является односвязной (односвязной называется такая область, для которой любой расположенный в ней замкнутый контур можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы области). Если область D не является односвязной, то выполнение в ней всех остальных указанных выше условий не влечет за собой равенство нулю криволинейного интеграла (1) по любому замкнутому контуру L в D.

    Пример. Пусть область D представляет собой кольцо, заключенное между
    окружностями с радиусами
    R и r и центром в начале координат О, a L — окружность с тем же центром и радиусом a(r<a<R) (рис. 3). Окружность L, очевидно, принадлежит области D; ее можно задать в параметрической форме уравнениями x=acost, y=asint, причем если обходить эту окружность в положительном направлении (против часовой стрелки), то параметр возрастает от 0 до 2π. Тогда



    Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L оказался не равным нулю, хотя функции и их частные производные и непрерывны и = во всей области D (проверьте!). Здесь дело в том, что область D неодносвязна (окружность L не может быть непрерывной деформацией стянута в точку, если не выходить за пределы кольца).

    Если вместо кольца рассматривать круг радиуса R, то эта область окажется односвязной; в этом случае функции X, Y и их частные производные не являются непрерывными в этой области (непрерывность нарушается в точке О).


    3. Поверхностные интегралы


    Литература. [4], гл. XV, § 5, 6, упр. 24, 26; [5], гл. VII, § 10, задачи 2347-2351; [9], ч. II, гл. II, § 5.


    Вопросы для самопроверки


    1. Что называется криволинейным интегралом по координатам? Сформулируйте известные вам свойства криволинейного интеграла.

    2. Что называется криволинейным интегралом по длине дуги плоской кривой?

    3. Выведите формулу для вычисления криволинейного интеграла по кривой, заданной параметрическими уравнениями.

    4. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной уравнением y=f(x) или x=φ(y)?

    5. Выведите формулу для вычисления площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.

    6. Выведите формулу Грина.

    7. Выведите условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

    8. Что называется поверхностным интегралом? Напишите формулу для его вычисления.


    ТЕМА XVII^ . ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ


    1. Скалярное и векторное поле. Градиент скалярного поля. Циркуляция, поток, дивергенция и ротор векторного поля


    Л
    итература
    . [5], гл. VII, §12; [4], гл. VIII, §15; гл. XV, §1 от «Замечания», № 2 (п. 2), §5 (определение потока векторного поля), §7 (определение вихря или ротора векторного поля), §8 (определение дивергенции векторного поля), упр. 9—19; [5], §12, задачи 2371—2374, 2388, 2391, 2394; [9], ч. II, гл. II, § 6.

    Пример 1. Найти поток векторного поля F=x2i+xj+xzk через верхнюю сторону поверхности а, являющейся частью параболоида вращения у=z2+x2, расположенной в первом октанте между плоскостями у=0 и у =1 (рис. 4).

    Решение. Выбор стороны на поверхности σ равносилен выбору направления нормального вектора n в любой ее точке; для верхней стороны σ угол (n, z) между n и осью Оz удовлетворяет условию 0≤(n, z)≤π/2, т.е. cos(n, z)≥0. Согласно условиям,



    Переходя в правой части равенства (1) от поверхностных интегралов к двойным, получаем



    где Dyz, Dzx, Dxy — проекции поверхности о соответственно на плоскости уОz, хОz, хОу.

    В первом интеграле мы положили х2=у—z2, а в третьем (из уравнения параболоида). Знаки же перед двойными интегралами определены из того, что cos (n, х)≥0, cos (n, у)≤0, cos(n, z)≥0.

    Вычислим двойные интегралы:



    Подставляя найденные значения интегралов в формулу (2), полу« чаем

    П = 4/15— 1/3 + 2/15= 1/15.

    Замечание. Знак cos(n, z) в данной задаче определяется тем, что берется верхняя сторона поверхности σ, а при определении знаков cos (n, x) и cos(n, y) мы исходим из наглядных соображений (рис. 4). Правильность выбора знаков можно проверить с помощью формулы



    определяющей единичный нормальный вектор n к поверхности φ(х, у, z)=0. В данном случае φ=x2-y2+z2=0, следовательно,

    ,

    откуда




    По условию задачи, z≥0 и cos(n, z)≥0, поэтому в последней формуле, а значит, и в формуле, определяющей n, следует взять знак « + ». Но тогда



    так как, по условию задачи, x≥0, и




    Вопросы для самопроверки


    1. Что называется скалярным полем, поверхностями и линиями уровня скалярного поля?

    2. Что называется векторным полем? Дайте определение векторных линий и напишите их дифференциальные уравнения.

    3. Что называется линейным интегралом векторного поля? Что такое циркуляция векторного поля? Приведите пример ее вычисления.

    4. Что называется потоком векторного поля? Напишите формулу для его вычисления. Приведите пример на применение этой формулы.

    5. Что называется ротором векторного поля? Приведите пример его вычисления.

    6. Что называется дивергенцией векторного поля? Приведите пример на ее вычисление.


    2. Формула Стокса


    Литература. [4], гл. XV, § 7, упр. 31—33; [5], гл. VII, § 10 (п. 3°), § 12 (п. 5°), задачи 2357—2359; [9], ч. II, гл. II, § 6.

    П
    ример 2. Найти циркуляцию векторного поля F=(х-2z)i+(x+3y+z)j+(5х+у)k по контуру треугольника ABC; где A(1; 0; 0), В(0; 1; 0), С(0; 0; 1) (рис. 5).

    Решение. Используем формулу Стокса



    где направление обхода контура λ должно быть положительным. Находим:



    В качестве о возьмем треугольник ABC, который расположен на плоскости х+у+z=1; берем верхнюю сторону этого треугольника (нормальный вектор n выходит из выбранной стороны поверхности; см. рис. 5).

    По формуле (3) последовательно находим (к — контур треугольника ABC; направление обхода по К указано на рис. 5):



    здесь (rot F)x, (rot F)y, (rot F)z — координаты вектора rot F, т. е, его проекции на оси координат.


    3. Формула Остроградского


    Литература. [4], гл. XV, § 8, упр. 34—41; [5], гл. VII, § 11, 12 (п. 4), задачи 2363—2367; [9], ч. II, гл. II, § 6.

    Пример 3. Найти поток векторного поля P=х2i+xj+xzk через внешнюю сторону замкнутой поверхности σ, расположенной в первом октанте и образованной частями параболоида вращения у=z2+x2 и следующих плоскостей: у=1, х=0, z=0 (см. рис. 4).

    Решение. Используем формулу Остроградского



    где n — внешняя нормаль поверхности σ. Находим



    По формуле (4) получаем




    4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля


    Литература. [4], гл. XV, § 9, п. 4, о; [5], гл. VII, § 12 '(п. 6°), задачи 2397—2400.

    Векторное поле F=Xi+Yj+Zk называется потенциальным, если F = grad u, где u=u(х, у, z)—скалярная функция (потенциал поля). Потенциал поля обычно находят по формуле



    г
    де M
    0(x0; y0; z0) - фиксирования точка рассматриваемой области.

    Формула (5) получается в результате вычисления интеграла



    по ломаной M0M1M2M (рис. 6), звенья которой параллельны осям координат (предполагается, что эта ломаная принадлежит рассматриваемой односвязной области).



    является потенциальным. Найти его потенциал.

    Решение. Находим



    Отсюда следует, что данное поле — потенциальное.

    Потенциал поля и(x, у, г) находим по формуле (5):



    где

    Векторное поле F называется соленоидальным, если в каждой точке поля divF=0. Так, например, векторное поле



    является соленоидальным, так как для него




    5. Операторы Гамильтона и Лапласа


    Литература. [4], гл. XV, § 9, упр. 20, 43; [5], гл. VII, § 12, п 2°, 6°.

    Дополнительные сведения по векторному анализу можно найти в пособии: Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974, т. II, гл. IV, § 11.


    Вопросы для самопроверки


    1. Выведите формулу Стокса и напишите ее в векторной форме.

    2. Выведите формулу Остроградского и напишите ее в векторной форме.

    3. Какое поле называется потенциальным? Что такое потенциал этого поля? В чем состоит необходимое и достаточное условие потенциальности поля?

    4. Напишите формулу для нахождения потенциала U(x, у, z) потенциального поля F=Xdx+Ydy+Zdz. Приведите пример применения этой формулы.

    5. Какое поле называется соленоидальным? Приведите пример.

    6. Какая функция называется гармонической? Приведите пример.

    7. Что такое оператор Гамильтона? Обоснуйте записи: .

    8. Докажите, что rot(grad u)=0. Запишите это равенство с помощью оператора Гамильтона.

    9. Что называется оператором Лапласа? Выведите формулу



    1. Что называется уравнением Лапласа? Как называется функция, удовлетворяющая этому уравнению?

    2. Запишите оператор Лапласа в цилиндрических и сферических координатах.

    После изучения тем XV, XVI и XVII выполните контрольную работу 9.


    ^ ТЕМА XVIII. РЯДЫ


    1. Числовые ряды


    Литература. [4], гл. XVI, § 1—6, упр. 8—18; § 7, 8, упр. 21— 29; § 18, 24; [11], гл. 9, § 9.1—9.7; [5], задачи 2485—2490.

    Среди достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами наиболее эффективным является интегральный признак Коши. Поэтому если другие признаки не позволяют решить вопрос о сходимости или расходимости числового ряда с положительными членами, то следует прибегнуть к интегральному признаку Коши.

    Пример. Исследовать на сходимость ряд




    оставить комментарий
    страница8/14
    Ю. С. АРУТЮНОВА
    Дата23.09.2011
    Размер1.9 Mb.
    ТипМетодические указания, Образовательные материалы
  • Добавить документ в свой блог или на сайт

    страницы: 1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14
    плохо
      1
    отлично
      3
    Ваша оценка:
    Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
    rudocs.exdat.com

    Загрузка...
    База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
    При копировании материала укажите ссылку
    обратиться к администрации
    Анализ
    Справочники
    Сценарии
    Рефераты
    Курсовые работы
    Авторефераты
    Программы
    Методички
    Документы
    Понятия

    опубликовать
    Загрузка...
    Документы

    Рейтинг@Mail.ru
    наверх