Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   14
вернуться в начало
скачать
АВ является точка Q(√2; 2). Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z на отрезке АВ находятся среди ее значений в точках A, Q и В.

На дуге ОВ параболы y=x2/2 имеем



Решаем уравнение z'=3х3—Зх2=0 или х2(х—1)=0 и находим его корни. x1,3=0 и x2=1. Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции г на дуге ОВ находятся среди ее значений в точках О, Р и В.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции z=2х3—6ху+3у2 в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках О, A, Q, В, Р, М, т.е. среди значений: z(0)=z(0; 0)=0; z(A)=z(0; 2)=12; z(Q)=z(√2; 2)=12—8√2; z(B)=z(2; 2)=4; z(P)=z(l; 1/2)=-1/4; z(M)=z(l; 1)=-1, Наибольшее и наименьшее из них равны соответственно 12 и —1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области: zнаиб=12, zнаим=-1.


7. Метод наименьших квадратов. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений


Литература. [4], гл. VIII, § 19; [5], гл. X, § 3, п. 5°, задачи 3156, 3157.


Вопросы для самопроверки


  1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий.

  2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определений? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех переменных.

  3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются поверхностями уровня функции u22+z2? Постройте линии уровня функции z2y.

  4. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?

  5. Что называется точкой разрыва функции двух переменных? Приведите пример функции двух переменных, непрерывной всюду, кроме каждой точки окружности х22=1.

  6. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функций нескольких переменных. В чем состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

  7. Когда функция z=f(x, у) называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному?

  8. Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М0. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?

  9. Выведите формулы нахождения сложной функции.

  10. Напишите формулу вычисления полной производной dz/dx сложной функции z=f(u, v), где u=u(х), v=v(x). Как записать эту формулу в случае u=х?

  11. Выведите формулу дифференцирования неявной функции у=у(х), заданной уравнением F(х, у)=0.

  12. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций двух переменных.

  13. Что называется производной функции u=u(х, у, z) в данной точке М0 по направлению вектора s? Выведите формулу ее вычисления

  14. Что называется градиентом скалярного поля u=u(х, у, z) в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.

  15. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Выведите необходимые условия и сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных.

  16. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функция двух переменных.

  17. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

  18. Что называется условным экстремумом функции z=f(x, у)? Изложите метод нахождения условных экстремумов функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием.

  19. В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании экспериментальных данных?

  20. В чем состоит метод итераций решения системы уравнений? После изучения темы X выполните контрольную работу 6.


^ ТЕМА XI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


1. Определение и свойства неопределенного интеграла


Литература. [4], гл. X, § 1—3, упр. 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 17, 25, 41, 46, 49, 58, 60, 66.


2. Основные методы интегрирования


Литература [4], гл. X, § 4, упр. 27, 28, 33, 37, 47, 51, 65, 72, 83, 89, 91, 94, 100, 101; § 6, упр. 127—131, 134, 135, 138, 140, 143, 145.

Можно использовать также [5], гл. IV, § 1—3.


3. Стандартные методы интегрирования некоторых классов функций


Литература. [4], гл. X, § 5, упр. 102, 105, 107, ПО, 112, ИЗ, 115, 116, 123, 125; § 7—9, упр. 156, 163, 164, 167, 169; § 10, упр. 170, 176, 177; § 12, упр. 196, 198, 203, 204, 209, 212, 214, 216; § 13, упр. 178, 180

Можно использовать также [5], гл. IV, § 4—10.


4. Использование таблиц интегралов


Литература. [4], гл. X, § 14.

Имеются элементарные функции, интегралы от которых хотя, конечно, и существуют, но не выражаются через элементарные функции Приведем несколько интегралов, «не берущихся в конечном виде».



Эти и подобные интегралы определяют новые виды функций, отличных от элементарных. Многие из этих функций имеют специальные названия: функция, определяемая первым из указанных интегралов, называется интегральным синусом, вторым — интегральным косинусом, третьим — интегральным логарифмом, четвертым и пятым — интегралами Френеля, последним — эллиптической функцией.

Заметим, что функции, определяемые с помощью интегралов, имеют обширные и важные применения в технике и естествознании. Для таких функций составлены таблицы их приближенных значений.


Вопросы для самопроверки


  1. Дайте определение первообразной функции.

  2. Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Что называется неопределенным интегралом?

  3. Напишите таблицу основных интегралов.

  4. Докажите простейшие свойства неопределенного интеграла.

  5. Найдите ∫(2х—l)2dx двумя способами: а) непосредственно как интеграл от степенной функции со сложным аргументом; б) раскрыв скобки и проинтегрировав полученную сумму. Покажите, что полученные результаты не противоречат друг другу.

  6. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

  7. Выведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить с помощью метода интегрирования по частям.

  8. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей I, II, III и IV типов.

  9. Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простершие множители. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае простых действительных корней знаменателя. Приведите примеры.

  10. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае действительных кратных корней знаменателя. Приведите примеры.

  11. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби для случая, когда среди корней знаменателя имеются пары простых комплексно-сопряженных корней. Приведите пример.

  12. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби для случая, когда среди корней знаменателя имеется пара кратных комплексно-сопряженных корней. Приведите пример.

  13. Изложите методы нахождения интегралов вида



где p, q,..., r — рациональные числа; R— рациональная функция. Приведите пример.

  1. Изложите метод нахождения интегралов вида ∫R(sinx, cosх)dх, где R — рациональная функция. Приведите примеры.

  2. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных и трансцендентных функций?


^ ТЕМА XII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла


Литература. [4], гл. XI, § 1—5, § 6 (пример можно опустить), упр 8, 10, 11, 13, 16—21, 23, 24.


2. Приближенное вычисление определенного интеграла


Литература [4], гл. XI, § 8, упр. 44, 46, 47, 50.

Приближенные методы интегрирования имеют очень большое значение. В технических приложениях часто приходится иметь дело с определенными интегралами, вычислить которые с помощью формулы Ньютона—Лейбница или искусственными приемами практически

невозможно. В этом случае значение интеграла находят приближенно. Вычислим, например, с точностью до 0,001 интеграл . Применим для этого формулу Симпсона



где n — четное число; h = (b—a)/n.

Можно показать, что погрешность этой формулы



где М4 — наибольшее значение модуля четвертой производной интегрируемой функции на отрезке [а, b]. Последовательно дифференцируя четыре раза функцию f(x)=y=ex2, найдем



Легко видеть, что y(4)>0 и |y<(4)|=y(4). Далее очевидно, что производная y(4) возрастает при 0≤х≤1 и, следовательно, принимает наибольшее значение при х=1. Итак,



При n=10 получим



Таким образом, погрешность, получающаяся при использовании формулы Симпсона (n=10) для вычисления данного интеграла, не превосходит 0,00012.

Вычислим интеграл по формуле Симпсона (при n=10):



Используя таблицу значений показательной функции (см., например: Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике— М: Наука, 1980), находим:



Окончательно получаем

Как было установлено, в результате применения приближенной формулы Симпсона погрешность не превышает 0,00012. Однако еще нельзя утверждать, что найденное значение интеграла удовлетворяет условию задачи, т. е. отличается от истинного менее чем на 0,001. Дело в том, что использованные значения у1, у2,..., y10 не точные, а приближенные значения соответствующих величин (значение уо является точным). Каждое из этих значений взято с четырьмя десятичными знаками, т. е. отличается от соответствующего истинного значения y1, не более чем на 0,00005. Поэтому погрешность суммы, заключенной в квадратных скобках, не превышает 0,00005+4∙50,00005+2∙4∙0,00005 = 29∙0,00005. Перед этой суммой стоит множитель 1/30, поэтому погрешность, получающаяся в результате округления чисел, включая и погрешность из-за округления результата деления числа 43,8805 на 30 (эта погрешность не превышает 0,00033), не превосходит величины

δ=(1/30) ∙29∙0,00005+0,00033<0,00038.

Таким образом, найденное значение интеграла отличается от истинного его значения не более чем на величину

δ+|Rn|<0,00038+0,00012=0,0005<0,001.

Полученный результат удовлетворяет условию задачи.


Вопросы для самопроверки


  1. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

  2. Пусть . Как это истолковать геометрически?

  3. Докажите, что

  4. Докажите основные свойства определенного интеграла: а) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, б) определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых; в)

  5. Докажите теорему о среднем для определенного интеграла и выясните ее геометрический смысл.

  6. Докажите, что является первообразной функцией для функции f(x). Выведите формулу Ньютона—Лейбница для вычисления определенного интеграла.

  7. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле. Приведите пример.

  8. Выведите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Приведите пример.

  9. Выведите формулу трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла. Приведите пример.

  10. Выведите формулу парабол (правило Симпсона) для приближенного вычисления определенного интеграла. Приведите пример.


3. Несобственные интегралы


Литература. [4], гл. XI, § 7, упр. 29—31, 34, 35, 37—40.


4. Интегралы, зависящие от параметра.

Гамма- и бэта-функции


Литература. [4], гл. XI, § 10, упр. 53; [5], гл. V, § 3, за. дачи 1574, 1575.


5. Геометрические приложения определенного интеграла


Литература. [4], гл. XII, § 1, упр. 1, 3, 5—11; § 2, упр. 13, 14, 17, 18; § 3, упр. 38-41, 43, 47; § 4, 5, упр. 20-23, 25, 32; § 6, упр 49, 51, 53, 56.


Вопросы для самопроверки


  1. Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла, у которого один или оба предела интегрирования бесконечны); укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов первого рода.

  2. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от неограниченной функции). Укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов второго рода.

  3. Сформулируйте правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра.

  4. Что называется гамма-функцией? Выведите формулу Г(n)=(n—1)! Что называется бэта-функцией?

  5. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

  6. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в декоративной системе координат. Приведите примеры.

  7. Выведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений. Вычислите с ее помощью объем эллипсоида. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения Приведите примеры.

  8. Выведите формулу для вычисления площади поверхности тела вращения.

После изучения тем XI и XII выполните контрольную работу 7.

ТЕМА XIII^ . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


1. Дифференциальные уравнения первого порядка


Литература. [4], гл. XIII, § 1—3, упр. 1, 2, 4; [5], задачи 2711, 2715, 2730, 2733, 2736; [4], гл. XIII, § 4, упр. 9, 11, 20—26, 35—37; § 5, упр. 40—47, 55, 56; § 6, упр. 48—50; § 7, упр. 58—63; §8, упр. 66-69; § 9, упр. 72—76, 80; § II, 12, 32, 33, упр. 194, 195; [5], гл. X, § 5, п. 2°, задачи 3179, 3180.


Вопросы для самопроверки


  1. Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решения (интеграла), Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

  2. Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.

  3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Найдите общее решение уравнения dy/dx=2y/x и укажите, где условия этой теоремы не выполняются.

  4. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

  5. Данте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

  6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

  7. Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

  8. Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

  9. Что называется особым решением дифференциального уравнения первого порядка?

  10. Изложите метод Эйлера численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка.

  11. Изложите метод Рунге—Кутта численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка.


2. Дифференциальные уравнения высших порядков


Литература. [4], гл. XIII, § 16, упр. 117; § 17, упр. 118, 119; § 18, упр. 120—124; [5], задачи 2915, 2925, 2957, 2967.


3. Линейные дифференциальные уравнения


Литература. [4], гл. XIII, § 20, 21, упр. 129—137; [5], задачи 2987, 2990; [4], гл. XIII, § 22, упр. 140—146; § 23—25, упр. 149—158, 167—169.

Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений можно найти в пособии: Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высшая школа, 1978, (гл. II, § 17).


Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

  2. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида уn=f(х). Приведите пример.

  3. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида y"=f(х, y'). Приведите пример.

  4. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида y"=f(y, y'). Приведите пример.

  5. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного). Докажите основные свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.

  6. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций и приведите примеры. Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю. Сформулируйте обратную теорему для линейно независимых решений (интегралов) однородного линейного дифференциального уравнения.

  7. Докажите теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

  8. Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если известно одно его частное решение. Приведите пример.

  9. Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

  10. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

  11. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения Приведите пример.

  12. Докажите теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

  13. Докажите, что сумма частных решений уравнений у"+ру'+qy=f1(x) и у"+ру'+qy=f2(x) является решением уравнения у"+ру'+qy=f1(x)+ f2(x)

  14. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида eαxРn(х), где Рn(х) — многочлен степени n≥0.

  15. Изложите правило для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида еαx(Аcosβх+Вsinβx).

  16. В чем состоит краевая задача для дифференциального уравнения?


ТЕМА XIV^ . СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ


1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений


Литература. [4], гл. XIII, § 29, упр. 180; [5], гл. IX, § 15, задачи 3078, 3080, 3087.


2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами


Литература. [4], гл. XIII, § 30, упр. 185, 186, 188; гл. XXI, § 17, упр. 14.


Вопросы для самопроверки


  1. Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка? Сформулируйте задачу Коши для этой системы.

  2. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка сведением системы к одному дифференциальному уравнению (метод исключения). Приведите пример.

  3. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения. Приведите пример.

  4. Запишите в матричной форме нормальную систему и решение нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приведите пример решения матричным способом такой системы.


3. Элементы теории устойчивости


Литература. [4], гл. XIII, § 31, упр. 191—193; [7], гл. III, § 19, 20.


Вопросы для самопроверки


  1. Какое решение нормальной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка называется устойчивым по Ляпунову?

  2. Рассмотрите случаи устойчивости и неустойчивости решения (0; 0) нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в зависимости от характера корней характеристического уравнения.

На основании рассмотренных случаев сформулируйте общее условие устойчивости решения системы.

  1. Используя понятие функции Ляпунова, сформулируйте теорему об устойчивости решения хi=0, i=1,…, n нелинейной автономной системы dxt/dt=fi(x1,…, xn), (i=1,…, n).

После изучения тем XIII и XIV выполните контрольную работу 8.


ТЕМА XV^ . КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


1. Двойной интеграл


Литература. [4], гл. XIV, § 1,2, упр. 1,4—6; § 3, упр. 8—10, 14, 15, 17; § 4, упр. 24, 25, 32; § 5, 6, упр. 18—20, 28; § 7, упр. 43, 46, 48; § 8, упр. 51; § 9, упр. 59, 60; § 10, упр. 53, 54; [5], задачи 2122, 2123, 2142, 2197—2199.

Можно использовать также [9], ч. II, гл. I, § 1—6.


Вопросы для самопроверки


  1. Что называется двойным интегралом от функции }{х, у) по области D} Укажите его геометрический смысл.

  2. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла. Докажите, что




    оставить комментарий
    страница7/14
    Ю. С. АРУТЮНОВА
    Дата23.09.2011
    Размер1.9 Mb.
    ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   14
плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх