Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
вернуться в начало
скачать
k, ykx, y=sinx, y=lnx


4. Свойства дифференцируемых функций


Литература. [4], гл. IV, § 1, упр. 1, 5, 7, 8; §2, упр. 9, 10, 12; § 3, упр. 17; § 4, упр. 19, 20, 23, 28; § 5, упр. 30, 33, 35, 38, 42, 45, 50, 52.

Можно использовать также [5j, гл. II, § 7, 9; [9], ч. I гл VII § 2, п. 1, 2.


Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. Каков ее геометрический смысл?

  2. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?

  3. Покажите, что точка с, фигурирующая в теореме Лагранжа, для функции y=px2+qx+r совпадает с серединой отрезка, для которого эта теорема формулируется,

  4. Выведите правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0. Перечислите различные типы неопределенностей, для рас-крытия которых может быть использовано правило Лопиталя. При< ведите примеры.


5. Формула Тейлора


Литература. [4], гл. IV, § 6, 7, упр. 54, 56, 57, 59, 62, 65, 67.

Можно использовать также [5], гл. II, § 8; [9], ч. I, гл. VII, § 2, п. 1.

Формула Тейлора



очень важна как в теории, так и в практических приложениях. В частности, с ее помощью можно вычислить приближенные значения функции f(x), если известны значения этой функции и ее производных до n-го порядка в «начальной» точке х=а и если, кроме того, удается оценить остаточный член Rn. Если



то



с погрешностью α0.

Для оценки погрешности формулы (3) важна форма записи остаточного члена Rn. Распространенной является запись остаточного члена в форме Лагранжа:



В этом случае оценка остаточного члена зависит от оценки (n+1)-й производной функции f(x). Так, например, если известно, что на отрезке, которому принадлежит рассматриваемое значение х1



то



и, следовательно, в качестве (Хо можно взять любую величину, удовлетворяющую условию



Условие (2) можно использовать и для определения числа n, если погрешность α0 задана заранее. Однако надо иметь в виду, что условие (2) определяет погрешность формулы (3). Если же приближенное значение f(x) вычислять по формуле (3) при конкретном числовом значении х, то может оказаться, что слагаемые в этой формуле (по крайней мере, некоторые из них) сами вычисляются приближенно. Тогда погрешность результата вычислений представляет собой сумму погрешностей слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой погрешностью α0, которая является и погрешностью формулы, то общая погрешность значения, вычисленного по формуле (3), очевидно, равна β=(n+2)α0. Если заранее задана точность результата α, то следует подобрать α0 так, чтобы обеспечить выполнение неравенства β≤α или (n+2) α0< α, откуда



При достаточно малом числе членов (по крайней мере, при n≤8) условие (7) заведомо выполняется, если положить



Обычно точность вычислений задается в виде α=10-m. Условие (8) показывает, что α0=10-(m+1). Это значит, что вычисления надо производить с одним запасным знаком. Условие (2), которое можно использовать для определения числа n, в этом случае принимает вид



Замечание. Мы установили, что один запасной знак обеспечивает требуемую точность, по крайней мере, при n≤8. Легко заметить, что два запасных знака обеспечивают требуемую точность, по крайней мере, при n≤98. Но практически это верно и при значительно большем числе членов, так как значения функции и ее производных в точках х=а обычно бывают известны с абсолютной точностью. Поэтому два первых члена в формуле (3) абсолютно точны, следовательно, при одном запасном знаке требуемая точность обеспечивается более чем при десяти членах, при двух запасных знаках — более чем при ста членах и т. д.

Пример 1. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, вычислить е0,1 и е0,2 с точностью до 0,001.

Решение. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(x)=еx имеет вид



где 0 <θ< 1 (см. [4], гл. IV, § 7, п. 1). Отсюда получаем



Значения x1=0,1 и х2=0,2 принадлежат отрезку [0; 0,5], следовательно, 0<θx<0,5 и еθx0,5<2;



При заданной погрешности а условие (9) заведомо выполняется, если положим, что откуда



Запись условия, определяющего п, в виде (11) удобна, так как, вычисляя последовательно слагаемые в (10) по формулам



мы имеем возможность одновременно видеть, достигнута ли требуемая точность, т. е. выполнено ли условие (9).

Полагая а = 0,001, из (11) получаем условие



и при л:=0,1 имеем



Итак, е0,1≈1,105. Здесь условие (13) оказалось выполненным при k=n+1=4, т. е. при n=3. Всего сохранено четыре слагаемых. Следовательно, одного запасного знака было достаточно. Аналогично можно найти е0,2≈1,221 (здесь требуемая точность достигается при n=4).

Приближение функции многочленом по формуле Тейлора с геометрической точки зрения означает замену графика функции графиком соответствующего многочлена (см. [4], гл. IV, § 7, п. 2).


Вопросы для самопроверки


1. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Когда эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид принимает она в этом случае?

2. Напишите формулы Маклорена для функций еx, sinx, cosx, ln(1+x).

3. Как используется формула Тейлора для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.


ТЕМА VI^ . ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ. ЭКСТРЕМУМЫ


1. Возрастание и убывание функций


Литература. [4], гл. V, § 1, 2; [5], гл. Ill, § 1, задачи 811, 819, 820, 823.

Можно использовать также [9], ч. I, гл. VII, § 2, п. 3.


2. Экстремумы


Литература. [4], гл. V, § 3—5, упр. 3, 12, 14, 22, 25, 27, 30; § 6, упр. 32, 34; § 7, упр. 40, 44, 52, 54; §8.

Можно использовать также [9], ч. I, гл. VII, § 2, п. 3.


Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на отрезке функции. Выведите достаточный признак возрастающей функции. Покажите, что функции yx и y=x+cosx возрастают в любом промежутке.

  2. Сформулируйте определение точки экстремума функции. Покажите, что если выполняется условие 3ac>b2, то функция у=ах3+bx2+cx+d не имеет экстремума при любом d.

  3. Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции.

  4. Приведите пример, показывающий, что обращение в некоторой точке производной в нуль не является достаточным условием наличия в этой точке экстремума функции.

  5. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке? Всегда ли они существуют?

После изучения тем V и VI выполните контрольную работу 4.


ТЕМА VII^ . ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ


1. Выпуклость и вогнутость графика функции
Точки перегиба


Литература. [4], гл. V, § 9, упр. 62, 63, 67—71,


2. Асимптоты


Литература. [4], гл. V, § 10, упр. 73, 75, 76, 78, 108, ПО.


3. Общая схема построения графиков функций


Литература. [4], гл. V, § 11, упр. 84, 92, 95, 96, 99, 103, 134.


Вопросы для самопроверки


1. Сформулируйте определения выпуклости и вогнутости линии, точки перегиба. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба линии, заданной уравнением y=f(x)? Приведите примеры,

2. Сформулируйте определение асимптоты линии. Как находятся вертикальные и невертикальные асимптоты линии, заданной уравнением y=f(x)? Приведите примеры.

3. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.


ТЕМА VIII^ . ВЕКТОРНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ


1. Векторная функция скалярного аргумента


Литература. [4], гл. IX, § 1, 2 (до примера 2 включительно), 3, упр. 1, 3, 4, 6.

Можно использовать также [5], гл. III, § 18; [9], ч. I, гл. VII, § 5.


2. Кривизна кривой. Формулы Френе


Литература. [4], гл. VI, § 1—4, упр. 1—5; § б, 7, упр. 6—12, 19, 20, 23, 26, 40, 41, 43; гл. IX, § 4, 5, упр. 8—16.

Можно использовать также [5], гл. III, § 5; гл. VI, § 19, 20; [9], ч. I, гл. VII, § 6.


3. Комплексные функции. Многочлен в комплексной области


Литература. [4], гл. VII, § 4—8, упр. 11—14.


Вопросы для самопроверки


  1. Как определяется векторная функция скалярного аргумента?

  2. Как определяется предел и производная векторной функции скалярного аргумента?

  3. Каков геометрический и механический смысл производной векторной функции скалярного аргумента?

  4. Каковы свойства производной векторной функции скалярного аргумента и правила дифференцирования векторных функций?

  5. Что называется кривизной плоской линии? По какой формуле она вычисляется? Приведите примеры.

  6. Что называется кругом и центром кривизны, эволютой и 'эвольвентой плоской линии? Приведите примеры.

  7. Что называется касательной, главной нормалью, бинормалью, нормальной плоскостью и соприкасающейся плоскостью пространственной линии? Как записываются их уравнения для линии, являющейся годографом заданной векторной функции? Приведите примеры.

  8. Что называется кривизной и кручением пространственной линии? По каким формулам они вычисляются? Приведите примеры.

  9. Напишите формулы Френе; дайте их вывод. Приведите примеры.

  10. Как определяется комплексная функция действительного переменного и ее производная?

  11. Как определяется показательная функция ег комплексного переменного г?

  12. Какая формула называется формулой Эйлера? Что называется показательной формой комплексного числа?

  13. Сформулируйте теорему Безу и докажите ее.

  14. Сформулируйте основную теорему алгебры.


^ ТЕМА IX. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ


1. Приближенное решение уравнений


Литература. [9], ч. II, гл. IX, §1 (прочитать вводную часть к параграфу до п. 1 и п. 5), задачи 1097—1099, 1107, 1108; [51, ■ л. X, § 3, п. 1°; [9], ч. II, гл. IX, § 1, п. 1—3, задачи 1093—1095, 1101—1103; [4], гл. VI, § 8, упр. 30, 34; [5], гл. X, § 3, п. 2°, 3», задачи 3138, 3140, 3141; [9]; ч. II, гл. IX, § 1, п. 4, задачи 1096, 1106; [5], гл. X, § 3, п. 4°, задачи 3145, 3146, 3148.


2. Интерполяция


Литература. [4], гл. VII, § 9, упр. 17, 18; [5], гл. X, § 2, п. 2°, задачи 3131, 3135—3137; [9], ч. II, гл. IX, § 2, п. 1, задачи 1121—1125.

В первой части интерполяционной формулы Лагранжа



записан многочлен степени я относительной переменной х, график которого проходит, очевидно, через точки (x0; y0), (x1, y1),…,(хn; уn) (число этих точек равно n+1). Если в (1) положить n=1, то получим (после преобразований)



Это — многочлен первой степени (линейная функция) относительно х; графиком его является прямая, проходящая через точки (x0; y0) и (x1; y1). Если y=f(x) —данная функция, график которой проходит через те же точки, то приближенное равенство



выражает линейную интерполяцию функции y=f(x) на отрезке [х0, x1]. Геометрически она означает замену дуги графика функции y=f(x), заключенной между точками (х0, y0) и (x1; y1), хордой, соединяющей ее концы.

Формулу (3) используют при отыскании значения функции f(x) с помощью таблиц, когда нужное значение аргумента в таблице отсутствует и соответствующее значение f(х) приходится находить по двум «соседним» значениям.


Вопросы для самопроверки


  1. Что значит отделение корня уравнения f(x)=0 на данном отрезке. Какие способы отделения корней уравнения вы знаете? Опишите их, приведите примеры.

  2. В чем состоят методы хорд, касательных и комбинированный метод вычисления приближенного значения действительного корня уравнения f(x)=0?

  3. В чем состоит метод итераций вычисления приближенного значения действительного корня уравнения x = cp(x)?

  4. Каково условие сходимости процесса итераций для уравнений x=φ(x)?

  5. Запишите интерполяционный полином Лагранжа. В чем состоит смысл процесса интерполяции данной функции?

  6. Что называется линейной интерполяцией функции, каков ее геометрический смысл?

После изучения тем VII—IX выполните контрольную работу 5.


^ ТЕМА X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ


1. Основные понятия


Литература. [4], гл. VIII, § 1, 2; [5], гл. VI, § I, задачи 1784, 1785, 1792 (г, д, е, ж, к, м), 1793 (а, г); [4], гл. VIII, § 3, 4; [5], гл. VI, § 2, п. 2°, задачи 1797 (а, б, в, г), 1799 (а, б, в).


2. Частные производные


Литература. [4], гл. VIII, § 5, 6, упр. 1—10.


3. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности


Литература. [4], гл. VIII, § 7, упр. 11 — 17; § 8, упр. 18; [5], гл. VI, § 4, задачи 1849, 1851; [4], гл. IX, § 6, упр. 17, 18, 20.


4. Производные сложной функции и функции, заданной неявно. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков


Литература. [4], гл. VIII, § 10, упр. 22, 24; § 11, упр. 26, 28, 30, 32; § 12, упр. 34, 38; [5], гл. VI, § 7, п. 2°, задачи 1916, 1917, 1920, 1924.


5. Поверхности уровня и линии уровня в скалярном поле. Производная по направлению и градиент


Литература. [4], гл. VIII, § 13; [5], гл. VI, § 1, задачи 1794 (а, б, в, г, ж), 1796; [4], гл. VIII, § 14, 15, упр. 40—43; [5], гл. VI, § 6, задачи 1884, 1886—1888.


6. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных


Литература. [4], гл. VIII, § 16, 17, упр. 47—49; § 18; [5], гл. VI, § 13, п. 5°, задачи 2021—2023.

При исследовании функции нескольких переменных на экстремум следует иметь в виду, что точки экстремума могут находиться как среди точек, в которых частные производные равны нулю, так и среди точек, в которых частные производные не существуют. Например, функция имеет минимум в точке (0; 0), тогда как в этой точке ее частные производные не существуют. При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в некоторой замкнутой области следует найти все внутренние точки области, в которых функция может иметь экстремум. Затем надо исследовать функцию на границе области и найти там точки, где функция может принимать наибольшие (наименьшие) значения. При этом часто приходится разбивать границу области на части, заданные различными уравнениями. Вычислив значен
ия функции во всех найденных точках, следует сравнить их между собой: наибольшее


(наименьшее) из этих значений и является наибольшим (наименьшим) значением функции во всей замкнутой области.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=2x3—6ху+3у2 в замкнутой области, ограниченной осью Оу, прямой у=2 и параболой у=х2/2 при х>0 (рис. 2).

Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные равны нулю. Решив систему уравнений



найдем две точки О(0; 0) и M(l; 1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция г принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1; 1). Исследуем функцию на границе области.

На отрезке ОА имеем х=0, поэтому на этом отрезке z=3у2 (0≤y≤2)—возрастающая функция одной переменной у; наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА.

На отрезке АВ имеем у=2, следовательно, на этом отрезке функция z=2х3—6x∙2+3∙22=2x3-12x+12 (0≤x≤2) представляет собой функцию одной переменной х, ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Находим производную z'=6x2—12. Решая уравнение z=0 или 6х2—12=0, находим x1,2=±√2. Внутри отрезка 0≤x≤2 имеется лишь одна критическая точка х=√2; соответствующей точкой отрезка




оставить комментарий
страница6/14
Ю. С. АРУТЮНОВА
Дата23.09.2011
Размер1.9 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх