Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
вернуться в начало
скачать
квадратичной формой от этих переменных.

Если положить a21 = a12, то квадратичную форму (34) можно записать в виде

Ф = x1(a11xl+a12x2) + x2(a21x1+a22x2).

или

Ф = х1у12у2, (35)

где



Выражения (36), а значит, и квадратичная форма (34) полностью определяются матрицей



называемой матрицей квадратичной формы. (34).

В дальнейшем всюду будем предполагать, что базис ортонормированный.

Произведем замену базиса. Это приведет к тому, что от переменных x1, x2 мы перейдем к переменным x1, x2 которые выражаются через x1, x2 линейно. Квадратичная форма (34) также преобразуется, но остается квадратичной (конечно относительно новых переменных x1, x2); преобразуются лишь ее коэффициенты. Выражение (35) принимает вид



где



Матрица А теперь имеет вид

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования является диагональной с собственными значениями на главной диагонали:



где λ1, λ2 — собственные числа; система (36') принимает вид у'1=-λ1х'1, у'2=λ2х'2, а квадратичная форма (35') —вид



Выражение (38) называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично приводится к каноническому виду и квадратичная форма с большим числом переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду можно использовать для приведения к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка.

Пример 8. Привести к каноническому виду уравнение линии

17х2 + 12ху + 8x220 = 0.

Решение. Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму

17х2 + 12ху + 8x2.

Ее матрица



Собственными значениями соответствующего линейного преобразования являются числа λ1 = 5, λ2=20 (п. 9, пример 7). Следовательно, квадратичная форма 17х2 + 12ху + 8x2 преобразуется к каноническому виду



а данное уравнение— к виду



Данная линия — эллипс.

Можно указать и базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид. Его легко получить исходя из собственных векторов линейного преобразования с матрицей А:



(п. 9, пример 7).

Предполагая, что исходный базис — ортонормированный, находим длину вектора и, равную . Нормируя вектор и, получаем вектор . Аналогично, . Базис e1, е’2 и является искомым ортонормированным базисом, в котором данное уравнение принимает канонический вид.

Можно записать и формулы преобразования координат. Если обозначить векторы исходного базиса через . Сравнивая с формулой (см. [1], гл. 1, § 4, п. 3) е’1=cos φ∙e1+sin φ∙е2, заключаем, что следовательно,



Подставив эти выражения в данное уравнение и преобразовав его, убедитесь, что получится то же каноническое уравнение. Сделайте чертеж.


Вопросы для самопроверки


  1. Что называется преобразованием пространства? Какие преобразования называются линейными?

  2. Как найти матрицу линейного преобразования, являющегося произведением двух линейных преобразований, матрицы которых известны?

  3. Что называется собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования? Как их найти?

  4. Что называется квадратичной формой и ее матрицей? В каком случае говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид?

  5. Как применяется теория квадратичных форм для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду?


11. Комплексные числа


Литература. [4], т. I, гл. VII, § 1—3, упр. 1—10; [1], гл. V, § 7, п. 1—4.

В пособии [4] комплексное число z определено как выражение

z=a+bi (39)

где а и b — действительные числа, а символ i (мнимая единица) определяется равенством

(40)

Комплексные числа можно интерпретировать с помощью векторов: комплексное число z=a+bi изображается вектором r (а; b). Линейные операции над комплексными числами соответствуют тем же операциям над векторами, причем безразлично, производятся ли они непосредственно над направленными отрезками r плоскости или над элементами ее координатного пространства R2 — парами чисел (а; b) (см. п. 7, с. 45). Но пару чисел (а; 0) можно отождествить с действительным числом а:

(а; 0) = а, (41)

а пару (0; b) можно записать в виде (0; b) =b(0; 1). Если обозначить

(0; l) = i, (42)

то в силу (41) и (42) получим



Следовательно, выражение (39) можно рассматривать как специфическую форму представления вектора (а; b) линейного (векторного) пространства R2 в виде суммы двух векторов пар чисел — (а; 0)=a и (0; b)=bi.

Равенство (40) также может быть интерпретировано с точки зрения некоторой операции над элементами R2, но уже не линейной операции, а дополнительно определенной операции умножения. Дело в том, что в множестве комплексных чисел кроме линейных операций должна быть определена еще одна операция — умножение. Ее определяют так, чтобы сохраняли силу все правила обычной алгебры (алгебры действительных чисел). Если z1=a1+b1i и z2=a2+b2i — два комплексных числа, то их произведение также комплексное число:



Для того чтобы последнее выражение имело смысл, надо определить смысл символа i2 (т. е. произведения ii). Его-то и определяет условие (40), в силу которого получаем



или



Правило (43) или, что то же самое (43') умножения комплексных чисел является следствием (40). Обратно, если (43) или (43') принять за исходное определение операции умножения комплексных чисел, то их него, как следствие, вытекает (40). Действительно, в силу (42) и (43)



Обратимся снова к интерпретации комплексных чисел как векторов — направленных отрезков на плоскости: комплексное число z=a+bi изображается вектором с координатами (а; b). Тогда, очевидно,



или

(44)

где модуль комплексного числа z (обозначается также r=|z| φ — угол вектора z с осью Ох — аргумент комплексного числа z. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно:



Поэтому вместо (44) можно записать



или



Выражения (39) и (44) являются различными формами записи комплексного числа г. (39) называется алгебраической формой, а (44) — тригонометрической формой записи. Для операции сложения комплексных чисел удобна алгебраическая форма их записи: при сложении комплексных чисел складывают отдельно их действительные и мнимые части. Для операции умножения комплексных чисел удобнее тригонометрическая форма' при умножении комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы складывают. Тригонометрическая форма удобна также при делении комплексных чисел, возведении их в степень и извлечении корня.

Множество комплексных чисел принято обозначать С. Интерпретация С как линейного векторного пространства R2 с дополнительно определенной операцией умножения его элементов по формуле (43) принята в пособии [1].

В силу (41) множество действительных чисел R можно отождествить с множеством пар чисел вида (х; 0), которое является подмножеством С. К этому подмножеству не принадлежит пара (0; 1) = i, но в силу (39) любое комплексное число z=a+bi может быть представлено как сумма действительного числа а = (а; 0) и мнимого числа bi. В этом смысле говорят, что множество комплексных чисел С может быть получено расширением множества действительных чисел R. Для такого расширения достаточно каждое действительное число х рассматривать как пару (х; 0) и к множеству этих пар присоединить число (0; 1) = i.

Выше было рассмотрено понятие действительного линейного пространства; для элементов таких пространств определяется операция умножения на действительное число. Аналогично можно определить понятие комплексного линейного (векторного) пространства. Для этого нужно определить операцию умножения элементов данного множества L на комплексные числа. Действительные и комплексные линейные пространства имеют много общих свойств. В пособиях [1] и [10] такие пространства рассматриваются одновременно. Программа курса высшей математики предусматривает изучение только действительных линейных пространств.


Вопросы для самопроверки


  1. Что называется комплексным числом?

  2. Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их.

  3. Что называется действительной и мнимой частями комплексного числа?

  4. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

  5. Что называется алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа?

  6. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?

  7. 7. По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами'

  8. Запишите формулу Муавра.

После изучения темы III выполните контрольную работу 2.


^ ТЕМА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


1. Число. Переменная. Функция


Литература. [4], гл. I, § 1—5; [5], гл. I, § 1, (п. 1°), задачи 1—3; гл. X, § 1, задачи 3108—3127; [4], гл. I, § 6, упр. 1—6, § 7, упр. 8—10, 12, 14, 16, 18, 28, 29, 34, 39, 40; § 8, упр. 7; § 9; [5], задачи 7, 8, 161—163, 12, 14, 17, 20, 21, 41, 42, 26.


Рекомендуется также прочитать из [11] § 1.4—1.11 и § 3.1, где содержится более полное и более строгое изложение понятий действительного числа и функции.

Если известен график функции y=f(x), то график функции вида y=kf(mx+b)+a можно построить последовательным преобразованием графика функции y—f(x).

Покажем, например, как с помощью таких преобразований можно построить график функции у=-2sin(2*+2) исходя из известного графика функции y=sinx. От функции y=sinx к функции у =-2sin(2x+2) можно перейти с помощью следующей цепочки преобразований:



Геометрически это приводит к следующим построениям (рис. 1):

1
.
Строим волну синусоиды y = sinx; 0≤х≤2π.

2. Отмечаем на синусоиде несколько точек и уменьшаем в два раза их абсциссы, не изменяя ординат; таким образом, мы отображаем точку (х; у) в точку (x1; y1), где x1=x/2, y1=y. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции y1=sin2x1, являющийся результатом «сжатия» графика функции y=sinx коси Оу в два раза.

3. Увеличиваем ординаты точек, построенных в предыдущем пункте, в два раза, а затем меняем их знаки на противоположные, не изменяя абсцисс; таким образом, мы отображаем точку (х1; у1) в точку (х2; у2), где у2=-2у1, x2=x1. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции у2=-2sin2x2, являющийся результатом «растяжения» графика функции y1=sin2x1, от оси Ох в два раза с последующим зеркальным отражением графика от оси Ох.

4. Переносим точки, построенные в предыдущем пункте, на —1 в направлении оси Ох (т. е. на единицу влево); таким образом, мы отображаем точку (х2, у2) в точку (X, Y), где Х=х2—1, Y=y2. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции Y=-2sin2(X+1)=-2sin(2X+2), являющийся результатом «сдвига» графика функции у2=-2sin2x2 на -1 в направлении оси Ох. Искомый график функции y=-2sin(2x-2) построен.


Вопросы для самопроверки


  1. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?

  2. Что называется погрешностью, предельной абсолютной погрешностью и предельной относительной погрешностью?

  3. Как записываются приближенные числа?

  4. Каковы правила арифметических действий с приближенными числами'

  5. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

  6. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

  7. Какая функция называется периодической? Приведите примеры.

  8. Какая функция называется сложной' Приведите примеры.

  9. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

  10. Как, зная график функции y=f(x), можно построить графики функций y=f(mx), y=f(mx+b), y=kf(mx+b)+a?


2. Предел и непрерывность функций


Литература. [4], гл. II, § 1—5, упр. 1, 4, 6, 8—14, 18, 19; § 6, упр. 31—33, 35, 37—40; § 7, 8, упр. 41—44, 46, 48, 49; § 9, упр. 2, 3, 21—23, 25—30, 45, 47, 57, 59; § 10, 11, упр. 60—62; [5], гл. I, § 3.

Можно использовать также пособия [5], гл. I, § 3—5 и [9], ч. I, гл. VI, § 1—6.

Рекомендуется также прочитать из [11] гл. 2 и 3, где дано углубленное изложение материала.


Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

  2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?

  3. Сформулируйте определение ограниченной функции. Докажите теорему об ограниченности функции, имеющей предел.

  4. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

  5. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?

  6. Докажите основные теоремы о пределах функций.

  7. Докажите, что («первый замечательный предел»).

  8. Сформулируйте определение числа е («второй замечательный предел»).

  9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?

  10. Сформулируйте теорему об области непрерывности элементарных функций.

  11. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

  12. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.

  13. Покажите, что при x→0 бесконечно малые sinx, arcsinx, tgx, arctgx попарно эквивалентны.

  14. Пусть х→0. При каком значении а бесконечно малые asin2x и 1—cosх эквивалентны?

После изучения темы IV выполните контрольную работу 3.


^ ТЕМА V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ


1. Производная


Литература. [4], гл. III, § 1, 2, упр. 1, 3, 4; § 3, упр. 7, 8; § 4—8, упр. 10, 12, 15, 16, 20—22, 24, 27, 29, 42, 45, 71; § 9, упр. 33— 40, 43, 46—48, 50, 52, 54, 56, 58, 59. 61, 64—68, 72, 74, 75, 78, 80; § 10, упр. 51, 53, 60, 62, 63, 79, 81; § И, упр. 142, 143, 147, 149—151; § 12, упр. 83, 85, 90, 100, 101, 108, ПО, 113; § 13, 14, упр. 116, 118, 120, 134, 137; § 15, упр. 222—227; § 16—18, упр. 152—157, 159—161; § 19; § 26, упр. 207, 210—213, 216—219; § 27.

Можно использовать также [5], гл. II, § 1—4; [9], ч. I, гл. VII, § 1.


Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

  2. Какой класс функции шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в той же точке? Приведите примеры.

  3. Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.

  4. Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите примеры.

  5. Выведите формулы производных постоянной и произведения постоянной на функцию.

  6. Выведите формулы дифференцирования тригонометрических и логарифмической функций.

  7. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите примеры.

  8. Выведите формулы дифференцирования степенной функции с любым действительным показателем, показательной функции, сложной показательной функции.

  9. Докажите теорему о производной обратной функции. Выведите формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.


2. Дифференциал


Литература. [4], гл. III, § 20, 21, упр. 162—164, 166, 169-171, 230, 231.


Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте определение дифференциала функции.

  2. Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?

  3. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

  4. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?

  5. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?


3. Производные и дифференциалы высших порядков


Литература. [4], гл. III, § 22, 25, упр. !72, 176, 183, 184, 188, 190, 194, 206, 233, 234; § 24, упр. 196, 201—205, 236; § 23.


Вопросы для самопроверки


  1. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

  2. Каков механический смысл второй производной?

  3. Как находятся первая и вторая производные функций, заданных параметрические?

  4. Выведите формулу для производных n-го порядка от функций: y




    оставить комментарий
    страница5/14
    Ю. С. АРУТЮНОВА
    Дата23.09.2011
    Размер1.9 Mb.
    ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх