Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
вернуться в начало
скачать
k); их компоненты аij – имеют по два индекса: (первый (i) – номер компоненты данного вектора, второй (j) – номер вектора в системе. Кроме того, пусть задан еще вектор b(b1; b2;…; bn). В силу определений равенства векторов и операций сложения и умножения вектора на число в Rn, т. е. на основании (19)—(21), векторное равенство (22) теперь можно записать в виде системы n линейных уравнений с k переменными:



Компоненты вектора аj образуют столбец коэффициентов при переменной хj, в этой системе, а компоненты вектора b – столбец свободных членов. Обратно, если в произвольно заданной системе линейных уравнений (28) совокупность коэффициентов при одной я той же переменной и свободные члены интерпретировать как соответствующие n-мерные векторы, то получаем векторное уравнение (22).

Уравнение (22) называют векторной формой записи системы линейных уравнений (28).

Если система (28) несовместна, то разложение данного вектора b по векторам а1, a2…, ak невозможно; если система (28) совместна, то разложение возможно, а каждое решение системы (28) является совокупностью коэффициентов этого разложения.

В частности, уравнение (23) является векторной формой записи однородной системы линейных уравнений



Система (29) всегда совместна, так как имеет нулевое решение; если это решение единственное, то равенство (23) имеет место только при нулевых значениях коэффициентов, т. е. система векторов а1, a2…, ak линейно независима. С другой стороны, нулевое решение системы (29) является единственным тогда и только тогда, когда ее ранг r равен числу переменных (r=k), или, иначе говоря, система векторов а1, a2…, ak линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы



столбцы которой образованы компонентами этих векторов, равен числу ее столбцов. Но rn, следовательно, если система векторов линейно независима, то k=rn, т. е. в пространстве Rn система линейно независимых векторов не может содержать более n векторов; любые же n векторов, для которых определитель со столбцами, образованными компонентами векторов



отличен от нуля, являются линейно независимыми (k=n, ∆≠0, система (29) имеет единственное нулевое решение; матрица (30) квадратная, ∆ является ее определителем, ранг матрицы r=n).

Отсюда следует, что размерность линейного пространства Rn равна n.

Замечание. Выше размерность пространства Rn была определена как число компонент его векторов. Теперь показано, что размерность Rn как линейного пространства равна тому же числу n,

Векторы, для которых ∆≠0, образуют базис пространства; решение системы (28) является совокупностью координат вектора b в этом базисе (в системе (28) в этом случае также k=n, системы (28) и (29) имеют один и тот же определитель ∆).

Пример 4. Даны векторы a1(2; 4; 3; 2), а2(4; 2; 2: 8), а3(4; 5; 8; 7), a4(6; 7; 5; 3) и b(18; 24; 13; 6). Показать, что векторы а1, а2, а3, а4 образуют базис четырехмерного линейного пространства R4 и найти координаты вектора b в этом базисе.

Решение. Составим определитель (31) из компонент векторов а1, а2, а3, а4 и вычислим его:



Так как ∆≠0, то векторы а1, а2, а3, а4 образуют базис четырехмерного пространства R4. Для вычисления координат вектора b в этом базисе составим систему линейных уравнений



Ее решение x1=2, х2=0, x3=-1, x4=3 образует совокупность координат вектора b в базисе а1, а2, а3, а4, т. е. в этом базисе b(2; 0; -1; 3) или

b=2а1 — а3 + 3а4.

Базис в Rn, как и в любом другом линейном пространстве, может быть выбран не единственным образом. В частности, базис образуют векторы еj(j=1, 2,..., n), у каждого из которых одна (j-я) компонента равна единице, а все остальные — нули, т. е. ej (l; 0; 0;…; 0), е2(0; 1; 0;...; 0),..., еn(0; 0; 0;...; 1). Рекомендуется проверить это самостоятельно. Очевидно, для любого вектора b (b1; b2;…; bn) имеем

b=b1e1+b2e2+…+bnеn,

т. е. компоненты вектора являются одновременно и координатами его в базисе е1, е2,…, еn, поэтому вместо «компоненты вектора» говорят также «координаты вектора».

Пусть имеется некоторое линейное пространство L. Выделим в нем некоторое подмножество L' его элементов. Так как элементы L' являются одновременно элементами и L, то для них определены те же линейные операции, которые рассматриваются в L. Если при этом сумма элементов из L' и произведение элемента из U на число также принадлежит L', то L' само образует линейное пространство. В этом случае линейное пространство L' называют подпространством пространства L.

Так, например, пространства V2 и V1 являются подпространствами пространства V3; пространство V1, в свою очередь, является также и подпространством пространства V2; пространство многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа m является подпространством пространства всех многочленов (любых степеней).

Приведем еще один пример. Пусть система однородных линейных уравнений



имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых является вектором из Rn. Это множество образует линейное пространство относительно линейных операций, определенных в Rn (рекомендуется проверить это самостоятельно); оно является подпространством пространства Rn.

Если ранг системы (32) равен r, то ее общее решение при базисных переменных x1, x2, …, xn можно записать в виде



где k=n-r (cp. (1) и (7) на с. 31 и 33, где следует положить b1=...=bm=0, α1=…= αr=0). Систему (32) можно записать в векторной форме (23) (при n=k векторы аj - являются m-мерными), а ее решение (33) — в виде

х=xr+1q1r+2q2+…+хr+kqk,

где x(x1; х2;...; xr; xr+1;...; хr+k), а каждый из векторов qj (j=1, 2,…, k) таков, что его первые r компонент образуют столбец коэффициентов при xr+j в общем решении (33), компонента с номером i+j равна 1, а все остальные компоненты — нули. Векторы q1, q2, … qr линейно независимы и образуют базис пространства решений системы (32), размерность которого равна k=n-r.

Пример 5. Пусть имеется однородная система линейных уравнений



Применяя метод Гаусса, найдем ее общее решение:

х1=13x3-17x4, x2=-4x3+7x4,

или в векторной форме

x (x1; x2; х3; x4) = х (13x3 -17x4; -4x3 + 7x4; х3; x4) = (13x3; -4x3; x3; 0) + (-17х4; 7x4; 0; x4) = x3(13; -4; 1; 0) + x4(-17; 7; 0; 1).

Кратко можно записать так:

x = x3u+x4v,

где u=(13; -4; 1; 0), v=(-17; 7; 0; 1).

Здесь x3, x4 — свободные, x1, x2 — базисные переменные; ранг системы r=2. Векторы u и v являются частными решениями системы: решение и получается из общего решения при x3=1, x4=0, а решение v — при x3=0, x4=1. Они линейно независимы. Действительно, нулевое решение 0(0; 0; 0; 0) получается из общего только при x3=0, х4=0; иначе говоря, равенство x3u+x4v=0 имеет место только при x3=0, x4=0.

Итак, любое решение x системы представлено в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений u и v. Следовательно, эти два решения образуют базис пространства решений системы, размерность которого равна 2. Оно является подпространством пространства R4.


8. Евклидовы пространства

Литература. [1], гл. VII, § 1 (пример 3 опустить); [10], §6, 17; [9],ч. I, гл. V, §5.


Вопросы для самопроверки

  1. Как определяется линейное (векторное) пространство? Приведите примеры

  2. Сформулируйте определения линейной зависимости и независимости векторов.

  3. Что называется размерностью линейного пространства? Приведите примеры.

  4. Что называется базисом линейного пространства? Приведите примеры.

  5. Что называется векторной формой записи системы линейных уравнений?

  6. Что называется подпространством линейного пространства? Приведите примеры.

  7. Что называется евклидовым пространством?

  8. Как определяется скалярное произведение векторов в линейном пространстве и, в частности, в пространстве Rn?

  9. Как определяются модуль вектора и угол между векторами в линейном пространстве?

  10. Напишите неравенство Коши—Буняковского в общем виде и, в частности, для пространства Rn.


9. Линейные преобразования (операторы)


Литература. [2], гл. III, § 12—22; [1], гл. VI, § 3, 4; [10], § 15—21; [9], ч. I, гл. IV, § 2; гл. V, § 4.

Если задано правило, по которому каждому вектору x линейного пространства поставлен в соответствие вектор у того же пространства, то говорят, что задано преобразование этого пространства. Преобразования называют также операторами.

Линейное преобразование полностью характеризуется его матрицей. Поэтому действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор x переводится в вектор у линейным преобразованием с матрицей А, а вектор у переводится в вектор z линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному же преобразованию, переводящему вектор х в вектор z (оно называется произведением составляющих преобразований). Матрица этого линейного преобразования С=ВА.

Пример 6. Даны два линейных преобразования:



Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее z1, z2, z3 через x1, х2, х3.

Решение. Первое преобразование определяется матрицей А, а второе — матрицей В, где



Искомое преобразование является произведением данных преобразований с матрицей



Перемножив матрицы В и A, получим матрицу



Следовательно, искомое преобразование таково:



При отыскании собственных векторов линейного преобразования следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя, т. е. если некоторый вектор u - собственный, то и вектор αu (α≠0) - собственный. Таким образом, фактически определяется собственное направление или собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании.

Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы А:



Корни этого уравнения λ1=5 и λ2=20 и являются собственными значениями линейного преобразования.

Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений



Полагая λ=λ1=5, получаем систему уравнений для первого собственного вектора u(u1; u2):



Применяя метод Гаусса, найдем ее общее решение: u2=-2u1 (ранг системы r=1, u1 — свободная, u2 —базисная переменная). Следовательно, первым собственным вектором, определяющим первое собственное направление, является u (u1; u2) = (ul; —2u1)=u1(l; -2).

Меняя u1, будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой (коллинеарные). Все они - собственные.

Полагая λ=λ2=20, получаем систему уравнения для отыскания координат второго собственного вектора v(v1; v2);



Снова ранг системы r=l, а общее решение v1=2v2 (v2 — свободная, v1 — базисная переменная). Второй собственный вектор v(v1; v2) = (2v2; v2)=v2(2; 1) определяет второе собственное направление.

Вид матрицы линейного преобразования зависит от выбора базиса. Если за базис принять совокупность собственных векторов, то матрица линейного преобразования принимает диагональный вид, где на главной ее диагонали стоят собственные значения. Например, в двумерном пространстве это матрица . Линейное преобразование в таком базисе имеет вид y11x1, y22x2.


10. Квадратичные формы

Литература. [2], гл. III, § 23—25; [1], гл. IX, § 2; [10], §22—26; [9], ч. I, гл. V, § 7.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных x1 х2

Ф(x1; х2) = а11х21 + 2а12х1х2 + а22x22 (34)

называется




оставить комментарий
страница4/14
Ю. С. АРУТЮНОВА
Дата23.09.2011
Размер1.9 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх