Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
вернуться в начало
скачать
действительным. Далее мы познакомимся с комплексными числами — обобщением понятия действительного числа. С их помощью аналогично определяется понятие комплексного линейного (векторного) пространства, имеющее много свойств общих со свойствами действительного линейного пространства, но во многом и отличающееся от него. Здесь пока будем рассматривать только действительные линейные пространства и для краткости слово «действительное» в их названии опускать.

Приведем некоторые примеры линейных пространств. В первых трех примерах будем рассматривать множества векторов — направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число, определенными так, как они определялись в векторной алгебре. Линейными пространствами являются:

1. Множество всех вектором пространства; его обозначают V3.

2. Множество всех векторов, принадлежащих некоторой плоскости или параллельных ей; его обозначают V2.

3. Множество всех векторов, принадлежащих некоторой прямой или параллельных ей; его обозначают V1.

В следующих двух примерах будем рассматривать множества многочленов относительно переменной t, т. е.

x=PR(t)=a0+a1+t+…+aRtR,

с операциями сложения и умножения на число, определенными так, как они определялись в элементарной алгебре. Линейными пространствами являются:

4. Множество всех многочленов (любых степеней).

5. Множество всех многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа m(k≤m).

6. Линейным пространством является множество всех матриц размера mn операциями сложения и умножения на число, определенными так, как они определялись в алгебре матриц.

7. Введем теперь линейные операции в арифметическом пространстве Rn, превратив его таким образом в арифметическое линейное (векторное) пространство. Элементы его будем называть теперь векторами, а числа, образующие вектор, — компонентами вектора. Два вектора х (x1; x2; ...; хn) и у (y1; у2, ...;yn) называются равными (х=у),если

хii (i=l, 2,…,n); (19)

вектор z (z1, z2;...; zn) называется суммой векторов х и у (z=x+y), если

zi=xi+yi (i = 1,2…, n); (20)

вектор p (p1; р2,…, рn) называется произведением вектора х на число α(р=αх=хα), если

pi=αxi (i = l, 2,…, n). (21)

Нуль-вектором (нулем) является вектор 0(0; 0;...;0); вектором, противоположным вектору х 1; х2; ...;xn), является вектором (-х)=(-x1, -x2,…,xn).

Интересно заметить, что арифметическое линейное пространство можно рассматривать и как частный случай линейного пространства матриц (пример 6). Действительно, вектор (х1; х2; ...; хn) является однострочной матрицей , а равенства (19)—(21) являются частным случаем общего определения равенства матриц и линейных операций над ними (для случая однострочных матриц).

Компоненты вектора можно записывать не в строку, а в столбец (заметим, что матрица-столбец получается из матрицы-строки транспонированием). Тогда Rn является пространством одностолбцовых матриц.

8. Само множество действительных чисел R, поскольку в нем определены операции сложения и умножения действительного числа на другое действительное же число, также является линейным (векторным) пространством. Его можно рассматривать как частный случай примера 7 при n=1. Здесь два множества L и R совпадают (L≡R)—каждое действительное число является и вектором, принадлежащим L, и скаляром, принадлежащим R.

Выполнение аксиом 1°—8° во всех примерах рекомендуется проверить самостоятельно.

Выражение

x1a1+x2a2+…+xkak

называется линейной комбинацией векторов а1, а2,…, аk с коэффициентами x1, х2,..., хn. Любая линейная комбинация векторов линейного пространства представляет собой, очевидно, вектор того же пространства. Если некоторый вектор b линейного пространства представлен в виде линейной комбинации векторов а1, а2,…, аk того же пространства, т. е.

b=x1a1 + x2a2+…+xkak, (22)

то говорят, что вектор b разложен по векторам а1, а2,…, аk.

Если в линейном пространстве задана система векторов a1, а2…, ak, то может оказаться, что либо всякий вектор пространства можно разложить по этим векторам, либо в пространстве существуют векторы, которые не могут быть разложены по ним. Например, в пространстве V3 (пример 1) по двум неколлинеарным векторам можно разложить любой вектор, лежащий с ними в одной плоскости, но нельзя разложить вектор, не лежащий в той же плоскости.

Важную роль в теории линейных пространств играет понятие линейной зависимости и независимости векторов. Система векторов a1, а2…, ak некоторого линейного пространства L называется линейно независимой, если равенство

x1a1 + x2a2+…+xkak =0 (23)

имеет место только при нулевых значениях коэффициентов; если же равенство (23) имеет место и при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то система векторов a1, а2…, ak называется линейно зависимой (ср. [1], гл. I, § 1, п. 5).

Равенство (23) является частным случаем (22) при b=0, т. е. представляет разложение нуль-вектора по векторам a1, а2…, ak. Такое разложение всегда возможно — достаточно положить все коэффициенты равными нулю. Следовательно, линейная независимость системы векторов означает, что разложение нуль-вектора по векторам системы возможно единственным образом, а линейная зависимость – что такое разложение не является единственным.

Если система содержит более одного вектора (k>1), то линейная зависимость системы означает, что, по крайней мере, один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов системы. Действительно, пусть векторы a1, а2…, ak линейно зависимы и пусть в (23), например, xk≠0. Тогда из (23) получаем



т.е. вектор аk разложен по векторам а1, а2, …, аk-1. Обратно, если

ak1a1+ λ2a2+…+ λk-1ak-1,

то

λ1a1+ λ2a2+…+ λk-1ak-1-ak=0,

т. е. имеет место равенство (23) при хk=-1≠0 – векторы линейно зависимы.

В линейных пространствах V2 и V3 (примеры 1 и 2) линейная зависимость двух векторов означает их коллинеарность, а трех векторов— их компланарность (см. [1], гл. I, § 1, п. 5).

Для системы, состоящей из одного вектора, линейная зависимость означает, что этот вектор является нуль-вектором, а линейная независимость – что он не равен нулю. Действительно, обозначим этот единственный вектор a1(k=l). Равенство (23) принимает в этом случае вид x1a1=0. Если a1=0, то последнее равенство имеет место как при x1=0, так и при х1≠1; если же а 1≠0. то равенство имеет место только при x1=0.

В пространстве V1 (на прямой) линейно независимая система не может содержать более одного вектора — система из двух (и более) векторов всегда линейно зависима; в пространстве V2 (на плоскости) линейно независимая система не может содержать более двух векторов — любая система из трех (и более) векторов линейно зависима; в пространстве V3 линейно независимая система не может содержать более трех векторов — любая система из четырех и более векторов линейно зависима (см. [1], гл. I, § 1, п. 5). Обобщая, сформулируем определение: если в линейном пространстве имеются n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов линейно зависимы, то пространство называется конечномерным; если же линейное пространство таково, что в нем существуют системы из сколь угодно большого числа линейно независимых векторов, то пространство называется бесконечномерным. Максимально возможное число линейно независимых векторов в конечномерном пространстве называют размерностью этого пространства; если размерность конечномерного пространства равна я, то его называют n-мерным.

В соответствии с этими определениями прямая является одномерным, плоскость — двумерным, наглядное геометрическое пространство — трехмерным линейным пространством, что согласуется с интуитивными представлениями.

В пространстве многочленов относительно переменной t (примеры 4 и 5) многочлен Pn(t)=a0+a1t+…+aktki — действительные числа) представляет собой линейную комбинацию одночленов 1, t, t2,…, tk с коэффициентами a0, а1…, ak. Сами эти одночлены, в свою очередь, являются многочленами при соответствующих значениях коэффициентов. Они линейно независимы, так как тождество a0+a1t+…+aktk≡0 имеет место только при нулевых значениях коэффициентов a0, а1…, ak. В линейном пространстве всех многочленов (пример 4) показатель степени k может принимать сколь угодно большое значение, следовательно, это линейное пространство — бесконечномерное. Линейное же пространство всех многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа m (пример 5) является (m+1)-мерным, так как одночлены 1, t, t2,…,tm линейно независимы, а одночлены более высоких степеней отсутствуют (k≤m), а любой многочлен степени не выше m является линейной комбинацией указанных одночленов, т. е. образует с ними линейно зависимую систему

Система n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом этого пространства. По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства, причем единственным образом. Действительно, пусть векторы a1, а2,…, an, образуют базис некоторого n-мерного линейного пространства, а b — произвольный вектор того же пространства. Система a1, а2,…, an, b содержит n+1 вектор и, следовательно, линейно зависима, т. е. имеет место равенство

λ1a12a2+…+λnan+1λn+1b=0, (25)

в котором некоторые из коэффициентов могут принять значения, не равные нулю. В их число обязательно войдет коэффициент λn+1, так как в противном случае получаем равенство

λ1a1+λ2a2+…+λnan=0,

среди коэффициентов, которого есть отличные от нуля, что противоречит линейной независимости векторов a1, а2,…, an. Следовательно, из (25) можно получить



или

b=xiai+x2a2+…+xnan, (26)

т. е. вектор b разложен по векторам a1, а2,…, an. Докажем единственность этого разложения. Пусть кроме (26) имеем еще разложение

b1а12а2++ уnаn. (27)

Из (26) и (27) получаем

b-b=0=(х1-у1)а1+(x2-y2)a1+(x2+y2)a2+…+(xn-yn)an. В силу линейной независимости векторов a1, а2,…, an имеем

x1-y1=0, х22=0,…, хnn=0,

или x1=y1, х22,…, хnn,

т. е. любое разложение вектора b по векторам a1, а2,…, an совпадает с (26). Таким образом, единственность разложения доказана (ср. приведенное доказательство с доказательством теоремы 1 в [1], гл. I, § 1, п. 4).

Коэффициенты разложения вектора конечномерного линейного пространства по векторам базиса этого пространства называются координатами вектора в данном базисе.

В приведенных выше примерах линейных пространств базисами являются; в примере 1 – любая тройка некомпланарных векторов; в примере 2 – любая пара неколлинеарных векторов плоскости; в примере 3 – любой отличный от нуля вектор прямой; в примере 5 – одночлены 1, t, t2,...,tm; координатами вектора (многочлена Pm(t)=a0+a1t+ a2t2+…+amtm) является совокупность коэффициентов (a0, а1, a2…, am).

Пространство всех многочленов (пример 4) бесконечномерное и поэтому базиса в нем не существует.

Вектор и-мерного линейного пространства имеет n координат. Если вектор х имеет координаты (х1, х2;…; хn), то пишут х(х1, х2;…; хn). Совокупность координат вектора является элементом арифметического пространства Rn. Более того, линейные операции над векторами данного линейного пространства, в котором введена система координат (а для этого достаточно задать базис), можно производить в координатах по формулам (19) — (21), благодаря которым пространство Rn можно считать векторным пространством. Поэтому арифметическое линейное пространство называют также координатным пространством. Любое линейное n-мерное пространство L можно изучать с помощью координатного пространства Rn. В этом состоит особая роль векторного пространства Rn. Так, в векторной алгебре (тема 1) мы изучали пространство V3 с помощью координатного пространства R3.

Рассмотрим теперь подробнее вопрос о самом векторном пространстве Rn, найдем его размерность и базис. Пусть в пространстве Rn даны k векторов (система векторов) aj(a1j; a2j;…; аnj) (j=1, 2,…,




оставить комментарий
страница3/14
Ю. С. АРУТЮНОВА
Дата23.09.2011
Размер1.9 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх