Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье icon

Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания красноярск 2009 удк 546/(076. 1)...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников средних специальных учебных...
Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для...
Методические указания, программа...
Методические указания, программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников образовательных учреждений...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних специальных учебных...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников средних профессиональных...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Методические указания по курсу для студентов заочников всех технических специальностей Брянск...
Учебник Третье издание...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
вернуться в начало
скачать
1 чисел R начинают изучать еще в средней школе. Там же рассматривают различные числовые множества (подмножества R): множество натуральных чисел (N), целых чисел (Z), рациональных чисел (Q) и т. п. В современной математике изучают и такие числовые множества, каждый элемент которых, в свою очередь, — совокупность нескольких действительных чисел. Так, благодаря методу координат в аналитической геометрии вместо точек или векторов геометрического пространства рассматривают тройки чисел (аналогично на плоскости — пары чисел)—координат точек (векторов) ; линейное уравнение с п переменными x1, х2, ..., хn

а1х1 + а2х2 + …+аnхn=b

полностью определяется совокупностью его коэффициентов и правой частью (a1; а2,...; аn; b); каждое решение такого уравнения (α1, α2;...; αn) - также совокупность чисел; план и результат работы любого предприятия характеризуются определенными числовыми показателями, т. е. опять-таки совокупностью чисел, и т. п. При этом для задания такой совокупности надо знать не только образующие ее числа, но и какое место занимает в ней каждое число; например совокупности (2; 3) и (3; 2) надо считать различными. В этом смысле говорят, что совокупности чисел, которые мы будем рассматривать, упорядочены.

Как уже отмечалось, в аналитической геометрии упорядоченные тройки чисел имеют двоякий смысл: либо это координаты точки, либо координаты вектора. Здесь упорядоченные тройки чисел — самостоятельный объект изучения. При этом сохраняется прежняя терминология — будем применять для них два термина: точка (х1; x2; x3) и вектор (х1; x2; x3). Обобщая, будем называть упорядоченную совокупность и чисел (х1; x2;...; хn) точкой или вектором (иногда n-мерной точкой или n-мерным вектором). Множество всех n-мерных точек (n-мерных векторов) будем называть n-мерным арифметическим пространством, а число п — размерностью этого пространства.

Арифметическое n-мерное пространство обозначают Rn. Очевидно, R1 — множество действительных чисел; в этом случае индекс опускают и пишут просто R. Одномерное пространство R называют также числовой прямой, двумерное пространство R2числовой плоскостью, а n-мерное пространство Rn (n≥3) — числовым пространством. Перенос геометрической терминологии из теории наглядного геометрического пространства на R, R2, R3 естествен в силу метода координат. При n>3 такая геометрическая наглядность уже теряет смысл, однако сохранение геометрической терминологии и для R" нельзя считать только условностью. Многие факты, относящиеся к Rn, носят общий характер, не зависящий от n. Так, свойства решений системы линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Можно сказать, что арифметическое пространство Rn любой размерности обладает свойствами, в некотором смысле подобными «геометрическим» свойствам R, R2, R3.

Выше отмечалась равноправность терминов «точка» и «вектор» применительно к элементам Rn. Уточним теперь эту терминологию. Существенным при построении векторной алгебры в наглядном геометрическом пространстве, где векторами являются направленные отрезки, было определение линейных операций над векторами (сложение векторов и умножение вектора на число). Естественно перенести эти операции и на элементы R3, что фактически и было сделано в векторной алгебре (выражение линейных операций над векторами, заданными своими координатами). Теперь, рассматривая R3 как самостоятельный объект изучения, естественно принять правила сложения векторов и умножения вектора на число, выраженные в координатах, за определение соответствующих линейных операций уже над элементами R3. Эти определения обобщаются и на Rn при любом и.

Далее (см. п. 7) рассмотрено более широкое понятие вектора в современной математике и показано, что это понятие связано с линейными операциями и их свойствами. Поэтому естественно в тех задачах, в которых встречаются элементы Rn в связи с линейными операциями над ними, называть их «векторами», а Rn рассматривать как «векторное пространство». Но во многих задачах, относящихся к Rn, линейные операции над его элементами либо вообще не принимаются во внимание, либо отступают на задний план, а в центре внимания оказываются факты геометрического характера, относящиеся к свойствам и взаимному расположению подмножеств («фигур») Rn. В этих случаях более естественно называть элементы пространства Rn «точками» и рассматривать его как «точечное пространство». С векторной точки зрения пространство Rn будет рассмотрено позже: до конца этого пункта Rn рассматривается как точечное пространство.

Точки Rn будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: М(х1; х2;...;хn), Х(х1; х2; ...;.xn), A(a1; а2;...; аn) и т.д. Сами числа, образующие в совокупности точку, будем называть координатами этой точки. Точку, все координаты которой равны нулю, т. е. О(0; 0; ... 0), будем называть началом координат.

Множества точек в Rn («фигуры») будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений.

Область решений совместной системы линейных уравнений с п переменными ранга г называется k-мерной плоскостью в Rn где k = nr (k — число свободных, а г — базисных переменных).

Отметим два особых случая.

1. r=n, k=0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в Rn, т. е. точку можно считать 0-мерной плоскостью.

2. r=0, k=n. Все уравнения системы являются тождествами (0 = 0), все переменные — свободные, область решений системы совпадает со всем пространством Rn, т. е. само пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Если эти два особых случая исключить из рассмотрения, то, очевидно, k может изменяться в пределах 1≤kn—1. Плоскость наибольшей возможной в Rn размерности, но не совпадающую со всем пространством, т. е. (n—1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью, а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, т. е. одномерную плоскость, — прямой.

Пространство R одномерно, и в нем не может быть плоскостей меньших размерностей; в пространстве R2 (числовая плоскость) гиперплоскость совпадает с прямой — это одномерная плоскость; в пространстве R3 гиперплоскостью является двумерная плоскость, а прямой — одномерная плоскость, других плоскостей нет; при n>3 кроме гиперплоскости и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей [(n—2)-мерные,..., трехмерные, двумерные].

Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением

a1xl - а2х2+.. .+ аnхn = b, (8)

в котором не все коэффициенты a1, а2,..., аn равны нулю (a12+a22+...+a2n≠0); последнее условие равносильно тому, что ранг система, состоящей из одного уравнения (8), равен единице.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений



Если ее матрица А имеет ранг, равный 1, то

a21/a11=a22/a12=…=a2n/a1n. (10)

В этом случае гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), называются параллельными. Если при этом ранг расширенной матрицы В системы (9) равен 2, т. е.

a21/a11=a22/a12=…=a2n/a1n≠b2/b1. (11)

то система несовместна — гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), не имеют общих точек (не пересекаются); если же ранг расширенной матрицы также равен 1, т. е.

a21/a11=a22/a12=…=a2n/a1n≠b2/b1. (12)

то ранг системы (9) равен 1, система сводится к одному уравнению — две гиперплоскости совпадают.

Наконец, если ранг матрицы А системы (9) равен 2, то система уравнений (9) определяет (n—2)-мерную плоскость.

Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r=n—1. Если известны две точки U(u1;u2;…;un) и V(v1; v2;…; vn) прямой, то эту систему можно записать в виде



где X(x1; х2;…;х2) - текущая (переменная) точка прямой. Систему уравнений (13) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки U и V (ср. [1], гл. II, § 3, п. 1).

Полагая (xiui)/(viui)=t (i=l, 2,..., n), систему (13) можно записать в виде



Уравнения (14) являются параметрическими уравнениями прямой; параметром является переменная величина t (о параметрических уравнениях линий на плоскости и в пространстве см [1], гл. II, § 1, п. 3). При изменении t от -∞ до +∞ уравнения (14) определяют различные точки X прямой UV. При t = 0 точка X совпадает с точкой U, а при t=1-с точкой V. Если же 0<t<1, то значения x, заключены между соответствующими значениями u1 и v1; в этом случае говорят, что точка X заключена между точками U и V. Множество точек, включающее точки U, V и все точки, лежащие на прямой между ними, называется отрезком прямой, точки U а V— концами, а точки, заключенные между ними, — внутренними точками отрезка. Отрезок с концами U и V обозначают UV.

Отрезок UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии



множество внутренних точек отрезка UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии



Если t<0 или t>1, то точка X, определяемая уравнениями (14), лежит на прямой UV вне отрезка UV, причем если t<0, то точка U лежит между точками X и V, а если t>l, то точка V лежит между U и X.

Замечание. При изучении аналитической геометрии для координат внутренней точки М отрезка АВ были получены формулы



где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2); λ∕μ=|AM|/|MB| (см. [1], гл. I, § 2, п. 2).

Полагая λ∕(λ+μ)=t, получим х=(1—t)x1+tx2, у=(1-t)y1+ty2, z=(1— t)z1+tz2 — частный случай формул (14) при n=3 и соответствующих обозначениях (М≡Х, A≡U, B≡V); при этом t=|AM|/|MB| и для внутренних точек отрезка АВ выполняется условие (16).

Рассмотрим множества точек, определяемых неравенствами



Гиперплоскость


принадлежит, очевидно, обоим этим множествам. Возьмем в одном из них точку U, а в другом V, не принадлежащие гиперплоскости (8). Можно показать, что среди внутренних точек отрезка UV найдется точка, принадлежащая гиперплоскости (8), т. е. отрезок UV пересекает гиперплоскость (8). В этом смысле будем говорить, что множества, определяемые неравенствами (17) и (18), лежат по разные стороны от гиперплоскости (8). Они называются полупространствами. Гиперплоскость (8), принадлежащая обоим полупространствам, является их общей границей.


Вопросы для самопроверки


1. Что называется n-мерным арифметическим пространством?

2. Что называется r-мерной плоскостью в n-мерном арифметическом пространстве?

3. Что называется гиперплоскостью и прямой в n-мерном арифметическом пространстве?

4. Как записываются уравнения гиперплоскости и прямой в n-мерном арифметическом пространстве?

5. В каком случае две гиперплоскости называются параллельными? Каковы условия параллельности и совпадения гиперплоскостей?

6. Как определяется отрезок в n-мерном арифметическом пространстве?

7. Как определяются полупространства n-мерного арифметического пространства?


7. Линейные пространства

Литература. [1], гл. VI, § 1; [9], гл. V, § 1—3.


Как уже отмечалось в предыдущем пункте, понятие вектора в современной математике является довольно широким понятием, связанным с понятием линейных операций (сложением и умножением на число).

Такие операции уже встречались в арифметике, алгебре, векторной алгебре, теории матриц и т. п. В каждом конкретном случае они определялись по-своему, в соответствии со спецификой тех множеств, для которых они рассматриваются (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы и т. п.); например, определения сложения матриц и сложения направленных отрезков очень далеки одно от другого. Но свойства этих операций одинаковы. Именно эта общность свойств и сближает их, позволяет изучать с единой общей точки зрения и говорить, например, о сложении как о единой операции независимо от того, что складывают — числа, векторы, многочлены и т. п.

Пусть имеется некоторое множество L, элементы которого будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, a, b, с, ... (в книгах эти буквы обычно набирают полужирным шрифтом, а в рукописи над ними ставят черточку). Малыми буквами греческого и латинского алфавитов (светлыми и без черточки) будем обозначать числа (действительные). Пусть для элементов L определены понятие равенства (х = у) и две операции: сложение (результат называется суммой: z = x + y) и умножение на действительное число (результат называется произведением: y=

1°. x + у = у + х.

2°. (x + y)+z = x + (y + z).

3°. В множестве L имеется элемент 0, такой, что х+0=х для любого х из L; элемент 0 называют нулевым элементом (или нулем).

4°. Для любого элемента х из L в множестве L имеется элемент (-х), такой, что х+(-х)=0; элемент (-х) называют противоположным элементу х.

5°. 1х=х.

6°. β(αк)=(βα)х.

7°. (α+β)х=αх+βх.

8°. α(х+у)=αх+αу.

Операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам 1°—8°, называют линейными операциями, множество L с линейными операциями — линейным (или векторным) пространством, а его элементы — векторами; свойства 1°—8° называют аксиомами линейного пространства. В отличие от векторов числа называют скалярами.

Аксиому 1° называют коммутативным (переместительным) законом, 2° и 6° — ассоциативным (сочетательным) законом (2° — для векторов-слагаемых, 6° — для скалярных множителей), 7° и 8° — дистрибутивным (распределительным) законом (7° — для суммы скалярных множителей, 8° — для суммы умножаемых векторов) [ср. предложение 1 в [1], гл. I, § 1, п. 4].

Нулевой элемент линейного пространства называют нуль-вектором. Необходимо строго различать число нуль и нуль-вектор. Можно показать, что в каждом линейном пространстве нуль-вектор только один и для любого вектора х существует только один противоположный ему вектор. Из аксиом 1°—8° следует также, что 0х=0, α∙0=0, (-1)х=(-х); в силу аксиомы 2° сумму трех (и более) векторов можно записать без скобок: (х+у)+z=x+y+z.

Вектор z=x+(-у) называют разностью векторов х и у, определяя таким образом операцию вычитания; ее обозначают знаком «-»; z = x+(-у) =х-у.

Из аксиом 1°—8° следует, что выражения относительно векторов линейного пространства L можно преобразовывать по всем правилам обычной (скалярной) алгебры (раскрывать скобки, приводить подобные члены и т. п.).

Отметим одно важное обстоятельство. Говоря о линейном (векторном) пространстве, имеют дело одновременно с двумя множествами: самим множеством L и множеством действительных чисел R. Элементы множества L являются векторами, а элементы множества R используют в качестве множителей в операции умножения вектора на скаляр (действительное число). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, построенное таким образом линейное (векторное) пространство называют




оставить комментарий
страница2/14
Ю. С. АРУТЮНОВА
Дата23.09.2011
Размер1.9 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх