Рекомендации по изучению темы
1 чел. помогло. | скачать Заречное муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1» Рекомендации по изучению темы «Решение текстовых задач на проценты»  Автор: Лапушкина Людмила Григорьевна учитель математики ЗМОУ «Средняя общеобразовательная школа №1» г.Заречный 2005 г. Содержание Предисловие. 4 Введение. 5 Процесс решения задачи. 6 1) Нахождение процента от числа 7 2) Нахождение числа по его проценту 10 3) Нахождение процентных отношений 13 Примеры решённых задач. 19 Заключение. 48 Список использованной литературы 49 Предисловие.На уроках математики в школе, а также на вступительных экзаменах в ВУЗы довольно часто предлагаются так называемые текстовые задачи. Одним их видов текстовых задач являются задачи на проценты. Как правило, такие задачи вызывают затруднения у учащихся. Решение задачи способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Цель работы - предложить содержание текстовых задач на проценты. Предложенные задачи – разного уровня сложности. Задачи взяты из различных сборников, а также из вариантов вступительных экзаменов в ВУЗы. Введение.Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдётся путь! Пойя Д. Работа содержит некоторые рекомендации к изучению темы «Текстовые задачи на проценты». При решении таких задач отрабатываются базовые понятия: что такое процент, нахождение процента от числа и числа по его проценту, процентное отношение, процентное содержание вещества, концентрация раствора, плотность вещества, доля вещества и другие. Главное при решении текстовых задач – записывать словесные условия при помощи уравнений или неравенств. Для этого необходимо внимательно прочитать условие задачи, чтобы стало понятно её содержание. Затем, при очередном прочтении условия задачи, нужно постепенно вводить неизвестные и сразу записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений или неравенств. Думаю, что данная работа поможет учителю в подготовке к преподаванию темы, а учащимся самостоятельно овладеть некоторыми навыками решения текстовых задач на проценты. ^  Проценты, «Procentum» - в переводе с латыни обозначают сотую часть числа; изначально появились в Древнем Риме, как термин юридический, именно столько должен был платить должник ростовщику за право пользоваться его деньгами. Сейчас эти понятия применяются не только в банковском деле. Там где речь идёт о статистике, будь то экономика, химия, биология или политология, - везде счёт идёт на проценты. ^ Сначала решаются устные задачи с конкретным содержанием на нахождение процентов от числа, затем числовые примеры. Задача. Сберкасса дает 2% годовых по бессрочным вкладам и 3% — по срочным. Сколько выплатит сберкасса в год со 100 руб. бессрочного вклада? с 200 руб.? с 3600 руб? по срочным вкладам с 7000 руб.? с 10000 руб.? и т. д. Решение: Никаких записей, кроме условия, не делается. Учащиеся проводят устные вычисления: 1) 1% от 400 руб. или 0,01 от 400 руб. составляет 4 руб.; 2% или 0,02 составят 8 руб.; 2) 3% от 7000 руб.— 210 руб., так как 1% или 0,01 от 7000 руб. равна 70 руб. Для выработки вычислительных навыков учащимся даются в большом количестве устные примеры на отвлеченные числа. Помимо общего приема (вычислить 1% делением на 100, потом умножить на число процентов), надо давать в порядке устного счета вычисления 10%, 20%, 25%, 50%, 75%, 33  %, 66 % от разных чисел и др. Здесь учащиеся должны применять разные приемы устного счета, проявлять сообразительность, изобретательность.Например: 50% от 8900 составляют  от 8900, то есть 4450.10% от 3360 – это  часть от 3360 то есть 336.15% от 3360 = 10% от 3360 + 5% от 3360 = 336 + 168 = 504. 9% от 3360 = 10% от 3360 — 1% от 3360 = 336 — 33,6 = 302,4. 60% от 3360 = 50% от 3360 + 10% от 3360 = 1680 + 336 = 2016 Или 60% =  ; от 3360 = 2016.Учащиеся формулируют общий прием вычисления процентов от числа (деление на 100 и умножение на число процентов) и припоминают, что так решаются задачи на нахождение части от числа. Следовательно, нахождение процентов от числа есть нахождение дроби (части) числа, выраженной в процентах. Дальше переходят к письменному решению задачи на нахождение процентов от числа. Так как входящие в эту задачу величины находятся в прямо пропорциональной зависимости, их можно решать способом приведения к единице или способом пропорций, после изучения пропорции и прямой и обратной пропорциональной зависимости. Задача: Найти 2,5% от 84,8 куб. м. Записывают условие в виде таблицы:
Решение: 1) 1% от 84,8 м3 =  куб. м2,5% от 84,8 м3 =  куб. м. = 2,12 куб. м.2) Ту же задачу можно решить способом пропорций. х : 84,8 = 2,5 : 100. Пропорция читается так: х меньше 84,8 во столько же раз, во сколько раз 2,5 меньше 100. Вывод: Из решения устных примеров учащиеся сделают вывод, что нахождение процентов числа есть вычисление дроби (части) числа, выраженной в процентах. 3) задача может быть решена умножением числа на дробь 0,025 (2,5%), т. е. одним действием: 84,8*0,025 = 2,12 (куб. м). Ответ: 2,12 куб. м. После решения достаточного числа числовых задач и примеров можно дать общую формулу решения задач этого вида. ^ Найти р% от числа а. Решение одним действием: р% =   ; р% от числа  или 0,01арРешение способом пропорций
х : а = р : 100  Проверяют формулу, подставляя числовые значения а и р из ранее решенных задач, дальше пользуются формулой для решения задач. Этот вид задач на проценты решается главным образом нахождением дроби от числа, реже — приведением к единице и очень редко способом пропорций. ^ Вторая группа задач на проценты — нахождение числа по его дроби, выраженной в процентах. Эта группа включает 3 вида задач: 1) задачи, в условии которых известно число процентов от числа; 2) задачи, в которых дано число, которое получится, если к данному числу прибавить несколько его процентов; 3) задачи, в которых дано число, получаемое при вычитании из данного числа нескольких его процентов. Сначала делаются устные упражнения. Даются примеры или задачи с конкретным содержанием. Задача: найти число, если
Задача: 8%х = 24; найти х. Решение: выполняется устно с таким объяснением: 8%х или 0,08 числа равны 24, 1%х или 0,01 числа равны 24 : 8 = 3; 100%х или все число равно 3*100 = 300. Этот способ решения — приведением к единице (2-мя действиями). Задача: 4% х = 12; найти х. Решение: 4% =  ; х = 12*25==300(по части, выраженной в процентах находится число) Решаются задачи, в которые входят и первый и второй вид задач на проценты, например: «Найти число, если  % его составляют 60% от 120» и т. п.В числе задач, решаемых устно, должны быть такие, в которых требуется найти число, если даны 10% его, 25%, 50%, 33 % и т. п.Вывод: из устного решения задач и примеров учащиеся делают вывод, что нахождение числа по его процентам есть задача нахождения числа по его части, выраженной в процентах, поэтому решение может записываться, как деление данного числа на дробь. Письменное решение задач на нахождение числа по его процентам может выполняться двумя действиями или одним действием. Задача: Техминимум в цехе сдали 150 рабочих, что составляет 75% всего числа рабочих. Сколько рабочих в цехе? Условие задачи можно записать в виде таблицы.
Решение: а) приведением к единице (двумя действиями) 1%....  100%...  рабочихб) пропорцией: х : 150 = 100 : 75 (х больше 150 во столько раз, во сколько 100 больше 75). х = рабочихОтвет: 200 рабочих После решения нескольких задач этого вида выводится формула решения в общем виде. Задача: состоит в нахождении числа (х) по данной величине Р его дроби  .Решение: а) одним действием:  б) пропорцией
х : Р = 100 : р; х =  Подставив в формулу решения числовые значения величин из ранее решенных задач, проверяют формулу и пользуются ею для решения задач Задача 1. Чтобы наверстать опоздание, скорость поезда увеличили на 35% и тогда она достигла 54 км в час. Какова скорость поезда по расписанию? Решение. а) Искомая величина х скорости поезда по расписанию — 100%; увеличенная скорость составляет 100 % + 35% = = 135%. Итак, 135%х = 54, откуда х = 54:1,35 = 40 (км в час). б)  ; х = 40 км в часОтвет: 40 км в час Задача 2: Трава теряет при высыхании 28% своего веса. Сколько было накошено травы, если из нее получилось 144 ц сена? Решение. Вес накошенной травы — 100% (х ц.) Вес сена 100% — 28% = 72%; итак, 72%х== 144 (ц), х = 144 ц: 0,72 = 200 ц = 20 т. Ответ: 20 т. ^ Процентным отношением двух чисел называется их отношение, выраженное в процентах. Прежде чем решать задачи на процентное отношение чисел, необходимо повторить с учащимися все, что им известно об отношении чисел. Для этого даются устные примеры и задачи, на которых учащиеся повторяют свойства и преобразования отношений. Примеры: 1) Сократить отношения: 42 : 11,2; 6,8 : 5,1. 2) Заменить отношения дробей отношениями целых чисел: 0,25 : 0,2; 3,5 : 0,21;  ; 6,3 : 14.3) Найти отношения с точностью а) до 0,1: 5 : 7; 0,8 : 1,2; 0,3 : 0,8; 1531 : б) до 0,01: 244; 5,1 : 21,4; 6 : 7. в) Найти отношения: 6 дм : 4 см; 2,4 км : 40 м Чтобы перейти к вычислению процентных отношений, даются устные упражнения на небольших числах, при этом употребляются разнообразные формулировки: «Какую часть составляет одно число от другого?» «Каково отношение одного числа к другому?» «Сколько процентов составляет одно число от другого?» и т. д. Вычисляются отношения меньшего числа к большему и большего к меньшему в процентах. Задача: Сколько процентов составляет число т от а? Отношение  надо выразить в процентах.Решение: 1.  ,2. а___________100% т___________х х : 100 = т : а;  Следует обратить внимание на некоторые задачи несложного содержания, но требующие вдумчивого отношения при решении. Задача 1: Время, необходимое для изготовления детали, уменьшилось на 25%. На сколько процентов увеличилась производительность труда? Решение. а) Время уменьшается, производительность труда увеличивается
Эти величины обратно пропорциональны, поэтому х : 100 =100 : 75;  ;  Производительность труда увеличилась на 33 %.Задачу можно объяснить иначе. б) Время изготовления детали примем за 1, оно уменьшилось на  и стало составлять  единицы. Производительность труда обратно пропорциональна времени и составляет  первоначальной, т. е. выросла на , или 33%.Ответ: 33 %.Для избежания ошибок при решении задач на проценты необходимо выяснять в каждом отдельном случае, что принимается за единицу, за целое, за 100%. Задача 2: Колхоз в первый день весеннего сева засеял 20% всей площади, во второй день 40% оставшегося числа гектаров, в третий день 40% нового остатка. Сколько % всей площади осталось незасеянной? Решение: Сначала величина всей площади принимается за единицу или 100%. К концу первого дня осталась незасеянной 100% — 20% = 80% всей площади. Дальше за единицу (100%) принимаются 80% всей площади, из них к концу второго дня засеяли 40%, т. е  = 32% всей площади, осталось 80% — 32% = 48% всей площади. Эти 48% всей площади принимаем за единицу (100%), из них за третий день засеяли 40%, т. е. всей площади, осталось незасеянной 48%-19  % = 28 % всей площади.Ответ: 28 %Задача 3: На заводе работают 6250 мужчин и 3750 женщин. Сколько процентов составляет число мужчин и сколько процентов составляет число женщин? На сколько процентов число мужчин больше, чем число женщин? На сколько процентов число женщин меньше, чем число мужчин? Решение: При решении поставленных вопросов необходимо прежде всего выяснить, какое число при определении процентного отношения принимается за 100%. 1) При решении первого вопроса за 100% принимается все число рабочих (6250 + 3750), хотя в условии задачи указания на это нет. Задача может быть решена различными способами. Формула решения может быть следующая:  - процент, числа мужчин на заводе.Процент числа женщин можно определить решением подобной же формулы или вычитанием: 100% — 62,5% = 37,5%. 2) Второй вопрос ставится для сравнения числа мужчин с числом женщин, которое и принимается за 100%. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при определении процентного отношения словами «чем», «по сравнению с. . .», «по отношению к . . .», «от», «к» указывается, какое число следует принять за 100%. Второй вопрос можно решить или а) определив разность между числом мужчин и женщин и выразив эту разность в процентах от числа женщин, или б) выразив число мужчин в процентах от числа женщин и определив, на сколько процентов оно больше, чем 100% (женщин). 6250 - 3750 = 2500;  3) При решении вопроса, на сколько процентов женщин меньше, чем мужчин, число мужчин принимается за 100%, так как с этим числом сравнивается число женщин. Узнают, насколько женщин меньше, чем мужчин: 6250 – 3750 = 2500; выражают разность 2500 в процентах от числа мужчин:  Необходимо обратить внимание учащихся на то, что на вопросы: на сколько процентов число мужчин больше числа женщин и на сколько процентов число женщин меньше числа мужчин, — получились различные ответы, так как разность 6250 — 3750 сравнивалась в одном случае с числом женщин — 3750, в другом случае с числом мужчин — 6250.
При рассмотрении задач на сплавы и на смеси нужно иметь в виду, что математическое описание этих задач строится в предположении: никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит. Перед решением задач важно разъяснить учащимся новое для них понятие "проба сплава". Сплав характеризуется его пробой. Проба сплава - отношение веса чистого металла к весу сплава, выраженное в промилле или в процентах. Иначе, пробу сплава можно характеризовать числом граммов чистого металла в 1000 г (100 г) сплава. Целесообразно записать в виде формулы:  По содержанию задачи "на сплавы" можно разбить на два основных вида:
Характерные компоненты знаний и умений, которыми должны овладеть учащиеся после изучения данной темы:
^ Задача 1:. В марте рабочий выработал 250 000 изделий, из которых 375 изделий второго сорта. В апреле он выработал 300 000 изделий, из которых 360 изделий второго сорта. На сколько процентов снизился выпуск изделий второго сорта? Решение: Для сравнения чисел 375 и 360 надо каждое из них выразить в процентах всей выработки («Удельный вес» изделий второго сорта).  .  . Процент уменьшения удельного веса изделий 2-го сорта:  ^ Задача 2: За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько? Решение: Пусть ежегодно выпуск продукции снижался на х%. Примем исходный объём за 1, тогда через год будет выпущено  , а через два года  . С другой стороны, выпуск составил 0,49. = 0,49 х = 30 Ответ: на 30% в год Задача 3: Студент М.В.Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены ещё раз вырастут на 20%? Решение: До повышения цен: денежка = хлеб + квас. После повышения цен: денежка = (0,5 хлеба + квас) · 1,2. Из этих уравнений: 2 хлеба = квасу. Выразим денежку через квас: денежка = 1,5 кваса. После второго повышения цен: квас · 1,2 · 1,2 = 1,44 кваса. Значит, денежки хватит на квас. ^ Задача 4: Буратино и папа Карло планировали положить свои капиталы на общий счет в банк «Навроде» под 500% годовых, рассчитывая через год забрать вклад величиной 900 золотых. Крах банка изменил их планы. Папа Карло положил свои деньги в банк «Вампириал» под 50% годовых, а Буратино - в банк «Обирон», даже не поинтересовавшись процентной ставкой. Ровно через год они забрали свои вклады. Оказалось, что папа Карло получил 150 золотых, а Буратино - в три раза меньше. Какой процент годовых дает банк «Обирон»? Решение: Прибыль в 500% годовых означает увеличение вклада в 6 раз, поэтому у Буратино и папы Карло вначале было 900 : 6 = 150 золотых. Прибыль в 50% означает увеличение вклада в 1,5 раза, следовательно, у папы Карло вначале было 150 : 1,5 = 100 золотых, а у Буратино 150 - 100 = 50 золотых. После вклада в банк Юбирон» он получил 150 : 3 = 50 золотых, т.е. столько же, сколько положил. Таким образом, банк «Обирон» дает 0% годовых. ^ Задача 5: Управдом Остап Бендер собрал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич заинтересовался, почему у них в третьем подъезде надо собрать денег на 20% большe, чем во втором, хотя квартир во всех подъездах поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двухзначные номера приходится платить вдвое, а за трехзначные - втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде? Решение: Пусть количество квартир в подъезде равно х. Рассмотрим случаи:
В первом случае стоимость дверных номеров во 2-м подъезде равна сумме стоимости однозначных номеров (9 - х) и стоимости двузначных номеров 2(х - (9 - х)) = Зх - 9. А в третьем подъезде в этом случае все номера будут двузначными, и их стоимость равна 2х. По условию задачи  |откуда 4х = 27, что невозможно, т.к. х - целое число. Во втором случае номера квартир во 2-м подъезде двузначные и трёхзначные, а в 3-м трёхзначные. Стоимость номеров во 20м подъезде будет равна сумме удвоенного количества двузначных номеров 2(99-х) и утроенного количества трёхзначных номеров 3(х – (99 – х)) и это составляет  стоимости номеров в 3-м подъезде, которая равна 3х. х = 66 Ответ: в подъезде 66 квартир. ^ . Известно, что 2% положительного числа А больше, чем 3% положительного числа В. Верно ли, что 5% числа А больше, чем 7% числа В? Решение: Так как 2% числа А больше, чем 3% числа В, то 4% числа А больше чем 6% числа В, кроме того 1% числа А больше, чем 1% числа В. "Сложив" два последних утверждения, получим, что 5% числа А больше, чем 7% числа В. Или: 0,02А>0,0ЗВ, откуда 0,05А>0,075В>0,07В. ^ Задача 7: Петя купил две книги. Первая из них на была 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой? Решение: Вторая книга на треть дешевле первой, то есть на 33 %.Ответ: на 33 %.Задача 8: В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды? Решение: Пусть вначале в каждой из бочек было по х литров воды, тогда в первой бочке, после всех изменений, стало х · 0,9 · 1,1=0,99х литров воды, а во второй х · 1,1 · 0,9 - то есть тоже 0,99х: литров воды. Ответ: поровну. Задача 9: Где дешевле? В одном магазине; молоко подешевело на 40%, а в другом сначала на 20%, а затем еще на 25%. Где молоко стало стоить дешевле? Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Решение: Пусть вначале молоко стоило х руб. В первом магазине оно стало стоить на 40% дешевле, то есть 0,6х руб. Во втором магазине после первого понижения она была 0,8х, после второго 0,8х · 0,75 =0,6х руб. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит одинаково. ^ Задача 10: . Как изменилась покупательная способность населения? Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги? Решение: Товар подешевел на 20% .Следовательно, весь ранее купленный товар можно было бы купить истратив 80% денег, а на оставшиеся 20% можно купить еще часть товара, что составляет 25%.Ответ: на 25% Задача 11: Сушеные грибы. Влажность свежих грибов - 99%, сушёных - 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания? Решение: Пусть вес свежих грибов 100х кг, тогда вес сухого вещества в них х кг. После подсушивания, вес сухого вещества не изменился и стал составлять 2% (на одну пятидесятую) от веса грибов. Вес сухих грибов – 50х кг, а значит уменьшился в два раза. ^ Задача 12: На конференции. 85% делегатов конференции знают английский язык, а 75% - испанский. Какая часть делегатов знает оба языка? Решение: Заметим, что 85%+75% = 160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет кого образовался излишек? За счет тех людей, которые знают оба языка - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60% делегатов конференции. ^ Задача 13: На туристском слете собрались все участники двух туристических походов (некоторые были в двух походах, некоторые только в одном). В первом походе было 60% мужчин, во втором - 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женщин. Решение: Пусть в первый поход ходило а человек, а во второй b человек. Тогда, в первый поход ходило 0,6а мужчин и 0,4а женщин, а во второй - 0,75b мужчин и 0,25b женщин. При этом, количество женщин не превышает 0,4а + 0,25b, а количество мужчин не меньше, чем наибольшее из чисел 0,6а и 0,75b. Пусть 0,6а>0,75b. Тогда 0,6а>0,4а+0,25b (так как 0,2а>0,25b). Случай, когда наибольшее - 0,75b, разбирается аналогично Задача 14: Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы держание соли составляло 2%? Решение: . В 40 кг морской воды содержится 40·0,05 = 2(кг) соли, что в новом растворе составляет 2%, следовательно, раствора должно быть 2:0,02 = 100 (кг). ^ Задача 15: Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Найти наименьшее возможное количество участников кружка. Решение: .Пусть х - число участников кружка, а у - число девочек. Тогда, согласно условиям задачи, 0,09x>y или 9х>100у, где х и у - натуральные числа. Решая задачу перебором, убедимся, что наименьшее возможное решение при у=2 достигается при х=23. Таким образом, в кружке не менее 23 человек. ^ Задача 16: Объём строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%? Решение:
Ответ: на 50% Задача 17: В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, потребное для заполнения бассейна? Решение:
^ Задача 18: Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде? Решение: Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 руб., и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 руб. за килограмм, т.е. 10 кг. После повышения на 20% заработок рабочего стал 12 руб., а цена продукта после снижения цены на 15% - 0,85 руб. за 1 кг. Теперь рабочий может купить уже 12 : 0,85  14,1 кг, т.е. на 4,1:10 = 0,41 = 41% больше, чем прежде.^ Задача 19: На утреннем концерте 40% всех посетителей были школьники, 36% - женщины и остальные посетители – мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75 % больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте? Решение:
^ : на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем на 1,5%. Задача 20: 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20-процентных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь? Решение:
Ответ: 25,5%. Задача 21: Когда 40 рабочих цеха включились в молодёжную бригаду, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60% всех рабочих цеха стали работать по-новому, продукция цеха увеличилась в 2,5 раза. Сколько рабочих в цехе и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут передовиками производства? Решение:
х рабочих увеличивают продукцию на 150% 3)  рабочих увеличивают продукцию на 150%, они же составляют 60% числа всех рабочих.4) 300 : 0,6 = 500 рабочих было в цехе. 5) 500 рабочих – увеличение на у% 300 рабочих – увеличение на 150% у = 250% 6) 250% + 100% = 350%, т.е. продукция увеличилась бы в 3,5 раза. ^ Задача 22: Цена за вход на стадион 150 руб. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько рублей понижена плата? Решение: Входная плата за двух человек была 300 руб., теперь вместо каждых двух человек стадион посещают трое (число посетителей увеличилось на 50%) и платят 300 + 75 = 375 рублей (общий сбор увеличился на 25%), т.е. один билет стоит теперь 125 руб. (375 : 3), значит, плата понижена на 25 руб. ^ Задача 23: За 1 квартал завод выполнил 26% годового плана, а количество продукции, выполненное за 2, 3 и 4 кварталы, пропорционально числам 6,5:7,8:9,1. Определить, на сколько процентов перевыполнил завод план, если во 2 квартале завод дал продукции в  раза больше, чем в первом.Решение: 2 : 3 : 4 = 6,5 : 7,8 : 9,1 = 5 : 6 : 7 1) 26%  = 32,5% годового плана дал завод во втором квартале.2) 32,5% : 5 = 6,5% приходится на 1 часть. 3) 6,5% · 6 = 39% дал завод в 3 квартале. 4) 6,5% · 7 = 45,5% дол завод в 4 квартале. 5) 26% + 32,5% + 39% + 45,5% = 143% годового плана фактически выполнил завод, т.е перевыполнил план на 43%. ^ Задача 24: . Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р% и q% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий r % меди? Решение: Если первого сплава взять х кг, а второго у кг, то  (кг меди) +  (кг цинка), (кг меди) +  (кг цинка),В получающемся сплаве будет  (кг меди),а вес этого сплава будет равен (х + у) кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве по определению будет равна  Согласно условию задачи, полученная дробь равняется  . Приходим к уравнению (1)Повторим ещё раз, в чем состоял способ решения этой задачи. С помощью известных значений концентраций мы «расщепили» сплав на чистые компоненты, а затем, в соответствии с условием задачи, составили новый сплав, подсчитав отдельно весовой баланс каждой компоненты. Решим полученное уравнение. В этом уравнении два неизвестных, х и у. Поэтому оба неизвестных найти нельзя. Но в этом и нет необходимости, так как достаточно определить не сами величины х и у, а их отношение! После очевидных преобразований из уравнения (1) получим соотношение  (2)Рассмотрим несколько случаев. 1. Пусть р = r = q, x · 0 = у · 0. В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение (2) показывает, что имеется бесконечное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава. 2. Пусть  , x · 0 = у(r – q), х – любое, у = 0.Смысл этого решения понятен — второго сплава вообще не требуется. 3. Пусть  ,  . Тогда  Полученное отношение будет давать решение задачи в общем случае (разумеется, если значение r заключено между значениями р и q, иначе  окажется отрицательной величиной, что лишено смысла).Ответ: Задача 25: Определить процентное содержание спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20 %-го и шести литров 35 %-го растворов спирта. Решение: Количество «чистого» спирта в первом растворе равно 0,2 · 5 л, а во втором растворе — 0,35 · 6 л. При смешивании общее количество спирта не изменилось (а объём нового раствора равен 5 + 6 = 11 л). Поэтому можно записать уравнение для объёмной концентрации х спирта в полученном растворе 0,2 · 5 + 0,35 · 6 = х · 11, откуда  . Процентное содержание равно  или  %.Ответ: %.Задача 26: От двух однородных кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих m и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Сколько весили отрезанные куски? Решение: Обозначим через р и q — концентрации меди в первом и во втором кусках соответственно, а через х — вес каждого отрезанного куска. Тогда в остатке первого куска содержится (т — х)р кг меди, в остатке второго куска содержится (п—x)q кг меди. После того, как куски снова сплавили, в первом куске оказалось (m — x)p + xq кг меди, а во втором (п — x)q + xp кг меди. Приравнивая концентрации меди в обоих кусках, получим уравнение  или тпр — хп(р — q) = mnq + xm(p — q), или тп(р -q) = х(р - q)(m + п). По условию задачи  , следовательно, ^ Задача 27: В сосуде объёмом V содержится р%-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется п раз. Определить концентрацию соли в растворе после п процедур. Решение: Первоначальное количество соли в растворе равно  . После того, как вылили а л смеси, соли осталось ,а её концентрация после добавления а л воды стала равна  После того, как отлили ещё а л смеси (уже концентрации c1), в растворе осталось соли  а её концентрация после добавления воды стала равна  Теперь не составляет труда заметить, что после п переливаний концентрация соли в растворе будет определяться формулой  (3)Ответ: Задача 28: Концентрация соли уменьшилась в пять раз после 10 переливаний (рассмотренных в предыдущем примере). Какую часть объёма V сосуда составляют а л? Решение: Воспользовавшись формулой (3), запишем условие задачи в виде уравнения  ,откуда находим  Ответ: Задача 29: Сберкасса выплачивает ежегодно 3% от положенного на сберегательную книжку вклада. Через сколько лет текущая сумма будет превышать первоначальную более чем в 2 раза? Решение: Пусть начальная величина вклада составляет А рублей. Согласно условию задачи запишем уравнение  ,откуда получаем  Следует отметить, что величина х является иррациональным числом. Но в условии задачи речь идёт о целом числе лет, поэтому, чтобы записать ответ, требуется найти наименьшее натуральное п такое, что  ^ Задача 30: В течение трёх лет вкладчик имел одинаковый процент прибыли по отношению к каждому предыдущему году, а затем в течение двух лет в результате инфляции нёс убытки ежегодно в половине процентов по сравнению с процентами прибыли. При какой исходной процентной ставке, не превышающей 200% годовых, вкладчик будет иметь наибольшую итоговую прибыль за пять лет и какова она (по отношению к первоначальному вкладу)? Решение:
 .
 .
   .Критические точки: х = -100 (не входит в область определения), х = 200, х = 80.  ;  ;
Ответ: 109,953% Задача 31: . Курс рубля по отношению к доллару (то есть цена одного рубля в долларах) падает на 4% в квартал. У клиента банка есть два альтернативных варианта помещения денег. По первому варианту он может положить деньги на рублевый чет с начислением 120% в конце года. По второму варианту он может обменять рубли на доллары и положить деньги нa валютный счет с ежемесячным начислением 6% от текущей суммы. На сколько процентов больше или меньше окажется рублевый счет по отношению к валютному через год? При расчетах считать одинаковыми обменные курсы покупки и продажи доллара. (Ответ представить в виде арифметического выражения.) Решение: 1) Пусть клиент имел а рублей, которые он положил на рублевый счет. Тогда через год у него на счету окажется 2,2а рублей. 2) Если он обменяет а рублей на b долларов, то в конце года у него на счету окажется  , т.е.  .3) Поскольку курс рубля по отношению к доллару падает на 4% в квартал, то рублевая сумма будет представлена так:  .
 Следовательно, сумма в долларах увеличилась на 101,2% 
Ответ: 14,3% Задача 32: Маклер после одной удачной сделки имел некоторый процент прибыли от вложенного исходного капитала, а затем понес такой же процент убытков со всего, что заимел. После третьей (также неудачной) сделки процент убытков возрос в 4 раза по отношению к проценту прибыли после первого года. При каком исходном проценте такая деятельность маклера приведет к наибольшим возможным долгам и каковы они по отношению к первоначальному капиталу? Решение:
  .
  .Найдём критические точки.     ; х = -50 (не входит в область определения). - точка минимума. В этой точке функция принимает наименьшее значение. 6) Таким образом, долги маклера составляют  первоначальной суммы. Найдём долги в процентах: а – 100%; ;  Ответ: 93,83% Задача 33: Зарплата рабочего за месяц составила 8000 рублей. 20% из этой суммы ушло на оплату коммунальных платежей. 5% оставшейся суммы ушло на оплату долга. Сколько денег осталось после этого у рабочего? Решение:
 (руб.)
 (руб.)4) После этого осталось денег: 6400 – 320 = 6080 (руб.) ^ Задача 34: В двух ёмкостях разного объема содержатся смеси двух веществ: А и В. Вещество В занимает в первой и второй ёмкостях соответственно 70% и 60% от объема. Вес вещества А емкости совпадает с весом вещества В во второй, а вес вещества А во второй ёмкости в 3,5 раза больше веса вещества В в первой ёмкости. Какой процент по весу составляет вещество А, содержащееся в обеих ёмкостях, от суммарного веса содержимого ёмкостей? Решение: 1) Пусть х – объём первой ёмкости, а у – объём второй ёмкости, а U и V – плотности веществ соответственно. 2) Тогда вес вещества А в первой ёмкости составить  , а вес вещества В там же -  .3) Аналогично во второй ёмкости содержится (по весу)  вещества А и  вещества В.4) Требование задачи приводит к системе уравнений (1) – (2) 
 ,которая после деления числителя и знаменателя на  примет вид ,и для её нахождения из системы надо найти величины  .6) А) для нахождения величины можно разделить левую часть (1) на левую часть (2), и также поступить с правыми частями.Получим  ,(второе значение  противоречит физическому смыслу величины).Б) Для нахождения величины  разделим левую часть (1) на правую часть (2), а правую часть (1) на левую часть (2), получим соотношение .
 Ответ:  Задача 35: Имеется 3 слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержащейся в нём меди. Решение: Прежде всего следует предложить учащимся представить условие задачи в виде таблицы:
4 столбик заполняется после введения двух неизвестных: х кг – вес третьего слитка; у% - процентное содержание меди в третьем слитке. Исходя из этого заполняется последняя строчка в 4-м столбике. Запишем, используя понятие пробы, систему двух уравнение с двумя неизвестными:  Решая её получим: х = 10, у = 69. ^ Задача 36: Сколько серебра 500 и 800 пробы нужно сплавить, чтобы получить 225 г. серебра 720 пробы? Решение: 1 способ х г – вес первого сплава, у г – вес второго сплава, х + у = 225 (1) Для составления второго уравнения целесообразно воспользоваться определением пробы: ,  Тогда  Получаем следующую систему уравнений:  Решая её, находим: х = 60, у = 165 2 способ: При помощи рассуждений. Предполагаем, что в сплав мы взяли только серебро 500 пробы. Тогда в 225 г сплава чистого серебра будет 162 г, что на 49,5 г меньше требующегося количества. Эта разница получилась из-за того, что не был учтен сплав серебра 800 пробы. В самом деле, в каждом грамме сплава 800 пробы содержится 0,8 г чистого серебра, а в каждом грамме сплава 500 пробы содержится 0,5 г чистого серебра. Следовательно, взяв только сплав 500 пробы, мы с каждого грамма серебра 800 пробы не учли 0,8 -0,5 = 0,3 г чистого серебра, Таким образом, при получении 225 г сплава 720 пробы не было учтено 49,5 : 0,3 = 165 (г) серебра 800 пробы. Итак, для составления сплава, требующегося в задаче, надо взять серебра 800 пробы 165 г, а серебра 500 пробы – 60 г. Ответ: 165 г, 60 г. Задача 37: Имеется три сплава. Первый сплав содержит 10% кобальта и 90% железа, второй – 40% железа и 60% никеля, третий – 20% кобальта, 50 % железа и 30% никеля. Из этих сплавов необходимо создать новый сплав, содержащий 20% никеля. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание железа может быть в новом сплаве? Решение: Пусть х + у + z – масса нового сплава.  ;  . Подсчитаем значения  на границахПри z = 0  При y = 0  Так как производная функции  отрицательна, то функция монотонно убывает в области  и наибольшее значение достигается при  , что соответствует  , а наименьшее значение при  , что соответствует значению  .  ;  ;  ; Ответ:  ;  Задача 38: Через 40 минут после выезда из пункта А автомобиль уменьшил скорость на 20% и через некоторое время прибыл в пункт В. При этом оказалось, что на вторую половину пути он затратил на 5 минут больше, чем на первую. За какое время автомобиль проехал путь от А до В? Решение. Пусть S (км) - расстояние АB, v (км/ч) – начальная скорость автомобиля. Тогда автомобиль проехал расстояние  (км) и уменьшил скорость до 0,8 . Для вычисления времени, затраченного на первую и на вторую половину пути, необходимо рассматривать два случая.1) Изменение скорости произошло на первой половине пути, т.е.  . Тогда из условия задачи получаем уравнение: Это уравнение решений не имеет, то есть этот случай не может реализоваться. 2) Изменение скорости произошло на второй половине пути, то есть  . Тогда из условия задачи получим уравнение в виде Решая это линейное относительно  уравнение, после очевидных вычислений получим  , что подходит по условию рассмотрения этого случая  .Так как время движения по первой половине пути  (час), а время движения на второй половине пути по условию больше на  (час), то всё время движения (час) = 65 (мин)^ Задача 39: Имеются слитки трёх типов. Один слиток первого типа весит 5 кг и содержит 30% меди, 20% серебра и 50% золота. Один слиток второго типа весит 2 кг и содержит 40% меди, 30% серебра и 30% золота, а один слиток третьего типа имеет массу 1 кг и содержит 50% меди, 20% серебра и 30% золота. Какое минимальное количество слитков каждого типа потребуется, чтобы, не разрезая их, получить сплав, содержащий 37% меди, 23% серебра и 40% золота? Решение: Составим таблицу, в которую внесем концентрации компонентов в слитках, массы слитков и количество слитков, необходимое для получения сплава нужного состава.
Полная масса нового сплава равна 5k + 2l + т. Составим уравнения материального баланса Cu:  Ag:  Au:  Упрощая которые получим:  Видно, что третье уравнение является суммой двух первых, так что независимых уравнений всего два. Из двух последних уравнений исключим k и получим  , откуда  , m = 4t,где  . Подставляя в последнее уравнение, найдем k : k = 2t. Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4. Ответ: Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4. Задача 40: Партия телевизоров проходит испытание на долговечность. После первого года работы отказало 15 телевизоров, а после второго – ещё 4. сколько телевизоров было исправно после первого года работы, если известно, что отношение числа телевизоров, исправных к концу второго года, к числу телевизоров, исправных к началу года, на 8,75% больше, чем такое отношение, составленное для первого года испытаний? Решение: Обозначив через х число телевизоров, исправных после первого года работы, записать условие задачи в виде  Далее получить уравнение:  , откуда  ,  .^ Задача 41: В первом сосуде содержится 5 кг, во втором – 10 кг 5%-го раствора соли. Из каждого сосуда выпарили часть воды, после чего концентрация соли в первом сосуде составила  , во втором -  . Известно, что  . Какое наибольшее и какое наименьшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе?Решение: Количество испарившейся воды   ;  (max)М(5) = 8; М(25) = 4;  Ответ:  кг;  кг.Заключение.В данном пособии изложены некоторые понятия теории процентов. Приведены типовые задачи по данной теме. К задачам даны решения. Эта система подобранных упражнений даёт возможность творчески подходить к повторению темы «Текстовые задачи на проценты». Умение учащихся находить процент от числа, изменение величины в процентах, число по его проценту и т.д. позволяет усложнить текстовые задачи, что развивает логическое мышление. В результате применения данной системы упражнений по данной теме повышается интерес к математике, увеличивается скорость вычислительных навыков на проценты. Уменьшается количество ошибок при решении сложных задач на проценты. Идёт более глубокое усвоение знаний по теме «Проценты». ^
|
х< 99;
= 42% - составляют мужчины на вечернем концерте.
= 49,5% - составляют женщины на вечернем концерте.
. Так как в течение следующих двух лет вклад уменьшался на 
, то по истечении пяти лет сумма будет такой:
. Исследуем её на наибольшее значение.
.
и найдём её наименьшее значение при 
.
отлично
1 