Рекомендации по изучению темы icon

Рекомендации по изучению темы


1 чел. помогло.

Смотрите также:
Рекомендации по изучению курса 2 Рекомендованные источники (законодательство...
Отечественная история учебно-методические рекомендации по изучению курса...
Методические рекомендации по изучению темы: «Телекоммуникационные технологии» в курсе...
Методические рекомендации по изучению темы необходимо, прежде всего, уяснить...
Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов 1 курса всех специальностей очной...
Методические рекомендации по изучению темы «Средства радиосвязи»...
Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ Для студентов...
Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ Для студентов...
Методические материалы для проведения семинарских и практических занятий студентов...
Методические рекомендации по изучению курса «Экология растений» в 6 классе Методические...
Методические рекомендации по изучению курса второе издание, доработанное и исправленное Уфа 2006...
Методические рекомендации и темы рефератов для студентов всех специальностей дневной и вечерней...



скачать


Заречное муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1»


Рекомендации по изучению темы

«Решение текстовых задач на проценты»





Автор: Лапушкина Людмила Григорьевна

учитель математики

ЗМОУ «Средняя общеобразовательная школа №1»


г.Заречный

2005 г.

Содержание

Предисловие. 4

Введение. 5

Процесс решения задачи. 6

1) Нахождение процента от числа 7

2) Нахождение числа по его проценту 10

3) Нахождение процентных отношений 13

Примеры решённых задач. 19

Заключение. 48

Список использованной литературы 49



Предисловие.


На уроках математики в школе, а также на вступительных экзаменах в ВУЗы довольно часто предлагаются так называемые текстовые задачи. Одним их видов текстовых задач являются задачи на проценты. Как правило, такие задачи вызывают затруднения у учащихся. Решение задачи способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования.

Цель работы - предложить содержание текстовых задач на проценты. Предложенные задачи – разного уровня сложности. Задачи взяты из различных сборников, а также из вариантов вступительных экзаменов в ВУЗы.


Введение.


Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдётся путь!

Пойя Д.

Работа содержит некоторые рекомендации к изучению темы «Текстовые задачи на проценты». При решении таких задач отрабатываются базовые понятия: что такое процент, нахождение процента от числа и числа по его проценту, процентное отношение, процентное содержание вещества, концентрация раствора, плотность вещества, доля вещества и другие.

Главное при решении текстовых задач – записывать словесные условия при помощи уравнений или неравенств. Для этого необходимо внимательно прочитать условие задачи, чтобы стало понятно её содержание. Затем, при очередном прочтении условия задачи, нужно постепенно вводить неизвестные и сразу записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений или неравенств.

Думаю, что данная работа поможет учителю в подготовке к преподаванию темы, а учащимся самостоятельно овладеть некоторыми навыками решения текстовых задач на проценты.
^

Процесс решения задачи.





Проценты, «Procentum» - в переводе с латыни обозначают сотую часть числа; изначально появились в Древнем Риме, как термин юридический, именно столько должен был платить должник ростовщику за право пользоваться его деньгами. Сейчас эти понятия применяются не только в банковском деле. Там где речь идёт о статистике, будь то экономика, химия, биология или политология, - везде счёт идёт на проценты.
^

1) Нахождение процента от числа


Сначала решаются устные задачи с конкретным содержанием на нахождение процентов от числа, затем числовые примеры.

Задача. Сберкасса дает 2% годовых по бессрочным вкладам и 3% — по срочным. Сколько выплатит сберкасса в год со 100 руб. бессрочного вклада? с 200 руб.? с 3600 руб? по срочным вкладам с 7000 руб.? с 10000 руб.? и т. д.

Решение: Никаких записей, кроме условия, не делается. Учащиеся проводят устные вычисления:

1) 1% от 400 руб. или 0,01 от 400 руб. составляет 4 руб.; 2% или 0,02 составят 8 руб.;

2) 3% от 7000 руб.— 210 руб., так как 1% или 0,01 от 7000 руб. равна 70 руб.


Для выработки вычислительных навыков учащимся даются в большом количестве устные примеры на отвлеченные числа. Помимо общего приема (вычислить 1% делением на 100, потом умножить на число процентов), надо давать в порядке устного счета вычисления 10%, 20%, 25%, 50%, 75%, 33%, 66% от разных чисел и др. Здесь учащиеся должны применять разные приемы устного счета, проявлять сообразительность, изобретательность.

Например: 50% от 8900 составляют от 8900, то есть 4450.

10% от 3360 – это часть от 3360 то есть 336.

15% от 3360 = 10% от 3360 + 5% от 3360 = 336 + 168 = 504.

9% от 3360 = 10% от 3360 — 1% от 3360 = 336 — 33,6 = 302,4.

60% от 3360 = 50% от 3360 + 10% от 3360 = 1680 + 336 = 2016

Или 60% = ; от 3360 = 2016.

Учащиеся формулируют общий прием вычисления процентов от числа (деление на 100 и умножение на число процентов) и припоминают, что так решаются задачи на нахождение части от числа. Следовательно, нахождение процентов от числа есть нахождение дроби (части) числа, выраженной в процентах.

Дальше переходят к письменному решению задачи на нахождение процентов от числа.

Так как входящие в эту задачу величины находятся в прямо пропорциональной зависимости, их можно решать способом приведения к единице или способом пропорций, после изучения пропорции и прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Задача: Найти 2,5% от 84,8 куб. м.

Записывают условие в виде таблицы:

100%

84,8 куб. м

2,5%

х.


Решение:

1) 1% от 84,8 м3 = куб. м

2,5% от 84,8 м3 = куб. м. = 2,12 куб. м.

2) Ту же задачу можно решить способом пропорций.

х : 84,8 = 2,5 : 100. Пропорция читается так: х меньше 84,8 во столько же раз, во сколько раз 2,5 меньше 100.

Вывод: Из решения устных примеров учащиеся сделают вывод, что нахождение процентов числа есть вычисление дроби (части) числа, выраженной в процентах.

3) задача может быть решена умножением числа на дробь 0,025 (2,5%), т. е. одним действием:

84,8*0,025 = 2,12 (куб. м).

Ответ: 2,12 куб. м.

После решения достаточного числа числовых задач и примеров можно дать общую формулу решения задач этого вида.

^ Задача. Найти р% от числа а.

Решение одним действием:

р% =

; р% от числа или 0,01ар

Решение способом пропорций

100%

а

р%

х


х : а = р : 100



Проверяют формулу, подставляя числовые значения а и р из ранее решенных задач, дальше пользуются формулой для решения задач.

Этот вид задач на проценты решается главным образом нахождением дроби от числа, реже — приведением к единице и очень редко способом пропорций.
^

2) Нахождение числа по его проценту


Вторая группа задач на проценты — нахождение числа по его дроби, выраженной в процентах. Эта группа включает 3 вида задач:

1) задачи, в условии которых известно число процентов от числа;

2) задачи, в которых дано число, которое получится, если к данному числу прибавить несколько его процентов;

3) задачи, в которых дано число, получаемое при вычитании из данного числа нескольких его процентов.

Сначала делаются устные упражнения. Даются примеры или задачи с конкретным содержанием.

Задача: найти число, если

  1. 1% его равен: 12; 29; 4; 5; 13; 26 и т. д.; .

  2. 2% его равны: 36; 84; 9; 6; 24; 8 и т. д.;

  3. 3% его равны: 18; 45; 6; 9; 15; 6 и т. д.

Задача: 8%х = 24; найти х.

Решение: выполняется устно с таким объяснением:

8%х или 0,08 числа равны 24, 1%х или 0,01 числа равны 24 : 8 = 3; 100%х или все число равно 3*100 = 300.

Этот способ решения — приведением к единице (2-мя действиями).

Задача: 4% х = 12; найти х.

Решение: 4% = ; х = 12*25==300

(по части, выраженной в процентах находится число)

Решаются задачи, в которые входят и первый и второй вид задач на проценты, например: «Найти число, если % его составляют 60% от 120» и т. п.

В числе задач, решаемых устно, должны быть такие, в которых требуется найти число, если даны 10% его, 25%, 50%, 33 % и т. п.

Вывод: из устного решения задач и примеров учащиеся делают вывод, что нахождение числа по его процентам есть задача нахождения числа по его части, выраженной в процентах, поэтому решение может записываться, как деление данного числа на дробь.

Письменное решение задач на нахождение числа по его процентам может выполняться двумя действиями или одним действием.

Задача: Техминимум в цехе сдали 150 рабочих, что составляет 75% всего числа рабочих. Сколько рабочих в цехе?

Условие задачи можно записать в виде таблицы.

75%

150 рабочих

100%

х рабочих



Решение:

а) приведением к единице (двумя действиями)

1%....

100%... рабочих

б) пропорцией:

х : 150 = 100 : 75 (х больше 150 во столько раз, во сколько 100 больше 75).

х = рабочих

Ответ: 200 рабочих

После решения нескольких задач этого вида выводится формула решения в общем виде.

Задача: состоит в нахождении числа ) по данной величине Р его дроби .

Решение:

а) одним действием:

б) пропорцией

р%

Р

100%

х


х : Р = 100 : р;

х =

Подставив в формулу решения числовые значения величин из ранее решенных задач, проверяют формулу и пользуются ею для решения задач

Задача 1. Чтобы наверстать опоздание, скорость поезда увеличили на 35% и тогда она достигла 54 км в час. Какова скорость поезда по расписанию?

Решение.

а) Искомая величина х скорости поезда по расписа­нию — 100%; увеличенная скорость составляет 100 % + 35% = = 135%. Итак, 135= 54, откуда х = 54:1,35 = 40 (км в час).

б) ; х = 40 км в час

Ответ: 40 км в час

Задача 2: Трава теряет при высыхании 28% своего веса. Сколько было накошено травы, если из нее получилось 144 ц сена?

Решение.

Вес накошенной травы — 100% (х ц.) Вес сена 100% — 28% = 72%; итак, 72%х== 144 (ц), х = 144 ц: 0,72 = 200 ц = 20 т.

Ответ: 20 т.
^

3) Нахождение процентных отношений


Процентным отношением двух чисел называется их отношение, выраженное в процентах.

Прежде чем решать задачи на процентное отношение чисел, необходимо повторить с учащимися все, что им известно об отношении чисел. Для этого даются устные примеры и задачи, на которых учащиеся повторяют свойства и преобразования отношений.

Примеры:

1) Сократить отношения: 42 : 11,2; 6,8 : 5,1.

2) Заменить отношения дробей отношениями целых чисел:

0,25 : 0,2; 3,5 : 0,21; ; 6,3 : 14.

3) Найти отношения с точностью

а) до 0,1:

5 : 7; 0,8 : 1,2; 0,3 : 0,8; 1531 :

б) до 0,01:

244; 5,1 : 21,4; 6 : 7.

в) Найти отношения:

6 дм : 4 см; 2,4 км : 40 м

Чтобы перейти к вычислению процентных отношений, даются устные упражнения на небольших числах, при этом употребляют­ся разнообразные формулировки: «Какую часть составляет одно число от другого?» «Каково отношение одного числа к другому?» «Сколько процентов составляет одно число от другого?» и т. д. Вычисляются отношения меньшего числа к большему и большего к меньшему в процентах.

Задача: Сколько процентов составляет число т от а? Отношение надо выразить в процентах.

Решение:

1. ,

2. а___________100%

т___________х

х : 100 = т : а;


Следует обратить внимание на некоторые задачи несложного содержания, но требующие вдумчивого отношения при решении.

Задача 1: Время, необходимое для изготовления детали, уменьшилось на 25%. На сколько процентов увеличилась производительность труда?

Решение.

а) Время уменьшается, производительность труда увеличивается

100%

100%

75%

х



Эти величины обратно пропорциональны, поэтому х : 100 =100 : 75; ;

Производительность труда увеличилась на 33%.

Задачу можно объяснить иначе.

б) Время изготовления детали примем за 1, оно уменьшилось на и стало составлять единицы. Производительность труда обратно пропорциональна времени и составляет первоначальной, т. е. выросла на , или 33%.

Ответ: 33%.

Для избежания ошибок при решении задач на проценты необходимо выяснять в каждом отдельном случае, что принимается за единицу, за целое, за 100%.

Задача 2: Колхоз в первый день весеннего сева засеял 20% всей площади, во второй день 40% оставшегося числа гектаров, в третий день 40% нового остатка. Сколько % всей площади осталось незасеянной?

Решение:

Сначала величина всей площади принимается за единицу или 100%. К концу первого дня осталась незасеянной 100% — 20% = 80% всей площади. Дальше за единицу (100%) принимаются 80% всей площади, из них к концу второго дня засеяли 40%, т. е = 32% всей площади, осталось 80% — 32% = 48% всей площади. Эти 48% всей площади принимаем за единицу (100%), из них за третий день засеяли 40%, т. е. всей площади, осталось незасеянной

48%-19% = 28% всей площади.

Ответ: 28%

Задача 3: На заводе работают 6250 мужчин и 3750 женщин. Сколько процентов составляет число мужчин и сколько процентов составляет число женщин?

На сколько процентов число мужчин больше, чем число женщин?

На сколько процентов число женщин меньше, чем число мужчин?

Решение:

При решении поставленных вопросов необходимо прежде всего выяснить, какое число при определении процентного отношения принимается за 100%.

1) При решении первого вопроса за 100% принимается все число рабочих (6250 + 3750), хотя в условии задачи указания на это нет. Задача может быть решена различными способами.

Формула решения может быть следующая: - процент, числа мужчин на заводе.

Процент числа женщин можно определить решением подобной же формулы или вычитанием: 100% — 62,5% = 37,5%.

2) Второй вопрос ставится для сравнения числа мужчин с числом женщин, которое и принимается за 100%. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при определении процентного отношения словами «чем», «по сравнению с. . .», «по отношению к . . .», «от», «к» указывается, какое число следует принять за 100%. Второй вопрос можно решить или

а) определив разность между числом мужчин и женщин и выразив эту разность в процентах от числа женщин, или

б) выразив число мужчин в процентах от числа женщин и определив, на сколько процентов оно больше, чем 100% (женщин).

6250 - 3750 = 2500;

3) При решении вопроса, на сколько процентов женщин меньше, чем мужчин, число мужчин принимается за 100%, так как с этим числом сравнивается число женщин.

Узнают, насколько женщин меньше, чем мужчин: 6250 – 3750 = 2500; выражают разность 2500 в процентах от числа мужчин:



Необходимо обратить внимание учащихся на то, что на вопро­сы: на сколько процентов число мужчин больше числа женщин и на сколько процентов число женщин меньше числа мужчин, — получились различные ответы, так как разность 6250 — 3750 сравнивалась в одном случае с числом женщин — 3750, в другом случае с числом мужчин — 6250.

  1. ^ Задачи на сплавы и смеси.

При рассмотрении задач на сплавы и на смеси нужно иметь в виду, что математическое описание этих задач строится в предположении: никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит.

Перед решением задач важно разъяснить учащимся новое для них понятие "проба сплава". Сплав характеризуется его пробой.

Проба сплава - отношение веса чистого металла к весу сплава, выраженное в промилле или в процентах. Иначе, пробу сплава можно характеризовать числом граммов чистого металла в 1000 г (100 г) сплава. Целесообразно записать в виде формулы:



По содержанию задачи "на сплавы" можно разбить на два основных вида:

  1. по характеристикам сплавляемых металлов найти пробу сплава;

  2. по известным пробам компонентов сплава, весу и пробе искомого сплава найти вес компонентов сплава.

Характерные компоненты знаний и умений, которыми должны овладеть учащиеся после изучения данной темы:

  1. умение выделять и принимать за 100% величину, с которой ведётся сравнение;

  2. умение проводить перерасчёты процентов от разных величин в проценты от одной величины;

  3. умение представлять условие задачи в рисунках, таблицах, схемах и вести по ним рассуждения;

  4. усвоение понятий «процентное отношение», «концентрация».



^

Примеры решённых задач.


Задача 1:. В марте рабочий выработал 250 000 изделий, из которых 375 изделий второго сорта. В апреле он выработал 300 000 изделий, из которых 360 изделий второго сорта. На сколько процентов снизился выпуск изделий второго сорта?

Решение:

Для сравнения чисел 375 и 360 надо каждое из них выразить в процентах всей выработки («Удельный вес» изделий второго сорта). . . Процент уменьшения удельного веса изделий 2-го сорта:

^ Ответ: выпуск снизился на 20%.


Задача 2: За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?

Решение:

Пусть ежегодно выпуск продукции снижался на х%. Примем исходный объём за 1, тогда через год будет выпущено , а через два года . С другой стороны, выпуск составил 0,49.

= 0,49



х = 30

Ответ: на 30% в год


Задача 3: Студент М.В.Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены ещё раз вырастут на 20%?

Решение:

До повышения цен: денежка = хлеб + квас.

После повышения цен: денежка = (0,5 хлеба + квас) · 1,2.

Из этих уравнений: 2 хлеба = квасу.

Выразим денежку через квас: денежка = 1,5 кваса.

После второго повышения цен: квас · 1,2 · 1,2 = 1,44 кваса.

Значит, денежки хватит на квас.

^ Ответ: хватит на квас.

Задача 4: Буратино и папа Карло планировали положить свои капиталы на общий счет в банк «Навроде» под 500% годовых, рассчитывая через год забрать вклад величиной 900 золотых. Крах банка изменил их планы. Папа Карло положил свои деньги в банк «Вампириал» под 50% годовых, а Буратино - в банк «Обирон», даже не поинтересовавшись процентной ставкой. Ровно через год они забрали свои вклады. Оказалось, что папа Карло получил 150 зо­лотых, а Буратино - в три раза меньше. Какой процент годовых дает банк «Обирон»?

Решение:

Прибыль в 500% годовых означает увеличение вклада в 6 раз, поэтому у Буратино и папы Карло вначале было 900 : 6 = 150 золотых. Прибыль в 50% означает увеличение вклада в 1,5 раза, следовательно, у папы Карло вначале было 150 : 1,5 = 100 золотых, а у Буратино 150 - 100 = 50 золотых. После вклада в банк Юбирон» он получил 150 : 3 = 50 золотых, т.е. столько же, сколько положил. Таким образом, банк «Обирон» дает 0% годовых.

^ Ответ: 0% годовых.


Задача 5: Управдом Остап Бендер собрал с жильцов деньги на установ­ку новых квартирных номеров. Адам Козлевич заинтересовался, почему у них в третьем подъезде надо собрать денег на 20% большe, чем во втором, хотя квартир во всех подъездах поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двухзначные номера приходится платить вдвое, а за трехзначные - втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?

Решение:

Пусть количество квартир в подъезде равно х. Рассмотрим случаи:

  1. х<9;

  2. 9 х< 99;

  3. 99 х < 999 и т.д. Будем считать стоимость одной цифры равной 1 рублю.

В первом случае стоимость дверных номеров во 2-м подъезде равна сумме стоимости однозначных номеров (9 - х) и стоимости двузначных номеров 2(х - (9 - х)) = Зх - 9. А в третьем подъезде в этом случае все номера будут двузначными, и их стоимость равна 2х. По условию задачи



|откуда 4х = 27, что невозможно, т.к. х - целое число.

Во втором случае номера квартир во 2-м подъезде двузначные и трёхзначные, а в 3-м трёхзначные. Стоимость номеров во 20м подъезде будет равна сумме удвоенного количества двузначных номеров 2(99-х) и утроенного количества трёхзначных номеров 3(х – (99 – х)) и это составляет стоимости номеров в 3-м подъезде, которая равна 3х.



х = 66

Ответ: в подъезде 66 квартир.

^ Задача 6: Сравните числа. Известно, что 2% положительного числа А больше, чем 3% положительного числа В. Верно ли, что 5% числа А больше, чем 7% числа В?

Решение:

Так как 2% числа А больше, чем 3% числа В, то 4% числа А больше чем 6% числа В, кроме того 1% числа А больше, чем 1% числа В. "Сложив" два последних утверждения, получим, что 5% числа А больше, чем 7% числа В. Или: 0,02А>0,0ЗВ, откуда 0,05А>0,075В>0,07В.

^ Ответ: верно

Задача 7: Петя купил две книги. Первая из них на была 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Решение:

Вторая книга на треть дешевле первой, то есть на 33%.

Ответ: на 33 %.

Задача 8: В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?

Решение:

Пусть вначале в каждой из бочек было по х литров воды, тогда в первой бочке, после всех изменений, стало х · 0,9 · 1,1=0,99х литров воды, а во второй х · 1,1 · 0,9 - то есть тоже 0,99х: литров воды.

Ответ: поровну.

Задача 9: Где дешевле? В одном магазине; молоко подешевело на 40%, а в другом сначала на 20%, а затем еще на 25%. Где молоко стало стоить дешевле? Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же.


Решение:

Пусть вначале молоко стоило х руб. В первом магазине оно стало стоить на 40% дешевле, то есть 0,6х руб. Во втором магазине после первого понижения она была 0,8х, после второго 0,8х · 0,75 =0,6х руб. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит одинаково.

^ Ответ: одинаково.

Задача 10: . Как изменилась покупательная способность населения?

Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги?

Решение:

Товар подешевел на 20% .Следовательно, весь ранее купленный товар можно было бы купить истратив 80% денег, а на оставшиеся 20% можно купить еще часть товара, что составляет 25%.

Ответ: на 25%

Задача 11: Сушеные грибы. Влажность свежих грибов - 99%, сушёных - 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?

Решение:

Пусть вес свежих грибов 100х кг, тогда вес сухого вещества в них х кг. После подсушивания, вес сухого вещества не изменился и стал составлять 2% (на одну пятидесятую) от веса грибов. Вес сухих грибов – 50х кг, а значит уменьшился в два раза.

^ Ответ: уменьшился в два раза.

Задача 12: На конференции. 85% делегатов конференции знают английский язык, а 75% - испанский. Какая часть делегатов знает оба языка?

Решение:

Заметим, что 85%+75% = 160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет кого образовался излишек? За счет тех людей, которые знают оба языка - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60% делегатов конференции.

^ Ответ: не менее 60%.

Задача 13: На туристском слете собрались все участники двух туристических походов (некоторые были в двух походах, некоторые только в одном). В первом походе было 60% мужчин, во втором - 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женщин.

Решение:

Пусть в первый поход ходило а человек, а во второй b человек. Тогда, в первый поход ходило 0,6а мужчин и 0,4а женщин, а во второй - 0,75b мужчин и 0,25b женщин. При этом, количество женщин не превышает 0,4а + 0,25b, а количество мужчин не меньше, чем наибольшее из чисел 0,6а и 0,75b. Пусть 0,6а>0,75b. Тогда 0,6а>0,4а+0,25b (так как 0,2а>0,25b). Случай, когда наибольшее - 0,75b, разбирается аналогично

Задача 14: Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы держание соли составляло 2%?

Решение:

. В 40 кг морской воды содержится 40·0,05 = 2(кг) соли, что в новом растворе составляет 2%, следовательно, раствора должно быть 2:0,02 = 100 (кг).

^ Ответ: следует добавить 60 кг пресной воды.

Задача 15: Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Найти наименьшее возможное количество участников кружка.

Решение:

.Пусть х - число участников кружка, а у - число девочек. Тогда, согласно условиям задачи, 0,09x>y или 9х>100у, где х и у - натуральные числа. Решая задачу перебором, убедимся, что наименьшее возможное решение при у=2 достигается при х=23. Таким образом, в кружке не менее 23 человек.

^ Ответ: в кружке не менее 23 человек.

Задача 16: Объём строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%?

Решение:

  1. 100% + 80% = 180 = 1,8 (объём строительных работ по сравнению с первоначальным).

  2. 100% + 20% = 120 = 1,2 – производительность труда по сравнению с первоначальной.

  3. 1,8 : 1,2 = 1,5 = 150% - составляет количество рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным, т.е. на 50% надо увеличить число рабочих.

Ответ: на 50%

Задача 17: В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, потребное для заполнения бассейна?

Решение:

  1. 100% - 60% = 40% = 0,4 – такую часть составляет оставшийся приток воды.

  2. 1 : 0,4 = 2,5 (раза) – во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, т.е. увеличится на 150%

^ Ответ: на 150%.

Задача 18: Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?

Решение:

Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 руб., и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 руб. за килограмм, т.е. 10 кг. После повышения на 20% заработок рабочего стал 12 руб., а цена продукта после снижения цены на 15% - 0,85 руб. за 1 кг. Теперь рабочий может купить уже 12 : 0,85 14,1 кг, т.е. на 4,1:10 = 0,41 = 41% больше, чем прежде.

^ Ответ: на 41%.

Задача 19: На утреннем концерте 40% всех посетителей были школьники, 36% - женщины и остальные посетители – мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75 % больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте?

Решение:

  1. 40% + 36% = 76% - составляют женщины и дети.

  2. 100% - 76% = 24% - составляют мужчины.

  3. 24% + 24% = 42% - составляют мужчины на вечернем концерте.

  4. 40% - 40% = 10% - составляют школьники на вечернем концерте.

  5. 36% + 36% = 49,5% - составляют женщины на вечернем концерте.

  6. 42% + 49,5% + 10% = 101,5% от числа посетителей на утреннем концерте составляет число посетителей на вечернем концерте, т.е. на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем, на 1,5%.

^ Ответ: на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем на 1,5%.

Задача 20: 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20-процентных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?


Решение:

  1. 5 · 0,35 = 1,75 (л) жира в 5 л сливок.

  2. 4 · 0,2 = 0,8 (л) жира в 4 л сливок.

  3. 1,75 + 0,8 = 2,55 (л) жира в смеси.

  4. 5 + 4 + 1 = 10 (л) – вес смеси.

  5. 2,55 : 10 = 0,255 = 25,5% - жирность смеси.

Ответ: 25,5%.

Задача 21: Когда 40 рабочих цеха включились в молодёжную бригаду, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60% всех рабочих цеха стали работать по-новому, продукция цеха увеличилась в 2,5 раза. Сколько рабочих в цехе и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут передовиками производства?

Решение:

  1. 250% - 100% = 150% - на столько процентов увеличится продукция.

  2. 40 рабочих увеличивают продукцию на 20%

х рабочих увеличивают продукцию на 150%

3) рабочих увеличивают продукцию на 150%, они же составляют 60% числа всех рабочих.

4) 300 : 0,6 = 500 рабочих было в цехе.

5) 500 рабочих – увеличение на у%

300 рабочих – увеличение на 150%

у = 250%

6) 250% + 100% = 350%, т.е. продукция увеличилась бы в 3,5 раза.

^ Ответ: 500 рабочих, продукция увеличилась бы в 3,5 раза.

Задача 22: Цена за вход на стадион 150 руб. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько рублей понижена плата?

Решение:

Входная плата за двух человек была 300 руб., теперь вместо каждых двух человек стадион посещают трое (число посетителей увеличилось на 50%) и платят 300 + 75 = 375 рублей (общий сбор увеличился на 25%), т.е. один билет стоит теперь 125 руб. (375 : 3), значит, плата понижена на 25 руб.

^ Ответ: на 25 рублей.

Задача 23: За 1 квартал завод выполнил 26% годового плана, а количество продукции, выполненное за 2, 3 и 4 кварталы, пропорционально числам 6,5:7,8:9,1. Определить, на сколько процентов перевыполнил завод план, если во 2 квартале завод дал продукции в раза больше, чем в первом.

Решение:

2 : 3 : 4 = 6,5 : 7,8 : 9,1 = 5 : 6 : 7

1) 26% = 32,5% годового плана дал завод во втором квартале.

2) 32,5% : 5 = 6,5% приходится на 1 часть.

3) 6,5% · 6 = 39% дал завод в 3 квартале.

4) 6,5% · 7 = 45,5% дол завод в 4 квартале.

5) 26% + 32,5% + 39% + 45,5% = 143% годового плана фактически выполнил завод, т.е перевыполнил план на 43%.

^ Ответ: на 43%.

Задача 24: . Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р% и q% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий r % меди?

Решение:

Если первого сплава взять х кг, а второго у кг, то

(кг меди) + (кг цинка),

(кг меди) + (кг цинка),


В получающемся сплаве будет

(кг меди),

а вес этого сплава будет равен + у) кг. Поэтому новая концентра­ция меди в сплаве по определению будет равна



Согласно условию задачи, полученная дробь равняется . Приходим к уравнению

(1)

Повторим ещё раз, в чем состоял способ решения этой задачи. С помощью известных значений концентраций мы «расщепили» сплав на чистые компоненты, а затем, в соответствии с условием задачи, составили новый сплав, подсчитав отдельно весовой баланс каждой компоненты.

Решим полученное уравнение. В этом уравнении два неизвестных, х и у. Поэтому оба неизвестных найти нельзя. Но в этом и нет необходимости, так как достаточно определить не сами величины х и у, а их отношение!

После очевидных преобразований из уравнения (1) получим соотношение

(2)

Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть р = r = q, x · 0 = у · 0.

В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение (2) показывает, что имеется бесконечное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава.

2. Пусть , x · 0 = у(rq), х – любое, у = 0.

Смысл этого решения понятен — второго сплава вообще не требуется.

3. Пусть , . Тогда

Полученное отношение будет давать решение задачи в общем случае (разумеется, если значение r заключено между значениями р и q, иначе окажется отрицательной величиной, что лишено смысла).

Ответ:

Задача 25: Определить процентное содержание спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20 %-го и шести литров 35 %-го растворов спирта.

Решение:

Количество «чистого» спирта в первом растворе равно 0,2 · 5 л, а во втором растворе — 0,35 · 6 л. При смешивании общее количество спирта не изменилось (а объём нового раствора равен 5 + 6 = 11 л). Поэтому можно записать уравнение для объёмной концентрации х спирта в полученном растворе

0,2 · 5 + 0,35 · 6 = х · 11,

откуда . Процентное содержание равно или %.

Ответ: %.

Задача 26: От двух однородных кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих m и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Сколько весили отрезанные куски?


Решение:

Обозначим через р и q — концентрации меди в первом и во втором кусках соответственно, а через х — вес каждого отрезанного куска. Тогда в остатке первого куска содержится (т х)р кг меди, в остатке второго куска содержится (пx)q кг меди. После того, как куски снова сплавили, в первом куске оказалось (mx)p + xq кг меди, а во втором (пx)q + xp кг меди. Приравнивая концентрации меди в обоих кусках, получим уравнение



или

тпр хп(р q) = mnq + xm(p q),

или

тп(р -q) = х(р - q)(m + п).

По условию задачи , следовательно,



^ Ответ:

Задача 27: В сосуде объёмом V содержится р%-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется п раз. Определить концентрацию соли в растворе после п процедур.

Решение:

Первоначальное количество соли в растворе равно . После того, как вылили а л смеси, соли осталось

,

а её концентрация после добавления а л воды стала равна



После того, как отлили ещё а л смеси (уже концентрации c1), в растворе осталось соли



а её концентрация после добавления воды стала равна



Теперь не составляет труда заметить, что после п переливаний концентрация соли в растворе будет определяться формулой

(3)

Ответ:

Задача 28: Концентрация соли уменьшилась в пять раз после 10 переливаний (рассмотренных в предыдущем примере). Какую часть объёма V сосуда составляют а л?

Решение:

Воспользовавшись формулой (3), запишем условие задачи в виде уравнения

,

откуда находим



Ответ:


Задача 29: Сберкасса выплачивает ежегодно 3% от положенного на сберегательную книжку вклада. Через сколько лет текущая сумма будет превышать первоначальную более чем в 2 раза?

Решение:

Пусть начальная величина вклада составляет А рублей. Согласно условию задачи запишем уравнение

,

откуда получаем



Следует отметить, что величина х является иррациональным числом. Но в условии задачи речь идёт о целом числе лет, поэтому, чтобы записать ответ, требуется найти наименьшее натуральное п такое, что

^ Ответ: Через 23 года.

Задача 30: В течение трёх лет вкладчик имел одинаковый процент прибыли по отношению к каждому предыдущему году, а затем в течение двух лет в результате инфляции нёс убытки ежегодно в половине процентов по сравнению с процентами прибыли. При какой исходной процентной ставке, не превышающей 200% годовых, вкладчик будет иметь наибольшую итоговую прибыль за пять лет и какова она (по отношению к первоначальному вкладу)?

Решение:

  1. Пусть исходная процентная ставка равна х%.

  2. Используем формулу сложных процентов, которая позволяет вычислить, каким станет первоначальный вклад а через п лет при проценте прибыли р%. Этот результат равен

.

  1. Тогда через три года сумма вкладчика будет равна . Так как в течение следующих двух лет вклад уменьшался на , то по истечении пяти лет сумма будет такой:

.

  1. Рассмотрим функцию = , где . Исследуем её на наибольшее значение.





.

Критические точки: х = -100 (не входит в область определения), х = 200, х = 80.

; ;



  1. Таким образом прибыль составляет 109,953%

Ответ: 109,953%

Задача 31: . Курс рубля по отношению к доллару (то есть цена одного рубля в долларах) падает на 4% в квартал. У клиента банка есть два альтернативных варианта помещения денег. По первому варианту он может положить деньги на рублевый чет с начислением 120% в конце года. По второму варианту он может обменять рубли на доллары и положить деньги нa валютный счет с ежемесячным начислением 6% от текущей суммы. На сколько процентов больше или меньше окажется рублевый счет по отношению к валютному через год? При расчетах считать одинаковыми обменные курсы покупки и продажи доллара. (Ответ представить в виде арифметического выражения.)

Решение:

1) Пусть клиент имел а рублей, которые он положил на рублевый счет. Тогда через год у него на счету окажется 2,2а рублей.

2) Если он обменяет а рублей на b долларов, то в конце года у него на счету окажется , т.е. .

3) Поскольку курс рубля по отношению к доллару падает на 4% в квартал, то рублевая сумма будет представлена так:

.

  1. Сравним увеличение вкладов в рублях и долларах.



Следовательно, сумма в долларах увеличилась на 101,2%



  1. Следовательно сумма в рублях увеличилась на 86,9%

  2. 101,2 – 86,9 = 14,3%

Ответ: 14,3%

Задача 32: Маклер после одной удачной сделки имел некоторый процент прибыли от вложенного исходного капитала, а затем понес такой же процент убытков со всего, что заимел. После третьей (также неудачной) сделки процент убытков возрос в 4 раза по отношению к проценту прибыли после первого года. При каком исходном проценте такая деятельность маклера приведет к наибольшим возможным долгам и каковы они по отношению к первоначальному капиталу?

Решение:

  1. Пусть исходный процент прибыли составляет х%.

  2. Тогда, если исходный капитал составлял а единиц, то после первого года сумма стала равна .

  3. После тех же процентов убытков сумма стала равна



  1. После третьей сделки сумма стала равна

.

  1. Рассмотрим функцию и найдём её наименьшее значение при .

.

Найдём критические точки.






; х = -50 (не входит в область определения).

- точка минимума. В этой точке функция принимает наименьшее значение.



6) Таким образом, долги маклера составляют первоначальной суммы. Найдём долги в процентах: а – 100%;

;

Ответ: 93,83%

Задача 33: Зарплата рабочего за месяц составила 8000 рублей. 20% из этой суммы ушло на оплату коммунальных платежей. 5% оставшейся суммы ушло на оплату долга. Сколько денег осталось после этого у рабочего?

Решение:

  1. На оплату коммунальных платежей ушло денег:

(руб.)

  1. Осталось денег: 8000 – 1600 = 6400 (руб.)

  2. На оплату долга ушло 5% от 6400, или

(руб.)

4) После этого осталось денег: 6400 – 320 = 6080 (руб.)

^ Ответ: 6080 рублей

Задача 34: В двух ёмкостях разного объема содержатся смеси двух веществ: А и В. Вещество В занимает в первой и второй ёмкостях соответственно 70% и 60% от объема. Вес вещества А емкости совпадает с весом вещества В во второй, а вес вещества А во второй ёмкости в 3,5 раза больше веса вещества В в первой ёмкости. Какой процент по весу составляет вещество А, содержащееся в обеих ёмкостях, от суммарного веса содержимого ёмкостей?

Решение:

1) Пусть х – объём первой ёмкости, а у – объём второй ёмкости, а U и V – плотности веществ соответственно.

2) Тогда вес вещества А в первой ёмкости составить , а вес вещества В там же - .

3) Аналогично во второй ёмкости содержится (по весу) вещества А и вещества В.

4) Требование задачи приводит к системе уравнений (1) – (2)



  1. В задаче требуется найти величину

,

которая после деления числителя и знаменателя на примет вид

,

и для её нахождения из системы надо найти величины .

6) А) для нахождения величины можно разделить левую часть (1) на левую часть (2), и также поступить с правыми частями.

Получим

,

(второе значение противоречит физическому смыслу величины).

Б) Для нахождения величины разделим левую часть (1) на правую часть (2), а правую часть (1) на левую часть (2), получим соотношение

.

  1. Подставляя найденные величины в выражение для Т, окончательно получим




Ответ:

Задача 35: Имеется 3 слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержащейся в нём меди.

Решение:

Прежде всего следует предложить учащимся представить условие задачи в виде таблицы:

№ слитка

Вес слитка, кг

Содержание меди, %

Содержание меди, кг

1

5

30



2

3

30



3

х

у




4 столбик заполняется после введения двух неизвестных:

х кг – вес третьего слитка;

у% - процентное содержание меди в третьем слитке.

Исходя из этого заполняется последняя строчка в 4-м столбике. Запишем, используя понятие пробы, систему двух уравнение с двумя неизвестными:



Решая её получим: х = 10, у = 69.

^ Ответ: вес третьего слитка – 10 кг, процентное содержание в нём меди – 69%.

Задача 36: Сколько серебра 500 и 800 пробы нужно сплавить, чтобы получить 225 г. серебра 720 пробы?

Решение:

1 способ

х г – вес первого сплава,

у г – вес второго сплава,

х + у = 225 (1)

Для составления второго уравнения целесообразно воспользоваться определением пробы:

,

Тогда



Получаем следующую систему уравнений:



Решая её, находим: х = 60, у = 165

2 способ:

При помощи рассуждений.

Предполагаем, что в сплав мы взяли только серебро 500 пробы. Тогда в 225 г сплава чистого серебра будет 162 г, что на 49,5 г меньше требующегося количества. Эта разница получилась из-за того, что не был учтен сплав серебра 800 пробы.

В самом деле, в каждом грамме сплава 800 пробы содержится 0,8 г чистого серебра, а в каждом грамме сплава 500 пробы содержится 0,5 г чистого серебра. Следовательно, взяв только сплав 500 пробы, мы с каждого грамма серебра 800 пробы не учли 0,8 -0,5 = 0,3 г чистого серебра,

Таким образом, при получении 225 г сплава 720 пробы не было учтено 49,5 : 0,3 = 165 (г) серебра 800 пробы. Итак, для составления сплава, требующегося в задаче, надо взять серебра 800 пробы 165 г, а серебра 500 пробы – 60 г.

Ответ: 165 г, 60 г.

Задача 37: Имеется три сплава. Первый сплав содержит 10% кобальта и 90% железа, второй – 40% железа и 60% никеля, третий – 20% кобальта, 50 % железа и 30% никеля. Из этих сплавов необходимо создать новый сплав, содержащий 20% никеля. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание железа может быть в новом сплаве?

Решение:

Пусть х + у + zмасса нового сплава.

; .



Подсчитаем значения на границах

При z = 0

При y = 0

Так как производная функции отрицательна, то функция монотонно убывает в области и наибольшее значение достигается при , что соответствует , а наименьшее значение при , что соответствует значению .

; ; ;

Ответ: ;

Задача 38: Через 40 минут после выезда из пункта А автомобиль уменьшил скорость на 20% и через некоторое время прибыл в пункт В. При этом оказалось, что на вторую половину пути он затратил на 5 минут больше, чем на первую. За какое время автомобиль проехал путь от А до В?

Решение. Пусть S (км) - расстояние АB, v (км/ч) – начальная скорость автомобиля. Тогда автомобиль проехал расстояние (км) и уменьшил скорость до 0,8. Для вычисления времени, затраченного на первую и на вторую половину пути, необходимо рассматривать два случая.

1) Изменение скорости произошло на первой половине пути, т.е. . Тогда из условия задачи получаем уравнение:



Это уравнение решений не имеет, то есть этот случай не может реализоваться.

2) Изменение скорости произошло на второй половине пути, то есть . Тогда из условия задачи получим уравнение в виде



Решая это линейное относительно уравнение, после очевидных вычислений получим , что подходит по условию рассмотрения этого случая .

Так как время движения по первой половине пути (час), а время движения на второй половине пути по условию больше на (час), то всё время движения

(час) = 65 (мин)

^ Ответ 65 минут.

Задача 39: Имеются слитки трёх типов. Один слиток первого типа весит 5 кг и содержит 30% меди, 20% серебра и 50% золота. Один слиток второго типа весит 2 кг и содержит 40% меди, 30% серебра и 30% золота, а один слиток третьего типа имеет массу 1 кг и содержит 50% меди, 20% серебра и 30% золота. Какое минимальное количество слитков каждого типа потребуется, чтобы, не разрезая их, получить сплав, содержащий 37% меди, 23% серебра и 40% золота?

Решение:

Составим таблицу, в которую внесем концентрации компонентов в слитках, массы слитков и количество слитков, необходимое для получения сплава нужного состава.










масса

Кол-во

1

0,3

0,2

0,5

5

k

2

0,4

0,3

0,3

2

l

3

0,5

0,2

0,3

1

m




0,37

0,23

0,4







Полная масса нового сплава равна 5k + 2l + т. Составим уравнения материального баланса

Cu:

Ag:

Au:

Упрощая которые получим:



Видно, что третье уравнение является суммой двух первых, так что независимых уравнений всего два. Из двух последних уравнений исключим k и полу­чим , откуда , m = 4t,где . Подставляя в последнее уравнение, найдем

k : k = 2t. Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4.

Ответ: Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4.

Задача 40: Партия телевизоров проходит испытание на долговечность. После первого года работы отказало 15 телевизоров, а после второго – ещё 4. сколько телевизоров было исправно после первого года работы, если известно, что отношение числа телевизоров, исправных к концу второго года, к числу телевизоров, исправных к началу года, на 8,75% больше, чем такое отношение, составленное для первого года испытаний?

Решение:

Обозначив через х число телевизоров, исправных после первого года работы, записать условие задачи в виде



Далее получить уравнение:

, откуда , .

^ Ответ: 120 телевизоров.

Задача 41: В первом сосуде содержится 5 кг, во втором – 10 кг 5%-го раствора соли. Из каждого сосуда выпарили часть воды, после чего концентрация соли в первом сосуде составила , во втором - . Известно, что . Какое наибольшее и какое наименьшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе?

Решение:

Количество испарившейся воды



;

(max)

М(5) = 8; М(25) = 4;

Ответ: кг; кг.


Заключение.


В данном пособии изложены некоторые понятия теории процентов. Приведены типовые задачи по данной теме. К задачам даны решения. Эта система подобранных упражнений даёт возможность творчески подходить к повторению темы «Текстовые задачи на проценты».

Умение учащихся находить процент от числа, изменение величины в процентах, число по его проценту и т.д. позволяет усложнить текстовые задачи, что развивает логическое мышление.

В результате применения данной системы упражнений по данной теме повышается интерес к математике, увеличивается скорость вычислительных навыков на проценты. Уменьшается количество ошибок при решении сложных задач на проценты. Идёт более глубокое усвоение знаний по теме «Проценты».


^

Список использованной литературы


  1. Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. Саратов, изд. «Лицей», 2001.

  2. Вступительные экзамены по математике в Уральском университете в 1991 году. Екатеринбург, 1992.

  3. Вступительные экзамены по математике в Уральском Государственном университете в 2000 году. Екатеринбург, изд.Уральского университета, 2000.

  4. Задачи с параметрами. Текстовые задачи. Пособие для поступающих в УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 1998

  5. Зубелевич Г.И. Сборник задач московских математических олимпиад. М.,Просвещение, 1971.

  6. Математика. Варианты билетов вступительных экзаменов в УГТУ. Решения и ответы. Екатеринбург, 1999, 2000, 2001.

  7. Назаретов А.П. Конкурсные задачи по математике для поступающих в ВУЗы. М.,2001

  8. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. М., 1995.

  9. Пчелинцев Ф.А., Чулков П.В. Математика 5-6 класс. Уроки математического мышления. М., 1998.

  10. Чекмарев Я.Ф. Методика преподавания арифметики в 5 и 6 классах. М.,Просвещение, 1965.

  11. Роль задач в формировании математических знаний и развитии учащихся. Учебное пособие. Екатеринбург, 1993.

  12. Черкасов О., Якушев А. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. М., 2002.





Скачать 392,48 Kb.
оставить комментарий
Лапушкина Людмила Григорьевна
Дата23.09.2011
Размер392,48 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх