Занятия. Обобщение и систематизация знаний учащихся по преобразованию графиков функций. Теория вопроса icon

Занятия. Обобщение и систематизация знаний учащихся по преобразованию графиков функций. Теория вопроса


2 чел. помогло.

Смотрите также:
Обобщение и систематизация знаний учащихся по орфографии...
«Преобразование графиков функций»...
Домашнее задание -это естественное продолжение данного урока и начало последующего...
Задачи занятия: Образовательные: активизация познавательной деятельности студентов на уроке...
План конспект урока. Предмет: английский язык учитель: дворцова т, В, класс: 4 ”Б”...
Урок проводится в виде устного или письменного опроса учащихся по вопросам и заданиям к главе VI...
Тема: «Повышение профессионального мастерства педагога как одно из средств повышения качества...
Домашнее задание: лекция, тест 6 по теме «Линейная функция» (с сайта www atw-matem narod ru )...
Урок математики и истории. Тема урока «Математика и Древний Египет»...
Самостоятельная работа учащихся. Обобщение материала занятия. Домашнее задание...
Рабочая программа по алгебре и началам анализа 10 класс...
Пояснительная записка цель изучения алгебры и математического анализа систематическое изучение...



скачать
Занятие 5. Тема: «Преобразование графиков функций»

Цель: систематизировать знания по видам преобразования функций.

Задачи:

  • Формирование умений применять полученные знания при решении типичных и нестандартных задач;

  • Развивать умение самостоятельно выполнять задания на построение, анализировать свою работу;

  • Развивать познавательную активность и творческие способности.

Оборудование: таблицы, схемы, компьютер , ИД, мультимедийный проектор.

Ход занятия.

I. Организационный момент

^ II. Сообщение темы и цели занятия.

III. Работа по теме занятия. Обобщение и систематизация знаний учащихся по преобразованию графиков функций. Теория вопроса.

Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. График функций вида: y=Af(x+b)+B

может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований:


1. а). Осевая симметрия относительно оси 0X;

б). Осевая симметрия относительно оси 0Y;

в). Центральная симметрия относительно начала координат точки 0;


2. а). Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси 0X;

б). Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси 0Y;


3. а). Растяжение (или сжатие) по направлению оси 0X;

б). Растяжение (или сжатие) по направлению оси 0Y.


Отметим, что:

1. а) При осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y);

б) При осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку(-x; y);

в) При центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y);

2 а) При параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку(x+a; y), где а – некоторое число при

этом перенос происходит «вправо», если а>0, и «влево», если а<0;

б) При параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (x; y+b), где b – некоторое число при

этом перенос происходит «вверх», если b>0, и «вниз», если b<0;

3. а) При растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит

в точку (px; y);

б) При растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит

в точку (x; qy).

Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования (табл. 1), использование которых позволяет из известного графика функции y =f(x) строить графики других функций (см. рисунки).
^

Таблица №1





Функция

Преобразования графика функции у =f(х)

у =f(х)+А

Параллельный перенос его вдоль оси ОУ на А единиц вверх, если А>0, и на |А| единиц вниз, если А< 0 (см. рис. 30, 31)

у =f(х+ а)

Параллельный перенос его вдоль оси ОХ на а единиц влево, если а>0, и на |а| единиц вправо, если а< 0(см. рис. 32, 33)

у = k f(х), k>0

Растяжение его вдоль оси ОУ от оси ОХ в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз вдоль оси ОУ к оси ОХ, если 0< k< 1(см. рис. 34, 35)

у = f(kх), k>0

Сжатие его вдоль оси ОХ к оси ОУ в k раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз вдоль оси ОХ от оси ОУ, если 0< k< 1(см. рис. 36, 37)

у =-f(х)

Симметричное отражение его относительно оси ОХ (см. рис. 39)

у =f(-х)

Симметричное отражение его относительно оси ОУ (см. рис. 38)

у =|f(х)|

Часть графика, расположенная ниже оси ОХ, симметрично отражается относительно этой оси, остальная часть остается без изменений (см. рис. 40)

у =f(|х|)

Часть графика, расположенная левее оси ОУ исчезает, а расположенная правее оси ОУ остается без изменений, включая точку на оси, правая часть симметрично отражается относительно оси ОУ налево (см. рис. 41)

^ IV. Построение на доске. Работа на ИД .

  1. Сдвиг вдоль оси ординат.

Преобразование у =f(х) — у =f(х)+А

Параллельный перенос графика функции у =f(х) вдоль оси ОУ на А единиц вверх, если А>0, и на |А| единиц вниз, если А< 0 .


^ 2) Сдвиг вдоль оси абсцисс

Преобразование у =f(х) — у =f(х+ а)

Параллельный перенос графика функции у =f(х) вдоль оси ОХ на а единиц влево, если а> 0, и на |а| единиц вправо, если а< 0




^ 3) Растяжение и сжатие вдоль оси ординат

Преобразование у =f(х) — у = k f(х)(k > 0, k≠1).

Растяжение графика функции у =f(х) вдоль оси ОУ от оси ОХ в k раз, если к > 1, и сжатие в 1/k раз

вдоль оси ОУ к оси ОХ, если 0< k< 1




^ 4) Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс


Преобразование у = f(х) у = f(k х)( k> 0, k≠1).

Сжатие графика функции у =f(х) вдоль оси ОХ к оси ОУ в k раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз вдоль оси ОХ от оси ОУ, если 0< k< 1




^ 5) Симметричное отражение относительно оси абсцисс

Преобразование у = f(х)у = - f(х).Симметричное отражение графика функции у =f(х) относительно оси ОХ

6) Симметричное отражение относительно оси ординат

Преобразование у = f(х) у = f(-х).Симметричное отражение графика функции у =f(х) относительно оси ОУ


^ V. Практическая работа на компьютере. Техника безопасности при работе на компьютере.

Построение графиков функций путем преобразования.

Каждый ученик выбирает функцию и выполняет ее преобразование. При работе использует составленную таблицу. В работе используется учебный диск «Математика 5 – 11» Дрофа.

^ VI .Итог урока. Назвать виды преобразования графиков функций.

VII. Домашнее задания.

Продолжить работу по построению графиков функций на компьютере.


^ Занятие 6. Тема: «Модуль функции»

Цель: изучить построение графика с модулем.

Задачи:

  • Формирование умений применять полученные знания при решении типичных и нестандартных задач;

  • Развивать умение самостоятельно выполнять задания на построение, анализировать свою работу;

  • Развивать познавательную активность и творческие способности.

Оборудование: таблицы, схемы, компьютер , ИД, мультимедийный проектор.

Ход занятия.

^ I. Организационный момент

II. Сообщение темы и цели занятия.

III. Работа по теме занятия. Обобщение и систематизация знаний учащихся по преобразованию графиков функций модулю.


^ 2. Вступительное слово учителя.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

^ В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

^ В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

^ Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Теория вопроса. Модуль функции


Преобразование у = f(х) у =|f(х)|.

Часть графика, расположенная ниже оси ОХ, симметрично отражается относительно оси ОХ, остальная часть остается без изменений.




^ Модуль аргумента

Преобразование у = f(х) у =f(|х|).

Часть графика у = f(х), расположенная левее оси ОУ исчезает, а расположенная правее оси ОУ остается без изменений, включая точку на оси, правая часть симметрично отражается относительно оси ОУ налево





Построение графика на ИД.


^ IV. Закрепление изученного материала.

Модуль - абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Расстояние этой точкой от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом отсчёта числовой прямой. Вопросы:

1. Что называется модулем данного числа? (Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой от начала этой прямой, называется модулем данного числа.)

2. Как обозначается модуль? (Модуль некоторого числа а обозначается |а| .)

Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

  1. Работа у доски.

Решим уравнение алгебраически. |х-6| = 9. Если число 6 мы изобразим точкой А (рисунок 1), то по определению модуля следует, что точка х стоит от точки А на 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, а вторая имеет координату

х = 6-9 = -3.

Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Решение этого же уравнения графически на ИД.

Теоремы, доказательства, следствия.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля.

Определение. Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна , если а меньше нуля:



Из определения следует, что для любого действительного числа а, |а|≥0.


Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.

Функция у= |х|.

Рассмотрим график функции у=|х|, где |х| означает абсолютную величину, или модуль, числа х.

Построим её график, пользуясь определением абсолютной величины. При положительных х имеем |х|=х, т. Е. этот график совпадает с графиком у=х и является лучом, проходящим через начало координат под углом 45° к оси абсцисс. При х<0 имеем |х|=-х, значит, для отрицательных х график у=|х| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.

Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных значений х) легко получить из первой, если заметить, что функция у=|х| четная, так как |-a|=|a|. Значит, график этой функции симметричен относительно оси Оу, и вторую половину графика можно получит, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных значений (рисунок 3).

Рассмотрим функция у=-|х|.

График функции у=-|х| получается симметричным отображением графика

у= |х| относительно оси х (рисунок 4).

Функции у=|х|+2, у=|х|-2

Этот график легко построить непосредственно. Однако мы его получим из графика у=|х|. Составим таблицу значений функций у=|х|+2 и сравним её с такой же таблицей, составленной для у=|х|, выписав эти таблицы рядом. Ясно, что из каждой точки первого графика у=|х| можно получить точку второго графика у=|х|+2, увеличив |х| на единицу. Значит, чтобы получить точки второго графика, надо каждую точку первого сдвинуть на 2 вверх, т.е. второй график получается из первого сдвигом вверх на 2.

Сравним этот график с графиком у=|х|. Если х=а, у=|а| - точка первого графика, то точка х=а, у=|а|-1 будет лежать на втором графике. Поэтому каждая точка (|а|, |а|-1) второго графика может быть получена точки (а, |а|) первого графика сдвигом вниз на 2 единицы, и весь график получается, если у=|х| сдвинуть вниз на 2 единицы (рисунок 5).

Функции у=|х+2|, у=|х+2|

График этой функции мы тоже можем получить из графика у=|х|. Напишем опять рядом две таблицы: для у=|х| и для у=|х+2|. Если сравнивать значения этих функций при одинаковых х, то окажется, что для некоторых х ордината первого графика больше, чем для второго, а для некоторых наоборот.

Однако, если внимательно посмотреть на правые столбцы этих двух таблиц, связь между таблицами можно установить. Именно вторая функция принимает те же самые значения, что и первая, только принимает их на две единицы раньше, при меньших значениях. Значит, из каждой точки первого графика у=|х| получается точка второго графика у=|х|+2, сдвинутая на 2 влево; например из точки (-2, 2) получается точка с координатами (-3, 2). Поэтому и весь график у=|х|+2, получится, если сдвинуть график у=|х| на 2 влево вдоль оси абсцисс (рисунок 6).

Функция у=а|х|

График функции у=а|х| получается растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1 раз при 0<а<1 .

Функция у=||х-2|-3|

Алгоритм построения.

  1. Строим график функции у=|х|.

  2. Строим график функции у=|х-2|.

  3. Строим график функции у=|х-2|-3.

  4. Применяем к графику у=|х-2|-3 операцию «модуль» (рисунок 8).

Функции у=|2х-4|+|6+3х|. Находим корни каждого выражения, стоявшего под знаком модуля: 2х – 4 = 0; 6 + 3х = 0, х = -2. В результате ось Ох разбиваем на три промежутка. В каждом промежутке выражение, стоящее перед знаком модуля, имеет определенный знак. Опускаем знаки модуля, берём выражение в каждом промежутке с соответствующим знаком:

  1. х<-2, у = -(2х-4)-(6+3х)=-5х-2;

  2. –2≤ х < 2, у= -( 2х-4)+(6+3х)=х+10;

  3. х≥ 2, у = 2х-4+6+3х = 5х+2

Получим в каждом промежутке выражение функции без знака модуля. Строим график функции в промежутке. При правильном построении в области определения график должен представлять непрерывную линию (рисунок 9).

5. Итог урока.

Использую копировальную бумагу по вариантам построить график функции: у=|х-4|+2 (у=|х+4|-2).

^ 6. Домашнее задание.

В творческой тетради составить функции, содержащие знак модуля, и построить их графики.

Литература.

  1. Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.

  2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М. «Просвещение», 1982.

  3. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993.

  4. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987.

  5. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. М., «Просвещение», 1989.


Занятие 7. Тема: «Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля с использованием информационных»

Цель: рассмотреть построение графиков трех видов: y = f(|x|), y = |f(x)|, |y| = f(x) - для дальнейшего применения данного материала на уроках алгебры, на факультативных и дополнительных занятиях.

Задачи:

  • Формирование умений применять полученные знания при решении типичных и нестандартных задач;

  • Развивать умение самостоятельно выполнять задания на построение, анализировать свою работу;

  • Развивать познавательную активность и творческие способности.

Оборудование: таблицы, схемы, компьютер, ИД, мультимедийный проектор.

Ход занятия.

^ I. Организационный момент

II. Сообщение темы и цели занятия.

III. Работа по теме занятия.

    1. Вводная беседа.

Проблема: повышение уровня математической подготовка учащихся через решение задач повышенной сложности с использованием в учебном процессе современных информационных технологий.

Как правило, применение «нестандартных» методов позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Задания на построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля, вызывают у учащихся затруднения.

    1. ^ Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля. Формулирование правил построения.

Одна из причин таких ошибок кроется, на мой взгляд, в непонимании учащимися определения модуля числа:



При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание учащихся на то, что число - x может быть как отрицательное (при x < 0), так и положительное (при х > 0).

В курсе алгебры неполной средней школы на уроках и в период проведения внеклассной работы целесообразно рассмотреть построение графиков трех видов:

y = f(|x|),   y = |f(x)|,   |y| = f(x).

Для построение всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.

Так, для построения графика функции y = f(|x|) на основании модуля имеем:



Следовательно, график функции y = f(|x|) состоит из двух графиков: y = f(x) - в правой полуплоскости, y = f(-x) - в левой полуплоскости.

Например:



После того, как учащиеся познакомятся с определением четной и нечетной функции, их можно познакомить с правилом 1.

Правило 1: функция y = f(|x|) - четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции y = f(x), для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

Знание этого правила облегчает построение графиков функций вида y = f(|x|).

Целесообразно предлагать учащимся строить графики двумя способами:
1) на основании определения модуля;
2) на основании правила 1.

После знакомства с квадратичной функцией весьма интересным и полезным является построение графиков функций:







Рисунок 1

Рисунок 2

Работа с презентацией.

Пример слайдов компьютерной презентации, иллюстрирующих правило 1:




Правило 2: для построения графика функции y = |f(x)| для всех x из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс (f(x) < 0), отразить симметрично этой оси.

Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.

Пример: y = |x2 - 4|.

Строим график функции y = x2 - 4 (рис. 3).





Рисунок 3

В формуле |y| = f(x)   f(x) ≥ 0 и на основании определения модуля

,

перепишем формулу |y| = f(x) в виде y = ±f(x), где f(x) ≥ 0.

Исходя из этого, можно сформулировать правило 3.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА,

Правило 3: для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика, симметрично оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |y| = f(x) состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Мы убедились, что учитель, проводящий урок с помощью компьютера, имеет возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным, динамичным. Такие уроки вызывают большой интерес у учащихся, способствуют повышению качества знаний, расширяют горизонты школьной математики.



В соответствии с этим правилом можно предложить учащимся предлагается построить графики (рис. 4):








Рисунок 4

Для более подготовленных учеников, интересующихся математикой можно рассмотреть и следующее правило.

Правило 4: для того, чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, надо скачала построить график функции y = f(x) при x > 0, затем при х < 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси 0y, а затем на интервалах, где f(|x|) < 0, построить изображение, симметричное графику f(|x|) относительно оси Ох.

Рассмотрим еще несколько интересных заданий.

1. Построить график функции



ОДЗ: x ≠ -1




2. Построить график функции






3. Построить график функции



Упростим:



Получим:



1)



2)



3)



VII. Итог занятия.

Какое преобразование графиков самое сложное для вас и чем?

VIII. Домашнее задание.

Индивидуальные задания по 2 части сборника подготовки к ГИА стр. 132, стр. 136.




Скачать 216,29 Kb.
оставить комментарий
Дата22.09.2011
Размер216,29 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
средне
  2
отлично
  4
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх