Реферат по истории и философии науки Математическая теория музыки
4 чел. помогло. | скачать ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики РЕФЕРАТ по истории и философии науки Математическая теория музыки. Что такое «Хорошо темперированный клавир»? Выполнила аспирантка 1 года обучения Куликова Екатерина Алексеевна Н. Новгород, 2008 Содержание Введение 4 1. Математическая теория музыки 7 1.1. Общее понятие, истоки 7 1.2. Пифагор 8 1.3. Альтернативная теория, Аристоксен 11 1.4. Теория музыки в Средние Века 12 1.4.1. Натуральный строй 13 1.4.2. Среднетоновый строй 13 1.5. На пути к равномерной темперации 14 2. Хорошо темперированный клавир 16 2.1. История создания 16 2.2. Темперация и клавишные инструменты 17 2.3. Исполнение ХТК 18 2.4. Развитие более поздних музыкальных систем 18 2.5. Влияние ХТК Баха на музыкальное искусство 19 3. Возможные параллели проблемам музыкальной формы и содержания в философии математики 21 3.1. Прелюдия как предзнание 21 3.2. Фуга как идеальное знание 22 Заключение 24 Список литературы 25 ВведениеМатематика – это одна из самых сложных и богатых, но в то же время противоречивых и загадочных наук, которая на протяжении многих веков привлекает людей. С одной стороны, математика может быть чрезвычайно абстрактной и отвлеченной от действительности. С другой стороны, постоянная жизненная необходимость использовать математику, вынуждает человека развивать эту науку. Во времена первых цивилизаций необходимость в математических знаниях появилась в различных областях: геометрия требовалась для сельского хозяйства, строительства и мореплавания, а арифметика была нужна для решения экономических вопросов. Под влиянием практических задач наука стремительно развивалась. Эмпирически полученные закономерности подталкивали теоретическое объяснение явлений, теоретические открытия подтверждались практикой и проявлялись в новых областях жизни. Ученые постоянно отыскивали в явлениях мира различные математические сущности, будь то законы, отношения или даже сами числа. И, вероятно, это происходило не только из-за того, что именно математическое описание мира им так приглянулось, а еще и потому, что, возникнув однажды, эти концепции оказались действительно удобными для описания многих реальных явлений. Чем же хороши числа, эти неясные, сложные сущности? Понятие числа имеет высокую степень абстракции. Например, если люди разных культур говорят о дереве, о яблоке, о доме, то это может рождать совершенно разное понимание или даже провоцировать непонимание. Ведь где-то деревья огромные и ветвистые, а в других географических зонах они карликовые. В противоположность этому, говоря о числе, трудно представить себе что-то конкретное. Потому что содержание этого понятия очень мало, а объем велик. Возможно и другое объяснение удобства чисел. Имеются предположения, что человеческий разум обладает следующим свойством: усвоив однажды некую концепцию, модель, поверив в ее истинность (адекватность), люди повсюду ищут и находят ее реализации и подтверждения в действительности. Это верно даже для ложных с объективной точки зрения концепций. Например, ревнивый человек, заподозривший измену, будет видеть во всем подтверждение своим худшим помыслам, даже если этой измены в самом деле не было. Откуда могло появиться подобное свойство человека? Тут лишь можно предположить, что на это могло повлиять строение человеческого мозга и его способность к установлению стабильных цепочек нейронов. Комплекс ощущений и размышлений человека однажды складывается в определенную картину понимания (внешние ощущения каким-то образом рождают внутренние), которая соответствует проходу электрического разряда по определенной цепи нейронов. Физико-химическая реакция, происходящая во время разряда может изменять химический состав и проводимость нейронов таким образом, что становится более вероятным повторный проход разряда по этой же цепочке. Таким образом, люди, однажды убедившись в том, что математические модели действительно помогают объяснить, описать и предсказать явления мира, достигли этого первоначального понимания и стали двигаться по пути расширения и углубления знаний. Математика развивалась настолько успешно, что в определенный момент оказалась не просто одной из самостоятельных наук, но стала претендовать на роль единого междисциплинарного аппарата для всех наук естественного цикла. Концепция универсальности математики укреплялась все новыми открытиями. В настоящее время уже ни у кого не вызывает сомнений, что современная физика, да и многие другие науки пользуются математическим языком для описания своих законов. Огромное значение математики для естественных наук бесспорно. Как же она используется в науках гуманитарных? И здесь можно видеть постепенное осознание важной роли математики. Различные области математики, такие как математическая статистика, теория формальных языков и грамматик, теория фракталов помогают лингвистам, социологам, литераторам и даже художникам. Музыку можно считать наукой лишь отчасти, в большей степени это мало формализованное искусство, однако связь математики с музыкой сложилась очень давно. Но несмотря на то, что проблемами взаимодействия математики и музыки человечество интересовалось, начиная с древнейших цивилизаций (Индия, Китай, Греция), до сих пор множество вопросов в музыкальном искусстве остаются открытыми. И хотя математики пытаются свести музыкальные феномены к последовательностям чисел, их отношений, сочетаний и так далее, все же нельзя утверждать, что с помощью математики можно как-либо объяснить или описать удивительную красоту произведений гениальных композиторов. Причем эти формализации почти одинаково невозможны как для композиторов эпохи Барокко (Бах, Вивальди, Моцарт, Скарлатти, Пёрселл), так и для более поздней музыки вплоть до композиторов 20 века (Прокофьев, Рахманинов, Метнер, Шостакович, Гершвин, Бернстайн, Бриттен, Уэббер). Конечно же, можно проводить различные классификации стилей, форм произведений, их мелодических рисунков, гармонического склада и так далее; музыкальные науки именно этим и занимаются. Однако всегда остается в музыке что-то тайное, эзотеричное, необъяснимое и прекрасное, что не поддается рациональным объяснениям и толкованиям, что в одном и том же произведении воспевают одни и отрицают другие. Это непонятная природа музыки, позволяющая ей действовать на чувства людей, минуя разум, и только лишь сочетаниями звуков дарить им радость и горе. Можно делать предположения, что на слух приятны каким-то образом повторяющиеся в каденциях сексты, представляющие собой математическую последовательность, или соответствие длительностей нот в мелодии, симметричное длительностям в подголосках, что построение красивой фуги описывается некоторой формулой, однако на основании этих даже самых изощренных правил еще никому не удалось создать музыку, сравнимую по силе эмоционального воздействия с фугами Баха или сонатами Бетховна. Модели и методы математики, по мнению многих философов, музыкантов и самих математиков, не дают удовлетворительного объяснения феномену музыки. ^ Теория музыки это наука о строении музыкальных произведений, формулирующая правила и принципы, лежащие в основе сочинения музыки. Теория музыки также может пониматься и как учебная дисциплина, цель которой – приобретение навыков, необходимых для исполнения, понимания и создания музыки. К основным разделам теории музыки можно отнести следующие: элементарная теория музыки (нотная грамота), мелодика, сольфеджио, гармония, ритмика, метрика, контрапункт (полифония), анализ музыкальных форм и инструментовка. Теоретики музыки пытаются сформулировать правила построения музыкальных предложений, найти общие законы мелодии и гармонии и дать набор рекомендаций о том, что следует и что не следует использовать при сочинении. За долгую историю развития этой науки были подробно разработаны элементарная теория музыки и сольфеджио, разделы, содержащие сведения о строении музыкальных интервалов, аккордов, ладах и тональных соотношениях. Сейчас эти основы музыкальной теории изучаются детьми с раннего возраста во всех музыкальных школах. Следующими более сложными и уже не такими однозначными дисциплинами являются мелодика и гармония, основы которых составляют эмпирические закономерности, полученные из многовековой музыкальной практики. Эти правила (например, широко известные запреты классической гармонии на использование параллельных квинт и параллельных октав) обязательны для выполнения студентами консерваторий в учебных гармонических задачах. Однако известны случаи, когда подобные построения успешно применялись крупнейшими композиторами в произведениях, получивших широкое признание. Например, параллельные квинты звучат в последней части Концерта №3 для фортепиано с оркестром С. В. Рахманинова. Чем выше поднимаются люди в изучении музыкальной теории, тем больше появляется перед ними трудностей, спорных моментов и возможностей для творчества. Для разрешения этих трудностей в некоторых дисциплинах теории музыки особенно удобным оказался математический способ описания. Начиная от отношений длин струн в идеальных интервалах, исследованных Пифагором, математика прочно вошла в арсенал теоретиков музыки. ^ Хотя математика использовалась музыкантами издавна, не существует единого взгляда на понятие «математическая теория музыки». Известно множество различных попыток теоретических объяснений и описаний соотношения музыкальных звуков, однако можно утверждать, что под математической теорией музыки понимается математическое описание таких разделов общей теории музыки, как сольфеджио, гармония и элементарная теория. Китайские, персидские, индийские, арабские и греческие ученые работали над созданием музыкального строя. Так, еще до нашей эры китайскими музыкантами была разработана пятизвуковая система (пентатоника), а в 3 в. н. э. — семизвуковая; позже в Китае получили 12-ступенный хроматический звукоряд с помощью построений квинт. 1.2. ПифагорСамым ранним из известных нам исследований о связи математики и музыки, повлиявшим на становление европейской теории музыки, являются работы Пифагора из Самоса (6 в. до н. э.) и его последователей. Пифагор основал научную и эзотерическую закрытую школу, в которой преподавались различные математические дисциплины. К сожалению, из-за тайного характера деятельности школы, в настоящее время трудно определить, какие именно открытия принадлежат самому Пифарору, а какие – его ученикам. Однако известно, что пифагорейцы занимались астрономией, гармонией (теорией музыки), геометрией и арифметикой и пытались выразить законы вселенной с помощью чисел. Именно поэтому основное внимание ученые уделяли арифметике, полагая, что с ее помощью можно выразить все связи между вещами в мире. Исходя из этого принципа, Пифагор и его ученики пытались найти отражения чисел во всех явлениях. Считалось, что сам Пифагор слышал «гармонию сфер» (лат. harmonia mundi) или «музыку сфер» (лат. musica mundana) то есть созвучие всего в мире, подобное музыкальному консонансу. Одним из основных достижений пифагорейцев в математической теории музыки был разработанный ими способ деления октавы. Пифаогрейцы обнаружили, что если поделить струну на две половины, то звук, издаваемый обеими частями, будет в некотором смысле таким же по тону, что и звук целой струны. Можно предположить, что к тому времени в музыке уже существовали представления о какого-либо рода октаве как о паре одинаковых звуков с разной высотой. Важность этого начального, основополагающего звуковысотного соотношения была осознана пифагорейцами и затем использована при построении музыкального ряда. Благодаря опытам со специфическим музыкальным инструментом – монохордом (название которого по-гречески означает «однострунный») – пифагорейцы поняли, что человеческому слуху приятны сочетания звуков, которые получаются при длинах струн, находящихся в отношении небольших целых чисел. Изучая эти особые соотношения, они определили некоторые из них (унисон, октаву, кварту и квинту) как совершенные созвучия, а другие как несовершенные (терция и секста). Учеными было сформулировано следующее эмпирически полученное правило: две струны звучат согласно, если их длины находятся в отношении целых чисел из составляющих треугольного числа 10, т. е. а отношениях 1/2, 2/3 или 3/4. Причем, чем меньше числа, тем благозвучнее получившийся интервал. Долгое время не существовало единого мнения музыкантов и математиков о том, что определяет приятное для слуха звучание струны – консонанс. Одни видели причину в различном натяжении струны, другие считали основным фактором длину струны. Ученик Пифагора Архит Тарентский (ок. 428-365 до н. э.) первым предположил, что высота музыкального тона зависит от скорости движения струны то есть от частоты ее колебаний. Итак, пифагорейский строй получался из двух основных звуковых отношений. Это отношение звуков октавы 1/2 и отношение 2/3 в квинте. Поэтому построение пифагорейцев называют квинтовым кругом, хотя на самом деле более точным будет понятие «квинтовая спираль». Несмотря на то, что чистая кварта также считалась интервалом совершенного консонанса, строй Пифагора опирается лишь на два главных интервала – квинту и октаву. Возможно, кварта не использовалась при построении звуков из-за того, что ее отношение содержит слишком большие числа, а пифагорейцы верили в гармонию малых чисел. Шкала Пифагора строится таким образом. Берется начальный звук, например, рассмотрим звук до (его буквенное обозначение – C). Поднимаясь от него на квинты вверх, то есть умножая частоты колебания струны на 3/2, получим звуки соль (G), ре (G), ля (A), ми (Е) и си (H). Последующие переходы идут по диезным звукам, которые являются в гамме до-мажор вспомогательными. Последнюю ноту, фа (F), можно получить, опустившись на квинту вниз от до. Построены семь нот диатонической гаммы, и если принять частоту ноты до за условную единицу, то получаем следующие частоты:
Все полученные ноты, кроме фа и до, выходят за пределы одной октавы. Чтобы вернуть оставшиеся звуки внутрь октавы, необходимо понизить их на одну, две или три октавы соответственно, то есть поделить на 2/1, (2/1)2 и т. п. Получаем следующие отношения для нот в пределах октавы:
Этот музыкальный строй называют также диатонической гаммой. В ней целый тон имеет коэффициент 9/8, а полутон - 256/243. Если продолжить квинтовые переходы за ноты си и фа вверх и вниз, а затем каждый найденный звук перенести внутрь октавы, то получится хроматическая гамма. Однако при попытке объединить все полученные ноты в один ряд, мы сталкиваемся с рядом трудностей. Во-первых, никаким числом квинтовых переходов нельзя попасть точно в ноту до (C*), находящуюся на октаву выше исходной, так как (3/2)m ≠ (2/1)n. Наиболее близкими оказываются отношения 7 октав ((2/1)7 = 128,0) и 12 квинт ((3/2)12 = 129,764), с помощью которых получается нота С**. Отношение частот звуков, полученных из октав и квинт, равно С**/С* = 129,764/128,0 = 1,01364. Эта разница соответствует 1/9 целого тона или 1/4 полутона и называется Пифагоровой коммой. Во-вторых, если аналогично спускаться по квинтам вниз от ноты С, то получается нота С***, которая оказывается ниже С* на такую же величину. Еще одна трудность связана с тем, что внутри каждой пары целых тонов в диатонической гамме появляется по две ноты с диезами и бемолями, расстояние между которыми равно также 1,01364. Причем звук фа-диез не оказывается равным звуку соль-бемоль. Таким образом, в расширенной диатонической гамме отсутствует энгармонизм. Другая проблема состоит в том, что отношения полутонов хроматической гаммы, например между фа и фа-диез (F/Fis) равны 1,068 и не равны полутонам в диатонической гамме 256/243 = 1,053. Достоинство шкалы Пифагора состоит в том, что в ней используются чистые квинты и октавы, и это значительно облегчает настройку инструментов. Недостатками строя можно считать его незамкнутость, отсутствие энгармонизма, и, вследствие этого, невозможность транспонирования. Более того, в пифагоровом строе отсутствует чистая большая терция, имеющая интервальный коэффициент 5/4 = 1,25. За четыре квинтовых перехода удается получить лишь терцию с отношением 81/64 = 1,265. Это несоответствие приводит к появлению биений, которые отчетливо слышны во время исполнения. ^ Существовали и противники музыкальной теории школы Пифагора. Одним из них был перипатетик Аристоксен из Тарента (4 в. до н. э), который, пройдя школу Пифагора, а позже и школу Аристотеля, стал автором трудов «Об элементах гармонии», «Об элементах ритма», «О музыке», «О тонах», «О хорах», а также различных трактатов о музыкальных инструментах. Разработанная Аристоксеном музыкальная теория отличается от традиционной пифагорейской. В противовес числовой мистике пифагорейцев Аристоксен предложил принцип изучения музыкальных звуков на основе слухового восприятия. Он не занимался физическим исследованием звука, а строил свое учение о гармонии на свойствах человеческого голоса. Отвлекаясь от материальной природы самого голоса или звука, а также от колебаний высоты тона при пении, он построил свою формальную музыкальную шкалу только на чистой слышимости, принимая за минимальный интервал «диез», соответствующий 1/4 целого тона, а за максимальный – 2 октавы с квинтой. В основу своего учения о тонах Аристоксен положил гармоническое звучание кварты и квинты, не придавая значения тому, какие числовые соотношения лежат в основе их мелодического созвучия. При этом целый тон рассматривается им не как самостоятельный интервал, а как разница между квартой и квинтой. Аристоксен предлагает деление чистой кварты на пять равных полутонов. Этот подход очень близок современному равномерно темперированному строю. Система Аристоксена смягчала чересчур жесткое звучание пифагорейских терций и секст и потому нашла своих последователей среди музыкантов. Однако из-за преимущественно одноголосного склада греческой музыки, звуки этих интервалов редко исполнялись одновременно, поэтому большого практического применения новый строй не получил. Арстоксен в своих музыкально-теоретических работах уделял также большое внимание ритмическим построениям и танцам, а музыку рассматривал как средство нравственного воспитания личности, так как она являлась для него выражением космической красоты и высшего порядка. Сочинения Аристоксена охватывают широкий круг тем – от биографий философов до теории музыкальных инструментов. Его идеи, близкие к современной равномерной темперации, оказали огромное влияние как на греческую музыку, так и позднее на музыку европейскую. ^ Значительное влияние на средневековую теорию музыки оказал трактат римского философа и ученого Боэция «О музыке» (6 в. н. э.), где был приведен перечень основных достижений античного музыковедения. Господство церкви во всех сферах жизни общества, естественно, сказалось на музыкальном искусстве и серьезно повлияло на теоретиков музыки средневековья. Исследователи музыки позднего средневековья (Гукбальд, Гвидо д'Ареццо и др.) в основном разрабатывали практические правила многоголосного письма и усовершенствования нотной записи. Значительный вклад в развитие теории музыки внесли также среднеазиатские ученые (Абу Наср аль-Фараби, 10 в., Авиценна, 10–11 вв.), арабские, персидские и византийские теоретики. В Средние Века в связи с развитием ремесленного дела и механики стали появляться многоголосные инструменты с фиксированной частотой звуков (например, орган в церковной музыке, клавикорды, клавесины и проч. в музыке светской). Инструменты эти требовали определенной и неизменной настройки сами по себе, а также соответствующего строя, если использовались в ансамбле. Если при игре на скрипке, например, у музыканта есть возможность на слух повысить или понизить звук без каких-либо ограничений, то при игре на таких инструментах, как орган, клавесин, клавикорд, это в принципе невозможно. Так как хорошо известен в то время был лишь строй Пифагора, именно его начали применять для настройки подобных инструментов. Однако при попытках использования пифагорова строя для органа, оказалось что большая терция в нем звучит слишком жестко, напряженно и поэтому не может использоваться в качестве базовой терции мажорного трезвучия. Как же объяснить напряженность большой терции в квинтовом строе Пифагора? Большая терция здесь получается из четырех ходов по квинтам вверх и затем смещением полученного звука на две октавы вниз, что выражается отношением 81/64. Если величину этой большой терции представить не в долях струны, а в числах колебаний, то окажется что при одновременном звучании обоих звуков терции до-ми интервал будет давать 16 биений в секунду. Эти биения и создают напряжение в большой терции Пифгора. В то время из чисто слуховых соображений пришло осознание того, что для приемлемого исполнения произведений для органа и хора, необходим полный отказ от гармонических терций или их замена другими большими терциями. Это одна из причин, которая вместе с желанием композиторов использовать в своих сочинениях свободные модуляции, хроматизмы, а также с необходимостью транспонирования некоторых произведений для более удобного исполнения певцами, привела к экспериментам многих ученых в области искусственного создания идеального звукового строя. ^ Натуральный строй, так же называемый чистым или гармоническим, использует интервалы, построенные на основе обертонов. Его в 16 в. предложили известные итальянские теоретики музыки Царлино и Фольяни. В гамме этого строя используются интервалы, представляющие собой отношения целых чисел, как и в строе Пифагора. Однако в гармоническом строе чистых интервалов больше. Здесь используются следующие отношения: октава (1/2), квинта (2/3), кварта (3/4), большая терция (4/5), малая терция (5/6), большой полный тон (8/9), малый полный тон (9/10), и диатонический полутон (15/16). С помощью таких построений получается гамма, сходная с пифагоровой, однако использующая натуральную терцию вместо пифгорейской, полученной из квинт и октав. Подобное усовершенствование предлагал еще один из учеников Пифагора Дидим в 5 в. до н. э. Натуральный строй звучит очень гармонично и созвучно исходной тональности, но в нем все еще присутствуют нечистые интервалы, к примеру, «волчьи квинты» то есть грязные соотношения звуков, которые должны были бы образовывать квинту. Присутствие в данном строе двух различных целых тонов (8/9 и 9/10) также затрудняло его использование в практике. ^ Пифагорейская терция получается с помощью повышения некоторого тона на 4 квинты и затем понижения его на 2 октавы, и ее интервальное отношение (81/64 = 1,265) достаточно близко к натуральной терции (5/4 = 1,25). Однако, как уже упоминалось, терция пифагорейцев звучала жестко и напряженно, и многие музыканты задумывались о другом способе ее построения. Вероятно, в попытке решить проблему больших терций Петро Аарон в 1523 году в своей работе «Toscanello de la Musica» описал среднетоновый (терцовый) строй. Он исходил из положения, что большие терции должны быть настроены настолько созвучно и чисто, насколько это возможно. Идея построения стреднетоновой шкалы похожа на пифагорейскую, не здесь вместо квинты как образующий интервал используется идеальная большая терция, которая имеет интервальное отношение 5 к 4. К сожалению, среднетоновая настройка не избавила исполнителей от несоответствий и нечистых интервалов. В этом строе сохранилась одна увеличенная квинта, а также несколько увеличенных больших терций. То есть получилось так, что даже специально построенная терцовая темперация не позволила сделать все большие терции звукоряда чистыми. Натуральная и среднетоновая настройки имели свои преимущества по сравнению с системой Пифагора, и все же наличие в них так называемых «волчьих квинт» мешало исполнителям использовать все возможности органа или клавира. Композиторы старались избегать сложных хроматизмов и не писали произведений в «опасных» тональностях. ^ Достоинства непифагоровых систем, в том числе и среднетоновой настройки, например, в лучшем звучании терций, убедили музыкантов, что компромиссный строй, подходящий для инструментов клавирного типа, возможен. Многие из них были увлечены идеями о построении новых универсальных музыкальных строев и создавали свои произведения, предвосхищая эти системы. Найти более удобный и созвучный музыкальный строй пытались не толко музыканты, но и известные математики: Р. Декарт, Г. Лейбниц, И. Кеплер и Л. Эйлер. Создателем же первой равномерной темперации считается китайский музыкант, математик и астроном Чжу Цзай Юй (р. 1536). Он впервые в 1584 г. предложил использовать для игры на струнных инструментах и на флейте ряд ступеней, строящихся на основании величины  Идея равномерной темперации Чжу Цзай Юя каким-то образом стала известна в Европе. Впервые она упоминается в неопубликованных трудах голландского математика Симона Стевина (1548-1620). В Германии исследованием темперированного строя занимался музыкальный теоретик, акустик и органист Андреас Веркмейстер (1645-1706), и именно ему часто приписывается изобретение равномерной темперации. Свои результаты он опубликовал в таких работах, как «Испытание органов», «Музыкальная темперация» и др.В эпоху Возрождения правила полифонии превращаются в стройную систему. Швейцарский ученый Глареан, а также итальянцы Дж. Царлино и В. Галилеи вырабатывают основы мажоро-минорной ладовой системы и закладывают основы учения о гармонии. В европейской музыке приблизительно с 16 в. происходит укрепление гомофонно-гармонического склада. С этим связаны учение о генерал-басе Иоганна Маттезона и система Ж. Ф. Рамо. В 17 в. принципы гармонии были развиты в трудах французского теолога, физика и музыкального теоретика Марена Мерсенна (1588-1648), а в его книге «Всеобщая гармония» («Harmonie Universelle») были изложены сведения о равномерной темперации. Попытки создать сборник пьес для всех двадцати четырех тональностей предпринимались и до Баха: например, в 1702 году органист Иоганн Фишер создал цикл «Ariadne musica». Это набор из 20 прелюдий и фуг в 10 мажорных и 9 минорных тональностях и одной тональности фригийского лада, а также дополнение из 5 хоральных ричеркаров. Из этого цикла И. С. Бах позаимствовал тему для фуги ми мажор из второго тома Хорошо темперированного клавира. Сборник «Exemplarische Organisten-Probe» (1719 г.) И. Маттезона также включал упражнения во всех тональностях. И наконец, в 1722 г. публикуется «Хорошо темперированный клавир» Иоганна Себастьяна Баха, в котором были представлены прелюдии и фуги во всех 24-х тональностях квинтового круга. ^ Хорошо темперированный клавир (ХТК) – одно из самых известных произведений великого немецкого композитора И. С. Баха (1685 - 1750). Первая часть его была окончена в 1722 году, о чем свидетельствует сохранившийся автограф. Вторая же часть появилась, предположительно, в 1744 году. Современный ХТК состоит из двух томов, содержащих по 24 прелюдии и фуги во всех мажорных и минорных тональностях, начиная от до-мажора и заканчивая си-минором. Первая часть ХТК была составлена Бахом во время пребывания в Кётене, а вторая была окончена в то время, когда Бах служил в Лейпциге. Примечательно, что сам Бах назвал только первую тетрадь «Хорошо темперированным клавиром». Вторая называлась скромно: «Двадцать четыре новые прелюдии и фуги». Однако современные музыковеды все же рассматривают обе части как принадлежащие одному произведению, сходные по стилю и построению, лишь представляющие разные краски одних и тех же тональностей. Многие из произведений, вошедших в ХТК, были написаны Бахом еще в юности, задолго до того, как появилась задумка подобного цикла прелюдий и фуг. Темы некоторых фуг были позаимствованы из произведений других композиторов или из классических религиозных песнопений. Существует легенда о том, что фрагменты ХТК были созданы в доме, где не было музыкальных инструментов. Даже если это предположение и неверно, само его наличие говорит о том, что современники признавали в Бахе необычайно развитое музыкальное воображение и огромное композиторское мастерство. Темами для многих фуг ХТК стали мотивы церковных хоралов. Музыка и религия были для композитора неразрыно связаны, и не мыслились одна без другой. Во многих своих произведениях Бах использовал музыкально-религиозные параллели. Исследователь и исполнитель произведений И. С. Баха Альберт Швейцер ([3]) утверждает, что понимание церковных источников музыкальных тем Баха, их текста, фразировки и акцентов является одним из основных условий правильного исполнения его произведений. Многие историки и теоретики музыки сходятся во мнении, что Хорошо Темперированный Клавир выражает, пусть и путем сложной музыкальной аллегории, мир не земных, суетных страстей, но прежде всего возвышенные религиозные чувства, небесную радость и скорбь. ^ Вступительная надпись на автографе ХТК говорит о том, что, кроме религиозных и возвышенных помыслов, Бах, создавая это произведение, преследовал и другие (более практические) задачи. Заглавие ХТК таково: «Хорошо темперированный клавир, или прелюдии и фуги во всех тонах и полутонах, касающихся как терций мажорных, или Ut (другое название Do), Re, Mi, так и терций минорных, или Re, Mi, Fa. Для пользы и употребления жадного до учения музыкального юношества, как и для особого времяпрепровождения тех, кто уже преуспел в этом учении, составлено и изготовлено Иоганном Себастьяном Бахом – в настоящее время великокняжеским Ангальт-Кетенским капельмейстером и директором камерной музыки. В году 1722». Обратим особое внимание на название произведения. Словосочетание «хорошо темперированный» означает верно настроенный, имеющий правильный музыкальный строй. Можно предполагать, что под этими словами Бах подразумевал некоторую систему настройки инструмента, в данном случае клавикорда или клавесина, в рамках которой написанные им прелюдии и фуги звучали бы «хорошо», выражаясь его терминологией. К сожалению, не имеется свидетельств того, что свои клавишные инструменты И. С. Бах настраивал именно в равномерной современной темперации. Возможно, композитор использовал свою собственную или же какую-то из известных ему систем настройки. Кроме того, есть предположения о возможных перенастройках инструмента между одной парой прелюдии и фуги и другой, хоть это и маловероятно. Клавесин того времени перенастроить было намного проще, чем современный рояль, поэтому и такая возможность не исключается. Следовательно, слова «хорошо темперированный» вовсе не означают «темперированный равномерно». В то время композитор мог еще ничего не знать об идее равномерной темперации. Не исключено, что баховская настройка клавесина могла оказаться чем-то средним между среднетоновой и равномерной. Слово «клавир», может означать здесь как название музыкального инструмента, так и нотную запись для игры на этом инструменте. А. Швейцер пишет, что из всех инструментов фортепианного типа того времени (клавесина, клавикорда др.) Бах предпочитал игру на клавикорде. Однако словом «клавир» во времена Баха мог пониматься любой из клавишных инструментов: орган, клавесин, клавикорд или аналоги современного фортепиано. Известный российский теоретик музыки Яков Мильштейн ([5]) считает, что, вероятно, ХТК писался либо для всех клавишных инструментов сразу, поскольку ни на одном из них эта музыка не теряет своего величия, либо для некоего идеального клавишного инструмента, подобного современному роялю, появление которого Бах предвидел. ^ Две части Хорошо темперированного клавира распространялись благодаря переписыванию рукописей, но типографским способом этот сборник был издан лишь в 1801 г. Вероятно, объяснением этому служит то, что стиль, в котором писал Бах, вышел из моды после его смерти, и большинство его произведений было на время забыто. Сочинения Баха, и особенно ХТК, уже к концу 18 века стали все более популярными среди композиторов. Например, Людвиг Ван Бетховен (1770-1827) с детства изучал Хорошо темперированный клавир и называл его своей «музыкальной Библией». А немецкий композитор Роберт Шуман (1810-1856) писал об этом произведении: «Играй усердно фуги больших мастеров и прежде всего Иоганна Себастьяна Баха; „Хорошо темперированный клавир” должен стать твоим хлебом насущным». В современной мировой культуре Хорошо темперированный клавир занимает одно из основных мест в репертуаре известных исполнителей, и существует множество интерпретаций этого цикла, связанных с тем, что сам Бах не указал в рукописях динамику оттенков и других подробностей для исполнителей, отметив лишь основные темпы. Такая свобода исходного нотного текста дает музыкантам широкий творческий простор для собственной трактовки этого произведения. Одними из лучших исполнений ХТК сейчас по праву считаются записи Глена Гульда и Святослава Рихтера. ^ Даже после открытия и установления во всем музыкальном мире господствующей равномерной темперации, ученые и музыканты не оставляли попыток найти новое, более гармоничное разделение октавы. Известно множество звукорядов, самыми интересными из которых можно назвать появившиеся в начале 20 века увеличенный и уменьшенный лады, а также системы из 19, 22, 24, 31 и другого количества ступеней, в каждой из которых некоторые интервалы звучат почти идеальным образом. Однако данные системы разделения октавы не находят такого же широкого применения в музыкальной практике, как равномерно темперированная двенадцатиступенчатая шкала. Использование различных ладов, а также разработка новых правил построения музыкальных произведений интересовали многих композиторов и музыкантов. В 19 веке постепенно стала устаревать диатоническая система с ее четким противопоставлением мажора и минора. Композиторы стали использовать все больше хроматизмов, и в их сложных произведениях тональности становились все труднее различимы. Складывалось впечатление, что в музыке стала господствовать атональность и что все двенадцать тонов используются без разбора. Музыканты видели разные выходы из этой ситуации. Стравинский, Шостакович и Хиндемит предложили усложнить диатоническую систему путем введения политональности. В отличие от них, представители «нововенской» школы (Арнольд Шёнберг, Антон Веберн и др.) в начале 20 века разработали новый метод композиции, названный додекафония (от греч. dodecaphonia – двенадцатизвучие). Они отказались от классической венской гармонии и попытались вернуть систему строгого контрапункта. А. Шёнберг ввел правило композиции, которое требовало в каждом произведении использовать серию их 12 неповторяющихся тонов, которая могла изменяться и повторяться в четырех модификациях: прямой, обратной (ракоходной то есть идущей от конца к началу), инверсированной и ракоходно-инверсированной. Серии могли начинаться от любой ступени гаммы, но при этом должны были сохранять начальную последовательность тонов и полутонов. Основа додекафонной системы – это равенство всех звуков. В отличие от этого в диатонической системе существовали жестко заданные устойчивые и неустойчивые, главные и побочные ступени. Позже Веберн и Берг отказались от обязательного принципа использования серии из всех 12 звуков, а сохранили лишь общий подход к повторениям и проведениям темы. Серийная музыка успешно развивалась вплоть до 1950-х гг. Позже, в 60-е годы 20 века новые музыкальные системы предлагали П. Булез и К. Штокгаузен. Автор «Словаря культуры XX века» ([11]) В. Руднев сравнивает додекафонию с классическим модернизмом и видит в этой музыкальной системе аналогию логического позитивизма и структурной лингвистики. ^ Хотя считается, что цикл ХТК из прелюдий и фуг во всех минорных и мажорных тональностях был не признан современниками и даже забыт, на этом пути у Баха появились последователи и мистификаторы, выдававшие свои труды за подобные же произведения, но только написанные раньше, чем ХТК. Долго велись споры о первенстве в этом вопросе и о возможных предшественниках Баха. Одним из его подражателей оказался, например, органист Георг Андреас Зорге из Лобенштейна, который также написал прелюдии и фуги во всех двадцати четырех тональностях. Некоторые исполнители и переписчики труда Баха пытались упростить его и сократить. Таким интерпретатором оказался один из известных немецких музыковедов и органистов Иоганн Николаус Форкель (1749—1818). Долгое время его редакция Хорошо темперированного клавира со значительными сокращениями и упрощениями считалась образцовой. Многие композиторы, вдохновленные примером Баха, писали свои сборники из 24 прелюдий и фуг во всех тональностях. Известны циклы Шопена, Дебюсси и Рахманинова, состоящие из 24 прелюдий, но не содержащие фуг (либо из-за смены музыкального стиля со времен Баха, либо из-за сложности формы фуги). В 20 веке Дмитрий Шостакович также написал цикл подобных произведений. ^ Прелюдия и фуга, форма и содержание, полнота и противоречивость – двойственные понятия буквально пронизывают теорию музыки, философию и математику. Попытаемся отыскать в них какие-либо связи и предложить некоторые (возможно, весьма спорные) параллели и аналогии понятий теории музыки и философии математики. ^ Прелюдия (от лат. praeludo – играю предварительно, на пробу) – это жанр музыкального произведения, который прежде означал подготовительную игру на каком-либо инструменте до начала исполнения основного сочинения. В современной же музыке прелюдия часто представляет собой законченное и самобытное музыкальное произведение. Во времена Баха прелюдия понималась только как вступительная музыкальная пьеса для основного произведения. Для чего же нужна эта подготовка? Фуга достаточно сложна по своей форме, ее полифония, особенно при большом количестве голосов, требует понимания и напряженной работы слушателя. Более легкая и понятная, часто написанная в гомофонно-гармоническом складе прелюдия настраивает слушателей и дает введение в тональность. Прелюдия в ХТК Баха в этом смысле похожа на некое предзнание, из которого затем вырастает знание – само произведение – фуга. Прелюдия не идеальна по форме и пока еще не имеет того содержания, которое появится в фуге, но в прелюдии часто используются некоторые из будущих тем и оборотов фуги, в ней уже будто бы слышится наступающая фуга. Прелюдия и фуга объединены не только общей тональностью, но и особым настроением. Прелюдия имеет намного более свободную форму, подобную, например, форме аллегорий, иносказаний или образов в мифологических текстах, и она как бы выражает истоки, начала рождающегося знания. Ведь прекрасная, почти совершенная фуга не может возникнуть из ничего; она возникает из переосмысленной прелюдии. Тогда из чего же появляется прелюдия?.. И здесь мы возвращаемся к извечным вопросам философии о том, как объяснить творчество, что есть сознание, что первично: материя или дух и т. д. Откуда появляется в человеке способность слышать, воспроизводить музыкальные звуки и сочинять музыку? Ответ на эти вопросы лежит в глубоких и еще не познанных тайнах этого мира. ^ Как параллель двум идеалам теоретического знания – полноты и непротиворечивости – в музыке можно представить такие понятия как благозвучность и соответствие форме. Подобно полноте (истине корреспонденции), которая в науке означает соответствие знания своему реальному предмету, приятное слуху звучание музыкального произведения должно соответствовать вкусу слушателя. Чем же можно определить, измерить степень этого соответствия? Насколько оно полное, точное, удовлетворительное? Этот вопрос нельзя решить объективно, так как в обоих случаях на одной из сторон находится активный субъект. Только он разрешает вопрос о том, насколько адекватно знание или насколько хорошо и приятно слуху музыкальное произведение. Если же говорить об истине когеренции, непротиворечивости и формальной строгости построения музыки, то здесь имеется ввиду набор установленных кем-либо правил, которые и определяют внутреннюю согласованность объекта. Для научных знаний это определенные формы представления и законы логики (закон непротиворечия, закон исключенного третьего и др.). В музыке это законы, по которым определяются трехчастная, сонатная форма, фуги или каноны. Подобные правила с одной стороны создают для творцов ограничения, но вместе с тем даруют им свободу. Ведь фуга или теорема могут быть в принципе любыми, лишь бы они отвечали определенному набору требований. Соотношение двух идеалов теоретической науки – полноты и непротиворечивости – в математической философии связывает теорема Гёделя о неполноте арифметики. Представленная в дизъюнктивной форме она гласит: «арифметика либо неполна, либо противоречива». Значение этой теоремы для самой математики, для философии математики и для проблемы оснований математики и прочих естественных наук, невероятно велико. Если попытаться отобразить это утверждение на соответствующие музыкальные понятия, то можно получить следующее гипотетическое высказывание: «фуга либо некрасива, либо неправильна». Что по сути эквивалентно утверждению о том, что невозможно создать одновременно красивую и правильную фугу. По мнению многих теоретиков музыки, исполнителей, да и просто слушателей, фуги Хорошо темперированного клавира прекрасны. То есть красивы и приятны на слух в субъективном смысле. Как отмечают музыковеды, большинство из этих фуг правильные, то есть имеют соответствующую форму. Таким образом, гипотетическое утверждение, аналогичное теореме Гёделя, в музыкальном искусстве, по крайней мере в части, касающейся фуги, оказывается неверным. Возможно, именно это несоответствие подчеркивает отличие музыки как необъяснимого и в чем-то магического искусства от строгих математических наук. ЗаключениеИстория математической теории музыки богата и поучительна. Множество открытий было сделано, многие ученые от Пифагора и Арисоксена до Кеплера и Шёнберга сделали свой вклад в развитие этой науки. Математическое описание и практическое использование равномерной темперации позволило композиторам свободно использовать модуляции, певцам и инструментальным исполнителям – транспонировать сложные партии в другие, удобные для них тональности. Все эти достижения значительно расширили возможности сочинения и исполнения музыки. В настоящее время математические модели и методы стали все чаще использоваться в таких разделах теории музыки, как ритмика и мелодика, и можно надеяться на новые интересные результаты в этой области. Долгие попытки музыкантов создать музыкальный строй, который удовлетворял бы одновременно многим критериям (чистота интервалов с одной стороны и возможность транспонирования с другой), наконец привели теоретиков музыки к пониманию преимуществ равномерной темперации. Хорошо темперированный клавир И. С. Баха стал не только восхитительным по красоте произведением своей эпохи, но также способствовал поиску идеального музыкального строя и таким образом приблизил достижения равномерного строя, а значит открыл дорогу будущим композиторам к созданию еще более удивительных, сложных и прекрасных произведений. ^ 1. Хофштадтер Д. Р. Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Самара. Изд. Дом «Бахрах-М», 2001. – 752 с. 2. Benson, D. Music: a mathematical offering, Cambridge University Press, 2007, 516 p. 3. Швейцер А. Иоганн Себастьян Бах. – М.: Классика XXI, 2004. 816 c. 4. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах. Под ред. Юшкевича А. П. Том 1. М., 1970. 5. Мильштейн Я. И. «Хорошо темперированный клавир» И. С. Баха и особенности его исполнения. - М.: Классика-XXI, 2001, 352 с. 6. Schulter, M. “Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony.” http://www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth.html. 10 June 1998. 7. Лосев А. Ф. История античной эстетики. Том V. Аристотель и поздняя классика. М.: Искусство, 1975, 776 с. 8. Майкапар А. Настройка и темперация. Журнал «Искусство», №16 (376), М., 2007. http://www.maykapar.ru/articles/art01_6.shtml. 9. Aлдошина И. Музыкальные шкалы и интервалы. Психоакустические основы их строения. Архив журнала «Звукорежиссер», №10, 2003. http://rus.625-net.ru/audioproducer/2003/10/aldo.htm. 10. Додекафония. // БСЭ. - 3-е изд. - М., 1975. - Т. 23. 11. Руднев В. П. Словарь культуры XX века. Ключевые понятия и тексты. - М.: Аграф, 1999 г. 384 с.
|
отлично
6 