«повышенной трудности» icon

«повышенной трудности»


4 чел. помогло.
Смотрите также:
«2010г.»
Программа элективного курса профильной подготовки учащихся 11 классов решение уравнений и...
Решение задач повышенной сложности по теме: «Уравнения и системы уравнений»...
Домашнее задание Литература 9 класс «Б» 11. 04. Базовый уровень...
Цели Ознакомление потенциальных клиентов с уровнем квалификации. Личные качества...
«Решение задач повышенной трудности» факультатив 11 класс...
План-конспект урока «Основные типы иррациональных уравнений»...
Пояснительная записка обучающий модуль по алгебре для учащихся 11-х классов по теме «Функции»...
Пояснительная записка обучающий модуль по алгебре для учащихся 11-х классов по теме «Функции»...
Тема: «Профилактика повышенной тревожности у учащихся»...
Закон Украины от 18 января 2003 года №2245-ш "Об объектах повышенной опасности"...
Владимир Николаевич Шатаев. Категория трудности Ш28 Категория трудности /Лит запись И. Якубзона...



страницы:   1   2   3   4   5
Троснянская средняя школа





Методы решения задач «повышенной трудности»

Учитель Нафанайлова Г.А.


с. Тросна 2008 год.


Содержание

Методы решение задач «повышенной трудности». 4

Уравнения в целых числах и методы их решения. 5

Решение линейных уравнений с двумя переменными. 5

Решение нелинейных уравнений с несколькими переменными. 8

Нестандартные уравнения и неравенства. 27

Олимпиадные задачи по арифметике. 39



Введение.
^

Методы решение задач «повышенной трудности».


Умение решать задачи, особенно олимпиадные, всегда являлось одним из показателей математической одарённости ученика. Недаром многие вузы для победителей и призёров различного уровня олимпиад устанавливают льготы. Также, не редкость, когда ведущие вузы страны проводят математические олимпиады для своих будущих абитуриентов.

К сожалению, в последние годы в некоторых регионах России участников школьных и районных олимпиад становится всё меньше. Для этого есть различные причины. Одной из таких причин можно назвать и недостаточную внеклассную и внешкольную работу по математике.

В литературе встречаются различные трактовки понятия «олимпиадные задачи». Согласно одной из них – это задачи, встречающиеся на олимпиадах. Но на олимпиадах, особенно школьных, в числе первых встречаются задачи, немного отличающиеся от тех, которые рассматриваются на уроках. Это так называемые задачи «повышенной трудности», они часто присутствуют во многих учебниках по математике.

Вторая трактовка: олимпиадные задачи – задачи, при решении которых используются специальные методы, как правило, не рассматриваемые на уроке в школе. К числу таких методов можно отнести: принцип Дирихле, метод инвариантов, решение уравнений в целых числах.

Остановлюсь на решении уравнений в целых числах.

^

Уравнения в целых числах и методы их решения.


Рассмотрим основные методы решения разнообразных уравнений с несколькими переменными, решения которых являются целые числа. Начнём с линейных уравнений.

^

Решение линейных уравнений с двумя переменными.


  1. Решить в целых числах уравнение: 3x +5y = 7.

Решение. Из школьного курса математики, мы знаем, что графиком данного уравнения является прямая линия. Причём, координаты всех точек, лежащих на этой прямой, будут решениями данного уравнения. Но не все из этих координат будут целыми числами. Для нахождения целых решений обычно применяют следующий способ. Он состоит из двух шагов.

^ Первый шаг. Найдём какое-нибудь решение данного уравнения. Так как 3·2 +5·(- 1) = 1, то 3·14 + 5· (-7) =7.Тогда решением исходного уравнения будет пара чисел (14; -7). Заметим, что решением может быть и другая пара, например (-21;14).

^ Второй шаг. Рассмотрим систему из исходного уравнения

3x +5y = 7 и следующего равенства 3x+5y = 7. Здесь x = 14;

y = -7. Вычитая из уравнения равенство, получим:

3(x - x) + 5 (y - y) = 0. Обозначим (x - x) = а, (y - y) = b, имеем:

3a +5b = 0.Тогда, 3a = -5b и, значит: a 5, b3. Пусть a = 5k, тогда

b = - 3 k, где kZ. Учитывая, что (x - x) = 5k, (y - y) = - 3 k, имеем, что x = 14 + 5k; y = -7 -3 k, где kZ. Подставляя различные значения k, мы получим все целые решения исходного уравнения.

2. Решить в целых числах уравнение: 21x + 48y = 6.

Решение. Разделим обе части уравнения на 3., имеем:

7x + 16y = 2. Так как 16 =7·2 + 2, то 2 = 16 – 7·2. Аналогично, из того, что 7 = 2·3 +1 следует: 1 = 7 – 2·3. Подставляя вместо числа 2 выражение 16 – 7·2 и произведя упрощение, получим:

1 = 7 – (16 – 7·2)·3 = 7·7– 16·3 = 7 + 7·6 – 16·3 = 7(1 + 6) – 16·3 =

= 7·7 – 16·3. Тогда, 2 = 2·1 = 2·( 7·7 + 16·(-3)) = 7·14 + 16·(-6). Значит, x = 14, y= -6. Применяя рассуждения, приведённые выше, получаем: 7(x-x) +16(y-y) = 0;

7(x-x) = -16(y-y); Обозначим (x - x) = а, (y - y) = b, имеем:

7 а = - 16b; значит a 16, b7. Пусть a = 16k, тогда b = - 7k, где kZ. Учитывая, что (x - x) = 16k, (y - y) = - 7 k, имеем, что

x = 14 + 16k; y = - 6 - 7k, где kZ.

Так как на олимпиадах часто дают задания, в которых встречается год проведения олимпиады, то рассмотрим одно из таких уравнений.

3. Решить в натуральных числах уравнение 200 x + 3 y = 2003.

Решение. Одно из решений уравнения легко найти: это пара (10;1). Применяя выше рассмотренный способ, после вычитания из уравнения 200 x + 3 y = 2003 равенства 200 x + 3 y = 2003, ,получаем:

200(x – х) + 3(y – у) = 0, где х = 10, у = 1. значит. Тогда

200(x – 10) + 3(y – 1) = 0; (x – 10) 3, (y – 1) -200, x = 10 + 3k,

y = 1 – 200k, где kZ. Но так как x и y должны быть натуральные, то x > 0 и y > 0.

Из системы неравенств: учитывая, что kZ, имеем

k = 0; -1; -2; -3. Тогда решением уравнения будут следующие пары чисел: (10;1); (7;201); (4; 401); (1;601).

Чаще на олимпиадах всё же встречаются нелинейные уравнения. Рассмотрим основные методы их решения.





оставить комментарий
страница1/5
Дата22.09.2011
Размер0.49 Mb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5
плохо
  1
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх