Решение уравнений высших степеней icon

Решение уравнений высших степеней


Смотрите также:
Литература
Элективный курс для учащихся 9 класса Тема: «Алгебраические уравнения высших степеней и методы...
Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств...
Решение уравнений 3-й, 4-й степеней в радикалах. (Феррари, Тарталья, Кардано)...
Задачи: Познакомиться с биографией Диофанта Александрийского. Познакомиться с трудами Диофанта...
Элективный курс по математике...
Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней...
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств» Класс: 11 Профиль класса: общеобразовательный...
Решение различных уравнений вида...
«О некоторых применениях алгебры матриц»...
Самостоятельная работа по теме «Решение уравнений и систем уравнений (повтор)»...
Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых...



Загрузка...
скачать


Решение уравнений высших степеней


Емельянова Роза Николаевна


г.Новочебоксарск

Оглавление.

Стр.

1. Корни многочлена. Схема Горнера………………………………3-5

2. Решение уравнений разложением на множители……………….5-6

3. Решение уравнений введением новой переменной……………..6-8

4. Решение уравнений введением квадрата двучлена……………...8-11

5. Решение симметрических уравнений вида ………………………11-13

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=

6. Решение уравнений вида

(x+a)+(x+b)=C

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x……………………………………………13-14

7. Зачетный урок по теме………………………………………………14-15

8. Использованная литература…………………………………………16


Занятие 1.

Занятия проводятся по 2 урока.

Корни многочлена. Схема Горнера.

Цель: научить решать уравнения, находя корни среди делителей свободного члена.

Теория: пусть дан многочлен (x)=ax+ax+…+ a. Число x называется корнем многочлена p(x), если при x=x значение многочлена равно 0.

  1. Является ли число 2 корнем многочлена P(x)=

Решение: P(2)=8+12-14+1=70.

Ответ: нет.

Если a=1, то многочлен называется приведенным.

Теорема: пусть f(x)=x+ax - приведенный многочлен с цельными коэффициентами. Любой целый корень этого многочлена является делителем его свободного члена.

Итак, для нахождения целых корней приведенного многочлена с целыми коэффициентами надо выписать делитель свободного члена и подстановкой проверить их на корень. Если - корень, то P(x) на (x-) (остаток О.) Деление многочлена P(x) на (x-) удобно выполнять по так называемой системе Горнера.


Обозначим неполное частное при делении P(x) на x- через Q(x)=b, а остаток – через b. Так как P(x)=Q(x)(x-)+ b то имеет место тождество:



Раскроем в правой части этого равенства скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа. Получим, что и при имеют часто соотношения . Отсюда следует, что и при .

Вычисления коэффициентов многочлена Q(x) и остатка b записывают в виде следующей таблицы:

a a a … a




Она называется схемой Горнера.

В первой строке этой таблицы записаны коэффициенты многочлена p(x). Во второй строке получаются коэффициенты частного и остаток.

Т.к. по теореме Безу (пусть (х) – многочлен n-ой степени и некоторые число, то этот многочлен можно представить в виде P(x)=(x-Q(x), где Q(x) частные от деления P(x) на x-, многочлен степени n-1) b=P(), то схема Горнера позволяет находить значение многочлена P(x) при x=.

2. Вычислить P(3), где P(x)=

4 -7 5 0 -2 1

3 4 5 20 60 178 535

Значит, P(3)=535.

  1. Разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен P(x)=.

Решение: Ищем целые корни среди делителей свободного члена: . Подходит -1. Делим P(x) на x+1:

2 -7 -3 5 -1

-1 2 -9 6 -1 0

P(x)=(x+1)(

Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного члена Вычисления показывают, что целых корней нет. Т.к. старший коэффициент многочлена не равен 1, то многочлен может иметь дробно рациональные корни . Подходит

2 -9 6 -1

2 -8 2 0


Имеем: P(x)=(x+1)(x-)(2x-8x+2)=(x+1)(2x-1)(x-4x+1).

Трехчлен x-4x+1 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.

Ответ: P(x)=(x+1)(2x-1)(x-4x+1).

4. Решить уравнения

а)

Ответ: -3; ; 2.

б)

Ответ: -1; -3; 2; 4.

в)

Ответ: -1; 1;

г)

Ответ: 5.

д)

Ответ: -1; -2; 3

е) (уравнение не приведенное, обратить внимание, что |a|=1).

x 21+-





t=-3

, x=- x Ответ:


Домашнее задание:

1)

2)

3)

4) Уравнения с

5) «изюминкой»


4.



t=2x



,



Ответ:

5.


Занятия 2. Решение уравнений высших степеней разложением на множители.

Цель: уметь находить общий множитель; решать уравнения, понижая степень.

1)

Ответ: -1


2. 6.258 (М.Сканави)





Ответ: 1; a; 1-a


6.272 (М. Сканави)






Делителем свободного члена:

1 1 -16 20

-5 1 -4 4 0

, t=2


3x=-5 3x=2

ответ: ;


6.273 (М.Сканави)

|







, 1 -8 3 8 4

1 1 -7 -4 4 0



1 -7 -4 4

-1 1 -8 4 0






Ответ:


Решить уравнение:

1)

2)

3) 2x+x+4x (

4)

5)


Домашнее задание.

1)

2)

3)

4)


Занятие 3. Решение уравнений введением новой переменной.

Введя новую переменную, получаем уравнения более низкой степени.

1)



Ответ:


2) ,








Ответ: -3;2.


3.

Делим на







Ответ:


4. В.Сканави 6.016



Ответ: 2;


5. 6.059

Ответ: 2;

6. 6.154.

Ответ: 0; -2


7. ;

Домашнее задание.

6.149

1) Ответ: -1


2) 6.138. Ответ: 3; 3

I способ.



II способ.






3) 6.147.

Ответ: 0;-3;


6.140.

Ответ: 0; 1


Занятие 4.

Решение уравнений высших степеней выделением квадрата двучлена.

Цель: уметь выделять квадрат двучлена при решении уравнений.




1. 6.143










Ответ: -3; 1


2) (Квадрат разности)

3) (Квадрат суммы)







Ответ: ;


4.



,





Ответ: 3; -2; 6

5)

Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x:







Ответ:


Решить уравнения

1)

Воспользоваться формулой:





т.е. сразу видно, что - корень уравнения. Докажем, что других корней нет.





X -1 1


+ 0 - 0 +




max min

Ответ:


2)

Домашнее задание:

1)

2) \

Замена:

Занятие №5. Решение симметрических уравнений, уравнений вида

Симметрическое уравнение (коэффициентами членов, равностоящих от концов, равна, решается с помощью подстановки , если n-четное; если n-нечетное, то уравнение имеет корень

- симметрическое уравнение третьей степени

x=-1 – очевидное решение.



- симметрическое уравнение 4-ой степени.





- квадратное уравнение относительно t. Найдя t, легко находим x из уравнения (1).

1) , делим на







Ответ:


2) 6.018.

3. 6.148.

4.

X=1 – не корень уравнения.

Делим на (x-1)






Ответ:


5) делим на

6) сводится квадратному, если и т.д.





Ответ: -1; 12


7) (x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=63

-2+7=1+4


Домашнее задание.

1)

2) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6)+96=0

3)

Делим на


Занятие 6. Решение уравнений вида

;



Уравнение сводится к биквадратному, если сделать подстановку

Уравнение

ac=bd и т.д., тогда делим на x

1)



Ответ: -3; -5


2.

Делим на






Ответ: -6; -4;


3. (x+2)(x+1)(x+4)(x+8)=6x

4.

Ответ: 6; 8

5)

Домашнее задание:

1)

2)

3)


Занятие 7. Зачетный урок по теме.

Решить уравнение:

1) Делим и числитель и знаменатель на

Ответ:

1)

Ответ: 10;


2)


2) Ответ:


3)


3) Ответ: 2


4) 4)


5) 5)

Занятия можно проводить на факультативных занятиях, спецкурсах в старших классах. Каждое занятие рассчитано на 2-3 урока, в зависимости от подготовки учащихся.


Использованная литература:


1. Математика-10, факультативный курс. Составитель З.А. Скопец.

2. Поиски решения задач. С.И. Туманов.

3. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗы, под редакцией М.И. Сканави.

4. Готовимся к экзамену по математике. Д.Т. Письменный.

5. Единый государственный экзамен по математике. Чебоксары 2001.





Скачать 112,64 Kb.
оставить комментарий
Дата22.09.2011
Размер112,64 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
хорошо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх