Программа-минимум по высшей математике (1 семестр) icon

Программа-минимум по высшей математике (1 семестр)


Смотрите также:
Программа-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 06 «Динамика, прочность машин...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Приказ № от 2010 г...
Программа минимум кандидатского экзамена по курсу «История и философия науки»...
Программа-минимум кандидатского экзамена по истории науки I...
Программа минимум кандидатского экзамена по курсу «История и философия науки»...
Целью программы минимум по специальности 12. 00. 06. природоресурсное право; аграрное право...



Загрузка...
скачать
Программа-минимум по высшей математике (1 семестр)

(соответствует знаниям на удовлетворительную оценку)


1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.



Основные понятия и определения.



  1. Векторная алгебра.

Понятие вектора. Действия с векторами. Правила параллелограмма

и многоугольника. Декартова прямоугольная система координат.

Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Длина вектора,

направляющие косинусы. Разложение вектора по ортам.

Коллинеарность векторов. Скалярное произведение и его свойства.

Угол между векторами. Условие перпендикулярности. Векторное

произведение и его свойства. Смешанное произведение и его

геометрический смысл. Условие компланарности.

  1. ^ Аналитическая геометрия на плоскости.

Преобразование декартовых координат на плоскости: поворот, сдвиг. Полярные координаты. Деление отрезка в заданном отношении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Линии второго порядка. Общее и каноническое уравнения

окружности. Канонические уравнения эллипса и гиперболы.

Фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты. Уравнение

параболы.

3. ^ Аналитическая геометрия в пространстве.

Общее уравнение плоскости в пространстве. Геометрический

смысл коэффициентов общего уравнения плоскости. Уравнение

плоскости, проходящей через три точки. Нормальное уравнение

плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное

расположение плоскостей. Прямая линия в пространстве. Общие и

параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой,

проходящей через две точки. Взаимное расположение прямых и

плоскостей.

Поверхности второго порядка, цилиндрические и конические

поверхности. Эллипсоид. Гиперболоиды, параболоиды. Метод

сечений.

4. ^ Линейная алгебра.

Матрицы и действия с ними. Транспонированная, квадратная,

треугольная, диагональная, скалярная, единичная матрицы.

Определители 2-го, 3-го и n-го порядка и их свойства.

Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица.

Элементарные преобразования. Ранг матрицы.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Матричный метод и

метод Крамера. Однородные и

неоднородные системы. Фундаментальная система решений.

Арифметические n-мерные пространства. Линейная зависимость и

независимость векторов. Базис. Размерность.

Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.


^ Основные навыки и умения.

  1. Векторная алгебра.

Производить арифметические действия с векторами в координатной форме. Вычислять длину вектора и направляющие косинусы. Использовать условие коллинеарности векторов. Вычислять скалярное произведение векторов и угол между векторами. Вычислять векторное произведение векторов. Вычислять площадь параллелограмма, построенного на векторах, с помощью векторного произведения. Вычислять смешанное произведение, объемы параллелепипеда и тетраэдра. Применять условие компланарности.

  1. ^ Аналитическая геометрия на плоскости.

Находить координаты точек, делящих отрезок в заданном отношении. Находить точку пересечения прямых. Переходить от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом, к уравнению прямой в отрезках. Записывать уравнения прямых, параллельных и перпендикулярных заданной прямой и проходящих через заданную точку. Находить угол между прямыми. Использовать формулы уравнения прямой, проходящей через две точки, и уравнения прямой в отрезках. Строить каноническое уравнение окружности из общего, определять радиус и координаты центра. Знать формулы связи между основными параметрами канонического уравнения эллипса и гиперболы и уметь их использовать для вычисления координат фокусов, эксцентриситета, уравнений директрис и асимптот. Определять по уравнению параболы координаты фокуса и директрису. Аналитическая геометрия в пространстве.

Находить точки пересечения плоскости с осями координат. Находить угол между двумя плоскостями и точку пересечения трех плоскостей. Использовать условия перпендикулярности и параллельности плоскостей. Записывать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Определять точку пересечения прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. Записывать уравнения перпендикуляра, опущенного из заданной точки на плоскость. Находить угол между двумя прямыми в пространстве. Использовать условия перпендикулярности и параллельности прямых в пространстве при решении задач.

По уравнению поверхности второго порядка определять ее тип и делать чертеж поверхности, используя метод сечений.

  1. ^ Линейная алгебра.

Производить арифметические действия с матрицами. Определять ранг матрицы методом элементарных преобразований. Вычислять миноры и алгебраические дополнения. Находить обратную матрицу. Вычислять определители 2-го, 3-го порядка. Вычислять определители 4-го порядка, используя свойства определителей. Решать системы линейных уравнений методом Гаусса, методом Крамера. Строить фундаментальную систему решений и записывать общее решение.. Находить собственные числа и собственные векторы линейного оператора, задаваемого квадратной матрицей 2-го порядка. Строить матрицу квадратичной формы.



2.Математический анализ.

Основные понятия и определения.

  1. Элементы теории множеств, математической логики и комбинаторики.

Логические символы и логические операции. Предикаты. Множества. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Отношение включения. Подмножества. Числовые множества: целые, рациональные, вещественные числа. Множество вещественных чисел и его подмножества. Модуль вещественного числа и его свойства. Окрестности. Внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Перестановки. Размещения. Сочетания. Бином Ньютона.

^ 2. Комплексные числа.

Понятие комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами. Модуль и аргумент. Сопряженное число. Комплексная плоскость. Геометрическое представление и тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение в целую степень и извлечение корня n-ой степени. Алгебраический способ извлечения квадратных корней из комплексного числа. Расположение корней n-ой степени на комплексной плоскости.

^ 3.Понятие функции.

Определение функции. Числовые функции. Способы задания функций Область определения, область значений, четность-нечетность, возрастание-убывание, периодичность. Ограниченность. Локальный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения. Графики функций. Суперпозиция функций. Взаимнооднозначная функция. Обратная функция. Элементарные функции. Многочлены и дробно-рациональные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Кратность корня. Разложение многочленов на множители. Основная теорема алгебры.

^ 4.Предел последовательности.

Определение предела числовой последовательности. Единственность предела. Переход к пределу в неравенствах. Ограниченность сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические действия над числовыми последовательностями, имеющими предел. Теорема о сжатой последовательности. Монотонные последовательности. Критерий существования предела монотонных последовательностей. Определение числа “e” (второй замечательный предел).

^ 5.Предел и непрерывность функций.

Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Локальные свойства функций, имеющих предел. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Теорема о сжатой функции. Пределы монотонных функций. Критерий Коши существования предела функции. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Первый замечательный предел. Следствия из первого и второго замечательных пределов. Сравнение бесконечно малых функций. Порядок малости. Эквивалентные бесконечно малые. Классификация точек разрыва.

6.Производные.

Определение производной. Дифференцируемость функции. Геометрический и механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Правила дифференцирования. Производная сложной, обратной функций и функций, заданных параметрически. Таблица производных. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям. Исследование функций с помощью производных. Необходимое и достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточные условия локального экстремума. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. Асимптоты.

7.^ Функции нескольких переменных.

Множество в n-мерном пространстве. - окрестность. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия локального экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области.


^ Основные навыки и умения.


  1. Элементы теории множеств, математической логики и комбинаторики.

Читать математические формулировки, записанные с помощью символов логических операций и кванторов. Производить операции над конкретными множествами. Производить операции с модулем вещественного числа. Решать уравнения и неравенства с модулем. Вычислять наименьшее и наибольшее значения числовых множеств. Решать простейшие задачи по комбинаторике. Вычислять перестановки, размещения и сочетания. Вычислять члены в разложении Бинома.

^ 2. Комплексные числа.

Производить арифметические операции с комплексными числами. Приводить комплексное число к тригонометрической форме. Возводить в целую степень. Изображать на комплексной плоскости множества комплексных чисел, заданных определенными условиями.

^ 3. Понятие функции.

Находить области определения и область значений функций.

Строить графики основных элементарных функций. Находить обратную функцию. Раскладывать многочлены на множители. Делить многочлен на многочлен “в столбик”.

^ 4. Предел последовательности.

Вычислять пределы последовательностей, используя

свойства пределов.

5. Предел и непрерывность функции.

Вычислять пределы функций, используя свойства пределов.

Сравнивать бесконечно малые функции. Вычислять пределы

функций, используя эквивалентные бесконечно малые.

Доказывать непрерывность функций. Определять типы точек

разрыва.

^ 6. Производная функции одной переменной.

Выводить табличные производные, пользуясь определением.

Дифференцировать функции, пользуясь правилами дифференцирования. Дифференцировать сложные, обратные функции и функции, заданные параметрически. Записывать уравнения касательной и нормали к графику функций. Вычислять производные высших порядков. Записывать уравнения касательной и нормальной плоскости к пространственной прямой. Использовать правило Лопиталя для вычисления пределов. Раскладывать функции по формуле Тейлора. Находить локальные экстремумы и промежутки возрастания и убывания. Находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости. Определять наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке. Вычислять асимптоты функций. Проводить исследование функций и строить их графики.

^ 7.Функции многих переменных.

Находить область определения и область значений функций 2-х и 3-х переменных. Вычислять частные производные, дифференциалы и производные по направлению. Вычислять частные производные от неявных и сложных функций. Записывать уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности. Вычислять частные производные и дифференциалы высших порядков. Вычислять локальные экстремумы и находить наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.


Рекомендуется проводить контрольные мероприятия по оценке знаний студентов в два этапа.

1этап. Коллоквиум. На коллоквиум выносятся темы 1-3 по линейной алгебре и аналитической геометрии и темы 1-5 по математическому анализу.

2 этап. Заключительный экзамен. На экзамен выносятся оставшиеся темы.

Оценка знаний за семестр складывается из оценок, полученных на коллоквиуме и на экзамене. На экзамене можно пересдать темы коллоквиума.

Материал 1-го семестра можно найти в методических пособиях кафедры ВМ “Математический анализ I ”, “Элементы теории линейных пространств”, либо на сайте университета cde.ifmo.ru.

К экзаменам допускаются студенты, выполнившие типовые расчеты и контрольные работы.




Скачать 88,85 Kb.
оставить комментарий
Дата22.09.2011
Размер88,85 Kb.
ТипПрограмма-минимум, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх