Элективный курс Тема icon

Элективный курс Тема


Смотрите также:
Элективный курс по физике для 9 класса. Тема: «Решение олимпиадных задач по механике»...
Элективный курс «Основы языка html...
Элективный курс «глобальные проблемы человечества»...
Элективный курс   В. А...
Рабочая программа Элективный курс «Решение нестандартных задач по физике» 2010 -2011...
Элективный курс по астрономии...
Элективный курс. 10 класс...
Элективный курс «Методы решения задач по физике» 10 11 классы 68 часов...
Элективный курс по математике...
Элективный курс по алгебре «В лабиринте математики» (34 часа) Волкова Т. В...
Элективный курс по алгебре «Давайте дружить с процентами!» 9 класс...
Элективный курс Медианы в треугольнике (геометрия 9 класс; 12 часов...



Загрузка...
скачать


МОУ «Алгашинская СОШ»


Элективный курс


Тема:




Выполнила:

Учительница математики

МОУ «Алгашинская СОШ»

Шумерлинского района Ч. Р.

Трифонова С.П.


Научный руководитель:

Хрисанова З.И.

старший преподаватель

естественнонаучных

дисциплин ЧРИО.


2007 г.


Пояснительная записка.


Элективный курс посвящен одному из ключевых вопросов алгебры – тригонометрическим уравнениям.

К сожалению, в основной школе, где на изучение темы отводится мало часов, трудно поддерживать интерес обучающихся к данной теме. Умение решать различные виды тригонометрических уравнений необходимо показать при сдаче ЕГЭ, т. е. при поступлении в ВУЗы. Предлагаемый курс является развитием ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр тригонометрических уравнений, посильных для обучающихся. Все входящее в элективный курс не вызовет трудностей у ученика, т. к. просто систематизирует и дополняет знания и умения учащихся, полученные на уроках алгебры и начал анализа. При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно решать предлагаемые уравнения. Данная тема позволит повысить интерес к изучению математики, осмыслить свои действия, наблюдать и делать правильный выбор. Организация на занятиях должна несколько отличаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы.


^ Учебно-тематический план.


п/п

Тема занятий.

Количество часов.

1

Введение.

1ч.

2

Уравнения, сводимые к алгебраическим.

2ч.

3

Однородные уравнения.

2ч.

4

Уравнения, решаемые разложением на множители.

2ч.

5

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

2ч.




Контрольная работа.

1ч.

6

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

2ч.

7

Уравнения вида asin x+bcos x = c

3ч.

8

Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1ч.




Контрольная работа.

1ч.




Итого

17ч.


Содержание:


Тема 1. Повторить основные тригонометрические формулы. Познакомить учащихся с различными видами тригонометрических уравнений.

^ Форма работы: семинарские занятия.


Тема 2. Показать учащимся уравнения, сводимые к алгебраическим. Записать основные формулы, необходимые для их решения. Добиться, чтобы учащиеся поняли, что уравнения, сводимые к алгебраическим – это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

^ Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 3. Определение однородного уравнения, степень однородного уравнения, примеры решения однородных уравнений.

^ Форма работы: семинарские занятия, практическая работа, самостоятельная работа.


Тема 4. Повторить различные способы разложений на множители (вынесение за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения), а так же формулы из Темы 2, и формулы sin 3 = 3 sin  – 4sin3, cos 3 = 4 cos3  – 3 cos . Разобрать решение нескольких уравнений данного типа.

^ Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 5. Повторить формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, формулы синуса (косинуса) суммы и разности двух углов. Разобрать решение нескольких уравнений данного типа.

^ Форма работы: семинарские занятия, практическая работа, самостоятельная работа.


Тема 6. Формулы понижения степени:

sin2 t = ½ (1 – cos 2 t) и cos2 t = ½ (1 + cos 2 t)

Решить несколько уравнений.

^ Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 7. Способы решения уравнений вида asin x + bcos x = c.

1-й способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - введение вспомогательного угла.

a2+b2 * sin (х + )= c. формула (1)

Это уравнение имеет решение, если a2+b2  c2, тогда

х +  = (-1) n arcsin c/ a2+b2 +n, nZ

х = (-1) n arcsin c/ a2+b2 +n - , nZ.

Угол  находится из равенства tg  = sin /cos  = a/ b,

Откуда  = arctg a/ b. Тогда

х = (-1) n arcsin c/ a2+b2 +n - arctg a/ b , nZ.

2-ой способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - метод рационализации.

Выразим sin x, cos x, tg х через тангенс половинного угла. Метод рационализации заключается в том, что вводится вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно этого вспомогательного неизвестного.

Пусть tgх/2 =t, тогда получим:

а 2t/ (1+t2 ) +b(1+t2 ) /(1+t2 ) = c

Это уравнение - рациональное относительно t. Умножим обе части уравнения на (1+t2 ) 0 при t R , получим

( b+c)t2 -2at + (c-b) = 0 (2)

D/4 = a2 + b2 – c2 . Полагаем, что b+c0 тогда

t1,2 = (a  D/4): (b+c) (3)

Значение t – действительные , если a2+b2  c2.

Решить несколько уравнений, применяя наиболее рациональные методы.

^ Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 8. Необходимые формулы:

arcsin x + arccos x = ½ ; arctg x + arcctg x = ½ ;

– ½  < arcsin x < ½ ; – ½  < arctg x < ½ ;

0 < arccos x < ; 0 < arcctg x < ;

sin (arcsin x) = x и cos (arccos x ) = x, если |x| <1;

tg (arctg x) = x и ctg (arcctg x ) = x, если x R.

Разобрать несколько примеров решения уравнений данного типа.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


^ Дидактический материал.


Тема 2.


Примеры :

Решить уравнения

а) 2sin2x – 7cosx – 5 = 0

Решение. 2 (1- cos2x) – 7cosx – 5 = 0 1) cosx = - 3 < -1, x=Ø

2cos2x +7cosx +3 =0

cosx =y 2) cosx = - ½,

2y2 +7y +3= 0 x=+ 2/3 + 2k, kZ.

y1 =-3, y2 = - ½.

Ответ: x=+ 2/3 + 2k, kZ.


б) cos2x + 3sinx = 2.

Решение. 1-2sin2x + 3sinx = 2.

2sin2x - 3sinx + 1=0

Пусть sinx =y, 2y2 - 3y + 1 = 0

y1 =1/2 , y2=1. 2) sinx = 1

1) sinx = 1/2 x=/2 + 2k, kZ.

x=(-1)n/6 +n, nZ.

Ответ: x=(-1)n/6 +n, /2 + 2k, n,k Z.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:


  1. 3sin22x + 7cosx – 3 =0

  2. 25sin2x + 100cosx = 89

  3. cos2x + 5sinx - 3 =0.

  4. 2cosx – cos2x – cos22x = 0.

  5. cos2x + sin2x + sinx = 0,25.


Тема 3.


Решить уравнения.

а) cos2x + sinx cosx = 0

В условии не указано, что cosx≠0, а потому делить уравнение на cos2x нельзя. Но можно утверждать, что sinx  O, так как в противном случае

cosx = 0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:

ctg2x + ctgx =O

ctgx (ctgx + l) = O.

1) ctg x = 0, x=/2 +n , nZ. или 2) ctg x = -1 , x= 3/4 + k, k Z.

Ответ: x=/2 +n , x= 3/4 + k, n, k Z.


б) 4sin2x+2sin х cosx = 3.

Решение.

Умножим правую часть уравнения на sin2x + cos2x. Получим:

4 sin2 х + 2 sinx cos х =3 sin2x +cos2x,

sin2 х +2 sinx cos x — 3cos2x = 0.

Очевидно, что cos x ≠ O. Разделим на cos2x, получим:

tg2x + 2tgx -3 =0,

tgx = -3 tgx = 1

x=arctg3 + k ,k Z. x=/4+n, nZ.

Ответ: x=arctg3 + k , x=/4+n, k,nZ.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:


  1. 3cos2x -5 sin2x – sin2x =0.

  2. sin х - cosx = 0.

  3. cos2x - 3 sin xcos x +2sin2x = 2.

  4. 3sin2x– 2sin2x +5cos2x = 2.

  5. 2sin2x + 14cos2x -7 sin xcos x =2.



Тема 4.

Решить уравнения.

а) sin2x- sin х= 0.

Решение.

sin х(sin х-1) =0

1) sin х= 0. 2) sin х-1 =0

x=n, nZ. sin х= 1

x=/2+k, kZ.

Ответ: x=n, x=/2+k, n,kZ.


б) sin4x –cos2x = 0

Решение.

2 sin2x cos2x –cos2x = 0

cos2x (2 sin2x –cos2x) =0

  1. cos2x =0,

2x= /2 +n, nZ.

x= /4 +n  /2, nZ

2) 2 sin2x –cos2x =0

2tg2x -1 =0

tg2x=1/2

2x= arctg1/2 + k,k Z.

x=1/2 arctg1/2 +k /2, kZ.

Ответ: x= /4 +n  /2, x=1/2 arctg1/2 +k /2, n,kZ.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:


  1. sin2x +cos2x = 1

  2. 2tg3x-2tg2x+3tgx-3=0.

  3. cos2x= cosx –sinx .

  4. sin2x = cos4x/2 –sin4x/2.

  5. cos2x+ sin2x+ cosx–sinx =1.



Тема 5.


Решить уравнения

а) sinx + sin3x =4 cos3x

Решение.

2 sin2x cosx - 4 cos3x =0

4 sinx cos2x- 4 cos3x =0

4 cos2x ( sinx –cosx) =0

1) cosx = 0 2) sinx –cosx =0

x= /2 +n, nZ tgx -1 =0

tgx = 1

x= /4 +k, kZ.

Ответ: x= /2 +n, x= /4 +k, k,nZ


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. sin3x + sin5x = sin4x.

  2. cos7x + sin8x =cos3x –sin 2x.

  3. cos9x – cos7x +cos3x - cosx =0.

  4. sin3x + sinx = 4sin3x.

  5. cos7x +sin22x = cos22x - cosx


Тема 6.


Решить уравнения.

а) 2 sin2x +cos4x = 0.


Решение. 1 – cos2x + cos4x = 0 .

1 + cos4x – cos2x = 0 .

2 cos22х – cos2x = 0

cos2x ( 2cos2x -1 )= 0


1) cos2x = 0 . 2) 2cos2x -1 = 0

2х=/2 +n, nZ cos2x =1/2

х = /4 + n /4, nZ 2x = + /3 + 2k, kZ.

х = + /6 + k, kZ. Ответ: х = /4 + n /4, х = + /6 + k, n, kZ.


  1. sin2x - sin22x + sin23x =1/2.


Решение. 2sin2x - 2sin22x + 2sin23x =1

1 – cos2x - 1 + cos4x+1 – cos6x =1

cos4x – cos2x – cos6x =0

cos4x – ( cos2x + cos6x ) =0

cos4x – 2cos4x cos2x =0

cos4x (1 – 2cos2x ) = 0

1) cos4x = 0 2) 1 – 2cos2x = 0

4x = /2 +n, nZ cos2x = 1/2

x = /8 + n/4, nZ 2x = + /3 + 2k, kZ.

х = + /6 + k, kZ.

Ответ: x = /8 + n/4, х = + /6 + k, k,nZ


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. sin22х + sin23x + sin24x+ sin25x =2.

  2. 6 sin2х + 2 sin22x = 5.

  3. sin25x = cos22x - 2 sin22x -1 .

  4. sin2x + sin22x + sin23x =1,5.

  5. cos2x + cos22х - cos23х - cos24х =0.


Тема 7.


Решить уравнения.

а) 3sinx + 4 cosx = 2

Решение.

a =3, b= 4, c=2, a2 + b2 =25, c2 =4, a2+b2  c2, следовательно уравнение имеет решение.

5sin (х +) = 2,

sin (х +) = 2/5, откуда получим

х + = (-1) n arcsin 2/5 +n, nZ

х = (-1) n arcsin 2/5 +n-  , nZ

 = arctg 4/ 3. По четырехзначной математической таблице найдем

arcsin 2/5  23 35

 = arctg 4/ 3  53 08

х = (-1) n 23 35+180n- 53 08 , nZ

Ответ: х = (-1) n 23 35+180n- 53 08 , nZ


б) 3sinx - 4 cosx = 5.

Решение.

a =3, b= - 4, c=5, 32 + 42 = 52 , т.е. a2+b2 = c2 ,значит уравнение имеет решение.

3* 2t/ (1+t2 ) - 4 *(1+t2 ) /(1+t2 ) = 5

6t-4 + 4t2 = 5 +5t,

t2 -6t +9 =0

(t-3)2 =0 t=3, tg x/2= 3,

x/2= arctg3 +n, nZ

x= 2arctg3 +2n, nZ

Ответ: x= 2arctg3 +2n, nZ.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. 5sinx – 12cosx =13.

  2. 5sinx – cosx =5.

  3. 4sinx + 5cosx =6.

  4. sin4x + cos4x =4.

  5. cosx – sinx =1.


Тема 8.


Решить уравнения.

а) 4 arctg2 -3х -3 )- = 0.

Решение. arctg(х2 -3х -3) =/4

Так как значения арктангенса находятся в промежутке (-/2 ; /2 ), то в этом случае из равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделанными замечаниями, получим:

х2 -3х -3 = 1

х2 -3х -4 = 0

т.е. х1= -1 и х2 =4.

Ответ: . х1= -1 , х2 =4.

б) 6 arcsin2 -6х + 8,5) =

Решение. arcsin (х2 -6х + 8,5) =/6,

х2 -6х + 8,5=0,5

х2 -6х + 8=0, откуда х1=2 и х2= 4.


Ответ: х1=2 , х2= 4.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. arcsin(2x -3) = /2.

  2. arccos( x2 -2) =.

  3. arctg(4x2 – 12x + 10) = .

  4. 4 arcctg(x2 – 9x + 15) - =0.

  5. 2 arcsinx = arcsin2x.


Контрольная работа №1.

Вариант 1.

  1. Решить уравнение 4sin2x + cosx – 3,5 =0.

  2. Решить уравнение 3cos2x = 4 sin xcos x - sin2x

  3. Решить уравнение tg23х - 2 sin2=0.

  4. Решить уравнение cos5x + cos7x + cos6x =0


Вариант 2.

  1. Решить уравнение 2sin2x - 7cosx – 5 =0.

  2. Решить уравнение sin2x - sin xcos x cos2x =1.

  3. Решить уравнение сtg2х - tg2х = 4 cos2x .

  4. Решить уравнение cos2x - cos8x + cos6x =1.

Контрольная работа №2.


Вариант 1.


  1. Решить уравнение cos2x + cos22х + cos23х + cos24х =2.

  2. Решить уравнение cosx – sinx =1,5.

  3. Решить уравнение 3sinx – 2cosx =4.

  4. Решить уравнение arcsin(x +1) = /6.



Вариант 2.


  1. Решить уравнение cos2x + cos22х - cos23х - cos24х =0.

  2. Решить уравнение cosx – sinx =2/2

  3. Решить уравнение sinx + cosx =2

  4. Решить уравнение arccos( x2 - 5х+7) =0.



Литература:


  1. Бородуля И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1989.

  2. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. – М. Просвещение, 2005г.

  3. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. – Дрофа, 1996г.

  4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа 10 кл. М. Просвещение, 2003г.

  5. Макарычев Ю.Н. и др. Тригонометрия. М. Просвещение, 2005г.





Скачать 173.33 Kb.
оставить комментарий
района Ч. Р
Дата21.09.2011
Размер173.33 Kb.
ТипЭлективный курс, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх