Методическая разработка учителя математики моу «сош №14» г. Чебоксары Пузариной В. С. по теме «Преобразование графиков функций»

скачать Методическая разработка учителя математики МОУ «СОШ № 14» г. Чебоксары Пузариной В.С. по теме «Преобразование графиков функций» Введение Преобразование графиков функций Построение графика функции y=f(x)+n Построение графика функции y=f(x-m) Построение графика функции y=af(x) Построение графика функции y=f(kx) Упражнения Построение графика функции y= -f(x) Построение графика функции y=f(-x) Построение графика функции y=|f(x)| Построение графика функции y=f(|x|) Упражнения Решение уравнений с помощью графиков Контрольная работа Литература Введение. Разработка посвящена основным приёмам построения графиков на примерах простейших функций. Она предназначена для учащихся 8 класса. Основной учебник, по которому они занимаются, «Алгебра»- учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. Главная задача: выполнять построения с помощью преобразования «опорных» графиков. В 8 классе учащиеся ещё не знакомы с понятиями «вектор», «параллельный перенос», «чётная, нечётная функция», поэтому материал излагается в упрощённом виде. Чем раньше учащиеся начнут применять основные приёмы преобразования, тем легче им будет в старших классах, когда надо будет решать уравнения и неравенства с модулями, параметрами, где графический способ упрощает решение. Учащиеся 8 класса знакомы с графиками функций вида у = кх, у = кх + в, у = √х, у = к/х , у = ах2+вх+с, знают на что влияют числовые коэффициенты и свободные члены. Настало время обратить их внимание на общие закономерности, связанные с преобразованием графиков функций любого вида, независимо оттого встречались они с ними или нет. Таким образом, они должны научиться выполнять преобразования с произвольным графиком функции, даже если неизвестна формула, с помощью которой задана функция. Учащиеся знают, что уравнение квадратичной функции у=ах2+вх+с можно представить в виде у=а(х-m)2+n, где (m;n)-координаты вершины параболы, которая является графиком квадратичной функции. Им известно, что парабола вида у=ах2+n получается сдвигом параболы у=ах2 вдоль оси Оу на n единиц вверх при n>0 и вниз при n<0. Поэтому преобразование y=f(x)+n просто надо применять к графику любой другой функции. Аналогичная ситуация связана с преобразованием y=f(x-m). А преобразование y=f(x-m)+n – это комбинация двух предыдущих. Более подробно будут рассматриваться преобразования: y= -f(x), y=f(-x), y=af(x), y=f(kx), y=|f(x)|, y=f(|x|) и их комбинации. ^ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Построение графика функции y=f(x)+n Пусть нам известен вид графика функции y=f(x) и надо построить график функции y=f(x)+n. Значения у для второй функции на n больше при n>0 и на n меньше при n<0, это значит, что график в первом случае выше, а во втором ниже, опорного графика f(x). График функции y=f(x)+n получается из графика y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх, при n<0 – вниз). На рис.1 изображены графики функций , +3, -2. На рис.2: y=f(x), y=f(x)-10 Рис.1 Рис.2 Построение графика функции y=f(x-m). Ранее неоднократно строились графики квадратичной функции вида y=a(x-m)2 и не раз убеждались в том, что происходит сдвиг параболы y=ax2 вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0. Это преобразование справедливо и для графика любой другой функции. На рис.3 графики функций: , , . На рис.4 : у = -х3, у = -(х-4)3, у = -(х+3)3. График функции y=f(x-m) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0. Построение графика функции y=af(x). Пусть надо построить график функции y=af(x), и пусть для определенности а=2. Это означает, что значения у функции, которую надо построить в 2 раза больше значений у опорной функции для у>0 и в 2 раза меньше для у <0. И в том и другом случае происходит растяжение графика вдоль оси Оу. В случае, когда |а|<1, происходит сжатие. На рис.5 изображены графики функций: , , . На рис.6 : y=f(x), f(x), y=2f(x). . Рис.3 Рис.4 . Рис.5 Рис.6 График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие). 1.4.Построение графика функции y=f(kx). В одной и той же системе координат построим графики функций: 1), 2), 3) (рис.7) Рис.7 Заметим: в случае графика 2) происходит сжатие графика 1) в 2 раза, а в случае графика 3) – растяжение графика 1) в 3 раза вдоль оси Ох. Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции y=f(x) сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1. В нашем случае: 1) y=f(x), 2) y=f(2x), 3) . . 1.5. Упражнения. Используя график функции у=х2, построить графики функций: у =х2-1 у =(х+1)2 у =(х-3)2+2 у = х2+4х Используя график функции , постройте график функции: -2 +1 Используя график функции , постройте график функции: 1.6. Построение графика функции y = -f(x). Значения у для функций y=f(x) и y= -f(x) противоположны, значит, графики этих функций симметричны относительны оси Ох. На рис.8 изображены графики : у = х2 и у = -х2, На рис.9: y=f(x) и y= -f(x). Итак, чтобы построить график функции y = - f(x), надо график функции y=f(x) симметрично отобразить относительно оси Ох. Рис.8 Рис.9 1.7. Построение графика функции y=f(-x). На рис.10 изображены графики функций: и , а на рис.11 – графики функций и y = (-х-1)2, графики этих функций симметричны относительно оси Оу. Для того, чтобы построить график функции y=f(-x), надо график функции y = f(x) симметрично отобразить относительно Оу. Рис.10 Рис.11 1.8. Построение графика функции y = |f(x)|. |f(x)|= поэтому значения у<0 функции y=f(x) поменяют знак, графически это означает, что эта часть графика симметрично отобразится относительно оси Ох. Чтобы из графика y=f(x) получить график y=|f(x)|, надо участки графика y=f(x), лежащие выше оси Ох, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси Ох, симметрично отобразить относительно этой оси. На рис.12 показаны графики y=2(x-3)2-5 и y=|2(x-3)2-5| Рис.12 1.9. Построение графика функции y=f(|x|). |х| = |-х|, то есть модули противоположных чисел равны, а это означает ,что противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, графически это выражается симметрией графика относительно осиОу. Чтобы построить график функции y=f(|x|), надо оставить часть графика y=f(x), построенную при х≥0, и симметрично отобразить относительно оси ординат. Это можно увидать на рис.13. Рис.13 1.10. Упражнения Используя график функции у=х2, постройте график функции: y=4-x2 y=-(x-2)2 -3-(x+2)2 Y=2x-x2 y=|x2-1| y=(|x|-1)2 y=|(x-1)2-4| y=x2-2|x| Используя график линейной функции, постройте график функции: y=|x| y=|x-1| y=|x|-1 y=|x-1|-2 y=1-|x| u=||x-2|-3| |||x|-1|-2| ^ 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ. Пусть нам надо решить уравнение =|x+1|. Аналитический способ решения может вызвать затруднения. Поэтому решим его графически, абсциссы точек пересечения графиков дадут решение. Видим, что графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два решения: х=0, х=8. Упражнения. Решить графически уравнения: –x2= |x2-1|=x+1 (x-3)2=4-|x-5| |1-|x||= |3-|x2-1||=x+2 Контрольная работа. 1. Пусть дана функция f(x)=x2+2x, постройте графики функций: y=f(x)+1 y=|f(x)-1| y=f(x+1) y=f(-x) y= -f(x) y=|f(x)| y=1-f(x) y=|f(x)|-1 y=2f(x-1) y=f(|x|) y=|f(|x|)| 2 Решить графически уравнение: (x-1)2= (ответ: х=0, х=2) Литература 1.И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, Э.Э.Шноль. Брошюра «Функции и графики». «Наука», Москва, 1973г. 2 Журнал «Квантор», №4, Львов, 1993г. 3.М.И.Башмаков «Математика» - учебник для ПТУ, «Высшая школа», Москва, 1994г. 4.А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. «Алгебра и начала анализа» - учебник для 10-11 классов общеобразовательных школ. «Просвещение», Москва. 5. Мочалов В.В. Лекции для учителей математики на курсах повышения квалификации Чувашской Республики. Чебоксары, 2009г. Скачать 100,15 Kb. оставить комментарий Ш.А.Алимов Дата 21.09.2011 Размер 100,15 Kb. Тип Методическая разработка, Образовательные материалы