скачать Методическая разработка учителя математики МОУ «СОШ № 14» г. Чебоксары Пузариной В.С. по теме «Преобразование графиков функций» Введение
Введение. Разработка посвящена основным приёмам построения графиков на примерах простейших функций. Она предназначена для учащихся 8 класса. Основной учебник, по которому они занимаются, «Алгебра»- учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. Главная задача: выполнять построения с помощью преобразования «опорных» графиков. В 8 классе учащиеся ещё не знакомы с понятиями «вектор», «параллельный перенос», «чётная, нечётная функция», поэтому материал излагается в упрощённом виде. Чем раньше учащиеся начнут применять основные приёмы преобразования, тем легче им будет в старших классах, когда надо будет решать уравнения и неравенства с модулями, параметрами, где графический способ упрощает решение. Учащиеся 8 класса знакомы с графиками функций вида у = кх, у = кх + в, у = √х, у = к/х , у = ах2+вх+с, знают на что влияют числовые коэффициенты и свободные члены. Настало время обратить их внимание на общие закономерности, связанные с преобразованием графиков функций любого вида, независимо оттого встречались они с ними или нет. Таким образом, они должны научиться выполнять преобразования с произвольным графиком функции, даже если неизвестна формула, с помощью которой задана функция. Учащиеся знают, что уравнение квадратичной функции у=ах2+вх+с можно представить в виде у=а(х-m)2+n, где (m;n)-координаты вершины параболы, которая является графиком квадратичной функции. Им известно, что парабола вида у=ах2+n получается сдвигом параболы у=ах2 вдоль оси Оу на n единиц вверх при n>0 и вниз при n<0. Поэтому преобразование y=f(x)+n просто надо применять к графику любой другой функции. Аналогичная ситуация связана с преобразованием y=f(x-m). А преобразование y=f(x-m)+n – это комбинация двух предыдущих. Более подробно будут рассматриваться преобразования: y= -f(x), y=f(-x), y=af(x), y=f(kx), y=|f(x)|, y=f(|x|) и их комбинации.
Пусть нам известен вид графика функции y=f(x) и надо построить график функции y=f(x)+n. Значения у для второй функции на n больше при n>0 и на n меньше при n<0, это значит, что график в первом случае выше, а во втором ниже, опорного графика f(x). График функции y=f(x)+n получается из графика y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх, при n<0 – вниз). На рис.1 изображены графики функций ![]() ![]() ![]() Н ![]() ![]() Рис.1 Рис.2
Ранее неоднократно строились графики квадратичной функции вида y=a(x-m)2 и не раз убеждались в том, что происходит сдвиг параболы y=ax2 вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0. Это преобразование справедливо и для графика любой другой функции. На рис.3 графики функций: ![]() ![]() ![]() На рис.4 : у = -х3, у = -(х-4)3, у = -(х+3)3. График функции y=f(x-m) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0.
Пусть надо построить график функции y=af(x), и пусть для определенности а=2. Это означает, что значения у функции, которую надо построить в 2 раза больше значений у опорной функции для у>0 и в 2 раза меньше для у <0. И в том и другом случае происходит растяжение графика вдоль оси Оу. В случае, когда |а|<1, происходит сжатие. На рис.5 изображены графики функций: ![]() ![]() ![]() Н ![]() ![]() ![]() . ![]() ![]() . Рис.5 Рис.6 График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие). 1.4.Построение графика функции y=f(kx). В одной и той же системе координат построим графики функций: 1 ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.7 ![]() Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции y=f(x) сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1. В нашем случае: 1) y=f(x), 2) y=f(2x), 3) ![]() . 1.5. Упражнения.
1.6. Построение графика функции y = -f(x). Значения у для функций y=f(x) и y= -f(x) противоположны, значит, графики этих функций симметричны относительны оси Ох. На рис.8 изображены графики : у = х2 и у = -х2, На рис.9: y=f(x) и y= -f(x). И ![]() ![]() Рис.8 Рис.9 1.7. Построение графика функции y=f(-x). Н ![]() ![]() ![]() ![]() Д ![]() Рис.10 Рис.11 1.8. Построение графика функции y = |f(x)|. |f(x)|= ![]() Чтобы из графика y=f(x) получить график y=|f(x)|, надо участки графика y=f(x), лежащие выше оси Ох, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси Ох, симметрично отобразить относительно этой оси. На рис.12 показаны графики y=2(x-3)2-5 и y=|2(x-3)2-5| ![]() ![]() Рис.12 1.9. Построение графика функции y=f(|x|). |х| = |-х|, то есть модули противоположных чисел равны, а это означает ,что противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, графически это выражается симметрией графика относительно осиОу. Чтобы построить график функции y=f(|x|), надо оставить часть графика y=f(x), построенную при х≥0, и симметрично отобразить относительно оси ординат. Это можно увидать на рис.13. ![]() Рис.13 1.10. Упражнения
^ П ![]() ![]() Видим, что графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два решения: х=0, х=8. Упражнения. Решить графически уравнения:
Контрольная работа. 1. Пусть дана функция f(x)=x2+2x, постройте графики функций:
2 Решить графически уравнение: (x-1)2= ![]() (ответ: х=0, х=2) Литература 1.И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, Э.Э.Шноль. Брошюра «Функции и графики». «Наука», Москва, 1973г. 2 Журнал «Квантор», №4, Львов, 1993г. 3.М.И.Башмаков «Математика» - учебник для ПТУ, «Высшая школа», Москва, 1994г. 4.А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. «Алгебра и начала анализа» - учебник для 10-11 классов общеобразовательных школ. «Просвещение», Москва. 5. Мочалов В.В. Лекции для учителей математики на курсах повышения квалификации Чувашской Республики. Чебоксары, 2009г.
|