Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №65 Элективный курс «Избранные вопросы геометрии: решение нестандартных задач» icon

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №65 Элективный курс «Избранные вопросы геометрии: решение нестандартных задач»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Элективный курс (для индивидуальных и групповых занятий учащихся 10-11 классов) Методы решения...
Элективный курс по химии «Решение практических задач по общей химии»...
Элективный курс по русскому языку «Всемогущий и занимательный синтаксис»...
Программа элективного курса «Избранные вопросы математики»...
Элективный курс по информатике и икт «Мир анимации в Macromedia Flash»...
«Город Сокольск крепость Белгородской засечной черты. Решение задач с помощью уравнений»...
Факультативный курс по математике «Решение текстовых задач»...
Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся основной школы...
Приказ № от Элективный курс по русскому языку «Культура речи (Синтаксис простого и сложного...
Факультативный курс по математике «Решение задач повышенной сложности»...
Публичный отчет моу сош №10 Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя...
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 Утвержден...



Загрузка...
скачать
ЛИПЕЦКИЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 65


Элективный курс

«Избранные вопросы геометрии: решение нестандартных задач»


Работу выполнила:

Пронина Н.Ю.


Липецк 2008

Пояснительная записка


Каждый человек имеет наглядное представление о пространстве, о телах, о фигурах. Но в геометрии свойства фигур изучаются в отвлеченном (абстрактном) виде и с логической строгостью. Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех других наук вообще, и заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – « лед и пламень не столь различны между собой ». Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так и надо ее изучать, соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.

Курс предназначен для учащихся 11 классов, собирающихся после окончания школы поступать в высшие учебные заведения, в которых предъявляются достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов и студентов.

Основная цель курса – подготовка учащихся к ЕГЭ по математике, повышение уровня математической подготовки выпускников. Не секрет, что многие ученики средней школы не способны к длительной умственной деятельности и не владеют различными ее формами. Из процесса решения задачи у них выпадает этап поиска решения. Практически все время от прочтения условия до получения ответа уходит на реализацию стандартной схемы, на вычисления. Редко можно встретить школьника, который способен быстро привести пример задачи, над которой он долго думал, прежде чем сумел ее решить.

Основная задача курса – как можно полнее развить творческие способности каждого слушателя курса, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала. Каждая задача имеет идейную и техническую часть. Идейная часть решения дает ответ на вопрос, как решать задачу. Техническая часть представляет собой реализацию найденной идеи. Занятия курса должны в равной степени способствовать повышению как идейной, так и технической подготовки учащихся. Дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки. Занятия направлены на развитие интереса к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.здактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки.ности используемо

^ ЦЕЛИ КУРСА:

  • повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как решение геометрических задач;

  • создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

  • подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ.

^ ЗАДАЧИ КУРСА:

  • показать практическую необходимость применения геометрического аппарата к решению задач;

  • овладение учащимися рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

  • помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 32 часа. Предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий.

Предпочтительны такие формы проведения занятий, как лекция – беседа, лекция с мультимедиа демонстрациями, семинар, практикумы по решению задач, тестовый контроль.

^ УЧЕБНО - ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН




п/п

Наименование
тем курса


^ Всего

часов

Форма проведения занятия

Формируемые виды деятельности

^ Планиметрия (10 часов)

1.

Геометрическое место точек

1



Понимать схемы, чертежи.

Ставить и решать проблемы

2.

Задачи на построение.

Построение отрезка по формуле. Алгебраический метод решения задач на построение.

2



Понимать схемы, чертежи.

Умение контролировать

3.

Метод ГМТ.

Метод подобия

1



Понимать схемы, чертежи. Ставить и решать проблемы

4.

Параллельный перенос. Поворот

1



Самостоятельно работать с учебной литературой.

Понимать схемы, чертежи

5.

Задачи на разрезание. Геометрические неравенства

1



Искать альтернативные пути в поисках решения

6.

Геометрические задачи на максимум - минимум

2



Ставить и решать проблемы. Искать альтернативные пути в поисках решения

7.

Практикум. Тестовый контроль

2






^ Стереометрия (11 часов)

8.

Многогранники

1



Понимать схемы, чертежи. Ставить и решать проблемы

9.

Круглые тела. Цилиндр. Конус. Шар

1



Интегрировать и синтезировать информацию

10.

Прямые и плоскости в пространстве

1



Рассуждать, строить гипотезы

11.

Проектирование. Нахождение расстояния и угла между скрещива-ющимися прямыми.

1



Самостоятельно работать с учебной литературой.

Понимать схемы, чертежи

12.

Развертка. Достраивание тетраэдра

1



Искать альтернативные пути в поисках решения

13.

Касание круглых тел.

Пересечение тел.

1



Развивать инженерные способности.

Участвовать в решение сложных проблем

14.

Метод координат

1



Понимать схемы, чертежи. Ставить и решать проблемы

15.

Векторный метод

1



Понимать схемы, чертежи. Ставить и решать проблемы

16.

Задачи на максимум и минимум

1



Интегрировать и синтезировать информацию

17.

Практикум. Тестовый контроль

2






^ Обобщения (9 часов)

18.

Планиметрические задачи в тестах ЕГЭ

3



Самостоятельно организовать свою деятельность и принимать максимально полную ответственность за нее

19.

Стереометрические задачи в тестах ЕГЭ

4



Принимать решения в нестандартных ситуациях. Самостоятельно работать с большим объемом информации

20.

Семинар. Итоговый зачет

2



Самостоятельно работать с большим объемом информации . Искать правильный путь в запутанных условиях

21.

Резерв

2










ВСЕГО:

32








- лекция,  - практика,  семинар,  - зачет


Содержание курса

^ Блок 1 «Планиметрия»

Теоретические основы большинства тем этого блока относятся к программе 9 — летней школы. Однако глубина их проработки, идейная насыщенность задач предполагают более высокий уровень математического развития учеников, чем тот, которого достигают школьники по окончании девятого класса. Особенность этого блока состоит в том, что ученик получает возможность поработать сразу со всей планиметрией, охватив ее всю целиком. В первом блоке рассматриваются следующие темы:

«Геометрические места точек», «Задачи на построение», «Алгебраический метод решения задач на построение», « Метод ГМТ. Метод подобия», «Параллельный перенос. Поворот», «Задачи на разрезание», «Геометрические неравенства», «Геометрические задачи на максимум — минимум».

^ Блок 2 « Стереометрия»

В этом блоке рассматриваются некоторые виды стереометрических задач и методы их решения. При решении стереометрических задач требования к качеству чертежа, его наглядности значительно возрастают. Основными принципами построения являются: выбор оптимального положения изображаемого тела, выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображаемых линий, умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык. Основным средством решения является аналитический метод. В нем выделяют две разновидности:

метод поэтапного решения и составление уравнений. Важнейшую роль играют опорные задачи, набор которых представляет собой: теоремы, формулы, стандартные ситуации, стандартные схемы реализации того или иного метода. Во втором блоке рассматриваются следующие темы:

«Многогранники», «Круглые тела», «Проектирование», «Развертка», «Касание круглых тел», «Метод координат», «Векторный метод», «Задачи на максимум и минимум».

^ Блок 3 « Обобщения»

В третьем блоке рассматривается решение задач, встречающихся в тестах ЕГЭ. Этот блок представляет собой практикум по решению геометрических задач. Предполагается проектная деятельность учащихся в ходе подготовки к семинару.


По окончании каждого блока целесообразно проводить тестовый контроль.


^ Методические рекомендации


1. Геометрические места точек

ГМТ — это совокупность (множество ) точек, каждая из которых обладает определенным геометрическим свойством по отношению к заданной геометрической фигуре. Повторить уже известные ГМТ (биссектриса угла, серединный перпендикуляр к отрезку). Рассмотреть ГМТ, из которых данный отрезок виден под заданным углом. Доказать, что ГМ точек М, таких, что АМ2 – МВ2 есть величина постоянная, где А и В — фиксированные точки, является прямая, перпендикулярная АВ. Рассмотреть задачу с окружностью Аполлония.

^ 2. Задачи на построение

Рассмотреть применение теорем Пифагора и Фалеса для построения отрезков, задаваемых формулами х = , применение

методов ГМТ, подобия, параллельного переноса, поворота при решении задач на построение. Особая группа задач на построение — задачи на разрезание. Основная проблема задачи — построить с помощью циркуля и линейки необходимую линию разреза. Сюда относятся также и задачи, где нужно доказать возможность или невозможность требуемого разрезания.

^ З. Геометрические неравенства

Решение очень многих задач основывается на главном неравенстве геометрии — неравенстве треугольника. Рассмотреть применение этой темы при решении геометрических задач с неравенствами.

^ 4. Геометрические задачи на максимум и минимум

Рассмотреть геометрические приемы решения экстремальных задач (симметрия, построение описанной окружности). Следует выделить два подхода к решению задач на нахождение максимумов и минимумов геометрический и аналитический.

5. Многогранники

Следует выделить два основных типа задач, связанных с многогранниками: задачи на вычисление элементов — длин, площадей, объемов, углов; и задачи на сечения.

6. Круглые тела

По сравнению с многогранниками круглые тела труднее поддаются изображению. С другой стороны многие задачи на круглые тела очевидным образом сводятся к планиметрическим задачам.

^ 7. Прямые и плоскости в пространстве

В задачах на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве при построении чертежа очень важно суметь «привязать» заданную конфигурацию к какому — либо многограннику.

8. Проектирование

Проектирование и проведение сечений — два наиболее распространенных приема, при помощи которых пространственная задача сводится к одной или нескольким планиметрическим. Рассмотреть метод проектирования. Показать использование основного свойства проектирования ( при проектировании сохраняется отношение отрезков, расположенных на одной прямой или параллельных ) при решении задач, в которых требуется определить расстояние и угол между скрещивающимися прямыми.

9. Развертка

Это еще один прием, при помощи которого стереометрические задачи сводятся к плоским.

^ 10. Касание круглых тел. Пересечение тел.

Рассмотреть специфический прием при решении задач на касающиеся

между собой конусы. Задачи на пересечение пространственных тел требуют

хорошо развитого пространственного воображения. Но иногда чисто формальные рассуждения могут помочь нашему часто хромающему

пространственному воображению.

^ 11. Метод координат

Многие задачи про куб или прямоугольный параллелепипед удобно решать при помощи метода координат, поскольку к этим многогранникам легко привязать прямоугольную систему координат.

^ 12. Векторный метод

Рассмотреть две разновидности применения векторного метода: использование единственности разложения любого вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам (решение так называемых аффинных задач); использование свойств скалярного произведения (метрические задачи).


^ Требования к уровню подготовки учащихся.


В результате изучения курса учащийся должен:

— знать основные формулы и формулировки теорем и уметь их применять при решении задач на доказательство;

— уметь анализировать полученное решение;

владеть основными методами доказательств, используемыми в геометрии;

— знать основные принципы построения чертежа;

владеть методом поэтапного решения и составления уравнений;

— понимать, что возникновение и развитие геометрического знания

обусловлено не только практическими, но и духовными потребностями человека;

— владеть основами эвристической деятельности (поиска решения), составить план доказательства;

— уметь строить примеры и контрпримеры для подтверждения (опровержения) утверждения;

знать и понимать, что геометрические знания и методы всегда использовались и продолжают использоваться для решения всевозможных практических и прикладных задач;

— знать и понимать, что геометрия является одной из древнейших наук, что она всегда играла и продолжает играть важнейшую роль для развития науки и культуры.


^ Задачи для практикумов

1. Планиметрия

  1. Дан квадрат. Найдите геометрическое место точек М, таких, что расстояние от М до центра квадрата не превосходит расстояния от м до любой вершины квадрата.

  2. Найдите ГМТ, из которых данный квадрат виден под углом 600.

  3. АВСД – трапеция. Найдите ГМ точек М, таких, что АМ2 + СМ2 = ВМ2 + ДМ2.

  4. Постройте отрезок х по формулам ( а,б,с,… - данные отрезки ):

а) ; б) ; в) ; г) .

  1. Данный отрезок разделите на две части, относящиеся как .

  2. Постройте точку внутри треугольника АВС, такую, что расстояния от М до сторон АВ, ВС, и АС относятся как 1 : 2 : 3.

  3. А, В, С, Д – четыре точки, расположенные на одной прямой, следующие в указанном порядке. Постройте все точки плоскости, из которых отрезки АВ, ВС и СД видны под равными углами.

  4. Постройте квадрат, если заданы четыре точки, расположенные на его сторонах или продолжениях сторон.

  5. Постройте общие касательные к двум данным окружностям.

  6. При помощи одной линейки заданный отрезок разделите на три равные части, если указана середина отрезка.

  7. Постройте биссектрису угла, вершина которого находится за пределами листа бумаги.

  8. В листе бумаги вырезано круглое отверстие. Через заданную точку проведите прямую, касающуюся окружности, ограничивающей это отверстие.

  9. Данный прямоугольный треугольник разрежьте на остроугольные треугольники.

  10. Площадь треугольника равна 1. докажите, что средняя по длине его сторона не меньше .

  11. Чему равно наибольшее значение МР, где точка М – точка на границе прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 , а Р – точка вписанной в этот треугольник окружности.

  12. Пусть ВД – биссектриса треугольника АВС. Докажите, что АВ>АД, СВ > СД.

  13. Докажите для произвольного треугольника справедливость следующих неравенств: а) ; б) .

  14. Найдите площадь наибольшего правильного треугольника, описанного около прямоугольного треугольника с катетами 1 и .

  15. Из вершины А треугольника АВС опущены перпендикуляры АМ и АР на биссектрисы внешних углов треугольника (В и С ). Докажите, что отрезок МР равен полупериметру треугольника АВС.


2. Стереометрия.

  1. Дан правильный тетраэдр с ребром а. Найдите его полную поверхность, объем, расстояния между противоположными ребрами, радиус описанного шара, радиус вписанного шара.

  2. Пусть - углы, образованные произвольной прямой с тремя попарно перпендикулярными прямыми. Докажите, что cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

  3. Докажите, что для объема V произвольного многогранника, описанного около сферы радиусом R, справедливо равенство V = SR, где S – полная поверхность многогранника.

  4. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в отношении 3 : 1 считая от вершины.

  5. Три шара радиуса R касаются данной плоскости и попарно касаются друг друга. Найдите радиус четвертого шара, касающегося трех данных и той же плоскости.

  6. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4, 5, и 6. Найдите площадь наибольшего сечения, проходящего через два параллельных не лежащих в одной грани ребра параллелепипеда.

  7. Докажите, что плоскость, пересекающая боковую поверхность цилиндра, но не пересекающая его основания, делит ось цилиндра, боковую поверхность и объем в одинаковом отношении.

  8. Найдите объем конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг радиусом R.

  9. Определите вид многоугольника, являющегося ортогональной проекцией куба на плоскость: а) перпендикулярную диагонали его грани; б) перпендикулярную диагонали куба.

  10. Найдите отношение объемов цилиндра и конуса, вписанных в один и тот же шар, если высота конуса и цилиндра равна радиусу шара.

  11. Ребро куба равно 1. Найдите объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине, не принадлежащей этим граням.

  12. Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре – на его боковой поверхности. Найдите отношение объемов конуса и куба.

  13. Высота усеченной пирамиды равна h, площадь среднего сечения равна S. В каких пределах может изменяться объем этой пирамиды?

  14. Найдите наибольшее значение объема тетраэдра, вписанного в цилиндр, радиус основания которого R, высота h.

  15. Две вершины тетраэдра расположены на поверхности сферы радиусом , две другие – на поверхности сферы радиусом 2, концентрической с первой . Какой наибольший объем таких тетраэдров?

^ Задачи, предлагаемые на экзаменах

Экономический факультет, ВГУ

  1. В равнобедренном треугольнике АВС ( АВ=ВС ) биссектрисы СМ и ВК пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОМ и АОМ соответственно равны 25 и 40. Найти площадь треугольника АВС и проекцию отрезка ОМ на прямую АВ. ОТВЕТ: 234, 6.

  2. В равнобедренном треугольнике АВС ( АВ = ВС ) биссектрисы СМ и ВК пересекаются в точке О. Площадь треугольника АОК равна 10, угол ВАС равен arcos . Найти площадь треугольника АОМ и проекцию отрезка СМ на прямую АМ. ОТВЕТ: , .

Математический факультет, ВГУ

  1. В треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что АВ – ВD = а, АС + СD = б. Найдите АD. ОТВЕТ:.




  1. В треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что АD = а, АС + DС = б. Найдите АВ – ВD. ОТВЕТ:.

Факультет прикладной математики и механики, ВГУ

  1. В трапеции АВС с основаниями АD и ВС длина боковой стороны АВ равна 2 см. Биссектриса угла ВАD пересекает прямую ВС в точке Е. В треугольник АВЕ вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке М и стороны ВЕ в точке Н. Длина отрезка МН равна 1 см. Найти величину угла ВАD. ОТВЕТ: .

  2. Из вершины В равнобедренного треугольника АВС на его основание АС опущена высота ВD. Длина каждой из боковых сторон АВ и ВС равна 8 см. В треугольнике ВСD проведена медиана DЕ. В треугольник ВDЕ вписана окружность, касающаяся стороны ВЕ в точке К и стороны DЕ в точке М. Длина отрезка КМ равна 2 см. Найти величину угла ВАС. ОТВЕТ: .

Механико – математический факультет, МГУ

  1. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 с высотой служит треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 1 и АС = . Через точку пересечения диагоналей грани АС С1 А1 на расстоянии от точки А проводится плоскость, делящая объем призмы пополам. Какова наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью? Ответ: .

  2. Основанием треугольной пирамиды РАВС служит треугольник со сторонами АВ = ВС = 15 и АС = 18. Двугранные углы при ребрах АВ и ВС равны arctg, а при ребре АС - . Сфера, центр которой лежит в плоскости АВС, касается боковых граней в точках К, L и М. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды РКLМ. Ответ: .


^ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЯ

ЗАЧЕТ № 1

1. Дана окружность и точка А. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, таких, что прямая, которой эта хорда принадлежит, проходит через точку А.

Решение: пусть О – центр данной окружности. Искомое ГМТ является дугой окружности с диаметром ОА, заключенной внутри данной окружности. В частности, если А внутри данной окружности, то получаем всю окружность с диаметром ОА.

2. Постройте отрезок х по формуле: х = .

3. Докажите справедливость для произвольного треугольника неравенства: S < .

4. Основания трапеции равны а и б, угол между диагоналями равен 900, а угол между непараллельными сторонами трапеции равен 450. Найдите высоту трапеции. Ответ:.

ЗАЧЕТ №2

  1. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4,5,6. Найдите площадь наибольшего сечения, проходящего через два параллельных не лежащих в одной грани ребра параллелепипеда. Ответ: 6.

  2. Найдите радиус шара, касающегося всех ребер правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 2 , а боковое ребро равно 3. Ответ:. Указание: искомый шар касается сторон основания в серединах. Используя равенство касательных, проведенных из одной точки, найти положение точек касания боковых ребер.


^ Примерные темы исследовательских работ к семинару « Решение нестандартных геометрических задач »

  1. Задачи на вписанную в треугольник окружность.

  2. Задачи на описанную около треугольника окружность.

  3. Задачи на трапецию.

  4. Опорные задачи по теме « Пирамида ».

  5. Опорные задачи по теме « Круглые тела ».

  6. Опорные задачи по теме « Правильные многоугольники » и др.



^ ИТОГОВЫЙ ЗАЧЕТ

ВАРИАНТ 1.

  1. Сторона правильного шестиугольника А1А2А3А4А5А6 равна . Найдите площадь общей части треугольников А1А3А5 и А2А4А6.

  2. Одно из боковых ребер правильной треугольной призмы совпадает с диагональю куба, а каждое из двух других ребер призмы пересекает ребро куба, скрещивающееся с его диагональю. Найдите объем общей части этих тел, если ребро куба равно 1.

ВАРИАНТ 2.

  1. Сторона правильного шестиугольника А1А2А3А4А5А6 равна .Найдите площадь фигуры, которая является объединением треугольников А1А3А5 и А2А4А6.

  2. В куб АВСДА1В1С1Д1 вписана правильная шестиугольная призма так, что ее основания лежат в плоскостях АВ1Д1 и ВС1Д , при этом три ребра каждого основания призмы лежат в трех смежных гранях куба. Найдите объем призмы, если ребро куба равно 1.


Учебно-методическое обеспечение курса

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 классы. −М.: Просвещение.

  2. Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11 классы. — М.: Просвещение.

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11 классы. — М.: Просвещение.

  2. Математика. Интенсивный курс подготовки к единому государственному экзамену / С.И. Колесникова. – 5-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007. – (Серия «Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ»)

  3. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания/ под редакцией Ф.Ф. Лысенко,– Ростов-на-Дону, Легион, 2007.

  4. Шарыгин И. Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994 и последующие.

  5. Шарыгин И. Ф., В. И. Голубев. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994 и последующие.







Скачать 193,96 Kb.
оставить комментарий
Пронина Н.Ю
Дата21.09.2011
Размер193,96 Kb.
ТипЭлективный курс, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх