Алгебра логики. Основные понятия. Область применения алгебры- логики. Логические функции. Таблицы истинности логика (гр logos мысль, слово, речь, разум) эт icon

Алгебра логики. Основные понятия. Область применения алгебры- логики. Логические функции. Таблицы истинности логика (гр logos мысль, слово, речь, разум) эт


Смотрите также:
Предмет и основные понятия логики...
Контрольная работа по теме «Элементы математической логики»...
Название науки происходит от греческого слова Logos речь, мысль, разум, слово...
Тема: «История науки алгебры логики. Формы мышления»...
Логические операции...
Логика от греческого слова...
Тема  основы логики (первый этап отношений логики и языка) (6 часов)...
Урок информатики по теме "Основы логики, таблицы истинности"...
Давая описание алгебры высказываний, мы пользовались логическими значениями высказываний (истина...
Задачи: сформировать умения работы со сложными высказываниями...
Лекция 6 Функции алгебры логики (фал). Алгебра логики. Геометрическая интерпретация фал...
«Основы логики и таблица истинности»...



Алгебра логики. Основные понятия. Область применения алгебры- логики. Логические функции. Таблицы истинности

ЛОГИКА (гр. logos — мысль, слово, речь, разум) — это наука о законах и формах мышления, направленная на познание объективного мира. Слово логика обозначает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления или обозначает науку о правилах рассуждения и тех формах, в которых оно осуществляется.

Объектом логики как науки выступает абстрактное мышление. Логика изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира, исследует формы и законы, в которых происходит отражение мира в процессе мышления. Основными формами абстрактного мышления являются:

  • ПОНЯТИЯ,

  • СУЖДЕНИЯ,

  • УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.

ПОНЯТИЕ — форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов: портфель трапеция ураганный ветер,

например, "дерево", "самолет") или группой слов, т.е. словосочетаниями, например, "студент гуманитарного института", "создатель художественных картин", "река Дон", "космический корабль" и др.

СУЖДЕНИЕ — мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. Суждения являются повествовательными предложениями, истинными или ложными. Они могут быть простыми и сложными: Весна наступила, и грачи прилетели.

Пример сложного суждения: "Наступила осень, и лебеди улетают". Оно состоит из двух простых суждений.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ — прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определен­ным правилам вывода получаем заключение. Есть несколько видов умозаключений. Все металлы — простые вещества. Литий — металл. Литий — простое вещество.

Все металлы - вещества . Железо – металл. Железо - вещество

Чтобы достичь истины при помощи умозаключений, надо соблюдать законы логики.

^ ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА — наука о законах и формах правильного мышления.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода. (В книгах какого писателя хорошо рассказано о дедуктивном методе?)

Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.


Основа работы логической схемы и устройств П.К- логика. В логике суждения- высказывание- повествовательное предложение- истинное или ложное.

2+8<5
5*5=25
2*2=5
Квадрат есть параллелограмм
Параллелограмм есть квадрат.    -простые.
Сложные (с использованием связок и, или и частицы не.)

В  М. Л. не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только истинно оно или ложно, поэтому высказывание можно представить некоторой  ~ величиной, значение которой может быть 0 или 1

0-    ложно,  1- истинно.

Для простоты  записи высказывание обозначается латинскими буквами. У кошки 4 ноги  А=1.

Москва расположена на 2 холмах В=0 

Устройство  П.К, выполняющее действие над двоичными числами, можно рассмотреть как некоторый функциональный преобразователь, причем входные числа это значения входных логических переменных, а выходное число значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.



Значения логических функций при разных сочетаниях значений входных переменных (наборах входных ~ ) - обычно задаются специальной таблицей - таблицей истинности.

Количество наборов входных ~ (Q) определяется выражением : ( Q )=2n – где n количество входных ~ . таблица истинности может иметь вид

X         Y         Z          F (x, y, z )
0          0          0          1
0          0          1          1
0          1          0          1
0          1          1          0
1          0          0          0
1          0          1          1
1          1          0          1
1          1          1          0

В алгебре высказываний любую логическую функцию можно выразить через основные логические операции, записать ее в виде логического выражения и упростить ее, применяя законы логики и свойства логических операций. По формуле логической функции легко рассчитать ее таблицу истинности. Необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) и скобки. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок.


Приоритет логических операций:

  • ИНВЕРСИЯ,

  • КОНЪЮНКЦИЯ,

  • ДИЗЪЮНКЦИЯ


КОНЪЮНКЦИЯ


Конъюнкция: соответствует союзу: «и», обозначается знаком^, обозначает логическое умножение.

Конъюнкция двух логических ~ истинна тогда и только тогда , когда оба высказываний истинны. Можно обобщить для любого количества переменных  А^В^С = 1 если А=1, В=1, С=1.

А

В

А^B

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

ДИЗЪЮНКЦИЯ


Логическая операция соответствует союзу ИЛИ, обозначается знаком v, иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ.
Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и галька тогда, когда оба высказывавия ложны.

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией.

A v В v С = 0, только если А = О, В = О, С - 0.

Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид:

А

В

А v B

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

ИНВЕРСИЯ


Логическая операция соответствует частице не, обозначается ¬    или ¯ и является логическим отрицанием.

Инверсия логической переменной истинна, если переменная ложна и наоборот: инверсия ложна, если переменная истинна.

А         ¬А
1          0
0          1

высказывания у которых таблицы истинности совпадают называются равносильными.
^

ИМПЛИКАЦИЯ и ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ


 Импликация «если А, то В», обозначается А → В

А         В         А → В
0          0          1
0          1          1
1          0          0
1          1          1

Эквивалентность «А тогда В и только тогда», обозначается А  ~  В

А         В         А~       В
0          0          1         
0          1          0
1          0          0
1          1          1

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

  1. инверсия,

  2. конъюнкция,

  3. дизъюнкция,

  4. импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Например: дана формула

^ Порядок вычисления:

- инверсия
- конъюнкция
- дизъюнкция
- импликация
- эквивалентность.


Закрепление:

  1. Определить таблицу истинности логической функции: F (А, В, С) = A v (С ^ В) , Определяем количество строк­ в таблице: Q = 23 = 8

  2. Определяем количество логических операций (3) и последовательность их выполнения

  3. Определяем количество столбцов: три переменные + три логические операции = 6.

A

B

C

C

C ^ B

A v (С ^ В)

















































































































































Пример Постройте таблицу истинности высказываний «Саша не выполнил задание» и «Саша получил выговор» .Решение:

Саша не выполнил задание

Саша получил выговор

Результат

Истина

Истина

Истина

Истина

Ложь

Ложь

Ложь

Истина

Ложь

ложь

Ложь

Ложь

Пример В приведенном ниже высказывании выделите простые. Запишите сложные высказывания в виде формулы, приведите таблицы истинности.

Пришла весна, и грачи прилетели.

F=A^B

A         B         F
1          0          0
0          1          0
0          0          0
1          1          1

Пример Определите истинность составного высказывания: ( & )  (C D), состоящего из простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода информации},

В = {Процессор – устройство хранения информации},

С = {Монитор – устройство вывода информации},

D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

 

Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.

Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

( & ) (1 0) = (0&1)  (1 0) = 0

Составное высказывание ложно.


Упражнение 7. Даны два простых высказывания:

А= “Щука – рыба”;
В=“Ворона – певчая птица”.


Составьте из них все возможные составные (сложные) высказывания и определите их истинность.

1. Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

  1. Число 456 трехзначное и четное.

  2. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

  3. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

  4. Луна – спутник Земли.

  5. На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь.

  6. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.

  7. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.

  8. Если у меня будет свободное время и не будет дождя, тоя не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку.

  9. Без Вас хочу сказать Вам много
    При Вас я слушать Вас хочу.

  10. Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.

2. Постройте отрицания следующих высказываний.

  1. На улице сухо.

  2. Сегодня выходной день.

  3. Ваня не был готов сегодня к урокам.

  4. Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.

  5. Некоторые млекопитающие не живут на суше.

  6. Неверно, что число 17 – простое.

3. Из каждых трех выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга.

  1. “Луна – спутник Земли”, “Неверно, что Луна спутник Земли”, “Неверно, что Луна не является спутником Земли”;

  2. “2007 < 2008”, “2007 > 2008”, “2007 ? 2008”;

  3. “Прямая а перпендикулярна прямой с”; “Прямая а не параллельна прямой с”; “Прямая а не пересекается с прямой с”.

4. По данным формам сложных высказываний запишите высказывания на русском языке.

1.
2.
3.
4.
5.


5. Найдите значения логических выражений:























6. Даны два высказывания: А = “2 х 2 = 4”, В = “2 х 2 = 5”. Очевидно, что А=1, В=0. Какие из высказываний истинны?

а)
б)
в) А
г)
д)
е)

7. Даны простые высказывания: А= {15>13}, В={4=5}, C= {7<4}. Определите истинность составных высказываний:




8. При каких значениях числа Х логическое выражение не ((Х>15) или (Х<-5)) примет значение:

  1. ложь,

  2. истинна.

9. Какие из высказываний А, В должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложное высказывание ?






Высказывания, записанные на естественном языке

Высказывания, записанные на языке алгебры логики

1.

Не А:

Неверно, что А;

А не имеет места



2.

А и В

Как А, так и В;

Не только А, но и В;

А вместе с В;

А, несмотря на В;

А в то время, как В

АВ

3.

А, но не В;

Не В, а А

А

4.

А или В;

А или В, или оба

АВ

5.

Либо А, либо В

АВ

6.

Либо А, либо В и С

АВС

7.

Либо А и В, либо С и Д

АВСD

8.

Если А, то В;

А только, если В;

А только, когда В;

А достаточно для В;

А только при условии, что В;

В необходимо для А;

А значит В;

Для А необходимо В;

Из А следует В;

В тогда, когда А


А→В

9.

А эквивалентно В;

А тогда и только тогда, когда В;

А если и только если В;

А необходимо и достаточно для В

А В

АВ




^ Логическая операция

Название

Соответствует союзу

Обозначение знаками

^ Таблица истинности

Логическая операция

Инверсия

(от лат. inversion – переворачиваю)

отрицание

не А



А



1

0

0

1




Опр. Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

Конъюнкция

(от лат. conjunction – связываю)

Логическое умножение

А и В



А

В



1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0




Опр.Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны.

Дизъюнкция

(от лат. disjunction – различаю)

Логическое сложение

А или В



А

В



1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0




Опр. Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Импликация

(от лат. implication – тесно связывать)

Логическое следование

Если А,

то В;

Когда А, тогда В

 

А–условие

В-следствие

А

В



1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1




Опр. Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие.

Эквивалентность (от лат. equivalents - равноценность)

Логическое равенство

А тогда и только тогда, когда В



А

В



1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1




Опр. Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны




Скачать 157,52 Kb.
оставить комментарий
Дата21.09.2011
Размер157,52 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх