Программа элективного курса “Решение уравнений с параметрами” Пояснительная записка icon

Программа элективного курса “Решение уравнений с параметрами” Пояснительная записка


Смотрите также:
Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами»...
Программа по курсу «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для 9 классов...
Программа по курсу «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для 9 классов...
Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса по химии «Химия вокруг нас»...
Программа элективного курса профильной подготовки учащихся 11 классов решение уравнений и...
Программа элективного курса, 68 часов в год (2 ч/нед.). 10-й класс Пояснительная записка...
Элективный курс по математике...
Пояснительная записка Программа элективного курса «Подготовка к егэ»...
Оказалась для меня сложной...
Программа элективного курса для учащихся 11 классов решение уравнений и неравенств...
Программа элективного курса по алгебре и началам анализа в 10, 11 классе. Пояснительная записка...
Рабочая программа элективного курса по математике Уравнения и неравенства с параметрами 10 класс...



Загрузка...
скачать
Элективный курс “Решение уравнений с параметрами”


(Из опыта проведения элективных курсов по математике в рамках предпрофильной подготовки учащихся учителя Якшангской средней школы Илика Александра Ивановича)

С целью удовлетворения индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого учащегося в течение двух лет в Якшангской средней школе для девятиклассников проводился элективный курс “Решение уравнений с параметрами”. В основе этого курса лежит материал, связанный с исследованием квадратного трёхчлена. Эти вопросы, с одной стороны, тесно примыкают к программе, а с другой – позволяют познакомить учащихся с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом материале. Уровень сложности рассматриваемых вопросов таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число учащихся, а не только наиболее сильных. Решение таких заданий приучает учащихся логично и аргументировано излагать свои мысли. Как показывает опыт, рассматриваемые примеры доступны учащимся 9 классов. В процессе изучения элективного курса каждый слушатель выбирает индивидуальное задание, разрабатывает его и защищает на итоговом занятии. На итоговое занятие приглашаются учителя математики и учащиеся 11 класса, которые выступают в роли оппонентов.

Ниже приводятся материалы для проведения занятий данного элективного курса.


Программа элективного курса “Решение уравнений с параметрами”


Пояснительная записка


Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров. Практика выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена.

В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. В этом смысле не всякая задача, в условии которой формально присутствуют параметры, является задачей с параметрами.

Данный курс ориентирован на расширение базового курса математики и развитие интереса к математике. Курс рассчитан на учащихся 9 класса. Занятия проводятся одно полугодие.


Цели курса:

  1. Развивать интерес учащихся к изучению математики;

  2. Повысить математическую культуру учащихся в рамках школьного курса математики;

  3. Совершенствовать практические умения и навыки решения задач с параметрами.

  4. Развивать творческие способности учащихся.

Задачи курса:

  1. Учить подбирать необходимые приёмы решения уравнений с параметрами;

  2. Учить сравнивать, анализировать, применять полученные знания на практике;

  3. Содействовать формированию у учащихся логического и вариативного мышления.

В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:

    • Решать линейные уравнения с параметрами;

    • Решать квадратные уравнения с параметрами;

    • Применять теоремы и следствия о знаках корней квадратного трёхчлена и о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой.

^ Перечисленные умения формируются на основе следующих знаний:

Решение линейных уравнений; решение квадратных уравнений; теоремы Виета; корни квадратного трёхчлена; разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратичная функция и её график.

^ Содержание программы

Линейное уравнение с одной переменной. Квадратное уравнение с одной переменной. Теорема Виета. Обратная теорема Виета. Теоремы и следствия о знаках корней квадратного трехчлена и о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой. Квадратный трёхчлен. Корни квадратного трёхчлена. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Квадратичная функция и её график. Решение неравенств первой степени. Решение неравенств второй степени. Метод интервалов.

Теоретический материал для проведения занятий элективного курса.

  1. Квадратным трёхчленом называется выражение f(x) = ax2 + bx + c

(a≠ 0), графиком соответствующей функции является парабола.

  1. В зависимости от величины дискриминанта D (D=b2 – 4ac) возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс:

    • при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных действительных корня трёхчлена);

    • при D=0 эти точки совпадают (случай кратного корня);

    • при D<0 точек пересечения с осью Ох нет (действительных
      корней нет);

    • в последнем случае, если а > 0, график параболы целиком
      лежит выше оси Ох), а если а< 0-целиком ниже
      оси Ох.

3. Координаты вершины параболы определяются формулами:


Теорема Виета


Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2 + bх + с и коэффициентами существуют соотношения:




;


При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.


Теорема 1

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выпол­нение следующих соотношений:

D=b2 – 4ac≥0, >0,


при этом оба корня будут положительными, если дополнитель­но наложить условие:



>0,

и оба корня будут отрицательны, если <0


Теорема 2

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполне­ние соотношений:



D=b2 – 4ac>0, <0,

при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если


>0, если же <0,

то отрицательный корень имеет большую абсолютную вели­чину.

При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на ко­ординатной прямой.

Пусть f(x) = ax2 + bx + c имеет действительные корни х1 и х2, а х0 - какое-нибудь действительное число. Тогда:


Теорема 3

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были мень­ше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий:




Теорема 4

Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа х0 (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:






Теорема 5

Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее чем число х0), необходимо и достаточно выполнение условий:





Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой выражение ax02 + bx + c.

При решении некоторых упражнений полезно использовать следствия из этих теорем.


Следствие 1

Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А (М<А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно выполнение условий:




Следствие 2

Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (М<А), необходимо и достаточно выполнение условий:




при этом меньший корень вне отрезка МА.


Следствие 3

Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (М<А), необходимо и достаточно выполнение условий:




при этом больший корень вне отрезка МА.


Следствие 4

Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М<А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно выполнение условий:




при этом больший корень вне отрезка МА.




Эта группа теорем и следствий часто применяется при решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.


Примерные задания для итогового занятия

  1. Решите уравнение: ;

  2. Решите уравнение: ;

  3. При каких значениях а корни уравнения

х2 + (а3 – 4а + 1)х + а4 – 7а – 14 = 0 равны 3 и -4?

  1. Дано квадратное уравнение: (а – 1)х2 – (2а – 1)х + а + 5 = 0. При каких а это уравнение имеет действительные корни? Исследовать знаки корней.

  2. При каких значениях k уравнение (k – 2)x2 – 2(k + 3)x + 4k = 0 имеет

один корень больше 3, а другой меньше 2?

  1. При каких действительных значениях k оба корня уравнения

(1 + k)x2 – 3kx + 4k = 0 больше 1?


Для разработки данной программы использована книга: Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения. М.: АРКТИ, 2001. – 48 с.








оставить комментарий
Дата20.09.2011
Размер76,6 Kb.
ТипПрограмма, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх